Optymalne rozmieszczanie wiskotycznych tłumików drga cz 2

Transkrypt

1 Roman Lewandowski Autor pragnie wyrazi podzikowanie swoim studentom: Tomaszowi Drgasowi, Jakubowi Jaroszyskiemu, Tobiaszowi Rynowieckiemu i Maciejowi Makowskiemu, którzy wykonali wikszo oblicze bdcych podstaw niniejszego opracowania Pozna, lipiec 28

2 1 Opis zadania optymalizacji Celem prezentowanego zadania jest optymalizacja połoenia tłumików wiskotycznych rozmieszczonych na dziesiciokondygnacyjnej konstrukcji ramowej Na konstrukcji naley umieci 1 tłumików o zadanych współczynnikach tłumienia c i = c = const Jako model rozpatrywanej konstrukcji przyjto ram cinan Konstrukcja jest obciona siłami wywołanymi wymuszeniem kinematycznym (siłami wywołanymi trzsieniem ziemi lub siłami parasejsmicznymi) Przyjto 2 kryteria optymalizacji Tłumiki rozmieszczano na ramie w ten sposób, aby: a) zminimalizowa maksymaln amplitud przemieszcze ramy w 1 obszarze rezonansowym, b) zminimalizowa maksymaln amplitud wzgldnych przemieszcze ramy w 1 obszarze rezonansowym Przez wzgldne przemieszczenia ramy rozumie si rónic przemieszcze dwóch ssiednich stropów budynku 2 Równania ruchu ramy cinanej bez zainstalowanych tłumików drga Pod pojciem rama cinana rozumie si konstrukcj ramow spełniajc nastpujce załoenia[1]: rygle ramy s nieskoczenie sztywne, słupy s niewakie, a masa ramy jest skoncentrowana na poziomie stropów, prty ramy s nieodkształcalne osiowo, rama jest obciona siłami poziomymi Jedynymi stopniami dynamicznej swobody ramy cinanej s przemieszczenia poziome rygli Schemat obliczeniowy omawianej ramy pokazano na rys 1 Rys 1 Schemat obliczeniowy ramy cinanej Równanie ruchu ramy bez zainstalowanych tłumików drga mona zapisa w postaci: 2

3 M q ( t) + Cq ( t) + Kq( t) = P( t), (1) gdzie M jest macierz mas, K jest macierz sztywnoci, C macierz tłumienia, q (t) wektorem przemieszcze dynamicznych konstrukcji, a P (t) wektorem sił wymuszajcych Kropk oznaczono pochodn wzgldem czasu t W omawianym przypadku macierze mas i sztywnoci maj posta: M = diag M, M,, M ), (2) ( 1 2 n K k1 + k k2 = 2 k k 2 + k k k k k 4 k k 4 i 1 k i 1 + k i k k i n 1 k n, (3) gdzie M i jest mas pitra o numerze i, (i=1,2,,n), k i sztywnoci kondygnacji o numerze i W przypadku ramy jednoprzsłowej sztywno kondygnacji o numerze i oblicza si ze wzoru: 24EJ i k i =, (4) 3 li gdzie symbolem l i oznacza si wysoko kondygnacji o numerze i, a symbolem EJ i sztywno na zginanie słupa teje kondygnacji Przyjto, e siły tłumienia ramy maj charakter sił wiskotycznych, a macierz tłumienia jest macierz tłumienia proporcjonalnego, tzn C = C k = α M + κ K, (5) gdzie symbolami α, κ oznaczono współczynniki proporcjonalnoci W dalszym cigu zakłada si, e rama jest obciona siłami wywoływanymi trzsieniem ziemi lub siłami parasejsmicznymi Siły wymuszajce opisywane s wzorem: P (t) = Me q (t), (6) gdzie q ( t ) jest przyspieszeniem podstawy ramy, a e = col(1,1,,1 ) jest wektorem jednostkowym 3 Równania ruchu ramy cinanej z zainstalowanymi tłumikami drga Schemat obliczeniowy ramy z zainstalowanymi tłumikami drga pokazano na rys2 Na rys 3 pokazano natomiast schematycznie budow tłumika drga W omawianych poniej obliczeniach załoono, e tłumik jest tłumikiem wiskotycznym Sił tłumienia w takim tłumiku mona wyznaczy ze wzoru: 3

4 f t = c x, (7) gdzie c jest współczynnikiem tłumienia, a x jest prdkoci wzgldnego przemieszczenia tłoka tłumika wzgldem jego obudowy Rys 2 Schemat obliczeniowy ramy cinanej z zainstalowanymi tłumikami drga Rys 3 Schemat tłumika drga Piszc równania ruchu ramy cinanej z wiskotycznymi tłumikami drga załoono ponadto, e elementy łczce tłumik z ram (zastrzały) maj nieskoczenie du sztywno Równanie ruchu ramy cinanej z zainstalowanymi tłumikami drga mona take zapisa w postaci: M q ( t) + Cq ( t) + Kq( t) = P( t) (8) Równania (1) i (8) róni si tylko macierz tłumienia Siły tłumienia s w omawianym przypadku sum sił tłumienia konstrukcji Ckq( t ) i sił tłumienia wywoływanych przez tłumiki Te 4

5 ostatnie siły mona przedstawi w postaci Ctq(t ) i wobec tego macierz tłumienia wystpujca w równaniu (8) moe by zapisana w postaci: C = C k + C t (9) Na macierz C t składaj si współczynniki tłumienia poszczególnych tłumików umieszczonych na konstrukcji Mona j zapisa w postaci: m C = C, (1) t j= 1 gdzie C tj jest macierz tłumienia uwzgldniajc wpływ tłumika o numerze j Jeeli tłumik o numerze j jest umieszczony na kondygnacji i to macierz ta ma posta: tj kolumny i 1 i C tj = c j c j c c j j wiersz i 1 wiersz i, (11) gdzie symbolem c j oznaczono współczynnik tłumienia tłumika o numerze j Na rys 2 współczynnik ten opisano symbolem c di Jeeli tłumiki s umieszczone w ukonych zastrzałach to niezerowe elementy macierzy C tj liczy si w sposób opisany w [1] 5 Rozwizanie macierzowego równania ruchu Zakłada si, e zmiana w czasie sił wymuszajcych działajcych na ram jest opisana funkcj o postaci: P(t) = Me q exp( iλ ), (12) t gdzie λ jest czstoci wymuszenia Zakładajc, e rozwizanie równania ruchu ma posta: q (t) = ~ a exp( iλt), (13) oraz podstawiajc (12) i (13) do równania (1) lub (8) otrzymuje si równanie (14): 2 K λ M + iλc ~ a = Me q ( t, (14) z którego mona wyznaczy wektor a ~ ( ) ) 5

6 W dalszym cigu posługiwa si bdziemy zmodyfikowanym wektorem a zdefiniowanym w nastpujcy sposób: a = ~ a / q (15) Moduły elementów wektora a nazywa s zmodyfikowanymi amplitudami drga W dalszym cigu krótko nazywa si je bdzie amplitudami drga Wykres funkcji opisujcej zaleno tak rozumianej amplitudy drga od czstoci wymuszenia λ bdziemy nazywa zmodyfikowan krzyw rezonansow lub krótko krzyw rezonansow 6 Opis zastosowanej procedury optymalizacyjnej Do rozwizania zadania optymalizacyjnego uyto metody tzw optymalizacji sekwencyjnej Jest to procedura heurystyczna Ogólnie rzecz biorc polega ona na umieszczaniu w optymalnym miejscu jednego tłumika drga za pomoc pewnego postpowania rekurencyjnego przy załoeniu, e nie zmienia si ustawienia tłumików uprzednio ju ustawionych Nie ma formalnego dowodu, e uzyskana w ten sposób konfiguracja tłumików bdzie konfiguracj optymaln Opisana procedura optymalizacyjna jest jednak czsto stosowana Składa si ona z kilku opisanych poniej kroków Załómy, e w wyniku dotychczasowych oblicze ustalono pozycje r-1 tłumików Optymalne ustawienie tłumika o numerze r wymaga wykonania nastpujcych czynnoci: Krok 1: Wyznaczy maksymalne amplitudy drga w pierwszej strefie rezonansowej przy załoeniu, e 1 tłumik został umieszczony na 1 kondygnacji Obliczy dla tego ustawienia warto funkcji celu Krok 2: Powtórzy obliczenia wykonane w kroku 1 dla wszystkich moliwych połoe tłumików Krok 3: Jako optymalne połoenie tłumika o numerze r wybra to połoenie, dla którego warto funkcji celu jest maksymalna Krok 4: Jeeli wszystkie tłumiki zostały rozmieszczone na ramie to zakoczy obliczenia W przeciwnym wypadku wróci do kroku 1 i przystpi do optymalnego ustawiania tłumika o numerze r+1 Nie ma formalnego dowodu, e omawiana procedura prowadzi do wyznaczenia rozwizania optymalnego W szeregu zadaniach udało si jednak uzyska rozwizania w sposób istotny lepsze od rozwiza przyjmowanych intuicyjnie lub na podstawie dowiadczenia inynierskiego Tłumiki rozmieszcza si we wszystkich moliwych miejscach i dla kadego połoenia tłumika ustala si na podstawie krzywych rezonansowych maksymalne przemieszczenie (lub przemieszczenie wzgldne) stropów Jako optymalne miejsce ustawienia tłumika wybiera si na ramie to miejsce dla którego maksymalne wychylenie stropu osiga warto najmniejsz Technicznie poszukiwanie tego połoenia polega na tym, e ustawia si pierwszy tłumik na pierwszej kondygnacji i oblicza si krzywe rezonansowe przemieszcze Nastpnie na podstawie tych krzywych ustala si maksymalne amplitudy przemieszcze max a wszystkich piter (tzn i 6

7 dla i=1,2,,n) Sporód wszystkich max ai wybieramy najwiksze, które oznacza bdziemy symbolem max a ~ 1 Indeks 1 podkrela, e jest to maksymalna wzgldna amplituda stowarzyszona z tłumikiem ustawionym na 1 kondygnacji Nastpnie tłumik przestawiamy na drug kondygnacj i take szukamy najwikszego wzgldnego wychylenia, które tym razem jest oznaczone symbolem max a ~ 2 Postpowanie powtarzamy ustawiajc tłumik na kolejnych kondygnacjach W ten sposób uzyskamy zbiór wielkoci max a ~ k (k=1,2,,n) Sporód tych wielkoci wybieramy najmniejsze, a odpowiadajce mu połoenie tłumika uznajemy za optymalne Powysze postpowanie powtarzamy z kolejnymi tłumikami przy czym nie naley pomija kondygnacji na których ju stoi który z tłumików Ustawienie dwóch tłumików na jednej kondygnacji moe by realizowane przez ustawienie jednego tłumika o dwukrotnie wikszym tłumieniu 7 Opis analizowanej konstrukcji Do oblicze przyjto nastpujce dane charakteryzujce ram i tłumiki drga: masy stropów s jednakowe; masa 1 stropu jest równa 32, kg, wszystkie kondygnacje ramy maj jednakow wysoko równ 3,5 m; 7 sztywno 1 słupa jest równa 2, 82 1 N / m ; na kondygnacji s 2 słupy; sztywno pitra (równa podwójnej sztywnoci słupa) jest opisana wzorem (4) i jest równa = 5, 64 1 N / m ; sztywnoci wszystkich piter s jednakowe; k i 7 macierz tłumienia konstrukcji jest macierz proporcjonaln; macierz t naley obliczy przyjmujc, e bezwymiarowe współczynniki tłumienia 1 i 2 postaci drga wynosz: γ 1 = γ 2 =, 2 ; na ramie naley rozmieci 1 tłumików wiskotycznych; współczynniki tłumienia wszystkich tłumików s jednakowe; a współczynnik tłumienia 1 tłumika jest równy 4 c d = 2, 1 Ns / m Czstoci drga własnych omawianej ramy wynosz: ω = 6,275 rad / s, ω =18,685 rad / s, ω = 3,677 rad / s, ω = 41,984 rad / s, 1 2 ω 5 = 52,353 rad / s, ω 6 = 61,553 rad / s, ω 7 = 69,378 rad / s, ω 8 = 75,652 rad / s, ω 9 = 8,238 rad / s, ω 1 = 83,3 rad / s 8 Wyniki optymalizacji 1 kryterium optymalizacji (Tomasz Drgas, Jakub Jaroszyski) W tej czci opracowania opisano wyniki optymalizacji w której posługiwano si pierwszym kryterium tzn tłumiki rozmieszczano na ramie w ten sposób, aby zminimalizowa maksymaln amplitud przemieszcze ramy w 1 obszarze rezonansowym 81 Wyniki oblicze ramy bez tłumików 3 4 7

8 Na rys 4 pokazano zmodyfikowan krzyw rezonansow przemieszczenia stropu ostatniej kondygnacji ramy bez tłumików Wida, e amplitudy drga w 1 strefie rezonansowej s wielokrotnie wiksze od amplitud drga w 2 strefie rezonansowej i w obszarach nierezonansowych Amplituda drga Czsto drga [rad/s] Rys 4 Krzywa rezonansowa ramy bez tłumików Na rys 6 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono take w 2 kolumnie tablicy 1 Wida, e pocztkowa warto funkcji celu wynosi Optymalne połoenie pierwszego tłumika Posługujc si metod sekwencyjnej optymalizacji wyznaczono optymalne połoenie 1 tłumika Na rys 5 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem pierwszego tłumika drga jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia wynosi Krzyw rezonansow zmodyfikowanej amplitudy drga stropu ostatniej kondygnacji ramy z optymalnie ustawionym pierwszym tłumikiem pokazano na rys 6, na którym, dla porównania, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików Na rys 7 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono take w 3 kolumnie tablicy 1 8

9 825 8 amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 5 Wartoci maksymalnej amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia pierwszego tłumika 9 8 rama bez tłumików 7 Amplituda drga rama z 1 tłumikiem Czsto drga [rad/s] Rys 6 Krzywe rezonansowe ramy bez tłumika i z jednym optymalnie ustawionym tłumikiem Tablica 1 Maksymalne amplitudy drga ramy bez i z 1 tłumikiem Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama bez tłumików Maksymalna amplituda drga rama z 1 tłumikiem

10 Optymalne połoenie drugiego tłumika Posługujc si metod sekwencyjnej optymalizacji wyznaczono optymalne połoenie 2 tłumika Na rys 8 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia drugiego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem drugiego tłumika drga jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Nr kondygnacji rama z 1 tłumikiem rama bez tłumików Amplituda drga Rys 7 Amplitudy drga rezonansowych ramy bez tłumika oraz z 1 optymalnie ustawionym tłumikiem Krzyw rezonansow zmodyfikowanej amplitudy drga stropu ostatniej kondygnacji ramy z optymalnie ustawionymi dwoma tłumikami pokazano na rys 9, na którym, dla porównania, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików 1

11 Na rys 1 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono take w 2 kolumnie tablicy amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 8 Wartoci maksymalnej amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia drugiego tłumika 9 8 rama bez tłumików 7 Amplituda drga rama z 2 tłumikami Czsto drga [rad/s] Rys 9 Krzywe rezonansowe układu bez oraz z optymalnie ustawionymi dwoma tłumikami 84 Optymalne połoenie trzeciego tłumika Na rys 11 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia trzeciego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem 11

12 trzeciego tłumika jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi rama z 2 tłumikami Nr kondygnacji rama z 1 tłumikiem Amplituda drga Rys 1 Amplitud drga rezonansowych ramy z jednym oraz z dwoma optymalnie ustawionymi tłumikami amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 11 Wartoci maksymalnej amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia trzeciego tłumika Krzyw rezonansow zmodyfikowanej amplitudy drga stropu ostatniej kondygnacji ramy z optymalnie ustawionymi trzema tłumikami pokazano na rys 12, na którym, dla porównania, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików 12

13 Na rys 13 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono take w 3 kolumnie tablicy 2 Tablica 2 Maksymalne amplitudy drga ramy z 2 tłumikami i ramy z 3 tłumikami Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama z 2 tłumikami Maksymalna amplituda drga rama z 3 tłumikami rama bez tłumików 7 amplituda drga rama z 3 tłumikami czsto drga [rad/s] Rys 12 Krzywe rezonansowe układu bez oraz dla optymalnego ustawienia trzech tłumików 13

14 11 1 rama z 3 tłumikami nr kondygnacji rama z 2 tłumikami amplituda drga Rys 13 Amplitudy drga rezonansowych ramy z dwoma oraz z trzema optymalnie ustawionymi tłumikami 85 Optymalne połoenie czwartego tłumika Na rys 14 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia czwartego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem czwartego tłumika jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu wynosi, Krzyw rezonansow zmodyfikowanej amplitudy drga stropu ostatniej kondygnacji ramy z optymalnie ustawionymi czteroma tłumikami pokazano na rys 15, na którym, dla porównania, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików Na rys 16 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono take w 2 kolumnie tablicy 3 Tablica 3 Maksymalne amplitudy drga ramy z 4 tłumikami i ramy z 5 tłumikami Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama z 4 tłumikami Maksymalna amplituda drga rama z 5 tłumikami

15 amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 14 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia czwartego tłumika 9 8 rama bez tłumików 7 amplituda drga rama z 4 tłumikami czsto drga [rad/s] Rys 15 Krzywe rezonansowe układu bez oraz dla optymalnego ustawienia czterech tłumików 15

16 11 1 rama z 4 tłumikami nr kondygnacji rama z 3 tłumikami amplituda drga Rys 16 Amplitudy drga rezonansowych ramy z czteroma oraz z trzema optymalnie ustawionymi tłumikami 86 Optymalne połoenie pitego tłumika Na rys 17 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia pitego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem pitego tłumika jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu wynosi, amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 17 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia pitego tłumika 16

17 Krzyw rezonansow zmodyfikowanej amplitudy drga stropu ostatniej kondygnacji ramy z optymalnie ustawionymi picioma tłumikami pokazano na rys 18, na którym, dla porównania, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików Na rys 19 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 Wartoci tych amplitud zestawiono w 3 kolumnie tablicy rama bez tłumików 7 amplituda drga rama z 5 tłumikami czsto drga [rad/s] Rys 18 Krzywe rezonansowe ramy bez oraz z picioma optymalnie ustawionymi tłumikami 11 1 rama z 5 tłumikami nr kondygnacji rama z 4 tłumikami amplituda drga Rys 19 Amplitudy drga rezonansowych układu z czteroma oraz z picioma tłumikami 17

18 87 Wyznaczanie optymalnych połoe kolejnych tłumików Na rys 2 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia szóstego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem szóstego tłumika jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Z dotychczasowych oblicze wynika, e pierwsze sze tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 2 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia szóstego tłumika W kolumnie 2 tablicy 4 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga piter rozpatrywanej ramy, okrelone dla λ = ω1 jeeli 6 tłumików jest ustawione na 1 kondygnacji Tablica 4 Maksymalne amplitudy drga ramy z 6 tłumikami i ramy z 7 tłumikami Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama z 6 tłumikami Maksymalna amplituda drga rama z 7 tłumikami

19 Na rys 21 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia siódmego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem siódmego tłumika jest druga kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Z dotychczasowych oblicze wynika, e sze tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji i jeden na drugiej kondygnacji W kolumnie 3 tablicy 4 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy; okrelone dla optymalnego ustawienia siedmiu tłumików drga 5 49 amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 21 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia siódmego tłumika Na rys 22 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia ósmego tłumika Z oblicze wynika, e optymalnym połoeniem ósmego tłumika jest pierwsza kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Z dotychczasowych oblicze wynika, e siedem tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji i jeden na drugiej kondygnacji W kolumnie 2 tablicy 5 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy; okrelone dla optymalnego ustawienia omiu tłumików drga Tablica 5 Maksymalne amplitudy drga ramy z 8 tłumikami i ramy z 9 tłumikami Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama z 8 tłumikami Maksymalna amplituda drga rama z 9 tłumikami

20 amplituda drga numer kondygnacji ramy z przestawianym tłumikiem drga Rys 22 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia ósmego tłumika Na rys 23 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia dziewitego tłumika Z oblicze wynika, e optymalnym połoeniem dziewitego tłumika jest druga kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Z dotychczasowych oblicze wynika, e siedem tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji i dwa na drugiej kondygnacji W kolumnie 3 tablicy 5 pokazano maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy; okrelone dla optymalnego ustawienia dziewiciu tłumików drga Na rys 24 pokazano jak zmienia si amplituda drga ostatniej kondygnacji w zalenoci od ustawienia dziesitego tłumika Z przeprowadzonych oblicze wynika, e optymalnym połoeniem dziesitego tłumika jest druga kondygnacja Warto funkcji celu dla tego połoenia tłumika wynosi Z dotychczasowych oblicze wynika, e siedem tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji i trzy na drugiej kondygnacji W tablicy 6 zestawiono maksymalne zmodyfikowane amplitudy drga poszczególnych piter rozpatrywanej ramy; okrelone dla optymalnego ustawienia dziesiciu tłumików 88 Rozwizanie zadania optymalizacji Z przeprowadzonych oblicze wynika, e siedem tłumików naley umieci na pierwszej kondygnacji i trzy na drugiej kondygnacji Warto funkcji celu (maksymalna zmodyfikowana amplituda drga) wynosi Zmodyfikowane amplitudy drga pozostałych kondygnacji ramy s podane w tablicy 6 2

21 45 44 amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 23 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia dziewitego tłumika 42 amplituda drga numer kondygnacji z przestawianym tłumikiem Rys 24 Amplitudy drga rezonansowych w zalenoci od połoenia dziesitego tłumika Tablica 6 Maksymalne amplitudy drga ramy z 1 tłumikami (siedem tłumików na pierwszej kondygnacji i trzy tłumiki na drugiej kondygnacji) Numer kondygnacji Maksymalna amplituda drga

22 Amplitudy drga ramy z równomiernie rozstawionymi tłumikami Wykonano równie obliczenia ramy z dziesicioma tłumikami rozstawionymi równomiernie (tzn w przypadku, kiedy na kadym pitrze znajduje si 1 tłumik) W tablicy 7 zestawiono wartoci amplitud drga ramy z tak ustawionymi tłumikami Najwiksza amplituda drga rezonansowych ramy wynosi Tablica 7 Maksymalne amplitudy drga ramy z 1 tłumikami rozstawionymi równomiernie Numer kondygnacji 81 Porównanie wyników Maksymalna amplituda drga Na rys 25 porównano krzywe rezonansowe ramy bez tłumików oraz ramy z równomiernie i optymalnie rozstawionymi tłumikami Na rys 26 porównano amplitudy drga ramy bez tłumików z amplitudami drga ramy z tłumikami rozstawionymi równomiernie i z tłumikami rozstawionymi optymalnie w sensie przyjtego kryterium optymalizacji Maksymalna zmodyfikowana amplituda drga ramy z tłumikami ustawionymi optymalnie wynosi Warto maksymalnej zmodyfikowanej amplitudy ramy bez tłumików drga jest równa Redukcja maksymalnej amplitudy drga wynosi wobec tego 5,7% 22

23 Maksymalna amplitudy drga ramy z równomiernie ustawionymi tłumikami wynosi i jest o 35,7% mniejsza od analogicznej amplitudy drga ramy bez tłumików drga Z przeprowadzonych oblicze wynika, e poprzez odpowiednie ustawienie tłumików na ramie mona w istotny sposób (o 15%) zwikszy stopie redukcji drga rama bez tłumików amplituda drga rama z tłumikami rozstawionymi równomiernie rama z tłumikami rozstawionymi optymalnie czsto drga [rad/s] Rys 25 Krzywe rezonansowe ramy z rónie rozstawionymi tłumikami drga 11 1 rama z tłumikami rozstawionymi optymalnie 9 numer kondygnacji rama bez tłumików rama z tłumikami rozstawionymi równomiernie amplituda drga Rys 26 Wartoci amplitud drga rezonansowych układu dla rónego rozstawienia tłumików 23

24 Na rys 27 pokazano zaleno maksymalnej amplitudy drga rezonansowych od sumy współczynników tłumienia tłumików znajdujcych si ramie Na wspomnianym rysunku dla porównania pokazano równie rezultaty oblicze ramy z równomiernie rozstawionymi tłumikami W tym przypadku liczba tłumików pozostaje stała, a zmienia si warto współczynnika tłumienia jednego tłumika Rys 27 Wartoci amplitud drga rezonansowych układu dla rónego rozstawienia tłumików 811 Uwagi kocowe Do rozwizania zadania optymalizacji połoenia tłumików wiskotycznych z powodzeniem zastosowano metod optymalizacji sekwencyjnej Jako kryterium optymalizacji przyjto minimalizacj maksymalnych zmodyfikowanych amplitud drga rezonansowych w pierwszej strefie rezonansowej W wyniku przeprowadzonych oblicze, stwierdzono, e optymalnym rozwizaniem problemu rozmieszczenia dziesiciu wiskotycznych tłumików drga jest ustawienie: siedmiu tłumików na pierwszej kondygnacji i trzech tłumików na drugiej kondygnacji Maksymalna amplituda drga rama z optymalnie rozmieszczonymi tłumikami jest o 5,7% mniejsza od maksymalnej amplitudy drga rezonansowych ramy bez tłumików Maksymalna amplituda drga rama z równomiernie rozmieszczonymi tłumikami jest o 35,7% mniejsza od maksymalnej amplitudy drga rezonansowych ramy bez tłumików Optymalne rozmieszczenie tłumików pozwala na dodatkow redukcj drga o 15% w stosunku do redukcji drga uzyskanej za pomoc tłumików rozstawionych równomiernie Warto zauway, e w konfiguracji optymalnej tłumiki s ustawione tylko na dwóch pierwszych kondygnacjach ramy Ponadto wida, e zmiany amplitudy drga s nieliniow funkcj sumy współczynników tłumienia 24

25 9 Wyniki optymalizacji 2 kryterium optymalizacji (Tobiasz Rynowiecki i Maciej Makowski,) W tej czci opracowania opisano wyniki optymalizacji w której posługiwano si drugim kryterium tzn tłumiki rozmieszczano na ramie w ten sposób, aby zminimalizowa maksymaln amplitud wzgldnych przemieszcze ramy w 1 obszarze rezonansowym Przez wzgldne przemieszczenia ramy rozumie si rónic przemieszcze poziomych dwóch ssiednich stropów budynku 91 Wyniki oblicze ramy bez tłumików Najwiksz amplitud wzgldnych przemieszcze ma strop pierwszej kondygnacji Jego maksymalna warto wynosi,24385 Najmniejsz amplitud wzgldnych przemieszcze ma strop 1 kondygnacji Wykres tych amplitud pokazano na rys 28, a ich zestawienie w Tablicy 8 Tablica 8 Amplitudy maksymalnych wzgldnych przemieszcze Nr kondygnacji Max wzgldne przemieszczenie,2439,23493,22425,2863,18836 Nr kondygnacji Max wzgldne przemieszczenie,16388,13573,1454,712,3591 amplituda wzgldnego przemieszczenia nr kondygnacji Rys 28 Wykres amplitud wzgldnych poziomych przemieszcze w zalenoci od numeru kondygnacji rama bez tłumików drga 25

26 Na rys 29 pokazano krzyw rezonansow ramy bez tłumików Na osi pionowej odłoono amplitud drga pierwszej kondygnacji, która jest równoczenie równa amplitudzie wzgldnych przemieszcze tej kondygnacji wzgldne przemieszczenie stropu 1 kondygnacji czsto drga [rad/s] Rys 29 Krzywa rezonansowa wzgldnych przemieszcze stropu pierwszej kondygnacji rama bez tłumików 92 Wyznaczanie optymalnego połoenia pierwszego tłumika drga Pierwszy tłumik drga ustawiano na kolejnych kondygnacjach budynku, wyznaczano dla kadego ustawienia krzywe rezonansowe wzgldnych przemieszcze wszystkich kondygnacji i ustalano najwiksz amplitud drga Wyniki oblicze zestawiono w tablicy 9 i pokazano na rys 3 Tabela 9 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji ustawianie 1 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (1) tłumik a 1,292,216,2129,2163,224,2249,2296,2339,2373,2396 a 2,246,256,281,2114,2154,2198,2244,2285,2319,2342 a 3,1953,1964,1985,217,256,298,2141,2181,2214,2235 a 4,1817,1827,1848,1875,1912,1952,1992,23,26,28 a 5,164,165,1668,1694,1725,1762,1798,1832,186,1877 a 6,1427,1435,1451,1474,152,1532,1565,1594,1618,1633 a 7,1182,1189,122,1221,1244,127,1295,132,134,

27 a 8,91,916,926,94,958,978,998,116,132,142 a 9,618,622,629,639,651,664,678,691,7,78 a 1,313,315,318,323,329,336,343,349,354,357 ~a 1,292,216,2129,2163,224,2249,2296,2339,2373, max wzgldne przemieszczenie stropu nr kondygnacji Rys 3 Zaleno maksymalnych wzgldnych przemieszcze stropu od numeru kondygnacji na której jest umieszczony przestawiany tłumik drga rama bez tłumików Z przeprowadzonych oblicze wynika, e najmniejsze amplitudy drga przemieszcze wzgldnych bd wtedy gdy tłumik umiecimy na 1 kondygnacji Krzyw rezonansow odpowiadajc temu ustawieniu tłumika pokazano na rys 31, na którym dla porównania, lini przerywan, pokazano równie krzyw rezonansow ramy bez tłumików 93 Wyznaczanie optymalnego połoenia drugiego tłumika drga Pierwszy tłumik ma ustalon pozycj znajduje si na 1 kondygnacji Drugi tłumik drga ustawiany jest teraz na kolejnych kondygnacjach budynku Dla kadego ustawienia wyznacza si krzywe rezonansowe wzgldnych przemieszcze wszystkich kondygnacji i ustala najwiksz amplitud drga Wyniki oblicze zestawiono w tabeli 1 i pokazano na rys 32 Z przeprowadzonych oblicze wynika, e 2 tłumik naley ustawi na 1 kondygnacji 27

28 wzgldne przemieszczenie stropu 1 kondygnacji rama bez tłumików rama z 1 tłumikiem czsto drga [rad/s] Rys 31 Krzywa rezonansowa wzgldnych przemieszcze stropu 1 kondygnacji rama z tłumikiem na 1 kondygnacji Tabela 1 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 1 tłumik na 1 kondygnacji, ustawianie 2 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (2) tłumik a 1,185,1862,1881,197,1939,1974,21,242,269,286 a 2,1813,182,184,1865,1896,193,1965,1998,223,24 a 3,1731,1739,1754,178,181,1843,1876,197,1931,1948 a 4,161,1617,1633,1654,1683,1714,1745,1773,1796,1812 a 5,1454,146,1474,1494,1518,1547,1575,161,1622,1636 a 6,1265,127,1283,13,1322,1345,137,1393,1411,1423 a 7,148,152,162,177,195,1115,1134,1154,1169,1178 a 8,87,81,818,83,843,859,874,888,9,98 a 9,548,55,556,564,573,583,594,64,611,617 a 1,277,278,281,285,29,295,3,35,39,312 ~a 2,185,1862,1881,197,1939,1974,21,242,269,286 28

29 25 wzgldne przemieszczenie stropu nr kondygnacji Rys 32 Wykres zalenoci max wzgldnych poziomych przemieszcze stropu od numeru kondygnacji 1 tłumik znajduje si na 1 kondygnacji a drugi tłumik jest ustawiany na rónych kondygnacjach 94 Wyznaczanie optymalnych połoe kolejnych tłumików drga W sposób analogiczny do opisanego powyej wyznaczono połoenia kolejnych tłumików W tabelach Z wyników oblicze zestawionych w powyszych tabelach wynika, e trzeci tłumik naley umieci na 1 kondygnacji, czwarty tłumik naley umieci na 1 kondygnacji, piaty tłumik naley umieci na 1 kondygnacji, szósty tłumik naley umieci na 1 kondygnacji, siódmy tłumik naley umieci na 2 kondygnacji, ósmy tłumik naley umieci na 1 kondygnacji, dziewity tłumik naley umieci na 2 kondygnacji, dziesiaty tłumik naley umieci na 2 kondygnacji Ostatecznie 7 tłumików naley umieci na 1 kondygnacji i 3 na 2 kondygnacji Tabela 11 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 2 tłumiki na 1 kondygnacji ustawianie 3 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (3) tłumik a 1,1658,1668,1683,178,1729,1757,1785,1811,1832,1846 a 2,163,1633,1649,1669,1694,1722,1749,1775,1795,188 a 3,1556,156,1573,1593,1617,1643,167,1694,1714,1726 a 4,1448,1451,1464,1481,154,1529,1554,1576,1594,166 29

30 a 5,137,131,1322,1338,1357,138,142,1423,144,145 a 6,1137,114,115,1164,1181,12,122,1238,1252,1262 a 7,942,944,952,964,978,994,11,125,137,145 a 8,726,727,734,743,754,766,778,789,799,85 a 9,493,494,498,54,512,52,529,536,542,547 a 1,249,25,252,255,259,263,267,271,274,276 ~a 3,1658,1668,1683,174,1729,1757,1785,1811,1832,1846 Tabela 12 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 3 tłumiki na 1 kondygnacji ustawianie 4 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (4) tłumik a 1,152,151,1522,1539,156,1583,166,1626,1643,1654 a 2,1482,1482,1495,1512,1532,1555,1578,1598,1615,1626 a 3,1415,1416,1426,1444,1463,1485,156,1526,1542,1552 a 4,1317,1317,1328,1342,1361,1381,142,142,1435,1444 a 5,1189,119,1199,1212,1228,1247,1265,1282,1295,134 a 6,134,135,143,155,169,184,111,1115,1127,1135 a 7,857,857,864,874,886,898,911,924,933,94 a 8,66,66,666,673,682,692,72,711,719,724 a 9,448,448,452,457,463,47,477,483,488,492 a 1,227,227,229,231,234,238,241,244,247,248 ~a 4,152,151,1522,1539,156,1582,166,1626,1643,1654 Tabela 13 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 4 tłumiki na 1 kondygnacji ustawianie 5 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (5) tłumik

31 a 1,1373,1379,1389,143,142,1439,1459,1476,149,1499 a 2,1361,1359,137,1384,141,142,1439,1456,147,1479 a 3,13,1299,137,1322,1338,1356,1374,1391,144,1412 a 4,121,128,1217,1228,1245,1262,1278,1294,136,1314 a 5,192,191,199,111,1123,1139,1154,1168,1179,1186 a 6,95,949,956,966,978,99,14,116,126,132 a 7,787,786,792,8,81,821,831,842,85,855 a 8,66,65,61,616,624,632,64,648,654,658 a 9,412,411,414,419,424,429,435,44,444,447 a 1,28,28,21,212,214,217,22,223,225,226 ~a 5,1373,1379,1389,143,142,1439,1459,1476,149,1499 Tabela 14 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 5 tłumików na 1 kondygnacji ustawianie 6 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (6) tłumik a 1,1265,1269,1277,1289,134,132,1336,1351,1363,1371 a 2,1261,1256,1266,1278,1293,139,1325,134,1351,1359 a 3,124,121,128,122,1234,123,1265,1279,129,1298 a 4,112,1117,1125,1134,1148,1163,1177,119,12,127 a 5,111,19,115,125,136,15,162,174,184,19 a 6,88,878,883,892,92,912,924,935,943,948 a 7,729,727,732,739,747,756,765,774,781,785 a 8,561,56,564,569,575,582,59,596,62,65 a 9,381,38,383,386,391,396,41,45,48,411 a 1,193,192,194,195,198,2,23,25,27,28 ~a 6,1265,1269,1277,1289,134,132,1336,1351,1363,

32 Tabela 15 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 6 tłumików na 1 kondygnacji ustawianie 7 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (7) tłumik a 1,1172,1175,1182,1193,125,1219,1233,1246,1256,1263 a 2,1176,117,1178,1189,122,1215,1229,1242,1252,1258 a 3,1123,1118,1124,1135,1147,1161,1174,1186,1196,122 a 4,145,14,147,155,167,18,192,113,1112,1118 a 5,944,939,945,954,963,975,986,996,14,19 a 6,822,817,822,83,838,847,858,867,874,878 a 7,681,677,681,687,694,72,71,718,724,728 a 8,524,521,525,529,535,541,547,552,557,56 a 9,356,354,356,36,363,368,372,376,378,381 a 1,18,179,18,182,184,186,188,19,192,192 ~a 7,1176,1175,1182,1193,125,1219,1233,1246,1256,1262 Tabela 16 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 6 tłumików na 1 kondygnacji, 1 na 2 kondygnacji ustawianie 8 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (8) tłumik a 1,194,1972,113,1112,1124,1136,1148,1159,1167,1173 a 2,1967,198,199,118,1119,1131,1143,1154,1163,1168 a 3,148,1443,149,159,169,181,192,113,1111,1116 a 4,9753,9716,977,984,995,16,116,126,134,139 a 5,888,8772,882,889,897,98,917,926,933,938 a 6,7664,7631,767,774,781,789,798,86,812,816 a 7,6349,632,636,641,647,654,661,667,672,676 a 8,4891,4868,49,494,498,54,59,514,518,52 32

33 a 9,3323,337,333,335,339,342,346,349,352,354 a 1,168,1672,168,17,171,173,175,177,178,179 ~a 8,1967,1972,113,1112,1124,1136,1147,1159,1167,1173 Tabela 17 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 7 tłumików na 1 kondygnacji, 1 na 2 kondygnacji ustawianie 9 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (9) tłumik a 1,124,1265,131,14,149,16,17,18,187,192 a 2,134,126,134,142,152,162,173,182,19,195 a 3,989,983,987,996,15,115,125,134,142,146 a 4,92,914,919,926,935,944,954,962,97,974 a 5,831,826,83,836,844,853,861,869,875,879 a 6,723,718,722,728,735,741,75,756,762,765 a 7,599,595,598,63,68,615,62,626,631,634 a 8,461,458,461,464,469,474,478,482,486,488 a 9,313,312,313,316,318,322,325,328,33,332 a 1,156,158,158,16,161,163,164,166,167,168 ~a 9,134,1265,134,142,152,162,173,182,19,195 Tabela 18 Maksymalne wzgldne przemieszczenia kondygnacji 7 tłumików na 1 kondygnacji, 2 na 2 kondygnacji ustawianie 1 tłumika drga Ampl wzgl przem stropu Nr kondygnacji na której znajduje si przestawiany (1) tłumik a 1,963,9663,971,978,986,996,15,113,12,124 a 2,971,964,971,978,987,996,16,114,12,125 a 3,93,9254,929,936,945,954,963,971,977,981 a 4,865,861,865,87,879,887,896,93,99,913 33

34 a 5,782,7775,781,787,793,81,89,815,821,824 a 6,68,6766,679,684,69,696,74,71,714,717 a 7,563,564,563,567,572,577,582,588,592,594 a 8,434,4317,434,437,441,445,449,452,456,458 a 9,295,2933,295,297,299,32,35,38,39,311 a 1,149,1483,149,15,151,153,154,155,157,157 ~a 1,971,9663,971,978,987,996,16,114,121,125 Wykonano równie obliczenia ramy z równomiernie rozmieszczonymi tłumikami Wyniki oblicze zestawiono w tabeli 19 Na rys 33 pokazano krzywe rezonansowe przemieszczenia 1 kondygnacji odpowiednio ramy bez tłumików (linia przerywana), ramy z optymalnie (w sensie przyjtego kryterium) rozmieszczonymi tłumikami drga oraz ramy z równomiernie rozmieszczonymi tłumikami wzgldne przemieszczenie stropu 1 kondygnacji rama bez tłumików rama z tłumikami rozmieszczonymi równomiernie rama z tłumikami rozmieszczonymi optymalnie czsto drga [rad/s] Rys33 Krzywych rezonansowe wzgldnych przemieszcze stropu pierwszej kondygnacji ramy bez tłumików, ramy z tłumikami rozmieszczonymi równomiernie i ramy z tłumikami rozmieszczonymi optymalnie Tablica 19 Amplitudy maksymalnych wzgldnych przemieszcze równomierne rozmieszczenie tłumików na ramie Nr kondygnacji Max wzgldne przemieszczenie,1349,1318,12577,11696,1555 Nr kondygnacji

35 Max wzgldne przemieszczenie,918,761,5854,3976,21 Na rys 34 pokazano w jaki sposób zmieniaj si amplitudy wzgldnych przemieszcze na wysokoci budynku Porównano na nim amplitudy wzgldnych przemieszcze ramy bez tłumików, ramy z tłumikami rozmieszczonymi równomiernie i ramy z optymalnie rozmieszczonymi tłumikami rama bez tłumików rama z tłumikami rozmieszczonymi równomiernie rama z tłumikami rozmieszczonymi optymalnie numer kondygnacji amplitudy wzgldnych przemieszcze Rys34 Wzgldne przemieszczenia stropów ramy bez tłumików, ramy z tłumikami rozmieszczonymi równomiernie i ramy z tłumikami optymalnie rozmieszczonymi 95 Omówienie wyników optymalizacji Ustawienie 7 tłumików na pierwszej kondygnacji i 3 tłumików na drugiej kondygnacji jest poszukiwanym rozwizaniem rozpatrywanego zadania optymalizacji Identyczny wynik uzyskano stosujc 1 kryterium optymalizacji Przy takim ustawieniu tłumików amplituda maksymalnego wzgldnego przemieszczenia ramy jest równa,9663 i jest o 59,8 % mniejsza od amplitudy maksymalnego przemieszczenia ramy bez tłumików Amplituda maksymalnego przemieszczenia ramy bez tłumików wynosi,2439 Jeeli tłumiki s rozmieszczone równomiernie to amplituda maksymalnego wzgldnego przemieszczenia ramy wynosi,1349 i jest o 43,9 % mniejsza od omawianej amplitudy drga ramy bez tłumików Dziki optymalnemu ustawieniu tłumików drga mona zwikszy stopie redukcji drga o 15,9 % 35

36 Wida, e w rozwizaniu optymalnym mamy do czynienia z koncentracj tłumików na 2 pierwszych kondygnacjach ramy Na rys 35 pokazano zaleno maksymalnej wzgldnej amplitudy drga rezonansowych od sumy współczynników tłumienia tłumików znajdujcych si ramie Na wspomnianym rysunku dla porównania pokazano równie rezultaty oblicze ramy z równomiernie rozstawionymi tłumikami W tym przypadku liczba tłumików pozostaje stała, a zmienia si warto współczynnika tłumienia jednego tłumika Rys35 Zaleno wzgldnych przemieszczenia stropów od liczby tłumików rozmieszczonych na ramie Momenty zginajce w słupach powstajce na skutek wzgldnych przemieszcze stropów s liniowo zalene od wspomnianych przemieszcze Oznacza to, e redukcja momentów wyniesie tyle samo co redukcja wzgldnych przemieszcze Z przeprowadzonych oblicze wynika, e słupy 1 kondygnacji doznaj najwikszych wzgldnych przemieszcze Dzieje si tak zarówno w ramie z optymalnie rozmieszczonymi tłumikami, równomiernie ustawionymi tłumikami i bez tłumików Poszukiwanie optymalnego ustawienia ma sens; efekty uzyskane przy równomiernym ustawieniu 1 tłumików s porównywalne z efektami jakie uzyskano przy optymalnym ustawieniu 5 tłumików Literatura [1] R Lewandowski, Dynamika konstrukcji budowlanych, Wydawnictwo Politechniki Poznaskiej, Pozna, 26 36