Matematyka Ekonomiczna

Transkrypt

1 Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey strona domowa: Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek września / 43

2 Zarys Kursu 1. Stopy procentowe i dyskontowanie 2. Wartość aktualna ciągu przyszłych wypłat. Ubezpieczenie życiowe. 3. Teoria podażu i popytu 4. Wstęp do teorii gier. 5. Zastosowanie teorii gier w ekonomii. 2 / 43

3 1.1 Nominalna i aktualna wartość przychodów Nawet gdy nie ma inflacji, racjonalna osoba woli dostać 100zł dzisiaj niż za miesiąc. Wynika to z dwóch czynników 1. Mogę korzystać z tych pieniędzy teraz, a nie dopiero za miesiąc. 2. Niepewność. Czy naprawdę za miesiąc dostanę te pieniądze? Nominalna wartość pieniędzy (np. oficjalna wartość banknotów lub monet) nie zmienia się w czasie. Tutaj to 100zł. 3 / 43

4 Dyskontowanie przyszłych dochodów Fakt że rzeczywista wartośc pieniędzy zależy od czasu jest najłatwiej odzwierciedlony za pomocą dyskontowania wykładniczego (geometrycznego). Aktualna wartość przychodu o wartości x, który ma zajść za t jednostek czasowych, wynosi V (x; t), gdzie V (x; t) = xα t, α jest czynnikiem dyskontującym (dyskontem), 0 < α < 1. Przy takim dyskontowaniu, osoba jest obojętna wobec wyboru: i) x za t jednostek czasowych, lub ii) (xα t ) teraz (wartość aktualna tego przychodu). 4 / 43

5 Przykład 1.1 Zakładamy że dyskonto (roczne) wynosi 0,9. Wyznaczyć aktualna wartość kwoty 100zł, która osoba ma dostać za t lat, gdzie t = 1, 2, 3. 5 / 43

6 Przykład / 43

7 Zmiana jednostki czasu Zwykle się określa dyskonto w skali rocznej, α. Czasami chcemy określić dyskonto w skali miesięcznej lub dziennej. Zakładamy że rok jest k jednostek czau (np. gdy jednostka jest miesiąc, k = 12), wtedy dyskonto na jednostkę czasu wynosi α p, gdzie α p = k α oraz α jest dyskontem w skali rocznej. 7 / 43

8 Zmiana jednostki czasu Zakładamy że dyskonto w skali rocznej jest 0.9. Wtedy, dyskonto w skali miesięcznej wynosi Uwaga: na skali rocznej (12 miesięcy), dyskonto wynosi α 12 p = / 43

9 Zalety dyskontowania wykładniczego Dyskontowanie wykładnicze posiada własność zwaną spójnością czasową, czyli Gdy osoba jest obojętna wobec wyboru: i) x 1 teraz, lub ii) x 2 za t jednostek czasu wtedy osoba ta jest obojętna wobec wyboru: i) x 1 za k jednostek czasu, a ii) x 2 za k + t jednostek czasu 9 / 43

10 Zalety dyskontowania wykładniczego Na przykład, gdy osoba jest obojętna wobec wyboru: i) 90zł dzisiaj, lub ii) $100 za rok, wtedy, przy dyskontowaniu wykładniczym, będzie obojętna wobec wyboru: i) 90zł za 5 lat, lub ii) $100 za 6 lat. Uwaga: zwrot obojętna wobec możemy zastąpić woli... od lub nie woli... od a argument wciąż zachodzi. 10 / 43

11 Wady dyskontowania wykładniczego W rzeczywistości, natychmiastowe wypłaty są bardziej premiowane niż wynika z metody dyskontowania wykładniczego, np. następujące preferencje są dosyć często spotykane. a) osoba woli dostać 90zł teraz niż 100zł za rok, ale b) nie woli dostać 90zł za 5 lat niż 100zł za 6 lat. Takie preferencje są niedopuszczalne przy dyskontowaniu wykładniczym. Tutaj ogólnie rozważamy tylko dyskontowanie wykładnicze. 11 / 43

12 Dyskontowanie kwasi-hyperboliczne Przy dyskontowaniu kwasi-hyperbolicznym, aktualna wartość przychodu x, który ma zajść za t jednostek czasu, gdzie t > 0, wynosi V (x; t), gdzie 0 < α < 1 oraz 0 < β 1. V (x; t) = xβα t, Parametr β opisuje stopień promowania natychmiastowych wypłat. Im większe β, tym bardziej cierpliwa jest osoba ta (tym mniej promuje natychmiastowe wypłaty). β = 1 odpowiada dyskontowaniu wykładniczemu. 12 / 43

13 1.2 Oprocentowanie proste i złożone Gdy inwestujemy pieniądze, oczekujemy żeby nominalna wartość tej inwestycji rośnie względem czasu. Zakładamy że się stosuje oprocentowanie proste o rocznej stopie procentowej 100α% do pewnej inwestycji o wstępnej wartości x Wtedy, nominalna wartość inwestycji rośnie o αx co roku. Czyli oprocentowanie zawsze jest obliczone na bazie wstępnej kwoty. 13 / 43

14 Oprocentowanie proste Wynika z tego że wartość nominalna inwestycji wstępnej kwoty x przy stosowaniu oprocentowania prostego o stopie 100R% po t jednostkach czasowych wynosi I (x; t) = x(1 + Rt) Uwaga: gdy zastosowano oprocentowanie proste o stopie 5% rocznej, wtedy inwestycji wstępnej kwoty 100zł rośnie o 5zł rocznie. 14 / 43

15 Oprocentowanie złożone W praktyce, zastosowano oprocentowanie złożone. Zakładamy że zastosowane oprocentowanie złożone o stopie 100R% wobec inwestycji wstępnej kwoty x Wtedy wartość nominalna tej inwestycji jest pomnożona przez (1 + R) co jednostkę czasu. Czyli oprocentowanie zawsze dotyczy aktualnej wartości nominalnej inwestycji. 15 / 43

16 Oprocentowanie złożone Wynika z tego że gdy zastosowano oprocentowanie proste o stopie 100R%, po t jednostkach czasu wartość nominalna inwestycji o wstępnej wartości x wynosi I (x; t) = x(1 + R) t 16 / 43

17 Czas podwojenia Czas podwojenia, t d, spełnia I (x; t d ) = 2x, czyli jest to czas potrzebny żeby wartość nominalna inwestycji się podwoiła. Należnie od tego czy nałożono oprocentowanie proste lub złożone, czas ten jest niezależny od wartości inwestycji wstępnej. Bez utraty ogólności, aby wyznaczyć czas podwojenia, możemy założyć że x = 1. Więc I (1; t d ) = / 43

18 Czas podwojenia przy oprocentowaniu prostym Korzystając z równania opisującego nominalną wartość inwestycji przy oprocentowaniu prostym, mamy (1 + Rt d ) = 2 t d = 1 R. Więc gdy nałożono oprocentowanie proste o stopie 5% rocznie, R = 0, 05, wtedy czas podwojenia wynosi 20 lat. 18 / 43

19 Czas podwojenia przy oprocentowaniu złożonym Korzystając z równania opisującego nominalną wartość inwestycji przy oprocentowaniu złożonym, mamy (1 + R) t d = 2 t d ln(1 + R) = ln 2 t d = ln 2 ln(1 + R). Więc gdy nałożono oprocentowanie złożone o stopie 5% rocznie, R = 0, 05, wtedy czas podwojenia wynosi w przybliżeniu 14,2 lat. Przy ustalonej stopie, na dalszą metę inwestor woli oprocentowanie złożone od oprocentowania prostego. 19 / 43

20 Przykład 1.2 Zakładamy że zainwestowano 1000zł. Wyznaczyć i) nominalną wartość inwestycji po 3 latach, ii) czas potrzebny żeby nominalna wartość inwestycji potroiła. gdy oprocentowanie jest a) proste o stopie 5% rocznie, b) złożone o stopie 3% rocznie 20 / 43

21 Przykład / 43

22 Przykład / 43

23 Przykład / 43

24 Przykład / 43

25 1.3 Aspekty Praktyczne - Kapitalizacja Wzory podane powyżej zakładają że nałożono oprocentowanie w czasie ciągłym, czyli t może przyjąć dowolną (nieujemną) wartość. W praktyce, nominalna wartość inwestycji jest kapitalizowana pod koniec danego okresu, np. oprocentowanie jest nałożone codziennie lub miesięcznie. W tym przypadku, wzory podane powyżej są właściwe tylko pod koniec danego okresu. Zwyczajowo podano stopę roczną (czasami stopę miesięczną lub dzienną). Zakładamy że rok składa się z 12 miesięcy oraz 360 dni, czyli miesiąc trwa 30 dni. 25 / 43

26 Kapitalizacja przy oprocentowaniu prostym Zakładamy że stopa roczna wynosi R oraz inwestycja jest kapitalizowana k razy rocznie (czyli jest k okresów w roku). W tym wypadku, stopa oprocentowania w skali okresu, R p, wyraża się R p = R k. 26 / 43

27 Kapitalizacja przy oprocentowaniu prostym Na przykład, oprocentowanie proste o stopie rocznej 6% odpowiada oprocentowaniu prostemu o stopie miesięcznej 0,5%. Gdy inwestycja jest kapitalizowana co miesiąc, wtedy po 60 dniach (2 miesiącach) nominalna wartość inwestycji już rosła o 2 0, 5 = 1% w porównaniu z wstępną wartością. Nominalna wartość tej inwestycji wtedy nie zmienia się aż do konća trzeciego miesiąca. Wtedy po 90 dniach (3 miesiącach) nominalna wartość inwestycji już rosła o 3 0, 5 = 1, 5% w porównaniu z wstępną wartością. 27 / 43

28 Kapitalizacja przy oprocentowaniu złożonym Zakładamy że stopa roczna wynosi 100R% oraz inwestycja jest kapitalizowana k razy rocznie. W tym wypadku, stopa oprocentowania w skali okresu, R p, wyraża się (1 + R p ) k = (1 + R) (1 + R p ) = k 1 + R R p = k 1 + R 1 28 / 43

29 Kapitalizacja przy oprocentowaniu złożonym Na przykład, gdy stopa roczna wynosi 6% oraz inwestycja jest kapitalizowana co miesiąc, czyli k = 12, wtedy miesięczna stopa procentowa wynosi R p = 12 1, , = 0, 4868%. Uwaga: Gdy oprocentowanie złożone jest nałożone k razy w roku, wtedy R p < R k. 29 / 43

30 Kapitalizacja przy oprocentowaniu złożonym Natomiast, gdy nałożono oprocentowanie złożone, stopa roczna jest większa niż stopa miesięczna pomnożona przez 12. Mamy (1 + R p ) k = (1 + R), gdy R p jest stopą procentową w skali okresu, inwestycja jest kapitalizowana k razy w roku oraz R jest roczną stopą procentową. Przy stopie miesięcznej 0,5%, mamy (1 + R) = (1, 005) 12 = 1, Więc, stopa roczna wynosi 6,168%. 30 / 43

31 Przykład 1.3 a) Zakładamy że nałożono oprocentowanie proste o stopie rocznej 7,2%. Wyznaczyć stopa procentowa w skali okresu, gdy inwestycja jest kapitalizowana i) co miesiąc ii) codziennie. b) Zakładamy że zainwestowano 200PLN. Wyznaczyć nominalną wartość tej inwestycji po 75 dniach, gdy inwestycja jest kapitalizowana i) co miesiąc. ii) codziennie. c) Wyznaczyć odpowiednie wartości, gdy nałożono oprocentowanie złożone. 31 / 43

32 Przykład / 43

33 Przykład / 43

34 Przykład / 43

35 Przykład / 43

36 Czas podwojenia gdy kapitalizacja nie jest ciągła W tym przypadku, czas podwojenia jest najkrótszy czas potrzebny żeby wartość nominalna inwestycji co najmniej się podwoiła. Przy obliczeniu czasu podwojenia, najłatwiej korzystać ze wzoru dla kapitalizacji ciągłej przy danej stopie w skali okresu, a potem brać pod uwagę fakt że inwestycja przyjmuje odpowiednią wartość pod koniec okresu. Czyli należy zaokrąglić odpowiedź do góry (do następnej liczby całkowitej). 36 / 43

37 Przykład 1.4 Wyznaczyć czas podwojenia gdy oprocentowanie złożone o stopie 7,2% rocznie jest nałożone a inwestycja jest kapitalizowana a) codziennie, b) miesięcznie. 37 / 43

38 Przykład / 43

39 Przykład / 43

40 Przykład / 43

41 Przykład / 43

42 1.4 Stopa zwrotu z środków trwałych Zakładamy że przychód roczny np. z wynajęcia mieszkania o wartości x (lub z innego środku trwałego o wartości x) wynosi I. Wtedy roczna stopa zwrotu, R, wynosi R = I x Pomnożąc przez 100, otrzymujemy stopę zwrotu w skali procentowej. 42 / 43

43 Stopa zwrotu z środków trwałych Na przykład, gdy wartość mieszkania wynosi zł oraz roczny przychód z wynajmu wynosi zł, wtedy stopa zwrotu wynosi R = = 0, Więc, procentowa stopa zwrotu wynosi 4,5% rocznie. Uwaga: Używam tej samej notacji dla stopy procentowej oraz stopy zwrotu, bo obie miary są miarami stopy zwrotu z pewnej inwestycji. 43 / 43