Modele kp Studnia kwantowa

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modele kp Studnia kwantowa"

Dorota Lewicka
5 lat temu
Przeglądów:

1 Modele kp Studnia kwantowa Przegląd modeli pozwalających obliczyć strukturę pasmową materiałów półprzewodnikowych. Metoda Fal płaskich Transformata Fouriera Przykładowe wyniki

2 Model Kaine Hamiltonian z oddziaływaniem spin-orbita: Niezmienniczość względem translacji: Pełna postać funkcji falowej elektronu Periodyczny warunek brzegowy:

3 Model Kaine Hamiltonian: Es- pasmo przewodnictwa D- położenie pasma spin-orbita P- parametr Kaine Rozwiązanie przy założeni E hh =0

4 Rozwiązanie dla Modelu Kaine Model Kaine nie daje dobrych rozwiązań w szczególność brak poprawnej Dyspersji dla pasma HH

5 Model Luttingera-Kohn a Ponieważ model Kaine nie daje poprawnej dyspersji, należy go poprawić Poprawka na funkcję falową w stosunku do modelu Kaine. Funkcja falowa jest superpozycją dwóch klas funkcji: Wprowadzone oznaczenia Sześcio pasmowy model. Dobrze opisuje pasmo walencyjne

6 Model 8kp Jeżeli do modelu 6kp dołożymy oddziaływanie z pasmem przewodnictwa pasm walencyjnych otrzymamy model 8kp. Uwaga!!! Inna notacja H Położenia wierzchołków pasm Elementy pozadiagonalne Odpowiedzialne za poszczególne oddziaływania

7 Model oddziaływujących pasm ang. Band Anticrossing Model W. Shan, et al., Phys. Rev. Lett. 82, 1221 (1999). J Wu et al Semicond. Sci. Technol. 17, 860 (2002). Na skutek oddziaływania poziomu azotowego z atomami matrycy powstają pasma

8 Parametry dla modelu BAC Dobrze poznane dla GaNAs: E N =1.65eV oraz C MN =2.7eV Oraz w miarę dobrze poznane dla innych materiałów trzyskładnikowych: Słabość modelu BAC: Przejście E + nie było jak dotąd obserwowane dla innych związków III-V-N oprócz Ga(In)NAs Dla materiałów czteroskładnikowych parametry BAC nie są znane.

9 Hamiltonian 10 kp dla GaInNAs, Hamiltonian uwzględniający: 3 podpasma dziurowe 1 pasmo elektronowe poziom azotowy utworzony w paśmie przewodnictwa Wszystkie podpasma oddziałujące ze sobą Uwzględnienie naprężeń

10 Renormalizacja parametrów w modelu 10 i 8 kp Parametry Luttingera: Renormalizacja masy efektywnej W paśmie przewodnictwa: Gdzie:

11 Rozszerzony 8x8 kp model (model z BAC) Przerwa energetyczna (BAC model) Masa efektywna elektronu W przypadku materiałów 4 składnikowych można rozszerzyć model 8 kp Przerwę energetyczną i masę efektywną można obliczyć stosując model BAC M. Gladysiewicz, R. Kudrawiec, J. M. Miloszewski, P. Weetman, J. Misiewicz, and M. S. Wartak, J. Appl. Phys. 113, (2013).

12 Model VBAC: Model uwzględniający oddziaływanie w paśmie walencyjnym k=0 Dodanie Bi do GaAs powoduje powstanie dodatkowych poziomów w paśmie walencyjnym oddziałujących z materiałem matrycy W wyniku oddziaływania powstają poziomy:

13 Hamiltonian 14x14: Model uwzględniający oddziaływanie poziomu bizmutowego w paśmie walencyjnym Poziom bizmutowy w paśmie walencyjnym E HH Bi E LH Bi E SO Bi Element oddziaływania C BI E SO Bi =1.9 ev

14 Struktura pasmowa obliczona dla GaAs po dodaniu Bi Bi (a) 3 GaAs 0.95 Bi 0.05 (b) 3 GaAs 0.90 Bi 0.10 (c) 3 GaAs 0.85 Bi Energy (ev) GaAs: 8 kp GaAsBi: 14 kp 8 kp Bi-level Energy (ev) Energy (ev) [1,1,0] [0,0,1] k (1/nm) k z (1/nm) [1,1,0] [0,0,1] k (1/nm) k z (1/nm) [1,1,0] [0,0,1] k (1/nm) k z (1/nm) Różnice w modelu 8kp i 14 kp są szczególnie widoczne w paśmie walencyjnym

15 Struktura pasmowa obliczona dla studni GaAs/GaBiAs Bi 1.4 GaAs 1-x Bi x /GaAs QWs 5% Bi 10% Bi 15% Bi Energy (ev) kp 10 kp k (1/nm) k (1/nm) k (1/nm)

16 Metoda Fal płaskich Transformata Fouriera: Najczęściej transformata zmienia dziedzina czasową na częstość i odwrotnie Rozwiązanie dotyczy układu dla, którego chcemy rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera. Punktem wyjścia jest rozwinięcie wielkości w szereg Fouriera L-szerokość struktury F to funkcje falowe poszczególnych nośników K n = 2pn/L (wektor k w wybranym kierunku najczęściej kz) V a,n -potencjały poszczególnych poziomów (dziurowych lub elektronowych) Funkcję falową przedstawiamy jako superpozycję fal płaskich na przedziale N do N. k t <-2pN/L,2pN/L>

17 Metoda Fal płaskich dla 4 pasmowego Hamiltonianu Luttigera-Kohna Wstawiamy rozwinięcia funkcji w szereg do równania zapisanego w postaci: Po przekształceniach (zbiór ortogonalny) można otrzymać macierz: Otrzymaliśmy macierz blokową, poszczególne elementy odpowiadają analogicznym elementom jak dla materiału litego.

18 Metoda Fal płaskich dla 4 pasmowego Hamiltonianu Luttigera-Kohna Elementy [n n ] to macierze 2Nx2N powstałe w wyniku transformacji Fouriera kz- Kn

19 Transformata Fouriera W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze NxN. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe. i==-n..n Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej j=-n..n i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty) n=i-j n 0 L zi L AF = න 0 2 π A(z) e 2πzi/L n dz 1 e 2πzi/L n z n = 0 0 = AF L A z dz Kz = π (i + j) L Oznaczenia zi=i(zespolone)

20 Metoda Fal płaskich schemat blokowy do obliczenia wartości własnych dla studni kwantowych Wybieramy liczbę fal płaskich dla których będziemy dokonywać transformaty Budujemy wektory dla wielkości występujących w Hamiltonianie A(z) z-położenie Dokonujemy transformaty Fouriera dla wielkości występujących w Hamiltonianie (tych członów, które nie zależą od k tylko od z (położenie) Proces powtarzamy dla każdego punktu w przestrzeni k Budujemy Hamiltonian klatkowy odpowiadający odpowiedniemu modelowi kp. W miejsce kz Kn. Diagonalizujemy Hamiltonian i przesiewamy wartości własne tak aby wybrać te odpowiadające elektronom uwięzionym w studni

21 Wartości własne odpowiadające Stanom związanym Z otrzymanych wartości własnych poprzez proces diagonalizacji macierzy musimy wybrać te właściwe (stany związane) Dobrym kryterium może być określenie na jakim przedziale energii występują wartości odpowiadające stanom związanym w punkcie k=0. Rozwiązania duchy problem!!! Dokładność obliczeń. Metoda fal płaskich jest też metodą rozwiązania równania Schrödingera (k=0)

22 Funkcje falowe w metodzie fal płaskich Diagonalizacja macierzy (wyznaczenie wartości własnych) może nam pozwolić również wyznaczyć funkcje własne. Otrzymane funkcje własne nie są rozwiązaniami stacjonarnymi to tylko współczynniki rozwinięcia w szereg. Aby otrzymać funkcje falowe należy wykonać kolejną transformatę.

23 Schematy potencjałów oraz struktura pasmowa dla studni GaInNAs/GaAs GaNAsSb/GaAs GaNPSb/GaAs (a) GaInNAs 34%In 2%N (b) GaNAsSb 31%Sb 2%N (c) GaNPSb 46%P 2%N Energy (ev) (a) GaInNAs 34% In 2% N (b) GaNAsSb 31% Sb 2% N (c) GaNPAs 46% P 2% N Energy (ev) HH LH HH LH HH LH Wavevector, k (1/nm) Distance (nm)

Podobne dokumenty

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania