3a. Teoria akumulacji kapitału

Transkrypt

1 3a. Teoria akumulacji kapitału Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 1 / 33

2 1 Rachunek wartości pieniądza w czasie 2 Zasada aprecjacji kapitału 3 Aktualizacja kapitału 4 Reguła 70 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 2 / 33

3 Motywacja Omawiając lokaty, natknęliśmy się na pojęcie, które pozwalało nam porównać opłacalność tych narzędzi inwestycyjnych: procentową stopę zwrotu o zadanym okresie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 3 / 33

4 Motywacja Omawiając lokaty, natknęliśmy się na pojęcie, które pozwalało nam porównać opłacalność tych narzędzi inwestycyjnych: procentową stopę zwrotu o zadanym okresie. Przypomnę, że głównym naszym celem w ramach tego kursu jest porównanie wartości różnych inwestycji. Właśnie stopa zwrotu byłaby doskonałym narzędziem do tego zadania, ale zanim zaczniemy ją stosować, musimy dokładnie zrozumieć, czym właściwie ona jest - zarówno od strony matematycznej, jak i od strony teorii ekonomii. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 3 / 33

5 Motywacja Omawiając lokaty, natknęliśmy się na pojęcie, które pozwalało nam porównać opłacalność tych narzędzi inwestycyjnych: procentową stopę zwrotu o zadanym okresie. Przypomnę, że głównym naszym celem w ramach tego kursu jest porównanie wartości różnych inwestycji. Właśnie stopa zwrotu byłaby doskonałym narzędziem do tego zadania, ale zanim zaczniemy ją stosować, musimy dokładnie zrozumieć, czym właściwie ona jest - zarówno od strony matematycznej, jak i od strony teorii ekonomii. Temu właśnie będą poświęcone dwie najbliższe prezentacje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 3 / 33

6 Rachunek wartości pieniądza w czasie Dawna nazwa tego kursu brzmiała Rachunek wartości pieniądza (kapitału) w czasie. Rozszyfrujemy teraz nieco tę nazwę, by lepiej zrozumieć, o czym właściwie mówimy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 4 / 33

7 Rachunek wartości pieniądza w czasie Dawna nazwa tego kursu brzmiała Rachunek wartości pieniądza (kapitału) w czasie. Rozszyfrujemy teraz nieco tę nazwę, by lepiej zrozumieć, o czym właściwie mówimy. Rachunek tutaj jest jasny - na tym kursie liczymy i będziemy liczyć. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 4 / 33

8 Rachunek wartości pieniądza w czasie Dawna nazwa tego kursu brzmiała Rachunek wartości pieniądza (kapitału) w czasie. Rozszyfrujemy teraz nieco tę nazwę, by lepiej zrozumieć, o czym właściwie mówimy. Rachunek tutaj jest jasny - na tym kursie liczymy i będziemy liczyć. Wartość może być bardziej niejasna. Jak wiemy, jest to pojęcie subiektywne i dla każdego ten sam obiekt może przedstawiać inną wartość, a skali wartości różnych osób nie da się porównać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 4 / 33

9 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

10 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Nie do końca. Tu właśnie wchodzi czwarty i najważniejszy składnik nazwy: czas. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

11 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Nie do końca. Tu właśnie wchodzi czwarty i najważniejszy składnik nazwy: czas. Przy wyznaczaniu wartości pieniądza istotna jest nie tylko jego wartość nominalna, ale też moment czasowy, w którym ta wartość się znajduje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

12 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Nie do końca. Tu właśnie wchodzi czwarty i najważniejszy składnik nazwy: czas. Przy wyznaczaniu wartości pieniądza istotna jest nie tylko jego wartość nominalna, ale też moment czasowy, w którym ta wartość się znajduje. Obecnie, dla każdego chyba jest oczywiste, że 100 PLN w tym momencie jest warte więcej niż 100 PLN za rok. Dlatego, jeśli osoba A ma pożyczyć 100 PLN osobie B na rok, to osoba B poza zwrotem 100 PLN powinna zapłacić jakąś rekompensatę (np. odsetki), by umowa była sprawiedliwa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

13 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Nie do końca. Tu właśnie wchodzi czwarty i najważniejszy składnik nazwy: czas. Przy wyznaczaniu wartości pieniądza istotna jest nie tylko jego wartość nominalna, ale też moment czasowy, w którym ta wartość się znajduje. Obecnie, dla każdego chyba jest oczywiste, że 100 PLN w tym momencie jest warte więcej niż 100 PLN za rok. Dlatego, jeśli osoba A ma pożyczyć 100 PLN osobie B na rok, to osoba B poza zwrotem 100 PLN powinna zapłacić jakąś rekompensatę (np. odsetki), by umowa była sprawiedliwa. Innymi słowy, kapitał 100 PLN przez ten rok ulega aprecjacji, czyli zwiększeniu swojej nominalnej wartości (o rzeczone odsetki). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

14 Rachunek wartości pieniądza w czasie Na szczęście zajmujemy się wartością pieniądza, czyli wyrażamy wartość pieniężną za pomocą danej waluty - co jest rzeczą dość obiektywną, ale za to wydaje się trywialne. Wszak 10 PLN zawsze w złotych będzie warte 10 razy tyle co 1 PLN, prawda? Nie do końca. Tu właśnie wchodzi czwarty i najważniejszy składnik nazwy: czas. Przy wyznaczaniu wartości pieniądza istotna jest nie tylko jego wartość nominalna, ale też moment czasowy, w którym ta wartość się znajduje. Obecnie, dla każdego chyba jest oczywiste, że 100 PLN w tym momencie jest warte więcej niż 100 PLN za rok. Dlatego, jeśli osoba A ma pożyczyć 100 PLN osobie B na rok, to osoba B poza zwrotem 100 PLN powinna zapłacić jakąś rekompensatę (np. odsetki), by umowa była sprawiedliwa. Innymi słowy, kapitał 100 PLN przez ten rok ulega aprecjacji, czyli zwiększeniu swojej nominalnej wartości (o rzeczone odsetki). Co prawda, dziś się to wydaje oczywiste, ale nie zawsze tak było. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 5 / 33

15 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

16 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. Na przykład według dosłownej interpretacji Starego Testamentu, pożyczanie na procent współwyznawcom judaizmu powinno być ograniczone. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

17 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. Na przykład według dosłownej interpretacji Starego Testamentu, pożyczanie na procent współwyznawcom judaizmu powinno być ograniczone. Kościół rzymskokatolicki w średniowieczu również surowo oceniał lichwę, czyli jakiekolwiek pożyczanie na procent. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

18 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. Na przykład według dosłownej interpretacji Starego Testamentu, pożyczanie na procent współwyznawcom judaizmu powinno być ograniczone. Kościół rzymskokatolicki w średniowieczu również surowo oceniał lichwę, czyli jakiekolwiek pożyczanie na procent. Pozostałością tego podejścia są zapisy przeciw pożyczaniu na nadmiernie wysoki procent (cokolwiek to oznacza) w systemach prawnych świata zachodniego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

19 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. Na przykład według dosłownej interpretacji Starego Testamentu, pożyczanie na procent współwyznawcom judaizmu powinno być ograniczone. Kościół rzymskokatolicki w średniowieczu również surowo oceniał lichwę, czyli jakiekolwiek pożyczanie na procent. Pozostałością tego podejścia są zapisy przeciw pożyczaniu na nadmiernie wysoki procent (cokolwiek to oznacza) w systemach prawnych świata zachodniego. W innej części świata, również konserwatywni muzułmanie sprzeciwiają się oprocentowaniu pożyczek. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

20 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Wiele systemów etyczno-religijnych sprzeciwiało się samej koncepcji aprecjacji kapitału i twierdziło, że naliczanie odsetek od kapitału jest niemoralne i niesprawiedliwe. Na przykład według dosłownej interpretacji Starego Testamentu, pożyczanie na procent współwyznawcom judaizmu powinno być ograniczone. Kościół rzymskokatolicki w średniowieczu również surowo oceniał lichwę, czyli jakiekolwiek pożyczanie na procent. Pozostałością tego podejścia są zapisy przeciw pożyczaniu na nadmiernie wysoki procent (cokolwiek to oznacza) w systemach prawnych świata zachodniego. W innej części świata, również konserwatywni muzułmanie sprzeciwiają się oprocentowaniu pożyczek. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 6 / 33

21 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Sprzeciw wobec takich zasad nie jest domeną ruchów religijnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 7 / 33

22 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Sprzeciw wobec takich zasad nie jest domeną ruchów religijnych. Niektóre systemy filozoficzno-społeczne (np. różne odmiany marksizmu) również oceniają zyski z opłat za kapitał za niemoralne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 7 / 33

23 Wątpliwości co do aprecjacji kapitału Sprzeciw wobec takich zasad nie jest domeną ruchów religijnych. Niektóre systemy filozoficzno-społeczne (np. różne odmiany marksizmu) również oceniają zyski z opłat za kapitał za niemoralne. Niejednokrotnie do tego typu sentymentów odwołują się populistyczni politycy. Dlaczego zatem dziś generalnie uznajemy istnienie opłat za wypożyczenie kapitału za normalne i sprawiedliwe? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 7 / 33

24 Powody aprecjacji kapitału Jakie są powody do tego by nie uznawać kwoty np. 100 PLN dzisiaj za wartą tyle samo co obietnica kwoty 100 PLN za rok? Najpierw rozważmy kwestie, które na tym kursie zazwyczaj będziemy pomijać: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 8 / 33

25 Powody aprecjacji kapitału Jakie są powody do tego by nie uznawać kwoty np. 100 PLN dzisiaj za wartą tyle samo co obietnica kwoty 100 PLN za rok? Najpierw rozważmy kwestie, które na tym kursie zazwyczaj będziemy pomijać: Ryzyko - oczywiście, częścią ceny za pożyczanie kapitału jest opłata za ryzyko, że dłużnik umrze, zbankrutuje, ucieknie lub z jakiegokolwiek innego powodu nie zwróci pożyczonych pieniędzy. To jest ważny powód istnienia odsetek, niemniej nie rozważamy go na tym kursie, bo jak założyliśmy wcześniej - wszystkie płatności tutaj są deterministyczne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 8 / 33

26 Powody aprecjacji kapitału Jakie są powody do tego by nie uznawać kwoty np. 100 PLN dzisiaj za wartą tyle samo co obietnica kwoty 100 PLN za rok? Najpierw rozważmy kwestie, które na tym kursie zazwyczaj będziemy pomijać: Ryzyko - oczywiście, częścią ceny za pożyczanie kapitału jest opłata za ryzyko, że dłużnik umrze, zbankrutuje, ucieknie lub z jakiegokolwiek innego powodu nie zwróci pożyczonych pieniędzy. To jest ważny powód istnienia odsetek, niemniej nie rozważamy go na tym kursie, bo jak założyliśmy wcześniej - wszystkie płatności tutaj są deterministyczne. Inflacja - najczęściej, ze względu na inflację, ta sama nominalna kwota kapitału w czasie zmniejsza swoją realną wartość w miarę upływu czasu. W części 2 tego wykładu nauczyliśmy się, jak to uwzględniać w obliczeniach. Jednak formalnie, może się zdarzyć sytuacja, gdy inflacja jest zerowa (lub ujemna), więc nie zawsze będzie to dobre uzasadnienie istnienia odsetek. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 8 / 33

27 Powody aprecjacji kapitału - koszt utraconych korzyści Istnieją dwa inne powody istnienia odsetek, bardziej związane z naturą tego kursu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 9 / 33

28 Powody aprecjacji kapitału - koszt utraconych korzyści Istnieją dwa inne powody istnienia odsetek, bardziej związane z naturą tego kursu. Po pierwsze, z punktu widzenia podaży kapitału, pożyczkodawca, zamiast pożyczyć dany kapitał mógł go umieścić na lokacie bankowej, zakupić akcje, czy obligacje i po roku otrzymać więcej niż wpłacił. Wiele osób i instytucji chciałoby zapłacić za dostęp do tego kapitału, więc pożyczenie go za darmo byłoby równoważne z utratą tej zapłaty, co trzeba zrekompensować. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 9 / 33

29 Powody aprecjacji kapitału - koszt utraconych korzyści Istnieją dwa inne powody istnienia odsetek, bardziej związane z naturą tego kursu. Po pierwsze, z punktu widzenia podaży kapitału, pożyczkodawca, zamiast pożyczyć dany kapitał mógł go umieścić na lokacie bankowej, zakupić akcje, czy obligacje i po roku otrzymać więcej niż wpłacił. Wiele osób i instytucji chciałoby zapłacić za dostęp do tego kapitału, więc pożyczenie go za darmo byłoby równoważne z utratą tej zapłaty, co trzeba zrekompensować. Jeszcze dobitniej można spojrzeć na utracone korzyści z punktu widzenia inwestycji rzeczowych: potencjalny pożyczkodawca mógł zainwestować w rozwój własnego przedsiębiorstwa (np. właściciel fabryki w maszyny, drobny rzemieślnik w lepsze narzędzia, zwykły pracownik w kurs językowy lub np. lepszy komputer), które dałoby mu możliwość zwiększenia swoich dochodów w przyszłości. Brak takiej możliwości musi być zrekompensowany. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 9 / 33

30 Powody aprecjacji kapitału - preferencja czasowa Z poprzednim argumentem można jeszcze się kłócić, twierdząc, że nie ma gwarancji, że potencjalne inwestycje się zwrócą, ale mamy jeszcze inny argument, wynikający z popytowego punktu widzenia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 10 / 33

31 Powody aprecjacji kapitału - preferencja czasowa Z poprzednim argumentem można jeszcze się kłócić, twierdząc, że nie ma gwarancji, że potencjalne inwestycje się zwrócą, ale mamy jeszcze inny argument, wynikający z popytowego punktu widzenia. Otóż pożyczkodawca może wykorzystać dany kapitał nie tylko na inwestycje, ale na zaspokojenie swoich potrzeb. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 10 / 33

32 Powody aprecjacji kapitału - preferencja czasowa Z poprzednim argumentem można jeszcze się kłócić, twierdząc, że nie ma gwarancji, że potencjalne inwestycje się zwrócą, ale mamy jeszcze inny argument, wynikający z popytowego punktu widzenia. Otóż pożyczkodawca może wykorzystać dany kapitał nie tylko na inwestycje, ale na zaspokojenie swoich potrzeb. Generalną regułą jest, że człowiek chce dokonać tego możliwie jak najszybciej - jeśli ktoś jest głodny, to chciałby coś zjeść teraz, nie za rok. Jeśli kogoś boli ząb, to wolałby do dentysty pójść za godzinę, a nie za tydzień. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 10 / 33

33 Powody aprecjacji kapitału - preferencja czasowa Z poprzednim argumentem można jeszcze się kłócić, twierdząc, że nie ma gwarancji, że potencjalne inwestycje się zwrócą, ale mamy jeszcze inny argument, wynikający z popytowego punktu widzenia. Otóż pożyczkodawca może wykorzystać dany kapitał nie tylko na inwestycje, ale na zaspokojenie swoich potrzeb. Generalną regułą jest, że człowiek chce dokonać tego możliwie jak najszybciej - jeśli ktoś jest głodny, to chciałby coś zjeść teraz, nie za rok. Jeśli kogoś boli ząb, to wolałby do dentysty pójść za godzinę, a nie za tydzień. Konieczność odsunięcia w czasie możliwości realizacji takich potrzeb, do których potrzebny jest pożyczany kapitał, wymaga rekompensaty. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 10 / 33

34 Powody aprecjacji kapitału - preferencja czasowa Ta bezsporna obserwacja ma swoją nazwę: Preferencja czasowa Preferencja czasowa jest to reguła, która głosi, że ceteris paribus podmiot ekonomiczny woli zaspokoić swoje potrzeby bądź osiągnąć postawione cele możliwie jak najszybciej. Z zasady preferencji czasowej oraz z istnienia kosztów alternatywnych wynika konieczność opłaty za powstrzymanie się od natychmiastowego wykorzystania kapitału. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 11 / 33

35 Zasada aprecjacji kapitału Bezpośrednim wnioskiem z wcześniejszych obserwacji jest: Zasada aprecjacji kapitału Jeśli dwie nierównoczesne należności są równoważne (czyli jednakowo użyteczne), to wartość nominalna należności płatnej później jest większa niż należności płatnej wcześniej. Innymi słowy, wartość ekwiwalentu pewnej należności rośnie wraz z czasem, po jakim ten ekwiwalent będzie płatny. Można tę zasadę sformułować inaczej: kapitał o tej samej wartości nominalnej traci swoją wartość rzeczywistą wraz z upływem czasu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 12 / 33

36 Kapitał Nieco dualnie, na potrzeby tego kursu można zdefiniować: Kapitał Kapitał - oznaczany najczęściej przez K - zasób (tutaj najczęściej finansowy), którego wartość podlega procesowi aprecjacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 13 / 33

37 Wnioski z zasady aprecjacji kapitału Dlatego ogólną zasadą arytmetyki finansowej jest porównywanie dwóch należności jedynie w tym samym momencie czasowym. Jeśli jedna z tych wartości jest wypłacana w innym czasie niż druga, należy jedną (lub obie) z nich przed porównaniem zaktualizować na wybrany, dogodny moment (za chwilę omówimy, jak to zrobić). Wtedy i tylko wtedy możemy porównywać takie należności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 14 / 33

38 Stopień preferencji czasowej Jakkolwiek preferencja czasowa jest zasadą dotyczącą każdego człowieka, to siła jej działania jest kompletnie subiektywna. Silna preferencja czasowa oznacza, że ktoś zdecydowanie woli dysponować danym dobrem wcześniej i za odłożenie jego konsumpcji na później wymaga większej opłaty niż człowiek o słabej preferencji czasowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 15 / 33

39 Stopień preferencji czasowej Jakkolwiek preferencja czasowa jest zasadą dotyczącą każdego człowieka, to siła jej działania jest kompletnie subiektywna. Silna preferencja czasowa oznacza, że ktoś zdecydowanie woli dysponować danym dobrem wcześniej i za odłożenie jego konsumpcji na później wymaga większej opłaty niż człowiek o słabej preferencji czasowej. Przykładowo, większość dzieci charakteryzuje się silną preferencją czasową - najczęściej nie zgodzą się na odłożenie konsumpcji cukierka do następnego dnia, nawet jeśli im się obieca, że wtedy dostaną 2 cukierki. Tymczasem, większość dorosłych inwestycję, która pozwala podwoić kapitał w ciągu dnia, uznałaby za całkiem korzystną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 15 / 33

40 Stopień preferencji czasowej Jakkolwiek preferencja czasowa jest zasadą dotyczącą każdego człowieka, to siła jej działania jest kompletnie subiektywna. Silna preferencja czasowa oznacza, że ktoś zdecydowanie woli dysponować danym dobrem wcześniej i za odłożenie jego konsumpcji na później wymaga większej opłaty niż człowiek o słabej preferencji czasowej. Przykładowo, większość dzieci charakteryzuje się silną preferencją czasową - najczęściej nie zgodzą się na odłożenie konsumpcji cukierka do następnego dnia, nawet jeśli im się obieca, że wtedy dostaną 2 cukierki. Tymczasem, większość dorosłych inwestycję, która pozwala podwoić kapitał w ciągu dnia, uznałaby za całkiem korzystną. Z tego powodu prędkość aprecjacji kapitału jest pojęciem subiektywnym, ustalanym osobno dla każdego zagadnienia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 15 / 33

41 Stopa zwrotu jako prędkość akumulacji Prędkość aprecjacji kapitału jest równa stosunkowi względnego przyrostu wartości ekwiwalentu kapitału do długości okresu, w jakim ten przyrost wartości się dokonał. Miarą tej prędkości jest właśnie wspomniana wcześniej stopa zwrotu (r) (stopa zysku, rentowność). W wypadku lokat - stopą zwrotu jest efektywna stopa procentowa w danym okresie czasu. Inwestycje z większą stopą zwrotu są bardziej opłacalne (przy innych warunkach takich samych). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 16 / 33

42 Stopa zwrotu jako prędkość akumulacji Prędkość aprecjacji kapitału jest równa stosunkowi względnego przyrostu wartości ekwiwalentu kapitału do długości okresu, w jakim ten przyrost wartości się dokonał. Miarą tej prędkości jest właśnie wspomniana wcześniej stopa zwrotu (r) (stopa zysku, rentowność). W wypadku lokat - stopą zwrotu jest efektywna stopa procentowa w danym okresie czasu. Inwestycje z większą stopą zwrotu są bardziej opłacalne (przy innych warunkach takich samych). Pamiętajmy, że jeśli chcemy zmienić okres stopy zwrotu, musimy też zmienić jej okres kapitalizacji, więc konieczne jest stosowanie wzorów na efektywną stopę zwrotu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 16 / 33

43 Wzór aktualizujący Załóżmy, że mamy daną stopę zwrotu r o okresie 1 i kapitał K, którym dysponujemy w chwili 0. Jaki kapitał K N jest jego ekwiwalentem w chwili N? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 17 / 33

44 Wzór aktualizujący Załóżmy, że mamy daną stopę zwrotu r o okresie 1 i kapitał K, którym dysponujemy w chwili 0. Jaki kapitał K N jest jego ekwiwalentem w chwili N? Bez dodatkowych informacji zakładamy, że aprecjacja kapitału działa w sposób złożony. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 17 / 33

45 Wzór aktualizujący Załóżmy, że mamy daną stopę zwrotu r o okresie 1 i kapitał K, którym dysponujemy w chwili 0. Jaki kapitał K N jest jego ekwiwalentem w chwili N? Bez dodatkowych informacji zakładamy, że aprecjacja kapitału działa w sposób złożony. Wtedy wartość kapitału w chwili N możemy obliczyć tak samo jak w wypadku lokaty: K N = K(1 + r) N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 17 / 33

46 Aktualizacja, oprocentowanie, dyskontowanie W ten sposób można dowolny kapitał z momentu 0 zaktualizować na moment N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 18 / 33

47 Aktualizacja, oprocentowanie, dyskontowanie W ten sposób można dowolny kapitał z momentu 0 zaktualizować na moment N. Warto zauważyć, że N może być zarówno dodatnie jak i ujemne, więc każdy kapitał możemy w ten sposób przesuwać w czasie w obie strony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 18 / 33

48 Aktualizacja, oprocentowanie, dyskontowanie W ten sposób można dowolny kapitał z momentu 0 zaktualizować na moment N. Warto zauważyć, że N może być zarówno dodatnie jak i ujemne, więc każdy kapitał możemy w ten sposób przesuwać w czasie w obie strony. Proces aktualizacji nazywamy czasem oprocentowaniem (gdy przesuwa kapitał w czasie w przód ) lub dyskontowaniem (gdy przesuwa w czasie w tył ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 18 / 33

49 Aktualizacja, oprocentowanie, dyskontowanie W ten sposób można dowolny kapitał z momentu 0 zaktualizować na moment N. Warto zauważyć, że N może być zarówno dodatnie jak i ujemne, więc każdy kapitał możemy w ten sposób przesuwać w czasie w obie strony. Proces aktualizacji nazywamy czasem oprocentowaniem (gdy przesuwa kapitał w czasie w przód ) lub dyskontowaniem (gdy przesuwa w czasie w tył ). By aktualizować kapitał potrzebna nam jest stopa procentowa (i okres kapitalizacji dla niej przyjęty), mierząca preferencję czasową zainteresowanych stron. Często można sobie ją wyobrazić jako stopę zwrotu z najlepszej z pewnych inwestycji, do której strony (lub jedna z nich) mają dostęp lub po prostu jako daną psychologiczną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 18 / 33

50 Złożoność aktualizacji Jak już zauważyliśmy przy okazji lokat, takie porówania wartości należności są niezależne od momentu, w którym je dokonujemy, tylko gdy analizujemy stopę zwrotu z kapitalizacją złożoną. Jeśli porównujemy należności uwzględniając kapitalizację prostą, wynik porównania zależy od czasu, na który tę należność aktualizujemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 19 / 33

51 Złożoność aktualizacji Jak już zauważyliśmy przy okazji lokat, takie porówania wartości należności są niezależne od momentu, w którym je dokonujemy, tylko gdy analizujemy stopę zwrotu z kapitalizacją złożoną. Jeśli porównujemy należności uwzględniając kapitalizację prostą, wynik porównania zależy od czasu, na który tę należność aktualizujemy. Stąd domyślność modelu złożonego w zagadnieniach związanych z aktualizacją należności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 19 / 33

52 Równoważność kapitału Od tej pory o dwóch kapitałach będziemy mówić, że są równoważne (przy danej stopie procentowej r) jeśli ich wartości zaktualizowane na ten sam moment w czasie są równe. Jeśli zakładamy aktualizację kapitału za pomocą kapitalizacji złożonej, równoważność kapitałów nie zależy od wybranego momentu czasowego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 20 / 33

53 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 21 / 33

54 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Na oko, w pierwszym wariancie konsument zapłaci 1000 jp, w drugim 1070 jp, a w trzecim 1060 jp, więc wydawałoby się, że pierwsza opcja jest najbardziej opłacalna. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 21 / 33

55 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Na oko, w pierwszym wariancie konsument zapłaci 1000 jp, w drugim 1070 jp, a w trzecim 1060 jp, więc wydawałoby się, że pierwsza opcja jest najbardziej opłacalna. Jednak z poprzednich slajdów wiemy, że takie porównania są nieuprawnione, gdyż nie możemy porównywać wpłat, które się odbywają w różnych momentach czasowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 21 / 33

56 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Na oko, w pierwszym wariancie konsument zapłaci 1000 jp, w drugim 1070 jp, a w trzecim 1060 jp, więc wydawałoby się, że pierwsza opcja jest najbardziej opłacalna. Jednak z poprzednich slajdów wiemy, że takie porównania są nieuprawnione, gdyż nie możemy porównywać wpłat, które się odbywają w różnych momentach czasowych. Musimy wszystkie płatności zaktualizować na dowolny moment. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 21 / 33

57 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 22 / 33

58 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Spróbujmy zaktualizować wszystkie płatności na moment za rok od dziś. Obliczając zaktualizowaną wartość pierwszej oferty K 1A, musimy przesunąć kwotę 1000 jp na za rok od dziś. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 22 / 33

59 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Spróbujmy zaktualizować wszystkie płatności na moment za rok od dziś. Obliczając zaktualizowaną wartość pierwszej oferty K 1A, musimy przesunąć kwotę 1000 jp na za rok od dziś. Zatem: K 1A = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 22 / 33

60 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Spróbujmy zaktualizować wszystkie płatności na moment za rok od dziś. Obliczając zaktualizowaną wartość pierwszej oferty K 1A, musimy przesunąć kwotę 1000 jp na za rok od dziś. Zatem: K 1A = 1000(1, 1) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 22 / 33

61 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 23 / 33

62 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Obliczając zaktualizowaną wartość drugiej oferty K 1B, musimy przesunąć kwotę 535 jp z za pół roku na za rok i dodać kwotę 535, która już jest zaktualizowana na za rok. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 23 / 33

63 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Obliczając zaktualizowaną wartość drugiej oferty K 1B, musimy przesunąć kwotę 535 jp z za pół roku na za rok i dodać kwotę 535, która już jest zaktualizowana na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na półroczną r ef = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 23 / 33

64 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Obliczając zaktualizowaną wartość drugiej oferty K 1B, musimy przesunąć kwotę 535 jp z za pół roku na za rok i dodać kwotę 535, która już jest zaktualizowana na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na półroczną r ef = (1 + 0, 1) = 0, 0488, i wtedy mamy: K 1B = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 23 / 33

65 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Obliczając zaktualizowaną wartość drugiej oferty K 1B, musimy przesunąć kwotę 535 jp z za pół roku na za rok i dodać kwotę 535, która już jest zaktualizowana na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na półroczną r ef = (1 + 0, 1) = 0, 0488, i wtedy mamy: K 1B = 535(1, 0488) = 1096, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 23 / 33

66 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 24 / 33

67 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Analogicznie dla obliczenia zaktualizowanej wartości trzeciej oferty K 1C, przesuwamy 3 pierwsze wpłaty o odpowiednio 3, 2 i 1 kwartałów i dodajemy otrzymane kwoty do 265 jp, które już jest zaktualizowane na za rok. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 24 / 33

68 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Analogicznie dla obliczenia zaktualizowanej wartości trzeciej oferty K 1C, przesuwamy 3 pierwsze wpłaty o odpowiednio 3, 2 i 1 kwartałów i dodajemy otrzymane kwoty do 265 jp, które już jest zaktualizowane na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na kwartalną r ef = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 24 / 33

69 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Analogicznie dla obliczenia zaktualizowanej wartości trzeciej oferty K 1C, przesuwamy 3 pierwsze wpłaty o odpowiednio 3, 2 i 1 kwartałów i dodajemy otrzymane kwoty do 265 jp, które już jest zaktualizowane na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na kwartalną r ef = (1 + 0, 1) = 0, 0241, i wtedy mamy: K 1C = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 24 / 33

70 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Analogicznie dla obliczenia zaktualizowanej wartości trzeciej oferty K 1C, przesuwamy 3 pierwsze wpłaty o odpowiednio 3, 2 i 1 kwartałów i dodajemy otrzymane kwoty do 265 jp, które już jest zaktualizowane na za rok. W tym celu potrzebujemy najpierw przeliczyć stopę preferencji czasowej na kwartalną r ef = (1 + 0, 1) = 0, 0241, i wtedy mamy: K 1C = 265((1, 0241) 3 + (1, 0241) 2 + (1, 0241) + 1) = 1098, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 24 / 33

71 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 25 / 33

72 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Z obliczeń wynika, że: K 1B < K 1C < K 1A, a zatem druga oferta jest najbardziej opłacalna (mimo, że nominalnie najbardziej kosztowna). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 25 / 33

73 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 26 / 33

74 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Warto zwrócić uwagę, że równie dobrze można byłoby zaktualizować wartości wszystkich ofert na dowolny inny moment, np. dziś. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 26 / 33

75 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Warto zwrócić uwagę, że równie dobrze można byłoby zaktualizować wartości wszystkich ofert na dowolny inny moment, np. dziś. Wtedy zaktualizowana wartośc pierwszej oferty wynosi po prostu K 0A = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 26 / 33

76 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 27 / 33

77 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Zaktualizowana na dziś wartość drugiej oferty to: K 0B = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 27 / 33

78 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Zaktualizowana na dziś wartość drugiej oferty to: K 0B = 535(1, 0488) (1, 0488) 2 = 996, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 27 / 33

79 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 28 / 33

80 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Zaktualizowana na dziś wartość trzeciej oferty to: K 0C = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 28 / 33

81 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Zaktualizowana na dziś wartość trzeciej oferty to: K 0C = 265((1, 0241) 1 + (1, 0241) 2 + (1, 0241) 3 + (1, 0241) 4 ) = = 999, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 28 / 33

82 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 29 / 33

83 Aktualizacja - przykład Zadanie Załóżmy, że konsument, którego preferencję czasową reprezentuje stopa 10% rocznie ma do wyboru zakup pewnego towaru (A)dziś za 1000 jp, (B) w 2 ratach półrocznych (pierwsza za pół roku) po 535 jp i (C) w 4 ratach kwartalnych (pierwsza za kwartał) w wysokości 265 jp. Która z tych ofert jest najlepsza dla tego konsumenta? Analogicznie jak przy pierwszym sposobie wychodzi: K 0B < K 0C < K 0A, a zatem druga oferta jest najbardziej opłacalna. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 29 / 33

84 Reguła 70 - wstęp Na koniec ciekawostka, o której wspominałem już na kursie analizy matematycznej, ale nie może jej zabraknąć na tym kursie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 30 / 33

85 Reguła 70 - wstęp Na koniec ciekawostka, o której wspominałem już na kursie analizy matematycznej, ale nie może jej zabraknąć na tym kursie. Okazuje się, że niezależnie od rodzaju inwestycji, jeśli wiemy jaka jest jej roczna stopa zwrotu, możemy natychmiast oszacować po jakim czasie wartość zainwestowanego kapitału się podwoi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 30 / 33

86 Reguła 70 Zadanie - reguła 70 Kapitał K zainwestowano ze stopą zwrotu r [0, 1] w skali roku. Jak można szybko oszacować, ile czasu potrzeba, by kapitał się podwoił? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 31 / 33

87 Reguła 70 Zadanie - reguła 70 Kapitał K zainwestowano ze stopą zwrotu r [0, 1] w skali roku. Jak można szybko oszacować, ile czasu potrzeba, by kapitał się podwoił? Oznaczmy ten czas przez t(r). Rozwiązując to w sposób dokładny, potrzebujemy rozwiązać równanie 2 = (1 + r) t(r), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 31 / 33

88 Reguła 70 Zadanie - reguła 70 Kapitał K zainwestowano ze stopą zwrotu r [0, 1] w skali roku. Jak można szybko oszacować, ile czasu potrzeba, by kapitał się podwoił? Oznaczmy ten czas przez t(r). Rozwiązując to w sposób dokładny, potrzebujemy rozwiązać równanie 2 = (1 + r) t(r), skąd otrzymujemy t(r) = ln 2 ln(1+r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka finansowa 31 / 33