PÓŁAKTYWNA REGULACJA DRGA RAM PŁASKICH PODDANYCH DZIAŁANIU WIATRU

Transkrypt

1 Roman LEWANDOWSKI, Małgorzata WAWRZYNIAK PÓŁAKTYWNA REGULACJA DRGA RAM PŁASKICH PODDANYCH DZIAŁANIU WIATRU ABSTRACT In this paper, efficiency of the semi-active method used to control vibrations of planar frameworks is investigated. In particular, the reduction of vibration caused by wind loads is of interest. The control system is designed on a basis of the Lyapunov theory of stability of motion. The semi-active systems with active variable dampers in which the damping coefficient can be regulated are considered. Results of example calculations for the fourth story framework with and without control system are briefly presented and discussed. 1. Wstp Wysokie, optymalnie zaprojektowane i wykonane z materiałów o podwyszonej wytrzymałoci budynki s równoczenie bardziej podatne na działanie sił dynamicznych wywołanych np. działaniem silnych wiatrów. Zbyt due przemieszczenia i przyspieszenia wywołane tymi siłami w istotny sposób zmieniaj warunki uytkowania budynku i powoduj, e drgania te s odczuwane przez ludzi jako nuce. Zachodzi wic potrzeba ich redukcji. Metody redukcji drga dzieli si na pasywne, aktywne i półaktywne [1]. W ostatnich latach intensywnie bada si moliwoci zastosowania metod półaktwnej regulacji do redukcji drga konstrukcji budowlanych poniewa w porównaniu z metodami pasywnymi umoliwiaj one wiksz redukcj drga, a w porównaniu z metodami aktywnymi półaktywny układ sterowania wymaga zasilania ze ródła energii o bardzo małej mocy. Równoczenie redukcja drga uzyskiwana za pomoc układu półaktywnej regulacji jest porównywalna z efektami aktywnej regulacji.

2 W niniejszej pracy opisano pewien algorytm półaktywnej regulacji drga i, posługujc si numeryczn symulacj dynamicznego zachowania konstrukcji, sprawdzono jakie daje on moliwoci redukcji drga. Rozpatruje si drgania płaskiej ramy poddanej działaniu wiatru. 2. Równania ruchu Modelem obliczeniowym ramy jest tzw. rama cinana opisana w pracy [2]. Rygle tej ramy s nieskoczenie sztywne, a cała masa konstrukcji jest skoncentrowana na poziomie stropów. Jedynymi stopniami dynamicznej swobody s przemieszczenia poziome rygli. Obcieniem ramy s siły wywołane fluktuacjami prdkoci wiatru. Zakłada si, e obcienie ma charakter losowego procesu ergodycznego. Właciwoci stochastyczne fluktuacji prdkoci wiatru opisuje si za pomoc funkcji gstoci widmowej Davenporta. Rozwizanie problemu zostanie podane w dziedzinie czasu i dlatego niezbdna jest symulacja przykładowych fluktuacji prdkoci wiatru. Symulacje te powinny mie właciwoci statystyczne opisane wspomnian funkcj gstoci widmowej. Na ich podstawie mona w prosty sposób okreli siły dynamiczne działajce na konstrukcj. Szczegółowy opis wspomnianej symulacji jest podany w pracy [3]. Drgania ramy z zainstalowanym układem półaktywnej regulacji s opisywane macierzowym równaniem ruchu o postaci: z = Az( + Bu( + Hf, (1) gdzie z = col( q(, q ), f = col( 0, p( ), 0 I 0 0 A = 1 1, B =, H = M K M C M 1. B 1 M 1 H 1 W powyszych wzorach symbolami q (, p ( oraz u ( oznaczaj odpowiednio wektor przemieszcze wzłowych ramy, wektor obcie wzłowych oraz wektor sił regulacji. Ponadto M oznacza macierz mas, K macierz sztywnoci, C macierz tłumienia, a B 1 oraz H 1 s zerojedynkowymi macierzami okrelajcymi odpowiednio miejsca działania sił regulacji oraz sił wymuszajcych. 3. Opis metody regulacji W pracy stosuj si metod regulacji wykorzystujc twierdzenie Lapunowa o stabilnoci ruchu [4]. W trakcie analizy stabilnoci zaniedbuje si wpływ wymuszenia zewntrznego i wobec tego dalej rozpatruje si równanie ruchu ramy z zainstalowanym układem regulacji o postaci: z = Az( + Bu(. (2) Przyjto nastpujc posta funkcji Lapunowa V ( z ) : T V ( z ) = z Qz(, (3)

3 gdzie symbolem Q oznaczono symetryczn, dodatnio okrelon macierz wagow. Z twierdzenia Lapunowa wynika, e ruch układu dynamicznego jest asymptotycznie stabilny jeeli V ( z( ) < 0. W omawianym przypadku, po uwzgldnieniu (2), mona napisa: V T T T T T T ( z ) = z Qz( + z Qz = z ( A Q + QA) z( + 2u B Qz(. (4) Załómy dalej, e istnieje symetryczna i dodatnio okrelona macierz P spełniajca macierzowe równanie o postaci: A T Q + QA = P. (5) Mona teraz warunkowi stabilnoci ruchu rozpatrywanego układu nada posta: T T T z Pz( + 2u B Qz( < 0. (6) Pierwszy składnik nierównoci (6) jest zawsze ujemny poniewa macierz P jest z załoenia dodatnio okrelona. O stabilnoci ruchu decydowa bdzie wobec tego drugi składnik omawianej nierównoci. Regulacj ruchu układu przeprowadza si w ten sposób aby w kadej chwili czasu składnik ten był moliwie mały. Mona wykaza [5], e bdzie to zachodzi jeeli wektor sił regulacji okrelany bdzie ze wzoru: u = W( u max, (7) gdzie W = sgn( B ) T Qz. (8) Symbolem u oznaczono wektor maksymalnych, moliwych do fizycznej realizacji max sgn naley rozumie w ten sposób, e jest to macierz diagonalna której elementy z głównej przektnej s równe 1 lub 1 stosownie do znaku odpowiednich elementów wektora a. Oznacza to, e w ii = sgn( a i ). Zauwamy, e, w odrónieniu od innych metod regulacji, we wzorze (7) s uwzgldnione ograniczenia odnonie maksymalnych moliwych do zastosowania sił regulacji. W dalszym cigu pracy sił regulacji obliczon z wzoru (7) bdzie si sił regulacji. Oznaczenie typu ( a) nazywa podana sił regulacji i oznacza symbolem u ( t ). W przyjtej metodzie regulacji wan rol odgrywa macierz Q. Decyduje ona o oszacowaniu obszaru rozwiza stabilnych oraz o wielkoci podanych sił regulacji wpływajc w ten sposób na jej efektywno. Bezporedni wybór macierzy Q tak aby macierz P była dodatnio okrelona jest trudny. Wobec tego przyjmuje si dodatnio okrelon macierz P i wyznacza macierz Q z równania (5). Teraz efektywno regulacji zaley od wyboru macierzy P. Problem ten nie został do tej pory pomylnie rozwizany i czsto okrela si odpowiedni macierz P metod prób i błdów. Macierzowe równanie Lapunowa (5) mona rozwiza na wiele sposobów. Jednym z najbardziej efektywnych jest sposób opisany w pracy [6]. W niniejszej pracy zakłada si, e siły regulacji wywoływane przez siłowniki s siłami tłumienia typu wiskotycznego. Wobec tego mona napisa: u = c x, (9) i i i

4 gdzie symbolami ui, ci oraz x i ( oznaczono odpowiednio sił wywoływan przez siłownik o numerze i (oraz i-ty element wektora u ( ), współczynnik tłumienia tego siłownika oraz wzgldn prdko przemieszczania si tłoka siłownika wzgldem obudowy. Podany współczynnik tłumienia ci ( t ) wyznacza si z wzoru: ui ci =. (10) x i Siłowniki układu półaktywnej regulacji s tak zbudowane, e współczynnik tłumienia c i ( moe by tylko dodatni, a ponadto moe si zmienia tylko w pewnym przedziale tzn. ci, min ci ci, max. Poniewa podany współczynnik tłumienia ci ( t ), wyznaczony ze wzoru (10), moe by liczb ujemn wic nie zawsze podana siła regulacji ui ( t ) moe by wytworzona w układzie regulacji. Wobec tego rzeczywisty, moliwy do technicznej realizacji współczynnik tłumienia c i ( wyznacza si z warunków: c i = ci,min jeeli c i c i, min, c i = ci jeeli c i, min ci ci, max, (11) c i = ci,max jeeli c i c i, max, a rzeczywist, moliw do realizacji sił regulacji u i ( oblicza si ze wzoru (9). 4. Opis numerycznej symulacji zachowania układu półaktywnej regulacji Rozwizanie równania ruchu (1) mona zapisa w postaci [4]: t z = Φ z( t0 ) + Φ( t τ )( Bu( τ ) + Hp( τ )) dτ, (12) 0 gdzie z ( t 0 ) jest wektorem warunków pocztkowych ruchu, a Φ( jest macierz fundamentaln obliczan w nastpujcy sposób [4]: Φ = exp( A = I + ta + t A + t A (13) Całk wystpujc we wzorze (12) oblicza si numerycznie. Zakłada si, e w małym przedziale czasu h = t k+1 tk siły wymuszajce oraz siły regulacji maj warto stał równ wartoci w chwili t k. Mona teraz łatwo obliczy wspomnian całk i przedstawi stan układu w chwili t k +1 w sposób nastpujcy: gdzie 2! z = Φ z + ( Bu + Hp ), (14) k+ 1 k Γ k k Γ = hi + 1 h A + h A + h A (15) 2! W powyszych wzorach wielkoci z indeksem k s okrelone w chwili t k. 3! 4! 3 3!

5 Znajc warunki pocztkowe ruchu oraz siły wymuszajce i siły regulacji mona wyznaczy stan układu w kolejnych chwilach czasu korzystajc z równania rekurencyjnego (15). 5. Wyniki przykładowych oblicze Wykonano obliczenia dla czterokondygnacyjnej, jednoprzsłowej ramy. Przyjto nastpujce, podstawowe dane do oblicze: wysoko typowej kondygnacji l = 3,0 m ; masa typowego stropu M = 22500,0 kg ; sztywno typowego słupa 2 EJ = 5104,5 knm. Rozstaw ram jest równy 6,0 m. Bezwymiarowy współczynnik tłumienia 1 i 2 postaci drga γ = 0, 03. Do oblicze przyjto proporcjonaln macierz tłumienia. Na rysunku 1 pokazano przebieg fluktuacji prdkoci wiatru na poziomie stropu nad czwart kondygnacj.. Na podstawie tego typu przebiegów ze wzoru: pi = ρcd AdU iui, (16) oblicza si siły dynamiczne działajce na poziomie stropu i-tej kondygnacji. W powyszym wzorze symbolami ρ, Cd, Ad, U i, ui oznaczono odpowiednio gsto powietrza, współczynnik opływu, pole ekspozycji, redni prdko wiatru i 3 jego losowe fluktuacje na poziomie i-tego stropu. Przyjto: ρ =1,23 kg/m, C =1, 6. d Rys. Przebieg fluktuacji prdkoci wiatru na poziomie stropu czwartej kondygnacji Wykonano obliczenia dla ramy z siłownikiem zamontowanym w zastrzale wbudowanym midzy stropem nad parterem i utwierdzeniem ramy.

6 Przyjto nastpujce dane charakteryzujce siłownik: c min = 2200,0 Ns/m, c max = ,0 Ns/m, u max = 90000,0 kn. Ponadto przyjto, e P = I. Na rysunkach 2 i 3 pokazano odpowiednio przemieszczenia poziome i prdkoci stropu czwartej kondygnacji. Lini cienk zaznaczono wyniki dla ramy bez układu regulacji, a lini pogrubion wyniki dla ramy z zainstalowanym układem regulacji. Wida, e mona uzyska znaczn redukcj drga za pomoc omawianej metody regulacji półaktywnej. Z kolei na rysunku 4 pokazano przebieg zmian siły półaktywnej regulacji. W omawianym przypadku maksymalna siła regulacji jest rzdu 20,0 kn. Rys. 2 Porównanie przemieszcze ramy bez i z zainstalowanym układem półaktywnej regulacji Wykonano równie obliczenia dla ramy z siłownikami umieszczonymi w zastrzałach umieszczonych na wszystkich kondygnacjach. Parametry siłowników s takie same jak w poprzednim przypadku. Wykres przemieszcze ramy z zainstalowanym układem półaktywnej regulacji pokazano na rysunku 5. Porównujc przemieszczenia ramy pokazane na rysunkach 2 i 5 mona zauway, e wprowadzenie dodatkowych siłowników spowodowało dalsz redukcj drga. 6. Uwagi kocowe Opisany sposób redukcji drga umoliwia znaczne zmniejszenie drga ram poddanych działaniu sił wywołanych parciem wiatru. Zmniejszenie drga ramy opisanej w niniejszej pracy wynosiło około 35%. Półaktywna regulacja drga wydaje si by bardzo atrakcyjnym sposobem zmniejszania drga konstrukcji budowlanych. Praktyczne zastosowanie tej metody wymaga przeprowadzenia dalszych prac.

7 Rys. 3 Porównanie prdkoci ramy bez i z zainstalowanym układem półaktywnej regulacji Rys.4 Przebieg sił półaktywnej regulacji Literatura [1] HOUSNER G.W., BERGMAN L.A., CAUGHEY T.K., CHASSIAKOS A.G., CLAUS R.O., MASRI S.F., SKELTON R.E., SOONG T.T., SPENCER B.F., YAO

8 Rys. 5 Porównanie przemieszcze ramy bez i z zainstalowanym układem regulacji siłowniki w zastrzałach na wszystkich kondygnacjach J.T.P. Structural control: past, present, and future, Journal of Engineering Mechanics, vol.123, 1997, s [2] PAZ M.. Structural dynamics: theory and computation, Van Nostrand Reihold Company, New York, 1985 [3] LEWANDOWSKI R.: Application of semi-empirical model to analysis of votexexcited vibrations of beams near synchronisation region, in Computational Civil and Structural Engineering (eds. G.De Roeck and B.H.V. Topping), Civil-Comp Press, Edinburgh, 2000, s , [4] Meirovitch, Dynamics and control of structures, Wiley Interscience Publication New York, 1990 [5] BROGAN W.L., Modern control theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991 [6] BARTELS R., STEWART G.: Solution of the matrix equation AX+XB=C; Algorithm 432, Communications of ACM, vol.15, 1972, s Roman Lewandowski, dr hab. in., Politechnika Poznaska, Instytut Konstrukcji Budowlanych, ul. Piotrowo 5, Pozna, 5 tel. (0-61) , roman.lewandowski@put.poznan.pl Małgorzata Wawrzyniak, mgr in., dyplomantka Wydziału Budownictwa, Architektury i Inynierii rodowiska Politechniki Poznaskiej Praca została wykonana w ramach programu bada naukowych finansowanych przez Komitet Bada Naukowych (BW /02).