Rozrzedzony magnetyzm dla półprzewodników ferromagnetycznych na przykładzie domieszkowanego manganem arsenku galu (Ga, Mn)As.

Transkrypt

1 Politechnia Gdańsa Wydiał Fiyi Technicnej i Matematyi Stosoanej Patry Jasi Roredony magnetym dla półpreodnió ferromagnetycnych na pryładie domiesoanego manganem arsenu galu (Ga, Mn)As. PRACA MAGISTERSKA Promotor: dr inŝ. Roert Lasosi Gdańs 1

2 SPIS TREŚCI: 1. WSTĘP WPROWADZENIE TEORETYCZNE MODEL ZENERA ODDZIAŁYWANIE RKKY METODA pˆ DEFINICJA HAMILTONIANU HAMILTONIAN pˆ HAMILTONIAN NAPRĘśEŃ HAMILTONIAN WYMIANY p d OBLICZENIA NUMERYCZNE STRUKTURA ELEKTRONOWA I POWIERZCHNIE FERMIEGO TEMPERATURA CURIE PODSUMOWANIE LITERATURA

3 1. Wstęp Roój technologii epitasjalnej storył moŝliości produoania noych nienanych dotąd materiałó. Ziąi półpreodnioe III V, domiesoane manganem, yproduoane a pomocą epitasji, torą strutury antoe, tórych eletrony lu fotony mają ardo cieae łasności. Zięsenie precyji atomoego naładania arst i ich orói, pooliły na aoseroanie i preanalioanie ielu interesujących jais, taich ja: antoy efet Halla, preodnicto jednoeletronoe ora umoŝliiły yproduoanie puntoych i omoroych laseró półpreodnioych [1]. Odrycie ferromagnetymu iąach półpreodnioych III V ora II VI, domiesoanych manganem, o struture lendy cynoej, pooliło na ropocęcie adań nad fiyą ceśniej nienanych uładó antoych i magnetymu półpreodniach. Na pryład ostało yaane istnienie magnetycnych premian faoych iąach heterostruturalnych typu (In, Mn)As, (Cd, Mn)Te i (Ga, Mn)As, yołanych naśietlaniem tych rystałó pre promienioanie o długości fali aresu śiatła idialnego. Odryto rónieŝ jaiso samoistnego prepompoyania, pre antoą studnię potencjału, spolaryoanych nośnió, na pryład (Ga, Mn)As do (In, Ga)As, pry eroym enętrnym polu magnetycnym. Postała rónieŝ hipotea, Ŝe ontroloanie ierunu i ajemnego ułoŝenia momentó magnetycnych tych rystałach moŝe prycynić się do storenia cujnió pomiaroych o duŝo ięsej precyji ora sysych i ydajniejsych pamięci omputeroych [1, 3]. Bardo syo oaało się, Ŝe najięsym osiągnięciem, roijaniu tej noej teorii, ędie gruntone adanie źródeł postających oddiałyań magnetycnych, tórych sutiem ma yć osiągnięcie temperatury Curie o iele yŝsej niŝ dotychcas oseroane 11 K. Wynii taie moŝna uysać dla nieieliej, o tylo 5% oncentracji jonó manganoych adanym rystale arsenu galu. Puntem yjścia stał się model Zenera, tóry ostał aproponoany 195 rou dla yjaśnienia ferromagnetymu metalach. Dięi niemu moŝna teoretycnie ałoŝyć istnienie materiałó o temperature Curie yŝsej naet od temperatury poojoej, co moŝe yć istotnym roiem dla rooju eletronii półpreodnioej, uŝyającej jao nośnia aróno ładunu, ja i spinu [, 3]. 5

4 Ze ględu na łoŝoność agadnienia, jaim jest magnetym teorii ciała stałego, ogranicę się, niniejsej pracy, do opisu metody ynacania pasm energetycnych dla półpreodnió ferromagnetycnych ora predstaię ynii numerycne, predstaiające stałt ierchoła pasma alencyjnego, na pryładie domiesoanego manganem arsenu galu. W ostatniej cęści pracy chciałym predstaić metodę ynacania temperatury Curie. 6

5 . Wproadenie teoretycne Rodiał ten jest pośięcony trem istotnym prolemom nieędnym do roumienia metody ynacania strutury pasmoej półpreodniach, a co a tym idie, do ponania metody olicania temperatury Curie. Piersym nich jest model Zenera, tóry naet historycnego puntu idenia dał pocąte adaniom strutur ferromagnetycnych aróno metali, ja i półpreodnió. Model ten ostał następnie roinięty pre Rudermana, Kittla, Kasuya ę i Yosida ę (RKKY). To łaśnie dięi formalimoi oddiałyania RKKY olicanie strutury pasmoej domiesoanych półpreodnió stało się o iele doładniejse i spraniejse. Trecim agadnieniem jest metoda pˆ, tóra połąceniu metodą RKKY pooliła na nacny postęp adaniach nad struturą pasmoą półpreodnió ferromagnetycnych ( nasym prypadu domiesoanego manganem arsenu galu (Ga, Mn)As)..1. Model Zenera Istnieje ila rodajó oddiałyań magnetycnych, tóre proadą do postaania ardo interesujących jais ciałach stałych. Oddiałyania te moŝemy podielić na ila grup e ględu na charater cynnió iorących udiał postaaniu tych oddiałyań [5]. Wymiana epośrednia. Oddiałyanie to yodi się epośrednich oddiałyań ulomosich eletronó ou jonó pary iorących nim udiał. Jony magnetycne oddiałują e soą e ględu na naryanie się ich roładó ładunu. Nadymiana. Cęsto dara się, Ŝe para jonó magnetycnych predielona jest sieci rystalicnej jonem niemagnetycnym (tj. jonem całoicie apełnionymi systimi połoami eletronoymi). Jony magnetycne oddiałują tedy e soą a pośrednictem eletronó ich spólnego, niemagnetycnego sąsiada i oddiałyanie taie jest silniejse od epośredniego oddiałyania ymiennego ou jonó magnetycnych. 7

6 Wymiana pośrednia. Ten typ oddiałyań magnetycnych moŝe iąać eletrony cęścioo apełnionych poło f metali iem radich. Oo yłego oddiałyania ymiennego, eletrony te mogą rónieŝ oddiałyać a pośrednictem eletronó preodnicta. Oddiałyanie to moŝe oaać się silniejse od epośrednich oddiałyań ymiennych, uagi na nieielie na ogół naryanie się eletronoych funcji faloych poło f dóch róŝnych jonó. Rys Schematycna ilustracja oddiałyań typu: (a) ymiany epośredniej, () nadymiany, (c) ymiany pośredniej. Ja juŝ ostało spomniane e stępie model Zenera, opisujący ferromagnetycne oddiałyania a pośrednictem soodnych nośnió (eletronó alo diur), stał się puntem yjścia dla rooju adań nad iąami półpreodnioymi o łaściościach ferromagnetycnych. Załada się tu, Ŝe słao loalioane lu cale nieloalioane nośnii pośrednicą daleoasięgoym ferromagnetycnym oddiałyaniu pomiędy momentami magnetycnymi (punt (c) na rys..1.1.). Model ferromagnetymu, postającego popre oddiałyanie ymienne spręgające nośnii i loalioane momenty, ył jao piersy aproponoany pre Zenera. Według tego modelu, polaryacja loalioanych momentó proadi do roscepienia pasm energetycnych, a co olei proadi do oniŝenia energii 8

7 nośnió. W ystarcająco nisiej temperature, spade energii nośnió jest ompensoany rostem energii soodnej, tóry jest spoodoany mniejsaniem się entropii, co olei iąane jest polaryacją loalioanych momentó magnetycnych. JednaŜe, model Zenera ostał na długie lata porucony, ponieaŝ nie uględniał, ani soodnego charateru eletronó magnetycnych, ani antoych oscylacji spolaryoanych eletronó oół loalioanych spinó, a są to ardo aŝne jaisa teorii metali magnetycnych. W scególności, reultaty ryaliacji ferromagnetycnych i antyferromagnetycnych oddiałyań metalach, ramach modelu Zenera, proadą racej do torenia się sła spinoego, aniŝeli do ferromagnetycnego ciała stałego [, 4]. Model ten stał się nou interesujący, iedy oaało się, Ŝe moŝe yć ardo uŝytecny prypadu półpreodnió, ponieaŝ średnia odległość pomiędy nośniami półpreodniach jest ogólności duŝo ięsa niŝ pomiędy momentami magnetycnymi. Z tego poodu pośrednie oddiałyanie ymienne ma charater ferromagnetycny dla ięsości par momentó magnetycnych, a co a tym idie mniejsa się tendencja u toreniu sła spinoego. Atualnie, dla losoego roładu loalioanych momentó magnetycnych, artość temperatury Curie T C pryliŝeniu pola średniego, uysianej dotychcas modelu Zenera, otrymuje się modelu aproponoanego pre Rudermana, Kittla, Kasuya ę i Yosida ę, tóry ędie omóiony następnym podrodiale... Oddiałyanie RKKY W podrodiale tym opisane ostanie porótce oddiałyanie ymienne, tóre achodi międy eletronami preodnicta a loalioanymi momentami magnetycnymi. Zanim roaŝymy onseencje tego oddiałyania roredonych stopach, na pryład taich ja domiesoany manganem arsene galu (Ga, Mn)As, predysutujemy jego rolę toreniu spręŝenia pośredniego międy loalioanymi momentami. 9

8 Pomiędy eletronami stanie s i momentami jądroymi ystępuje ontatoe oddiałyanie nadsutelne. Oserator iąany jądrem prypisuje to oddiałyanie polu magnetycnemu ytoronemu pre moment magnetycny eletronu i pre ruch eletronu oół jądra. Jeśli eletron ma oritalny moment pędu ględem jądra, to oół jądra istnieje prąd eletronoy. Ale naet tedy, gdy moment pędu jest róny eru, oół jądra istnieje prąd iąany e spinem eletronu, poodujący to łaśnie oddiałyanie. Fröhlich i Naarro asugeroali po ra piersy, Ŝe oddiałyanie to moŝe proadić do polaryacji momentó jądroych. Postać tego oddiałyania naleiona ostała pre Rudermana i Kittla. Analogicnie do tego spręŝenia momentó jądroych, oddiałyanie ymienne międy eletronami preodnicta a loalioanymi eletronami moŝe taŝe proadić do pośredniego spręŝenia międy loalioanymi momentami eletronoymi. Ja to ostało predstaione podrodiale.1., łaśnie to spręŝenie moŝe yć jednym e źródeł ferromagnetymu metalach prejścioych. Kasuya adał oddiałyanie to ardiej scegółoo, racając uagę na jego pły na fale spinoe i opór eletrycny. TaŜe Yosida ropatryał to oddiałyanie celu yjaśnienia łasności magnetycnych CuMn. W iąu tymi pracami pośrednie spręŝenie momentó magnetycnych a pośrednictem eletronó preodnicta nayane jest oddiałyaniem Rudermana Kittla Kasuyi Yosidy (RKKY) [5, 7, 9, 13]. W odpoiednio orystnych arunach, na ioloanej domiesce metalu prostym moŝe utoryć się loalny moment magnetycny. Efet ten ma charater ieloeletronoy i ynia oddiałyania dóch eletronó najdujących się na tym samym jonie. Moment tai moŝe pojaić się ócas, gdy jedna poło jest apełniona tylo cęścioo. Struturę taiej połoi moŝemy opisać a pomocą ilu prostych reguł, anych regułami Hunda [5, 9]. Piersa reguła Hunda. Ze systich stanó n eletronó romiescanych na ( 1) l poiomach cęścioo apełnionej połoi najniŝsą energię mają stany najięsym całoitym spinem S, na jai poala asada Pauliego. Druga reguła Hunda. NajniŜej połoŝone stany jonu mają najięsą artość całoitego oritalnego momentu pędu L, na jaą poalają piersa reguła Hunda i asada Pauliego. Trecia reguła Hunda. Die pierse reguły Hunda poalają oreślić artości L ora S dla stanó o najniŝsej energii, co ciąŝ jesce musa nas do dalsego 1

9 adania poostałych chodących grę ( 1)( S 1) L stanó. Stany te moŝna lasyfioać e ględu na artość całoitego momentu pędu J, tóry godnie fundamentalnym praem dodaania momentó pędu, ędie tera pryierał artości od L S do L S. W reultacie stanie o najniŝsej energii całoity moment pędu J pryjmuje jedną dóch artości J J = L S = L S dla n l 1 dla n l 1 Znając juŝ mechanim postaania loalnych momentó magnetycnych, moŝemy soie yoraić, Ŝe jeŝeli mamy iele taich momentó, to ędiemy taŝe mieli do cynienia taim oddiałyaniem pomiędy nimi, tóre doproadi do spólnego uierunoania się tych momentó. W taim ypadu ędiemy mieli i epośrednie oddiałyania magnetycne pomiędy momentami magnetycnymi, loalioanymi na poscególnych domiesach. Istnieje rónieŝ oddiałyanie pomiędy momentami magnetycnymi, tóre achodi na drode oddiałyania eletron eletron. Fiycnie rec ujmując, oddiałyanie to ynia roprasania eletronó preodnicta na pojedyncej domiesce, co doproada do ustaienia odpoiedniego loalnego momentu magnetycnego danym ierunu, następnie informacja o ustaieniu tego momentu prenosona jest do drugiej domiesi i roprasanie eletronó na tej domiesce staje się aleŝne od jej loalnego spinu. Postać oddiałyania RKKY moŝna łato otrymać ramach formalimu uogólnionej podatności [7, 15, 19]. ZałóŜmy, Ŝe hamiltonian oddiałyania pomiędy loalioanym puncie r = spinem S α a spinem eletronu preodnicta s i ma postać H = J Sα si δ (ri ). (..1) i A ięc na aŝdy eletronó preodnicta diała pole efetyne dane yraŝeniem J H ef ( r) = Sα δ ( r). (..) gµ B 11

10 Odpoiedź gau eletronoego na taie pole jest oreślona jego podatnością χ (), tóra definioana jest dalej rónaniu (..5). PonieaŜ transformata Fouriera tego pola puncie r = ynosi H J ef ( ) = µ S α, (..3) g B ięc gęstość spinu tym puncie moŝna ynacyć rónania M = i r ( r) = s( r) χ( ) e H ( ) V gµ B ef, (..4) cyli podstaiając (..3) do (..4) otrymujemy s r) = J ( g B µ V χ( )e i r S α. (..5) Ay yjaśnić dalse postępoanie musimy definioać podatność ystępującą róności (..4). I ta prypadu gau eletronó soodnych podatność χ () dla T = K opisana jest orem ( N V ) 3g µ B χ( ) = F, (..6) 8ε F F gdie F F = 1 F 1 4 F log F F, (..7) a N jest całoitą licą eletronó uładie. Ja juŝ ceśniej ostało spomniane eletrony tratujemy jao soodne i diałamy na nie polem H ef następujące yraŝenie na gęstość spinu puncie r :, cyli po podstaieniu (..6) do (..5) otrymujemy 1

11 3N J s( r) = 8ε V F F F e i r S α. (..8) Sumę po (..8) moŝna olicyć astępując ją całą. Całę aś łato olicyć yorystując predstaienie całoe log F F dsin( F ) sin( ) =. (..9) W yniu otrymujemy ( N V ) 1 3g B 1 ( ) e i r µ χ = d F sin( r) = V 8ε F π r F 3g = B µ 8ε ( N V ) F 3 F sin( 16π F r) ( F 4 F r) r cos( F r). (..1) rysunu..1. Cęść tego yraŝenia ystępująca naiasie lamroym jest yreślona na Widimy ięc, Ŝe po proadeniu momentu loalioanego do metalu spiny eletronó preodnicta ytarają poliŝu tego momentu oscylującą polaryację spinoą. JeŜeli drugi loalioany spin S β usytuoany jest puncie r, to oddiałuje on tą induoaną gęstością spinoą, co proadi do efetynego oddiałyania międy loalioanymi spinami. A atem podstaiając (..5) do (..1) otrymujemy [7] H J RKKY = χ( ) g µ BV e ir S α S β. (..11) 13

12 Rys...1. Gęstość spinoa eletronó preodnicta ytorona pre spin domiesi ośrodu metalicnym. Oddiałyanie to ojaia się na iele sposoó. Ruderman i Kittel poaali, Ŝe proadi ono do poserenia linii asorpcyjnej jądroym reonansie magnetycnym. Oddiałyanie to jest taŝe źródłem spręŝenia międy loalioanymi momentami metalach iem radich. PonieaŜ oddiałyanie to aleŝy od gęstości eletronó preodnicta popre aleŝność od pędu Fermiego, poinna yć atem moŝlia ciągła miana uporądoania magnetycnego popre mianę sładu stopu. Efet ten ył recyiście oseroany popre domiesoanie ferromagnetycnego półpreodnia EuSe gadolinem i lantanem. Zastąpienie aŝdego jonu Eu jonem Gd3 lu La3 proadi do rostu licy eletronó preodnicta o jeden. Opróc silnego rostu preodnicta, taŝe paramagnetycna temperatura Curie rasta naet aŝ do temperatury poojoej. Podone jaisa moŝemy oseroać domiesoanym manganem arsenu galu (Ga, Mn)As. 14

13 .3. Metoda pˆ Metoda, tóra ostanie opisana tym podrodiale, jest jednym najaŝniejsych elementó teorii opisujących struturę pasm energetycnych i oddiałyania pomiędy soodnymi nośniami a loalioanymi momentami magnetycnymi półpreodniach ferromagnetycnych. Wiele dośiadceń potierdiło, Ŝe metoda pˆ ardo dore sprada się adaniach iąó o struture diamentu lu lendy cynoej (interesujący nas (Ga, Mn)As posiada łaśnie struturę lendy cynoej). Z tego teŝ poodu cały rachune preproadony tej pracy utrymany jest onencji metody pˆ. Metoda pˆ yła pocątoo stosoana poodeniem do adania metodami teorii aureń strutury pasm energetycnych otoceniu penych yranych symetrycnych puntó prestreni. W tej postaci, yniającej epośrednio lochosiego charateru funcji faloej, stosoano ją penych prypadach juŝ na pocątu rooju teorii pasmoej. Metoda ta ostała roinięta pre Shocley a dla pasm degeneroanych, a Dresselhaus, Kip, Kittel i Kane łącyli do roaŝań oddiałyanie spin orita. Poaali oni rónieŝ, Ŝe pryliŝenie pˆ moŝe yć yorystane jao metoda empirycna do oreślenia strutury pasmoej. W połąceniu uględnieniem łasności symetrii moŝna metodą pˆ ustalić struturę pasmoą otoceniu doolnego puntu prestreni, uŝyając nieieliej licy parametró, tóre dostatecnie doładnie moŝna oreślić dośiadcalnie (aronione prery energetycne, masy efetyne). Taie rachuni moŝna preproadać dla doolnego puntu prestreni etora faloego, jednaŝe najygodniej jest to roić dla symetrycnych puntó strefy Brillouina. To łaśnie tych ględó metodę moŝna oreślać jao metodę empirycną [6, 8]. W pryliŝeniu jednoeletronoym funcje łasne rónania Schrödingera pˆ pˆ Hψ U = m ( r) ψ εψ (.3.1) są jednoeletronoymi funcjami Blocha 15

14 i r ψ = e (r), (.3.) u n gdie pˆ = ih jest operatorem pędu, u ( r) jest funcją periodycną, mieniającą się n granicach etora faloego, a n sauje numer pasma energetycnego. Podstaiając funcję (.3.) do (.3.1) dochodimy do rónania na modulującą funcję u n (r) H u n pˆ ( r) m h m h pˆ m U ( r) u n ( r) = ε ( ) u n n ( r). (.3.3) Cłon h pˆ m hamiltonianie H (.3.3), tórego nie ma hamiltonianie (.3.1), moŝna formalnie ropatryać jao potencjał aurający, ocyiście tylo dla małych n ( ) ε. Naya się go aureniem pˆ. Pojaienie się tego cłonu nie jest iąane Ŝadnym fiycnym, realnym potencjałem, ale ynia jedynie prejścia od rónania na funcję ψ n do rónania na funcję u n [6, 16]. Roiąania rónania (.3.3) sua się roładając u n na peien upełny uład funcji. PonieaŜ dla danego iór u n tory uład upełny prestreni funcji periodycnych oresem sieci, to yierając = moŝna rołoŝyć u n dla doolnego na funcje dla = : u = A ( r n n n' ) un' ( ). (.3.4) n' Jest to t. - repreentacja. Wydielając hamiltonianie moŝna rónanie (.3.3) apisać postaci H cęść H H h m ( h ) pˆ ( m ) u n ( r) = ε n ( r) u n ( r), (.3.5) gdie 16

15 pˆ H h h = pˆ U ( r) m m m. (.3.6) Podstaiając roład (.3.4) do (.3.5), mnoŝąc leą stronę (.3.5) pre u n i całując po ojętości omóri elementarnej dochodimy do uładu rónań algeraicnych, tórego moŝna naleźć artości łasne: h h ε n ( ) ( ) δ n n' ( ) pˆ n n' ( ) Ann' = ε n ( ) A n' m m n n', (.3.7) gdie pˆ n n' ( ) = u pˆ u = u pˆ u d r (.3.8) n n' Ω n n' jest elementem macieroym operatora pędu dla puntu =. Ay otrymać rónanie (.3.7), trea iąć pod uagę, Ŝe funcje u są ortogonalne i unormoane omórce elementarnej, tn. Ω u n u n ' d r = δ n n'. Uład (.3.7) jest roiąyalny, jeŝeli jego ynacni róna się eru: h h det ε n ( ) ε n ( ) ( ) δ n n' ( ) pˆ n n' ( ) =. (.3.9) m m Rónanie seularne (.3.9) moŝe słuŝyć do oreślenia artości łasnych ε n (). Ay naleźć aleŝność ε n ( ), trea nać energie i elementy macieroe systich pasm energetycnych dla doolnego jednego etora faloego =, ˆ tn. naleŝy mieć oreślone ε n ( ) i p n n' ( ). Wielości te jesteśmy museni rać danych dośiadcalnych i dlatego metoda pˆ jest metodą empirycną. 17

16 Rónanie (.3.7) jest pradie dla doolnego etora, jednaŝe najardiej uŝytecne jest ono pry oliceniach stałtu pasm energetycnych epośrednim otoceniu puntu. JeŜeli jest dostatecnie małą ielością, to h h operator ( ) pˆ ( ) m m (.3.5) moŝna ropatryać jao małe aurenie operatora H i odpoiednio cłony h m ( ) pˆ n n' h m ( ) (.3.7) jao małe poprai do energii ε ). n ( Dla jednego ioloanego pasma energetycnego aleŝność energii od etora faloego otoceniu puntu moŝna otrymać (.3.7) a pomocą yłej teorii aureń [14, 16]. W drugim rędie rachunu aureń dostajemy h h ε n ( ) = ε n ( ) ( ) pˆ n n' ( ) m m ( ) pˆ ( ) ( h nn' m n ' n ε n ( ) ε n ' ( ) pˆ ) n' n ( ). (.3.1) JeŜeli puncie istnieje estremum, to arunu ( ε ) = mamy n = ˆ p n n ( ) h =. (.3.11) Wyorystując iąe (.3.11) dostajemy (.3.1) yraŝenie na energię poliŝu estremalnego puntu : 3 h 1 ε n ( ) = ε n ( ) ( α α )( β β ), (.3.1) α, β 1 m = α β n gdie ielości ( m 1 β ) n α są oreślone iąiem 18

17 α β 1 δα β pˆ n n' ( ) pˆ n' n ( = m α β m m n n n n ' ε ( ) ε n' ( ) ), (.3.13) α ˆ ˆ a p n n' ( ) jest sładoą α etora p α n n' ( ) (saźnii α i β onacają spółrędne, y, ). Prao dyspersji ε n ( ) poliŝu estremalnego puntu pojedyncym niedegeneroanym i iotropoym pasmie h ( ) ε n ( ) = ε n ( ) (.3.1a) m jest oreślone jednym parametrem masą efetyną m. Z rónania (.3.13) ynia, Ŝe odchylenie ielości masy efetynej m od masy soodnego eletronu jest całoicie oreślone pre cłon pˆ hamiltonianu. Drugi sładni praej strony (.3.13) poauje, Ŝe róŝnica pomiędy efetyną masą n tym pasmie energetycnym m n a masą m jest uarunoana istnieniem innych pasm. MoŜna poiedieć umonie, Ŝe róŝnica pomiędy m n a m jest spoodoana oddiałyaniem międy pasmami. To oddiałyanie jest oreślone ˆ elementami macieroymi operatora pędu p n n' ( ) i odstępami energetycnymi międy pasmami ε n ( ) ε n' ( ) puncie. Fiycna prycyna róŝnicy pomiędy m n i m leŝy realnym oddiałyaniu eletronu potencjałem rystalicnym. Oddiałyanie aś stanó jest następstem yranej metody pryliŝonego roiąyania prolemu, tóra poala otrymać analitycne yraŝenie na stałt pasm energetycnych poliŝu puntó estremalnych [5, 6, 9]. Ja iadomo, prolem najdoania artości łasnych operatora sproada się do prolemu diagonaliacji maciery tego operatora. Diagonaliację hamiltonianu H yłej teorii aureń preproada się metodą olejnych pryliŝeń, tórą to metodę stosuje się, gdy systie niediagonalne elementy macieroe H są małe i j porónaniu odpoiednimi róŝnicami energii poiomó nieauronych ε ε. W i j ielu prypadach ta nie jest. Cęść niediagonalnych elementó macieroych jest duŝa, a atem ynia tego, Ŝe pasma leŝą liso sieie. Wygodnie jest ócas 19

18 posługiać się metodą teorii aureń postaci aproponoanej pre Lödina. W metodie tej ałada się, Ŝe systie stany moŝna rodielić na die grupy A i B. Stany grupy A mogą silnie oddiałyać międy soą, ale słao e stanami grupy B. Wynia tego, Ŝe stany A i B są od sieie odległe na sali energii. Podonie ja yłej teorii aureń, oddiałyania iąŝące stany A i B usua się a pomocą procedury iteracyjnej, co pooduje mianę elementó macieroych oddiałyania międy stanami A. Następnie prestałconą ten sposó macier oddiałyania diagonaliuje się ściśle. Lödin poaał, Ŝe noe elementy macieroe H iąŝą się i j yjścioym i j H a pomocą rónania [6] H i j B H H i β β j = H i j, β ε H β i β β ( i, j A, B). (.3.14) Predstaiając auroną funcję faloą dla i - tego stanu roładu na funcje nieaurone ψ i postaci A, B ψ = ψ, (.3.15) i a i j j j dostajemy uład rónań ( H δ ) a =, ( i j A) A i j i i j i j, j ε, (.3.16) tóry poala oreślić artość łasną nieauronych stanó i, j grupie A. ε i i - tego stanu i spółcynnii a dla i j JeŜeli stany i naleŝą do grupy A, a stany do grupy B, to spółcynnii yraŝają się pre spółcynnii ( i j A) a j i, następujący sposó: a i a i A H j = a j i,, ε H j i ( i, j A B). (.3.17)

19 Wartość łasną ε i yraŝeniach (.3.14) i (.3.16) yle moŝna astąpić nieauroną artością i i H. ZieŜność metody Lödina jest dora, jeŝeli spełniony jest arune H i j o i j ( i A j B) << ε ε,,. (.3.18) Grupę stanó A yiera się ten sposó, ay ten arune ył spełniony. Na pryład, jeŝeli pene stany są degeneroane e ględu na symetrię, to łący się je grupę A. RóŜne pasma energetycne są aycaj oddalone od sieie doolnym puncie średnio o 3 5 ev lu ięcej. Jeśli mamy pasma, międy tórymi odległość jest o iele mniejsa od 3 ev, to moŝna połącyć je grupę A i adać otoceniu puntu metodą Lödina, ropatrując cłon jao aurenie. Olicanie strutury pasmoej metodą h m ) pˆ ( n n' (.3.7) pˆ poala na epośrednie uględnienie oddiałyania spin orita, odgryającego aŝną rolę ielu materiałach półpreodnioych uagi na małą oncentrację nośnió. Oddiałyanie to jest ardo słae dla leich pieriastó, ale syo rośnie pry prejściu do cięŝich. Mała artość energii oddiałyania spin orita lŝejsych pieriastach porónaniu e średnią ielością ronionych prer energetycnych (rędu 3 5 ev) poala yle na tratoanie tego oddiałyania jao aurenia [6, 16]. Uględnienie oddiałyania spin orita, tn. dodanie do hamiltonianu rónania (.3.1) cłonu (.3.5) na u n dóch noych sładnió H SO proadi do pojaienia się rónaniu H h = ( U ˆ )σˆ 4m c 1 p (.3.19) ora H h = ( U )σˆ. (.3.) 4m c 1

20 W postaci H SO = H 1 H jest to operator diałający tylo na modulującą funcję u. Dla leich pieriastó (ęgiel, rem) aleŝne od spinu cłony H 1 H moŝna tratoać (podonie ja niealeŝny od spinu cłon Wspólny operator aurenia ma taim raie postać pˆ ) jao aurenie. h 1 H ' = H pˆ H SO pˆ [ U ( pˆ h) ] σˆ. (.3.1) m 4mc WyraŜenie (.3.19) na H 1 jest analogicne do atomoego cłonu oddiałyania spin orita. W (.3.) proporcjonalny do cłon H repreentuje dodatoą energię oddiałyania spin orita yodącą się łaściości ruchu eletronu periodycnym polu rystału, a doładniej pochodącą od pseudopędu się, Ŝe H jest nacnie mniejse od H 1, ponieaŝ pseudopęd porónaniu e średnim pędem eletronu h. Oauje h jest ardo mały p = u ˆ u p ~ h a (a stała sieci) osare rdenia, gdie oddiałyanie spin orita odgrya najięsą rolę (oiem im liŝej jądra tym U (r) jest ięsy). PonieaŜ poliŝu jądra ład od H 1 preyŝsa ład od H, to stosune H i H 1 jest tym mniejsy, im cięŝsy jest atom. Dla cięŝich atomó, dla tórych ielość H 1 nie jest mała, a atem nie moŝe yć ropatryana jao aurenie, łąca się ją do cęści eroej hamiltonianu, dodając H 1 do H pˆ. Operator aurenia ma ócas postać H (.3.6), a H uaŝa się a aurenie, podonie ja h H ' = H pˆ H = πˆ, (.3.) m gdie πˆ jest operatorem yraŝanym orem

21 h π ˆ = p ˆ ( σˆ U ). (.3.3) 4m c Metoda pˆ oaała się ardo oocna oliceniach strutury pasmoej rystałó o symetrii diamentu i lendy cynoej, gdie yła stosoana nie jednopasmoym, ale dupasmoym (lu naet trójpasmoym) pryliŝeniu [6, 8]. W ielu półpreodniach IV grupy, iąach pieriastó grup III i V ora II i VI, odległość międy pasmami preodnicta i alencyjnym jest dostatecnie mała (~1 ev), ay te stany moŝna yło połącyć edług metody Lödina grupę A, a systie ardiej oddalone energetycnie stany grupę B. Innymi słoy, oddiałyanie międy pasmami preodnicta i alencyjnym (oddiałyanie pˆ i niealeŝne od oddiałyanie spin orita H 1 ) ropatruje się ściśle. Oddiałyanie pasm energetycnych A yŝsymi i niŝsymi pasmami B uaŝa się a aurenie, tóre uględnia się najniŝsym rędie rachunu aureń. 3

22 3. Definicja hamiltonianu Celem tego rodiału jest predstaienie hamiltonianu dla diur rystale o struture lendy cynoej, tóry opróc cłonu p i cłonu napręŝeń, aierały rónieŝ cłon odpoiedialny a oddiałyanie ymienne pomiędy soodnymi nośniami, a loalioanymi momentami magnetycnymi pryliŝeniu pola moleularnego. Wiadomo, Ŝe onfiguracje eletronoe pieriastó chodących sład adanego tu rystału arsenu galu domiesoanego manganem są następujące: As : 1s s p 3s p d 4s p Ga : 1s s p 3s p d 4s p Mn : 1s s p 3s p d 4s połoach Zatem pasmo alencyjne torą stany eletronó najdujących się na 4 p i 4 s. Dieje się ta, gdyŝ stany te miesają się e soą, ponieaŝ leŝą ardo liso sieie na sali energii. Jedna głóny ład pry toreniu pasma alencyjnego mają stany eletronó połoi 4 p, ponieaŝ eletrony połoi 4 s osadają niŝse poiomy energetycne. Natomiast pasmo preodenia torą stany eletronó najdujących się na połoach 5 s Hamiltonian pˆ Na podstaie teorii grup moŝna stierdić, Ŝe stany eletronoe środu strefy Brillouina lasyfiują się edług odpoiednich repreentacji. Ze ględu na symetrię adanego rystału, interesujące dla nas są repreentacje Γ 1 i Γ 15 [8]. Γ 1 jest repreentacją pełni symetrycną e ględu na systie operacje grupy symetrii, dlatego teŝ moŝe yć utoŝsamiana ( modelu LCAO Linear Comination of Atomic Oritals) e stanami atomoymi typu s. Natomiast trójymiaroa 4

23 repreentacja Γ 15 ropina funcje faloe transformujące się ta ja funcje:, y,, cyli ta ja oritale p, p y, p. Dlatego moŝna tierdić, Ŝe stany eletronoe najdujące się puncie Γ strefy Brillouina, slasyfioane jao Γ 15, są utoŝsamiane e stanami atomoymi typu p ( sensie LCAO). Ze ględu na to, Ŝe roaŝaniach interesują nas stany diuroe pasma alencyjnego, a nie stany eletronoe pasma preodnicta ora prera energetycna pomiędy tymi pasmami jest duŝa i ynosi E g = 1,5 ev, moŝemy ignoroać pły pasma preodnicta na stany diuroe. Dięi temu nas model aęŝa się do modelu trech pasm Γ 15. PonieaŜ istotne jest tu uględnienie oddiałyania spinoo oritalnego, tóre ma nasym prypadu nacący pły na stan uładu ( =,34 ev ), nie moŝna ignoroać tutaj spinu eletronó. Zatem uględniając spiny eletronó, nasa trójymiaroa aa Γ 15 staje się seścioymiaroa, reduoalna e ględu na operacje podójnej grupy symetrii rystału. Repreentacja Γ 15 reduuje się ięc do duymiaroej repreentacji Γ 7 i cteroymiaroej repreentacji Γ 8. W penym pryliŝeniu, popre analogię do stanó atomoych, moŝna uaŝać, Ŝe Γ 7 odpoiadają stany Γ 8 są następujące funcje [4, 1]: 1 j =, natomiast Γ 8 stany 3 j =. Baą dla repreentacji Γ 7 i 1 1 Γ8 j = : u = ( X iy ) 3 Γ8 = : 1, [ ] 1 u = i i Z, 6 j ( X Y ) 3 Γ8 = : [ ] 1 u3 = i Z, 6 j ( X Y ) 1 1 Γ8 j = : u = i ( X iy ) 1 Γ7 = : 4, [ ] 1 = Z 3 j u ( X iy ) 1 Γ7 = : 5, [ ] 1 = Z 3 j u i ( X iy ) 6, 5

24 gdie X, Y i Z są amplitudami Kohna Luttingera, tóre transformują się ja spółrędne, y i. Casami ygodnie jest je interpretoać jao funcje atomoe p, p y i atomoych. p, ale naleŝy mieć na uade, Ŝe są to reguły miesaniny róŝnych stanó Wyorystując formalim Lödina, predstaiony podrodiale.3., łącymy stany Γ 8 i Γ 7, e ględu na małą artość cynnia ( porónaniu ielością prery energetycnej), grupę stanó A. Natomiast systie poostałe (odległe energetycnie) stany, grupę stanó B. Zatem poyŝsej aie, hamiltonian p pryjmuje postać: H p = h m P Q L M - il i M - i L P Q M i Q 3 L M P Q L i 3 L i Q M L P Q i M il il i Q - i im P 3 L i M i 3 L i Q. - il P Gdie yraŝenia na P, Q, L, M i są dane postaci: P = γ 1, ( ) Q = γ, L y 3 ( i y ) ( ) i = 3 i γ, [ γ ] M 3 y γ 3 =, = m h. y Natomiast γ 1, γ ora γ 3 są modyfioanymi parametrami Luttingera. Z udoy tego hamiltonianu ynia, Ŝe podmacier o ymiare 4 4, elementami diagonalnymi od [ 1,1] do [,4] tanami Γ 7. Natomiast podmacier 4, opisuje stany Γ 8 ora ich oddiałyanie e, o elementach diagonalnych [ 5,5] i [,6] 6, opisuje odscepione na sute oddiałyania spin orita, o cynni, stany Γ 7. Poostałe elementy odpoiedialne są a opis oddiałyania jaie ystępuje pomiędy 6

25 7 stanami 8 Γ i 7 Γ, a sąsiednimi pasmami. co poala na yorystanie rachunó preproadonych podrodiale.3. i astosoanie metody rachunu aureń do oliceń strutury pasmoej adanego tu rystału [4, 1, 16]. PoyŜsy hamiltonian ałada istnienie symetrii inersyjnej uładie. Onaca to, Ŝe nie jest moŝlie adanie pry pomocy opisyanej tutaj teorii, efetó yniający rau symetrii inersyjnej. Scególnie ędie to idocne rodiale 4.1., tórym predstaimy struturę pasmoą adanego materiału. 3.. Hamiltonian napręŝeń Ja się oauje ystępoanie napręŝeń ma nacny pły na struturę pasmoą półpreodnió ferromagnetycnych. Dlatego teŝ yproadając hamiltonian dla stanó diuroych pasma alencyjnego, rystałach o struture lendy cynoej, nie moŝna pominąć cłonu odpoiedialnego a pły napręŝeń na adany rystał. Efet ten ostał opisany pre Bira i Piusa [8, 1], a hamiltonian napręŝeń yproadony pre nich ma następującą postać = ae s q s r ae r s q s s r q p s r q s s q p r s q r q p s r s r s q p H t s Gdie yraŝenia na p, q, r, s i e są dane postaci: ( ) y y e e e a p =, ( ) = y y e e e q 1, ( ) y y y e d e e r i = 3,

26 ( e ie ) s = d, y y y e = e e e. Natomiast a, i d są potencjałami deformacyjnymi, a e jest tensorem napręŝeń osioych. PonieaŜ podstaoą technologią torenia roaŝanego tu typu rystału jest metoda polegająca na omardoaniu płasiej poierchni strumieniem moleuł, ta ana metoda MBE Molecular Beam Epitay. Dięi tej metodie rystał postaje stopnioo, popre narastanie ardo cienich arst moleuł. W nasym prypadu na płasą poierchnię są natrysiane atomy arsenu, galu i manganu, ocyiście odpoiednich proporcjach, ta Ŝey mógł postać rystał o interesujących nas łaściościach. W yniu stopnioego naładania się na sieie ardo cienich arst, rystale tym postają napręŝenia iasjalne (duosioe), ystępujące tylo arstach epitasjalnych. Zatem pryjmując potencjały deformacyjne a i d, odpoiedialne odpoiednio a ystępoanie napręŝeń prostopadłych do arst epitasjalnych i napręŝeń ścinających, a róne ero, moŝemy łato prestałcić hamiltonian napręŝeń trójosioych pryjmuje ócas następującą postać [4] H st do hamiltonianu napręŝeń iasjalnych, tóry H s q r = i r q r i q r q i q r q i r i q i r i r i q. W onretnych oliceniach pryjęto napręŝenie e róne % i dalej e = e i y y e c 1 = e, c11 gdie c 1 i c 11 są spółcynniami elastycności. 8

27 Hamiltonian ymiany d p Podcas ytarania adanego tu rystału (Ga, Mn)As metodą MBE, jony manganoe ostają losoo pororucane po sieci rystalicnej. Jest to słao domiesoany półpreodni, ponieaŝ na 1 jonó galu prypada jedynie 5 jonó manganu. Jedna ta słae domiesoanie nacący sposó płya na łasności całego rystału, ponieaŝ momenty magnetycne iąane jonami manganu silnie oddiałują momentami magnetycnymi iąanymi jonami galu i arsenu. Jest to pośrednie oddiałyanie ymienne, ponieaŝ momenty te oddiałują e soą a pomocą nieloalioanych nośnió ( nasym prypadu są to diury). Oddiałyanie to achodi pomiędy eletronami najdującymi się na połoach d 3 jonó manganu, a eletronami najdującymi się na połoach p 4 jonó arsenu i galu [4, 1, 13, 17]. Hamiltonian tego oddiałyania ostał yproadony pre Dietla pryliŝeniu pola moleularnego pochodącego od jonó manganu. Uśrednienie to polega na tym, iŝ pryjmujemy, Ŝe ład momentu magnetycnego pochodącego od manganu do momentó magnetycnych galu i arsenu, aŝdym ęźle sieci, ynosi 5 %. Postać hamiltonianu d p jest predstaiona a pomocą następującego yraŝenia ( ) ( ) ( ) ( ) = K K K K K K G pd B H i i i i i 3 i 3 i ( ) ( ) ( ) ( ) i i - i i i K K K K K K. Gdie G B,, ±, ora są dane postaci: B G g M B µ β 6 =,

28 = M M, ( M ± im ) M ± = y, = β, β = β, β ale materiałach o struture seściennej = 1. Natomiast β jest całą ymiany p d, a magnetyację onacono jao M. W oliceniach ostała uŝyta artość = magnetyacji nasycenia dla =, 5, pry onaceniu (Ga 1-, Mn )As. B G =,3 ev, co odpoiada 3

29 4. Olicenia numerycne. Celem piersej cęści tego rodiału jest ynacenie strutury pasmoej adanego materiału. Predstaione ostaną tutaj aleŝności energii od etora faloego ierunach ysoiej symetrii strefie Brillouina (ieruni, Λ, Σ patr rys. 4.1) ora poierchnie Fermiego. W drugiej cęści tego rodiału ynacona ostanie temperatura Curie dla adanego ferromagnetya. Rys Strefa Brillouina prostej sieci regularnej yscególnionymi charaterystycnymi puntami i ierunami Strutura pasmoa i poierchnie Fermiego. Badając ierchołe pasma alencyjnego i jego otocenie ierunach charaterystycnych, Σ i Λ ora im rónoaŝnych, moŝemy auaŝyć, Ŝe 31

30 magnetyacja i odstałcenia prói, mają nacący pły na stałt tego pasma i jego degenerację. Ja się oaało, puncie Γ (cyli środu strefy Brillouina) repreentacja stanó Γ 7, niealeŝnie od ierunu charaterystycnego, jest ase podójnie degeneroana prypadu rau napręŝeń i magnetyacji. Bra magnetyacji onaca ra jonó Mn rystale, cyli jest to cysty półpreodni. Repreentacja Γ 8 jest natomiast degeneroana pocórnie, ale po odsunięciu się od środa strefy, niealeŝnie od ierunu charaterystycnego, ase rodegeneroyuje się na da, podójnie degeneroane stany (punt a) na rys , 4.1.3, ). Po pryłoŝeniu napręŝeń iasjalnych, repreentacja Γ 8 rodegeneroyuje się na da podójnie degeneroane stany, juŝ puncie Γ strefy Brillouina, natomiast repreentacja Γ 7 achouje się e mian (punt c) na rys , , ). W prypadu proadenia do rystału domiese magnetycnych, cyli M = ( 1 ) i e = %, oydie repreentacje rodegenerują się całoicie (punt ) na rys , , ). Roscepienie to ma charater emanosi i achodi e ględu na artość j odpoiadającą danej repreentacji, co yło opisane podrodiale 3.1. Wproadanie napręŝeń iasjalnych nie mienia juŝ, tym momencie, stopnia degeneracji repreentacji Γ 7 i Γ 8. NapręŜenia płyają jedynie na stałt pasma i ielość roscepienia stanó niedegeneroanych (punt d) na rys 4.1.., , ). Na systich yresach magnetyacja jest ustaiona ierunu ( 1 ), ponieaŝ pry taim połoŝeniu magnetyacji, energia uładu jest optymalna dla napręŝeń iasjalnych e = %. Dięi temu moŝemy oseroać ja mienia się stałt pasma alencyjnego dłuŝ osi i Σ dla ierunó soie rónoaŝnych (punty d), e), f) na rys , ). Ja ostało auaŝone rodiale 3.1., yorystyany do oliceń hamiltonian ałada istnienie symetrii inersyjnej, pry cym operacja inersji nie jest operacją symetrii dla recyistego rystału arsenu galu. Wpłya to sposó nacny na struturę pasmoą. Zgodnie niosami, yniającymi teorii grup, stałt pasm oół puntu Γ poinien yć tai, ja predstaiony na rys [4, 6] 3

31 Γ 8 Σ 3 Σ 4 Σ 3 Σ 4 Γ8 5 Γ8 5 Λ 4 Λ 6 Λ 5 Γ 7 Σ 3 Γ 7 Γ 7 5 Λ 6 Σ 4 Rys Roscepienie stanu Γ 15 e ględu na oddiałyanie spin orita, na stany Γ 8 i Γ 7. Pry oddalaniu się od środa strefy Brillouina stany Γ 8 i Γ 7 prechodą stany transformujące się edług odpoiednich repreentacji. Wsystie repreentacje Σ są jednoymiaroe, duymiaroe, Λ 6 duymiaroe, Λ 5 i Λ 4 jednoymiaroe. Na rysunach , , ora predstaiono poierchnie Fermiego (jest to ase 1/8 poierchni). Rysune predstaia poierchnię Fermiego dla eroej magnetyacji i rau napręŝeń; idać pełną symetrię tetraedrycną (try rogi ierunach, y, ). Po proadeniu magnetyacji poierchnie rodegeneroyują się, co poaane jest na rysunu Natomiast na rysunach i predstaione są poierchnie Fermiego niestałcone pre proadenie napręŝeń iasjalnych. Widać yraźnie ja oniŝa się symetria tych poierchni (rogi tylo ierunu i y ). 33

32 a ) ), (1 ), (1 ), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e v ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % c ) -1,,,5,1,15, d ) -1,,,5,1,15,, (1 ), (1 ), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % e ) -1,,,5,1,15, f ) -1,,,5,1,15,, ( 1 ), ( 1), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = ( 1 ) e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % -1,,,5,1,15, -1,,,5,1,15, Rys Wyresy predstaiają stałt pasma alencyjnego otoceniu puntu Γ strefy Brillouina, ierunu i jemu rónoaŝnych, pry adanym ierunu magnetyacji i artości napręŝenia. 34

33 a ) ), Σ (1 1 ), Σ (1 1 ), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % c ) -1,,,5,1,15, d ) -1,,,5,1,15,, Σ (1 1 ), Σ (1 1 ), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % e ) -1,,,5,1,15, f ) -1,,,5,1,15,, Σ (1 1), Σ ( 1 1), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = ( 1 ) e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % -1,,,5,1,15, -1,,,5,1,15, Rys Wyresy predstaiają stałt pasma alencyjnego otoceniu puntu Γ strefy Brillouina, ierunu Σ i jemu rónoaŝnych, pry adanym ierunu magnetyacji i artości napręŝenia. 35

34 a ) ), Λ (1 1 1), Λ (1 1 1), Γ 8, Γ 8 -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % c ) -1,,,5,1,15, d ) -1,,,5,1,15,,, Γ 8 Λ (1 1 1),, Γ 8 Λ (1 1 1) -, E F -, E F E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 E [ e V ] -,4 -,6 Γ 7 -,8-1, M = r a e = % -,8-1, M = ( 1 ) e = % -1,,,5,1,15, -1,,,5,1,15, Rys Wyresy predstaiają stałt pasma alencyjnego otoceniu puntu Γ strefy Brillouina ierunu Λ pry adanym ierunu magnetyacji i artości napręŝenia. 36

35 Rys Kstałt poierchni Fermiego e adanej magnetyacji i pryłoŝonych napręŝeń. Rys Kstałt poierchni Fermiego dla magnetyacji ierunu ( 1 ), ra napręŝeń. 37

36 Rys Kstałt poierchni Fermiego (da ierunu i y ynosą % (idać yraźną ruty) e adanej magnetyacji, napręŝenia deformację poierchni). 38

37 Rys Kstałt poierchni Fermiego (da ruty) dla magnetyacji ierunu ( 1 ), napręŝenia ierunu i y ynosą % (idać yraźną deformację poierchni). 39

38 4.. Temperatura Curie. Ja ostało spomniane e stępie, temperatura Curie jest ardo aŝnym parametrem charateryującym łasności półpreodnió ferromagnetycnych. Oreśla ona ta any punt rytycny, poyŝej tórego ferromagnety traci soje łaściości ferromagnetycne. Jest to cęsto jaiso niepoŝądane, dlatego teŝ próuje się storyć materiały, dla tórych temperatura Curie rośnie do temperatury poojoej. W podrodiale tym predstaię metodę ynacania temperatury puntu rytycnego ora ynacę ją yorystując olicenia podrodiału 4.1. Jest to standardoa metoda postępoania opisana doładniej Ref. [5]. Magnetyację nieoddiałujących e soą jonó moŝemy yraić postaci M gµ B S H H = gµ B S N BS = M. (4..1) BT T W pryliŝeniu pola moleularnego pryjmuje się, dla materiałó ferromagnetycnych, ta ja to ostało yjaśnione podrodiale 3.3., Ŝe aŝdy momentó magnetycnych ma tą samą artość średnią. Wócas dla jonó oddiałujących e soą, pryjmujemy, Ŝe jedyny efet oddiałyania sproada się do tego, iŝ pole diałające na aŝdy e spinó nie jest polem enętrnym, lec polem efetynym H ef. Pry ałoŝeniu, Ŝe pole enętrne jest róne eru, yraŝenie na H ef dane jest następującym orem H e f = χ M, (4..) gdie χ jest stałą spręŝenia. postaci Zatem podstaiając (4..) do (4..1) otrymujemy yraŝenie na magnetyację M = M H T ef = M χ M T. (4..3) 4

39 Roiąując poyŝse rónanie e ględu na M otrymujemy yraŝenie na temperaturę Curie T C, dane następującym orem ( gµ ) B TC = N S( S 1)χ. (4..4) 3 B PonieaŜ prostej relacji termodynamicnej ynia [5, 9, 18], Ŝe pole efetyne moŝemy yraić postaci F H e f =, (4..5) M gdie F jest energią soodną uładu, to podstaiając (4..5) do (4..) otrymujemy yraŝenie na stałą spręŝenia daną orem F χ = M. (4..6) M Zatem podstaiając (4..6) do (4..4) otrymujemy yraŝenie na temperaturę Curie, T C = N ( gµ ) B S 1 3 B ( S ) F M M. (4..7) Dla małych artości magnetyacji M, energię soodną moŝna pryliŝyć następującym yraŝeniem, (co idać na rys ) ( M ) A BM F =. (4..8) Z cego ynia, Ŝe pochodna energii soodnej ględem magnetyacji ynosi F M = BM, a co a tym idie stała spręŝenia jest róna χ = B. Wyonując olicenia energii soodnej funcji namagnesoania ora fitując odpoiednio yraŝenie (4..8) do otrymanych danych, moŝna ynacyć spółcynnii A i B. PonieaŜ pratyce ygodnie jest operoać parametrem B G, 41

40 energia ostała ynacona jao funcja łaśnie tego parametru. Pry cym iadomo, Ŝe parametr B G jest iąany magnetyacją prostą aleŝnością linioą typu B G = cm (patr rodiał 3.3.). [4] Olicenia yonano dla oncentracji nośnió, p = 3,5 1 4 st.. Wygodnie jest ynacyć tę oncentrację funcji energii 3 A& Fermiego. Jest ona licona jao yła cała prestreni etora faloego. JeŜeli mamy staelaryoane dane p ( E F ), to moŝna ynacyć funcję odrotną do p, a następnie ylicyć energię soodną następującego yraŝenia E p = ( ') d p' E F p -5 punty ynacone numerycnie -3,1 aprosymacja F(B G ) = A B B G F(B G ) [ ev ] -3, ,1-5 -4,41-5,,1,,3 B G [ ev ] Rys Z ystarcająco dorym pryliŝeniem moŝemy pryjąć, Ŝe dla małych M aprosymacja energii soodnej funcją ( B ) magnetyacją aleŝnością F = A B jest słusna. Parametr B G jest poiąany G B G B G = cm, gdie c jest ielością stałą. 4

41 Zatem po uględnieniu pryliŝenia (4..8), temperaturę Curie dla (Ga, Mn)As moŝna ostatecnie olicyć następującego yraŝenia ( gµ ) ( S 1) B TC = N S 3 B B. (4..9) Wyorystując ór (4..9), otrymujemy, dla arsenu galu domiesoanego 5% manganem, temperaturę Curie róną ooło dośiadceniem. T C = 11 K, co dość dore gada się 43

42 5. Podsumoanie W niniejsej pracy ostał predstaiony model ferromagnetymu półpreodniu GaAs domiesoanym manganem. Podstaą tego modelu jest odpoiedni opis oddiałyania achodący pomiędy momentami magnetycnymi, loalioanymi na domiesach manganoych. Oddiałyanie to moŝna tratoać jao efet pośredniej ymiany pomiędy jonami Mn, achodącej popre diury. Podstaą energetycnego opisu adanego materiału jest hamiltonian, opisujący stany diuroe pasmie alencyjnym, dla rystału o struture lendy cynoej. Badanym materiałem ył arsene galu domiesoany manganem (Ga, Mn)As. Hamiltonian ten słada się trech cłonó. Piersym nich jest cłon pˆ, tóry opisuje oddiałyanie pomiędy stanami diuroymi pasma alencyjnego, a stanami poostałych pasm energetycnych uględnieniem oddiałyania spinoo oritalnego. Następnym sładniiem hamiltonianu jest cłon napręŝeń, tóry opisuje ich pły na stałt i degenerację pasma alencyjnego. Ostatnim cłonem jest hamiltonian p - d opisujący pośrednie oddiałyanie ymienne jaie achodi pomiędy stanami 3 d jonó manganoych, a stanami 4 p jonó arsenu i galu. Oddiałyanie to rónieŝ ma pły na stałt, a scególnie na degenerację pasma alencyjnego. Dięi sonstruoaniu tego hamiltonianu, łaśnie taiej postaci, udało mi się a pomocą oliceń numerycnych poaać stałt pasma alencyjnego oolicy jego ierchoła, ierunach charaterystycnych strefy Brillouina. Następnie ostało predstaionych ila poierchni Fermiego, na podstaie tórych poaany ostał pły napręŝeń i domiesoania na ich stałt i symetrię. W ostatniej cęści tej pracy ostała poaana metoda ynacania temperatury Curie. UaŜam, Ŝe a pomocą predstaionego tu modelu roredonego ferromagnetymu półpreodniach, moŝna y, dalsych adaniach uględnić pły rau inersji na stałt i degenerację pasma alencyjnego. W ramach tego modelu otierają się rónieŝ duŝe moŝliości adania magnetostrycji półpreodniach, cyli adanie płyu namagnesoania na łasności elastycne rystału. O iele trudniejsym prolemem, jednaŝe ardo interesującym e ględu na oryści technologicne, yłoy adanie efetó iąanych niejednorodnościami namagnesoania i istnieniem strutury domenoej rystałach podonych do (Ga, Mn)As. 44

43 6. Literatura [1] Dietl T., Ohno H., Matsuura F., Ciert J., Ferrand D.,. Zener model description of ferromagnetism in inc lende magnetic semiconductors, Science, vol. 87, [] Dietl T., Haury A., Merle d Auigne Y., Free carrier induced ferromagnetism in structures of diluted magnetic semiconductors, Phys. Rev. B, vol. 55, [3] Ohno H., Chia D., Matsuura F., Omiya T., Ae E., Dietl T., Ohno Y., Ohtani K.,. Electric field control of ferromagnetism, Nature, vol. 48, [4] Dietl T., Ohno H., Matsuura F.,. Hole mediated ferromagnetism in tetrahedrally coordinated semiconductors, Phys. Rev. [5] Ashcroft N., Mermin D., Fiya ciała stałego, PWN, Warsaa. [6] Cydilosi I.M., Eletrony i diury półpreodniach, PWN, Warsaa. [7] White R., Kantoa teoria magnetymu, PWN, Warsaa. [8] Bir G.L., Pius G.E., Symetria i odstałcenia półpreodniach, PWN, Warsaa. [9] Kittel Ch., Wstęp do fiyi ciała stałego, PWN, Warsaa. [1] Bahder T.B., 199. Eight and p model of strained inc lende crystals, Phys. Rev. B, vol. 41, [11] Binney J.J., Doric N.J., Fisher A.J., Neman M.E., Zjaisa rytycne. Wstęp do teorii grupy renormaliacji, PWN, Warsaa. [1] Stalińsi B., praca ioroa, Fiya i chemia ciała stałego, PAN, Instytut Nisich Temperatur i Badań Struturalnych. [13] Yosida K., Theory of magnetism, Springer Series in Solid State Sciences, 1. [14] Auerach A., Interacting electrons and quantum magnetism, Springer Verlag, Ne Yor, Inc. [15] Ziman J.M., Wstęp do teorii ciała stałego, PWN, Warsaa. [16] Daydo A.S., Mechania antoa, PWN, Warsaa. [17] Imada M., Fujimori A., Toura Y., Metal insulator transitions, Rev. of Mod. Phys., vol. 7, no. 4. [18] Landau L., Lifsic E., Fiya statystycna, PWN, Warsaa. [19] Harrison W. A., Teoria ciała stałego, PWN, Warsaa. 45