Rezonanse magnetyczne oraz wybrane techniki pomiarowe fizyki ciała stałego

Transkrypt

1 Paweł Szroeder Rezonanse magnetyczne oraz wybrane techniki pomiarowe fizyki ciała stałego Wykład I Moment magnetyczny a moment pędu czynnik g. Precesja Larmora. Zjawisko rezonansu magnetycznego. Fenomenologiczny opis relaksacji: równania Blocha.

2 Magnetyzm materii N S diamagnetyk jest wypychany z silnego pola, np. bizmut paramagnetyk będzie słabo przyciągany przez ostry biegun, np. O 2, Na, K, Ca, Al silny magnes, pole magnetyczne silniejsze w pobliŝu ostrego bieguna ferromagnetyk ostry koniec bardzo silnie przyciąga próbkę, przykłady: Fe, Ni, Co

3 Momenty magnetyczne Pętla z prądem wytwarza moment magnetyczny: = ISn, gdzie I prąd w pętli, S powierzchnia pętli, n jednostkowy wektor normalny do powierzchni n S I Na w polu magnetycznym wywierany jest moment siły: τ = B. Moment siły jest szybkością zmian energii ze zmianą kąta: Skąd: du = τ dθ. U = B. B. τ

4 Momenty magnetyczne i moment pędu ładunku poruszającego się po orbicie kołowej Twierdzenie JeŜeli ładunek q porusza się po orbicie kołowej, to jego moment magnetyczny i jego moment pędu J pozostają do siebie w pewnym określonym stosunku. Wartość wektora momentu pędu (skierowanego prostopadle do płaszczyzny orbity): J = mυr. Prąd wytwarzany przez ładunek: I = q υ 2πr S = πr 2, zatem moment magnetyczny: = qυr. 2. r m,q Zatem stosunek wektora J orz w ruchu ładunku po orbicie wyraŝa formuła: q = 2m J. J v

5 q Co wynika z zaleŝności = J? 2m Wektory J i mają ten sam kierunek; stosunek długości wektorów J i nie zaleŝy ani od prędkości ładunku w ruchu po orbicie ani od promienia orbity. W przypadku elektronu (q = e) e = 2 m e J (ruch orbitalny elektronu). Z teorii Diraca (klasyczne wytłumaczenie nie istnieje) wynika, Ŝe elektron ma wewnętrzny moment pędu (spin) oraz moment magnetyczny. Stosunek do J dla spinu elektronu jest 2 x większy niŝ dla ruchu orbitalnego: e = J (dla spinu elektronu).!!! m e

6 Czynnik Landégo g Stosunek do J nie musi być równy e/m e, bądź e/2m e, ale moŝe przyjmować wartości pośrednie, bowiem całkowity moment pędu jest mieszaniną momentów pochodzących od orbit i spinów. Dlatego wprowadzono bezwymiarową stałą, czynnik Landégo g, który charakteryzuje konkretny stan atomu. Wówczas: e = g J 2m e g = 1 dla czystego momentu orbitalnego, bądź 2 dla czystego momentu spinowego, bądź 1< g < 2 dla układu złoŝonego.. DYGRESJA PowyŜsze rozwaŝania nie uwzględniają poprawek relatywistycznych, które są zwykle rzędu stałej struktury subtelnej: α 1 4πε 0 2 e hc Z tego powodu m.in. wartość czynika g dla czystego momentu spinowego elektronu wynosi g free = 2,0023.

7 Jądra atomowe protony i neutrony Protony i neutrony równieŝ posiadają spin i mogą poruszać się po orbitach. PoniewaŜ m p /m e = 1836,15, rząd wielkości stosunku do J zmieni się odpowiednio. Dlatego dla jądra zapisuje się zaleŝność: = e g 2 m p J gdzie m p jest masą protonu a g czynnikiem jądrowym., Czynnik g dla swobodnego protonu i neutronu ma wartość róŝną od 2. Dla protonu: Dla neutronu: g = 2 (2,79). g = 2 ( 1,93). Neutron mimo, Ŝe nie posiada ładunku, ma moment magnetyczny tego typu, jaki miałby ładunek ujemny.

8 Precesja atomowych momentów magnetycznych J sin θ ω p B θ J J J Na poruszający się w atomie elektron działa moment siły τ = B, który dąŝy do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola B. Ale atom ma własny moment pędu (jest giroskopem). Dlatego moment pędu J (a wraz z nim moment magnetyczny ) będzie wykonywał precesję wokół osi wyznaczonej przez kierunek B z prędkością kątową ω p. W czasie t: J = ( J sin θ )( ω t). p Zatem zmiana momentu pędu jest równa: dj dt = ω J sinθ. p

9 Precesja atomowych momentów magnetycznych J sin θ ω p B θ J J J dla atomu (elektronu): dla jądra: Z poprzedniego slajdu: PoniewaŜ dj dt = ω J sinθ. dj τ = oraz τ = B sinθ, dt prędkość kątowa precesji jest równa ω ω = p p = g B. J Elektron w atomie umieszczonym w polu magnetycznym będzie wykonywał precesję: Warto zapamiętać, Ŝe: ν ν ω p = 2 π ω p = 2 π p = p = eb 2m e. (14 MHz/mT) gb, (7,6 khz/mt) gb. p

10 Twierdzenie Larmora Jedyny skutek działania pola magnetycznego na orbitę elektronu w atomie stanowi precesja orbity i wektora orbitalnego momentu magnetycznego elektronu z częstością kątową ω L wokół osi przechodzącej przez jądro atomu i równoległej do wektora pola magnetycznego B. z, z B albo: Ruch elektronu w obecności pola B jest zawsze złoŝeniem jednego z rozwiązań dla ruchu bez pola i dodatkowego obrotu wokół kierunku pola z prędkością kątową ω L = eb/2m. x ω L x ω L y y Twierdzenie Larmora jest słuszne tylko dla ruchu orbitalnego elektronów, tzn. przypadku, kiedy /J = e/2m. Jest to moŝliwe tylko wtedy, gdy ω p = ω L, czyli g = 1, a w atomie występują siły centralne.

11 Twierdzenie Larmora - dowód Niech elektron znajdzie się w polu dowolnej siły centralnej F(r). Po włączeniu pola magnetycznego całkowita siła będzie równa: F ( r) ev B. W układzie obracającym się z prędkością kątową ω L wokół osi przechodzącej przez centrum siły na elektron działa siła Coriolisa F 2mω v, = e którą musimy uwzględnić przechodząc do układu primowanego, czyli: F ( r) ev B + 2mω v. PoniewaŜ 2mω L = eb, zatem jedyną siłą działającą w układzie obracającym się z prędkością kątową ω L jest F(r). x x ω L ω L z, z B y y

12 Precesja Larmora a indukowany orbitalny moment magnetyczny atomu I orb v α B ω p Ruch precesyjny elektronu i jego orbitalnego momentu magnetycznego. Dodatkowy precesyjny prąd elektronu I. Dodatkowy prąd orbitalny: ω I L orb = e 2π Wywołuje on indukowany moment magnetyczny : = I orb S n = 2 e S 4πm B, gdzie S jest polem rzutu orbity elektronu na powierzchnię prostopadłą do B. Całkowity indukowany moment magnetyczny atomu jest równy: M = Ze 2 S 4πm B, gdzie Z jest liczbą elektronów w atomie.

13 Rezonans magnetyczny JeŜeli umieścimy giroskop o momencie magnetycznym i o momencie pędu J w zewnętrznym polu magnetycznym B 0, to giroskop będzie wykonywał precesję o częstości kątowej ω p = geb/2m wokół osi wyznaczonej przez kierunek pola magnetycznego. Pytanie Jak zmienić kąt, jaki tworzy giroskop z osią z? Pole magnetyczne wytwarza moment siły wokół osi poziomej, τ = B, który próbuje ustawić moment magnetyczny wzdłuŝ kierunku pola, lecz powoduje on tylko jego precesję. JeŜeli chcemy zmienić kąt pomiędzy giroskopem a osią z, to musimy wywrzeć nań moment siły wokół osi z. τ B 0 J

14 Rezonans magnetyczny B 0 PrzyłóŜmy dodatkowe słabe pole B 1, poprzeczne do B 0 oraz zawsze prostopadłe do. J Pole to musi obracać się z tą samą prędkością kątową ω p, co wektor momentu magnetycznego. B 1 B 0 Ten sam efekt osiągniemy jeŝeli wirujące pole zastąpimy zmiennym polem magnetycznym B 1 = b cos (ω p t) skierowanym wzdłuŝ kierunku np. osi x. J B 1 = b cos (ω p t)

15 Rezonans magnetyczny Jak juŝ wiemy, wektor momentu magnetycznego oraz momentu pędu atomu związany jest zaleŝnością: e = g J 2m e Dla krótkości zapisu wprowadza się pojęcie czynnika giromagnetycznego: PoniewaŜ τ = B = J γ = g e 2m e. (dla elektronów). d J dj 1 d oraz = dt dt γ dt, τ = (dla elektronów) ewolucję wektora magnetyzacji w polu magnetycznym opisuje równanie: d dt = γb 0.,

16 Rezonans magnetyczny RozwaŜmy zachowanie momentu magnetycznego z punktu widzenia układu współrzędnych obracającego się z prędkością kątową ω równą częstości oscylacji zmiennego pola B 1. z, z ω, B 0 Opiszmy zmianę d w układzie laboratoryjnym ale stosując wielkość zmiany d rejestrowaną w rotującym układzie współrzędnych: x x ω y y Wówczas: d = d' + ωdt. d dt d' = dt + ω. JeŜeli tak dobierzemy prędkość kątową obracającego się układu, Ŝe ω = ω p = γb 0, to pozostanie stałe w układzie rotującym.

17 Rezonans magnetyczny W ogólności ω jest róŝne od ω r. Dlatego wygodnie jest wprowadzić w układzie rotującym pojęcie efektywnego pola: B 0, z, z B ef ω B. γ Wówczas równanie ruchu momentu magnetycznego d dt = γb w układzie związanym z oscylującym polem przybierze postać: d' dt = ( γb -ω) = γbef. ZauwaŜmy, Ŝe w układzie obracającym się z prędkością kątową ω, B ef jest wielkością niezaleŝną od czasu. x ωt B B 1, x y

18 Rezonans magnetyczny B 0 B 0 z,z ω/γ ω/γ B ef B ef γb ef ωt y B 1 Efektywne pole magnetyczne w obracającym się układzie współrzędnych. Rezonans pojawia się, gdy B ef = B 1. x ωt B 1 x ωt W układzie rotującym wektor w pobliŝu rezonansu dokonuje precesji wokół wektora B ef. Całkowity ruch w układzie laboratoryjnym jest więc złoŝeniem tej precesji i rotacji układu z częstością ω.

19 Rezonans magnetyczny Tor zakreślany przez koniec wektora magnetyzacji w obecności poprzecznego, zmiennego pola magnetycznego B 1. rezonans w pobliŝu rezonansu B 0 B 0 B = b cosωt, gdzieω = 1 0 g eb 2m Obszar na sferze, który jest osiągalny przez koniec wektora m jest określony połoŝenie początkowe oraz stosunek ω i geb/2m.

20 Równania Blocha makroskopowy wektor namagnesowania Do opisu polaryzacji magnetycznej makroskopowej próbki stosuje się wektor namagnesowania bądź magnetyzacji M: JednakŜe makroskopowa magnetyzacja nie wykonuje precesji w polu B 0 lecz ustawia się zgodnie z kierunkiem pola: 1 M = χb gdzie χ jest podatnością magnetyczną jednostki objętości. 0 Skąd ta pozorna sprzeczność? B 0 z Rozkładając na składowe x, y, z stwierdzamy, Ŝe x oraz y rotują w płaszczyźnie xy, natomiast z pozostaje w spoczynku. x y N M =1/ V i. i 0, To samo dotyczy zbioru N wektorów i. Składowe x oraz y rozłoŝone chaotycznie, kompensują się wzajemnie dając wypadkowe M x, M y = 0 oraz M z = M 0, gdzie M 0 jest wartością namagnesowania w stanie ustalonym.