PROPOZYCJA NOWEGO ALGORYTMU W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ

Transkrypt

1 B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr Helena GASPARS* PROPOZYCJA NOWEGO ALGORYTMU W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ Autora pracy nawiązuje do swojego poprzedniego opracowania, w tórym poazano, że algorytm CPM-COST nie zawsze prowadzi do rozwiązania optymalnego. Celem niniejszej pracy jest zaproponowanie nowej metody, tóra między innymi tym różni się od tradycyjnego podejścia, iż załada się onieczność rozpatrywania, w procesie sracania czasu realizacji przedsięwzięcia, wszystich ścieże niedopuszczalnych, czyli dróg, tórych czas trwania przeracza dyretywny czas realizacji całego przedsięwzięcia. Przedstawioną procedurę porównano z innymi istniejącymi metodami, stosowanymi w analizie czasowo-osztowej przedsięwzięć. Słowa luczowe: CPM-COST, metoda ścieżi rytycznej, analiza czasowo-osztowa, czas graniczny, czas dyretywny, algorytm, ręczne procedury obliczeniowe, podejście dysretne, małe projety Wstęp Od iludziesięciu lat znana jest metoda ścieżi rytycznej w ujęciu osztowym, czyli tzw. algorytm CPM-COST. Procedurę tę stosuje się wówczas, gdy decydentowi zależy na przyspieszeniu realizacji projetu opisanego siecią czynności przy jednoczesnym dążeniu do minimalizacji łącznych osztów, związanych ze sróceniem czasu trwania wybranych działań. Opis wspomnianego algorytmu można znaleźć m.in. w pracach [3, s ], [13, s.136]. W późniejszych opracowaniach tratujących o programowaniu sieciowym i zarządzaniu projetem [44, s ], [7, s ], autorzy, omawiając olejne etapy tej metody, powołują się właśnie na pracę [3] i zamieszczają tai sam opis algorytmu (por. taże [6, s. 86], [48, s. 430]). W pracy [14] poazano, iż algorytm CPM-COST jest jedynie procedurą przybliżoną. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie oncep- * Katedra Badań Operacyjnych, Aademia Eonomiczna w Poznaniu, al. Niepodległości 10, Poznań, helenagaspars@poczta.onet.pl

2 6 H. GASPARS cji nowego algorytmu, tóry został opracowany m.in. na podstawie wniosów, zawartych w artyule [14]. 1. Niedosonałości algorytmu CPM-COST Procedura algorytmu CPM-COST słada się z następujących etapów (zob. [3], [7], [44]): 1. Zestawić czynności rytyczne, podać gradienty osztów 1 oraz czasy graniczne.. Wyeliminować te czynności rytyczne, tórych nie można srócić. 3. Sracanie rozpocząć od czynności rytycznej o najniższym gradiencie osztów. 4. Przy sracaniu czasu trwania czynności starać się srócić jej czas o ja najwięszą liczbę jednoste czasu, przy czym mogą wystąpić dwa ograniczenia: osiągnięcie czasu granicznego dla danej czynności, pojawienie się nowej ścieżi rytycznej/ścieże rytycznych. 5. Jeżeli istnieją dwie (lub więcej) ścieżi rytyczne w sieci, należy sracać czas o tę samą wielość na wszystich ścieżach rytycznych. Z opisu metody wynia, iż: W celu srócenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia należy rozpatrywać jedynie ścieżi rytyczne, ponieważ to one charateryzują się najdłuższym czasem trwania, a zatem decydują o momencie zaończenia inwestycji. Ścieża, tóra jest rytyczna bądź stała się nią na sute ompresji sieci zachowuje w olejnych iteracjach swoje zerowe zapasy czasu, czyli nie przestaje być rytyczną. Wraz z przyspieszaniem momentu zaończenia przedsięwzięcia liczba ścieże rytycznych w ażdej następnej iteracji jest taa sama bądź wzrasta 3, Należy sracać wszystie ścieżi rytyczne o tę samą wielość, co oznacza, iż przy ustalaniu możliwych wariantów powinny być rozpatrywane tylo nietóre przeroje. Przerojem sieci rytycznej nazywamy ażdy minimalny zbiór łuów, przez tóre przechodzą wszystie ścieżi rytyczne. Z opisu algorytmu należy wywniosować, iż powinniśmy wziąć pod uwagę jedynie ombinacje, stanowiące masymalne zbiory łuów równoległych. Wariant rozumiany w ten sposób pozwala srócić wszystie ścieżi rytyczne o doładnie jedną jednostę. Z olei przerój jest pojęciem szerszym, gdyż jest nim również ażdy racjonalny wariant, załadający sróce- 1 Przyjmuje się, że funcje czas oszt dla poszczególnych czynności są deterministyczne i niezależne. Czasu trwania czynności nie można srócić, gdy normalny czas wyonania działania jest równy czasowi granicznemu. 3 Autorzy prac [15, s. 50], [3, s. 8], [9, s. 99], [33, s. 109] oraz [48, s. 47] duży nacis ładą również na możliwość pojawienia się nowych dróg rytycznych w olejnych iteracjach.

3 Propozycja nowego algorytmu... 7 nie czasu najdłużej trwających ścieże o przynajmniej jedną jednostę. Każdy wariant sracający wszystie najdłuższe drogi o doładnie jedną jednostę zawiera się zatem w zbiorze przerojów sieci rytycznej. Kombinacje, o tórych mowa w opisie algorytmu CPM-COST, nazwiemy w pracy przerojami doładnymi 4. Chcąc przyspieszyć realizację inwestycji, należy wybrać najtańszy przerój doładny 5. Algorytm CPM-COST można zaprezentować w postaci schematu, przedstawionego na rysunu 1. Sracanie czasu trwania najdłuższych ścieże sucesywnie o jedną jednostę jest onieczne zwłaszcza wówczas, gdy w sieci występuje ila ścieże rytycznych. Jeżeli natomiast sieć słada się tylo z jednej drogi rytycznej, tórej czas trwania jest na dodate znacznie dłuższy aniżeli czasy wyznaczone dla pozostałych ścieże, to wybraną(e) czynność(i) rytyczną(e) można w danej iteracji przyspieszyć od razu o więcej niż jedną jednostę, pamiętając o ograniczeniach, wyniających z ustalonego czasu granicznego oraz dostępnych środów, przeznaczonych na acelerację działań. START STOP Wyznaczyć podsieć rytyczną Czy pojawiła się nowa ścieża rytyczna? nie ta Ustalić możliwe warianty srócenia wszystich ścieże rytycznych o jedną jednostę a) Jedna czynność wspólna dla wszystich ścieże rytycznych b) Po jednej czynności na ażdej ścieżce rytycznej c) Kombinacja dwóch pierwszych wariantów ta Wyznaczyć nową podsieć rytyczną Przypisać wymienionym wariantom łączne oszty srócenia nie Czy cel został osiągnięty? Wybrać najtańszy technicznie możliwy wariant i srócić czas trwania wybranych czynności o jedną jednostę Rys. 1. Algorytm CPM-COST Sposób ustalania wariantów sracających czas trwania wszystich ścieże rytycznych o jedną jednostę przedstawiono m.in. w pracach [19, s. 303], [33, 4 Każdy przerój doładny jest przerojem, ale nie ażdy przerój jest przerojem doładnym. Dodajmy, że przerojami są tylo zbiory złożone z czynności rzeczywistych, a nie pozornych, gdyż czas trwania tych ostatnich nie może być srócony! 5 Wymienionymi zasadami ierują się również nauczyciele aademiccy, prowadzący zajęcia z programowania sieciowego, czy też zarządzania projetem, o czym świadczą zamieszczane na stronach internetowych wyładowców dydatyczne opracowania z tego zaresu.

4 8 H. GASPARS s ] 6. Osiągnięcie celu wiąże się z uzysaniem rozwiązania optymalnego jednego z poniższych zadań [43]: a) Decydent minimalizuje czas realizacji przedsięwzięcia (T ), mając na względzie dostępne środi (K*), tóre może przeznaczyć na acelerację (Budget Problem): T min, (1) K K *. () b) Decydent dąży do realizacji inwestycji w czasie nie dłuższym niż zadany czas dyretywny (T*), przy czym zamierza to uczynić ja najtaniej (Deadline Problem) : K min, (3) T T *. (4) W pracy [14] przedstawiono jedna sytuacje, w tórych rozwiązanie uzysane za pomocą zaprezentowanego algorytmu było mniej zadowalające aniżeli wyni, otrzymany na podstawie modelu optymalizacyjnego. W pierwszym przyładzie (rys. ), zawartym w artyule [14], celem było srócenie czasu realizacji przedsięwzięcia, sładającego się z sześciu czynności (A F), z 10 do 8 dni. Koszty srócenia danej czynności o ażdy olejny dzień podano w nawiasach wadratowych (w tys. zł), a liczba wartości w nich zawartych stanowiła jednocześnie liczbę dni, o tórą masymalnie można było srócić czas trwania rozpatrywanej czynności. Bra nawiasu wadratowego przy danym działaniu oznaczał, iż jego srócenie jest technicznie niemożliwe. W nawiasach orągłych przy węzłach podano najwcześniejsze możliwe i najpóźniejsze dopuszczalne momenty zajścia zdarzeń, a całowite zapasy czasu czynności przedstawiono w nawiasach orągłych obo łuów. (4,4) D [5] (0) (6,6) E 4 [4,4,6] (10,10) 4 (0) 5 A 4 [,3] (0) C 3 (0) (0) F 3 [1,] 1 3 (0,0) B 7 [7] (0) (7,7) Rys.. Wyjściowa sieć w przyładzie 1 (K min, T* = 8) 6 Z trzecim sposobem wyznaczania ombinacji, wymienionym na rys. 1, mamy do czynienia na przyład wówczas, gdy sieć rytyczna słada się z trzech ścieże: I, II, III i jao wariant przyjmujemy srócenie jednej czynności wspólnej dla ścieże I i III oraz jeszcze jednej czynności, tóra znajduje się tylo na ścieżce II.

5 Propozycja nowego algorytmu... 9 Stosując opisaną procedurę generowania rozwiązania optymalnego, otrzymano następujące wynii. W pierwszej iteracji należało srócić czas trwania czynności E i F, w olejnym etapie również. Łączne oszty srócenia czasu realizacji przedsięwzięcia wyniosły 11 tys. zł. Tymczasem rozwiązując zadanie na podstawie odpowiednio sformułowanego modelu optymalizacyjnego (zob. [14]), można było dojść do wniosu, iż wariant A+F jest bardziej opłacalny. Dwurotne srócenie tych czynności taże pozwoliło osiągnąć czas dyretywny, a całowite oszty srócenia wyniosły jedynie 8 tys. zł. Przyład ten wyraźnie poazuje, iż przy wyborze najtańszego wariantu nie należy ograniczać się do zbiorów czynności, tórych srócenie spowoduje jednaowe przyspieszenie wszystich ścieże rytycznych. Konieczne jest rozpatrzenie wszystich możliwych przerojów. Twierdzenie 1. W celu srócenia czasu realizacji przedsięwzięcia z T do T możliwie ja najtaniej, należy wziąć pod uwagę nie tylo przeroje doładne, lecz wszystie przeroje. Dowód. Niech B oznacza zbiór przerojów doładnych, ustalonych na podstawie ścieże rytycznych sieci, tórych czas trwania wynosi T, i niech C będzie zbiorem wszystich możliwych przerojów, wyznaczonych dla tego zestawu ścieże. Dane są przeroje: p 1 B oraz p C \ B wraz z odpowiadającymi im osztami srócenia K ( p 1 ) i K ( p ), przy czym K ( p 1 ) > K ( p ). Niezależnie od wybranego przeroju, srócenie czasu trwania wszystich czynności należących do niego o jednoste spowoduje przyspieszenie całej inwestycji o. Ze względu na równanie (3) orzystniej jest jedna wybrać przerój p. D H A C E G I B F Rys. 3. Możliwe warianty Przyład pierwszy świadczy o tym, iż raz ustalona ścieża rytyczna w następnej iteracji nieoniecznie zachowa zerowy zapas czasu. Jeżeli najtańszą ombinacją oaże się zestaw czynności, sracający długość ścieże rytycznych o przynajmniej jedną jednostę, to nietóre najdłuższe drogi zostaną srócone np. dwurotnie, czyli przestaną być rytyczne! Liczba ścieże rytycznych może się więc zmniejszyć w olejnej iteracji, co przeczy założeniom omówionego algorytmu. Warto zauważyć, iż przy odpowiedniej struturze sieci najtańszym przerojem może się oazać tai zbiór, tóry zawiera aż n/ bądź (n + 1)/ czynności, wchodzących

6 10 H. GASPARS w sład ścieżi rytycznej złożonej z n łuów. Stąd w ramach jednej iteracji całowity zapas czasu danej ścieżi może wzrosnąć nawet o więcej niż dwie jednosti! Na rysunu 3 przedstawiono sieć, sładającą się z samych ścieże rytycznych o czasie T. Jeżeli oszt przeroju {A,E,I} będzie najniższy, ścieża A-C-E-G-I zostanie srócona trzyrotnie, mimo iż całe przedsięwzięcie opisane taą siecią zaończy się dopiero w momencie T 1. (5,5) B 4 [3] (1) (10,10) 4 A 5 [] (0) C [1] (0) (0) E 3 [] 1 (0,0) D 6 [4] (1) 3 (7,7) Rys. 4. Wyjściowa sieć w przyładzie (K min, T* = 8) Drugi przyład (rys. 4), opisany w pracy [14], jest znacznie bardziej niepoojący, gdyż dzięi niemu poazano, iż opieranie się na przerojach doładnych, a nie na wszystich możliwych przerojach, nie jest jedynym manamentem algorytmu CPM- COST. Celem zadania było zrealizowanie przedsięwzięcia w ciągu 8 dni. Przyjęto, iż oszt srócenia o ażdy olejny dzień jest stały dla danej czynności. Czasy graniczne wynosiły odpowiednio:, 1, 1, 3 i 1 dzień. Początowo jedyną ścieżą rytyczną była droga A-C-E. Mimo rozszerzenia listy możliwych wariantów o ombinacje załadające srócenie ścieże rytycznych o przynajmniej jedną jednostę, otrzymany wyni sugerował srócenie w pierwszej olejności czasu trwania czynności C, a następnie czynności A i E, podczas gdy rozwiązanie uzysane za pomocą modelu wsazało jedynie czynności A i E. Srócenie czynności C oazało się zatem zbyteczne, a nieco zmodyfiowana wersja algorytmu znów wygenerowała droższe rozwiązanie (5 tys. zł) aniżeli model optymalizacyjny (4 tys. zł). Dodajmy, że bazując tylo na przerojach doładnych, wyznaczylibyśmy strategię, tórej oszt wynosi aż 6 tys. zł (I iteracja: C, II iteracja: B+E), przy czym żadna ścieża nie trwałaby rócej niż 8 dni, czyli z długości dróg wyniałoby, iż nie ma czynności, tóra zostałaby srócona niepotrzebnie. Nadmiarowe przyspieszenie danej czynności może być więc możliwe tylo wówczas, gdy w poprzednich iteracjach wyorzystano przerój niebędący przerojem doładnym. Twierdzenie. Jeżeli w tracie sracania czasu realizacji przedsięwzięcia do momentu T * najtańszym wariantem w przynajmniej jednej iteracji oaże się przerój, zbudowany na podstawie ścieże rytycznych i nie będący przerojem doładnym, to istnieje ryzyo, że ostatecznie nietóre czynności zostaną srócone niepotrzebnie.

7 Propozycja nowego algorytmu Dowód. Niech T * = T 1, gdzie T 1 oznacza początowy czas trwania ścieże rytycznych. Załóżmy, że w I etapie (T 1 T 1 1) najtańszym wariantem jest przerój p 1 tai, że p1 B1, gdzie B 1 stanowi zbiór przerojów doładnych ustalonych dla ścieże, tóre są rytyczne na początu I iteracji. Ponadto, niech S 1 i S ) ( p 1 będą zbiorami ścieże rytycznych na początu I i II iteracji 7. Ponieważ p1 B1, jest więc oczywiste, iż S 1 S ( p 1 ). Przyjmijmy, że p 1 = { a1, a,..., a,..., n } h a, gdzie a 1, a,, a n oznaczają czynności rytyczne, wchodzące w sład przeroju p 1, przy czym 1 1 a h s i a S 1 \{ s }, a s1 jest ścieżą rytyczną, tóra spełnia następujący warune: h 1 s S ( p1) \ S1. Załóżmy również, że najtańszą ombinacją w II etapie (T T 1) jest przerój p tai, że p C ( p1) \ B, gdzie C ( p 1 ) jest zbiorem wszystich przerojów, wyznaczonych dla zbioru S ( p 1 ). Niech p będzie przynajmniej dwuelementowym podzbiorem zbioru p taim, że p s. Jeżeli zmianę czasu realizacji 1 przedsięwzięcia oznaczymy jao T, a wyrażenie t ( S 1 ) będzie oreślać łączną zmianę czasu trwania dróg będących ścieżami rytycznymi na początu pierwszej iteracji, to po II etapie t( S 1 ) T, a t( s 1 ) > T. Soro srócona czynność a h należy tylo do ścieżi s 1, to jej ponowne wydłużenie nie naruszy warunu t( S 1 ) T, tóry gwarantuje uzysanie czasu T *, a więc przyspieszenie działania a h nie jest onieczne. K K T T Rys. 5. Krzywe czasowo-osztowe dla przyładu 1 Rys. 6. Krzywe czasowo-osztowe dla przyładu W pracy [14] zwrócono również uwagę na to, iż zaproponowane rozwiązania zastosowania algorytmu i modelu optymalizacyjnego dla przyładu drugiego będą identyczne, gdy T* = 9 dni. W obu przypadach srócenie czasu trwania czynności C o 1 dzień oaże się najlepszą strategią. Zauważmy więc, że w celu uzysania 7 Zbiór ścieże rytycznych w olejnych iteracjach zależy od wybranego przeroju w poprzednim etapie. Dlatego dla II iteracji przyjęto zapis S (p 1 ).

8 1 H. GASPARS coraz rótszych czasów realizacji projetu algorytm dołącza do zbioru sróconych już czynności olejne działania, model dobiera natomiast optymalny zestaw czynności, stosownie do ustalonego czasu dyretywnego. Innymi słowy, sumulowana ombinacja dla czasu T nieoniecznie musi być podzbiorem sumulowanej ombinacji ustalonej dla czasu T 1. Na rysunach 5 i 6 przedstawiono rzywe czasowo-osztowe dla obu przyładów, sonstruowane na podstawie wyniów uzysanych za pomocą pierwotnej wersji algorytmu (linia przerywana) i modelu (linia ciągła). Długość rzywych jest zdeterminowana czasami granicznymi poszczególnych czynności. W pracy [14] wysunięto przypuszczenie, że stosowanie algorytmu sprawi, iż ażdej olejnej iteracji może towarzyszyć coraz więsze odchylenie między wyniiem otrzymanym a optymalnym. Przyład 1 świadczy o możliwości wystąpienia taiego zagrożenia. Im czas realizacji przedsięwzięcia jest rótszy, tym więsza jest różnica osztów. W przyładzie z olei czasy graniczne zostały ustalone na bardzo nisim poziomie, co sprawia, iż do pewnego poziomu parametru T * algorytm rzeczywiście generuje coraz gorsze rozwiązania aniżeli model optymalizacyjny. Przy dalszym sracaniu możliwe jest natomiast wyrównanie wyniów. Można by zatem stwierdzić, że soro docelowo obie metody prowadzą do tych samych rezultatów, to wytyanie niedosonałości algorytmu CPM-COST jest pozbawione sensu. Wiadomo jedna, iż nie zawsze decydent może sobie pozwolić na masymalne przyspieszenie inwestycji ze względu na ograniczone środi. Dlatego pośrednie realizacje są równie istotne. Warto taże zaznaczyć, iż rzywe czasowo-osztowe, dotyczące wyniów wygenerowanych przez model optymalizacyjny, uzysano rozwiązując odrębne zadania dla różnych poziomów T *. Kolejne otrzymane punty nie ilustrują więc rozwiązań dla poszczególnych iteracji. Poza niedosonałościami algorytmu CPM-COST, omówionymi w pracy [14], można jeszcze wymienić jedno, dość istotne zagrożenie. Załóżmy, że czas realizacji przedsięwzięcia opisanego na rysunu 7 należy srócić o 3 dni. W pierwszej iteracji mamy do wyboru dwie ombinacje, charateryzujące się najniższym osztem (A oraz B + C). (5,5) B 5 [1] (0) (10,10) 4 A 5 [,] (0) C [1] (0) (0) E 3 [,] 1 (0,0) D 5 () 3 (7,7) Rys. 7. Wyjściowa sieć w przyładzie 3 (K min, T* = 7)

9 Propozycja nowego algorytmu W przypadu poprawnie działających algorytmów nie ma znaczenia, tóra zmienna (wariant) o najbardziej orzystnym wsaźniu zostanie wybrana(y) 8. Wybór danej zmiennej (wariantu) może, co najwyżej, wpłynąć na liczbę roów, lecz nie determinuje ostatecznej wartości funcji celu, tóra dla rozwiązania ońcowego powinna być zawsze taa sama, niezależnie od etapów pośrednich. Algorytm CPM-COST nie daje jedna taiej gwarancji. W tabeli 1 zebrano uzysane rezultaty ońcowe w zależności od ombinacji wybranej w danej iteracji. Iteracje uzysane za pomocą algorytmu CPM-COST (przyład 3) Tabela 1 T Rezultat I opcja II opcja III opcja Wariant Koszt Wariant Koszt Wariant Koszt A A A CB CB CB BE 3 BE 3 BE 3 A CB BE AD BCD BE Bra rozwiązania dopuszczalnego A CB BE AD BCD BE 3 3 Otrzymano rozwiązanie: łączny oszt = 7 A CB BE AD BCD BE 3 Bra rozwiązania dopuszczalnego Mimo iż we wszystich trzech przypadach ierowano się minimalizacją osztów srócenia, tylo jedna opcja oazała się suteczna. W pozostałych zbyt wcześnie srócono czynność B, a ta z olei tworzy wraz z działaniem E jedyny dopuszczalny wariant w ostatniej iteracji. Po raz olejny dochodzimy więc do wniosu, iż na problem należy spojrzeć całościowo i że optymalizacja w ramach danej iteracji nie musi wcale prowadzić do optimum globalnego. Sposób postępowania powinien być od samego początu zdeterminowany zadanym czasem dyretywnym. Warto zwrócić uwagę na jeszcze jedną westię. W tabeli 1 zamieszczono jedynie przeroje doładne. Gdyby przerój A+E został dołączony w ostatniej iteracji do listy wariantów, uzysanie rozwiązania dopuszczalnego (choć nie optymalnego!) byłoby możliwe zarówno dla opcji I, ja i opcji III. Rozpatrywanie wszystich możliwych przerojów zwięsza zatem szansę uzysania jaiegoolwie rozwiązania dopuszczalnego. Na oniec wyobraźmy sobie, że czynność B w przyładzie 3 można srócić aż o dwa dni, lecz oszt srócenia tego działania o drugi dzień wynosi 3 jednosti. W tej sytuacji łączne oszty przyspieszenia inwestycji o 3 dni wyniosą odpowiednio 9, 7 i 9 jednoste. Tym razem uzysano wprawdzie rozwiązania dopuszczalne, niezależnie od 8 Por. np. z algorytmem Little a czy metodą potencjałów w zagadnieniu transportowym.

10 14 H. GASPARS przyjętego sposobu sracania czynności, lecz tylo jedno z nich stanowi optymalną strategię, mimo iż we wszystich trzech przypadach wybierano najtańsze warianty. Twierdzenie 3. Gdy przy sracaniu czasu realizacji przedsięwzięcia wybierane są przeroje budowlane na podstawie sieci rytycznej, a w danej iteracji istnieją dwa najtańsze warianty, łączny oszt srócenia do momentu T * może zależeć od tego, tórą najtańszą ombinację wybierzemy. Dowód. Niech T * = T 1, gdzie T 1 oznacza początowy czas trwania ścieże rytycznych sieci. Załóżmy, że w I etapie (T 1 T 1 1) najtańszymi wariantami są przeroje p 1 i p ustalone dla S 1, czyli wszystich ścieże, tóre są rytyczne na początu I iteracji. Przerojom p 1 i p odpowiadają oszty K p ) i K p ), gdzie K ( p 1 ) = K( p ) 9. Niech ponadto S ( p 1 ) i S ( p ) będą zbiorami ścieże rytycznych na początu II etapu w zależności od wybranego przeroju w etapie poprzednim, przy czym S ( p1) = S ( p). Przyjmijmy, że czynność a d p1 i że a d p oraz że oznacza oszt srócenia czasu trwania czynności a d o i-tą jednostę. Niech przerój r 1 będzie jedynym możliwym przerojem ustalonym dla zbioru S taim, że a d r 1. 1 Wiadomo również, że d < d, a oszt srócenia czasu pozostałych czynności, dla tórych t > t (czas normalny przewyższa czas graniczny) jest stały. Koszt odpowiadają- n g cy wariantowi r 1 jest więc zależny od przeroju wybranego w iteracji poprzedniej: Kr 1( p1) > Kr1( p), a to oznacza, iż oszt przyspieszenia inwestycji do momentu T *= T 1 również zależy od wyboru doonanego w I etapie: K T ( p 1, r 1 ) = K( p 1 ) + K r1 ( p 1 ) T > K p, r ) = K( p ) + K ( p ). ( 1 r1 ( 1 ( i d. Modyfiacja pierwotnej wersji algorytmu CPM-COST Stanisław Bladowsi w pracy [3], omentując zaprezentowany algorytm stwierdza, iż opisana metoda grafoanalityczna jest daleo prostsza niż metody matematyczne algorytmu Fulersona lub programowania liniowego, parametrycznego, a ogólna doładność optymalizacji programu jest pratycznie taa sama. Mając na uwadze zaobserwowane rozbieżności między rozwiązaniami generowanymi przez algorytm i model optymalizacyjny, należy jedna zaznaczyć, iż owa doładność jest w dużej mierze zdeterminowana struturą sieci, osztami ponoszonymi przy sracaniu czasu trwania poszczególnych czynności oraz ustalonymi czasami granicznymi. 9 Załadamy, że żaden z przerojów nie prowadzi do przyspieszenia inwestycji o więcej niż jedną jednostę.

11 Propozycja nowego algorytmu Doonane obserwacje pozwalają przypuszczać, iż niepoprawne działanie przedstawionego algorytmu wynia z wyboru wariantu na podstawie nieompletnej bądź nieodpowiedniej listy możliwych ombinacji. Wniosi zebrane w poprzednim rozdziale posłużą nam do opracowania bardziej efetywnego algorytmu (rys. 8). START STOP Wyznaczyć zbiór ścieże niedopuszczalnych nie Czy osiągnięto już czas T*? ta Ustalić wszystie możliwe przeroje dla powyższego zbioru ścieże Przypisać wymienionym przerojom łączne oszty srócenia. Wybrać najtańszy technicznie możliwy wariant i srócić czas trwania wybranych czynności o jedną jednostę Rys. 8. Zmodyfiowana wersja algorytmu (K min, T T *) Ścieżą niedopuszczalną jest ażda droga, tórej czas trwania T s > T *. Konstruowanie wariantów na podstawie zarówno ścieże rytycznych (tórych czas T jest równy momentowi zaończenia całej inwestycji), ja i dróg podrytycznych z całowitym zapasem czasu mniejszym od wyrażenia (T T *), stanowi jedną z najistotniejszych różnic między omawianą nową oncepcją algorytmu a tradycyjnym podejściem. Rozpatrywanie wszystich ścieże niedopuszczalnych, już na samym początu rozwiązywania problemu, jest onieczne, ponieważ to właśnie z powodu pominięcia dróg podrytycznych wybór wariantów spośród dotychczasowych list ombinacji, ustalonych dla ażdej iteracji, nie zawsze prowadził do wyznaczenia najbardziej opłacalnej strategii. Łączne oszty srócenia czynności z danego wariantu obliczamy sumując oszty przyspieszenia wszystich działań, wchodzących w sład tego przeroju. Przy wyborze zestawu czynności, tórych czas trwania powinien być srócony o jedną jednostę, należy ierować się poniższymi zasadami: a) Gdy najniższe oszty związane są z przerojem nie w pełni rytycznym, sracamy jedynie czas trwania czynności rytycznych należących do tej ombinacji. Sracanie czynności nierytycznych może z jednej strony szybciej zmniejszyć zbiór ścieże niedopuszczalnych, lecz z drugiej strony istnieje ryzyo, iż w ostatecznym rozrachunu przyspieszenie taich działań oaże się zbędne, a przez to droższe aniżeli wyniałoby to z rozwiązania optymalnego. Za sracaniem tylo działań rytycznych przeroju przemawia jeszcze jeden argument. Otóż samo przyspieszenie czynności

12 16 H. GASPARS rytycznych jest wystarczające, by czas realizacji przedsięwzięcia został srócony o jednostę, co wobec warunu (3) tym bardziej słania do sracania tylo rytycznej części przeroju. b) Jeżeli dwa przeroje charateryzują się tym samym najniższym osztem, przy czym jeden z nich słada się z samych czynności rytycznych, a drugi z jednej przynajmniej czynności nierytycznej, warto sorzystać z pierwszego wariantu, gdyż ten pozwala szybciej uzysać rozwiązanie dopuszczalne. c) Gdy istnieją dwa najtańsze przeroje, z tórych żaden nie jest w pełni rytyczny, orzystniej jest wybrać ten zestaw, dla tórego suma osztów srócenia czasu trwania czynności rytycznych ( ( p)) jest niższa. d) Pomijamy te przeroje, dla tórych ( p) =. Wariant, dla tórego ( p) i n ( p) = (gdzie n ( p) oznacza sumę osztów srócenia czynności nierytycznych przeroju), wyorzystujemy tylo wtedy, gdy dla pozostałych ombinacji w danej iteracji ( p) =. Stosowanie wymienionych zasad pozwala nam wybrać warianty o najniższym oszcie i o minimalnej liczbie czynności, tórych czas trwania należy srócić, by osiągnąć czas T *. Twierdzenie 4. Sracanie czasu realizacji przedsięwzięcia na podstawie wszystich możliwych przerojów, ustalonych dla całego zbioru ścieże niedopuszczalnych, zapobiega sracaniu czynności, tórych przyspieszenie nie jest onieczne do osiągnięcia czasu T *. Dowód. Niech T * = T 1. Załóżmy, że w I etapie (T 1 T 1 1) najtańszym wariantem jest przerój p 1 tai, że C B, gdzie C 1 stanowi zbiór nd nd nd przerojów p1 1 \ 1 ustalonych dla zbioru ścieże niedopuszczalnych na początu I iteracji ( S 1 ), a jest zbiorem przerojów doładnych, wyznaczonych dla tegoż zbioru. Niech K j oznacza zbiór czynności rytycznych w j-tej iteracji, a NK j zbiór czynności nierytycznych. Przyjmijmy, że p 1 = { a1, a,..., a h,..., an}, gdzie a1, a,..., ah K, 1 1 ah+ 1,..., an 1, an NK. Niech p 1 będzie przynajmniej -elementowym podzbiorem 1 rytycznym zbioru p 1 taim, że p1 s, gdzie s 1 jest ścieżą spełniającą warune: s 1 S1. Wybór przeroju p oznacza, iż po I iteracji mogą wystąpić trzy sytuacje: 1 A. s 1 S, nd s 1 S, 1 1 t ( s ) = T* < T = T 1, gdzie T jest czasem realizacji przedsięwzięcia na początu II iteracji. B. s 1 S, nd s 1 S, 1 1 t ( s ) = T = T = T * (oniec obliczeń). C. s 1 S, nd s 1 S, 1 1 t ( s ) < T = T = T * (oniec obliczeń). Jeżeli po I etapie czas T nie zostanie jeszcze osiągnięty (przypade A), to dowolny przerój r ustalony dla II etapu będzie tai, że ażda jego czynność rytyczna nd 1 nd a S \{ s } a S { 1 s. Soro przerój r nie będzie zawierał czynności, } nd nd B 1

13 Propozycja nowego algorytmu tóra by należała tylo do ścieżi s 1, możemy mieć pewność, że żadne zbędne działanie nie zostanie srócone 10. Z technicznego puntu widzenia zmodyfiowana wersja algorytmu tym różni się od algorytmu CPM-COST, że w miarę zbliżania się do zadanego czasu T* przeroje są onstruowane dla coraz mniejszej liczby ścieże, gdyż zbiór dróg niedopuszczalnych maleje w tracie obliczeń. Stosując tradycyjne podejście, wyznaczamy przeroje doładne dla ścieże rytycznych, a liczba taich ścieże zazwyczaj wzrasta. Sracanie czasu realizacji przedsięwzięcia zgodnie z udosonaloną procedurą sprowadza się do rozpatrywania iteracji jaby w odwrotnej olejności aniżeli w przypadu przyspieszania momentu zaończenia inwestycji za pomocą pierwotnej wersji algorytmu CPM-COST. Twierdzenie 5. Gdy przy sracaniu czasu realizacji przedsięwzięcia wybierane są przeroje budowlane na podstawie ścieże niedopuszczalnych, wzrastają szanse uzysania najtańszego rozwiązania dopuszczalnego dla momentu T * (por. dowód twierdzenia 3). (5,5) B 4 [3] (1) (10,10) 4 A 5 [] (0) C [1] (0) (0) E 3 [] 1 (0,0) D 6 [4] (1) 3 (7,7) Rys. 9. Wyjściowa sieć w przyładzie (K min, T* = 4) W tabeli przedstawiono sposób generowania poszczególnych iteracji przez nową wersję algorytmu dla przyładu (rys. 9) przy założeniu, iż czas dyretywny wynosi 4 dni 11. Oczywiście, w przypadu zmodyfiowanej procedury, wybór czynności, tórych czas trwania należy w danym etapie srócić, jest ściśle związany z docelowym czasem dyretywnym. Tymczasem jeśli stosujemy pierwotną wersję algorytmu, to zestaw działań wybranych w rozpatrywanej iteracji jest zawsze tai sam niezależnie od tego, jai czas realizacji przedsięwzięcia należy ostatecznie uzysać (tab. 3). Z zestawienia w tabeli 3 wynia, iż nowa wersja algorytmu może wsazać w danym etapie wariant droższy aniżeli ombinacja wyznaczona tradycyjnym podejściem, gdyż zmodyfiowana metoda oncentruje się na efecie finalnym, podczas gdy założeniem algorytmu CPM-COST jest ustalenie rozwiązania optymalnego dla danej iteracji, tóre nieoniecznie musi być najlepszą strategią z puntu widzenia wyniu ońcowego. 10 W ogólniejszym przypadu (np. gdy T* = T 1 3) możliwe jest, by czynność należąca tylo do ścieżi s 1 weszła w sład przeroju r, lecz w związu z tym, iż s 1 S, byłaby to czynność nierytyczna, a czas trwania nierytycznych działań przeroju nie jest sracany. 11 W zadaniu przyjęto, że czasy graniczne wynoszą odpowiednio, 1, 1, 3 i 1 dzień.

14 18 H. GASPARS Tabela Iteracje uzysane za pomocą zmodyfiowanego algorytmu (przyład, T * = 4 dni) Ścieżi niedopuszczalne Czas wyjściowy rytyczne nierytyczne 10 A-C-E A-B D-E 8 A-B A-C-E D-E 7 A-B D-E 6 A-B D-E 5 A-B A-C-E D-E - A-C-E A-C-E Przeroje ustalone na podstawie zbioru ścieże niedopuszczalnych A+D = 6 A+E = 4 B+C+D = 8 B+E = 5 A+D = 6 A+E = 4 B+C+D = 8 B+E = 5 A+D = 6 A+E = B+C+D = 8 B+E = A+D = A+E = B+C+D = 8 B+E = A+D = A+E = B+C+D = 8 B+E = Wybrane czynności Łączny oszt srócenia Czas uzysany A, E 4 8 A, E 4+4 = 8 7 A, D 8+6 = 14 6 B, D 14+7 = 1 5 B, C, D 1+8 = 9 4 Zestawienie wyniów wygenerowanych przez pierwotną i nową wersję algorytmu 1 Tabela 3 Iteracja Pierwotna wersja algorytmu Nowa wersja algorytmu Nowa wersja algorytmu T * Łączny oszt T * Łączny oszt T * Łączny oszt 10 9 Dowolny Dowolny Dowolny Dowolny Dowolny Dowolny Zauważmy, iż orzystając z nowej metody, pomijamy etap T = 9 (tab. ). Zaletą tej procedury jest możliwość przyspieszenia momentu zaończenia przedsięwzięcia nawet o ila jednoste w ramach danej iteracji, mimo że czynności z wybranego wariantu sracamy tylo raz. Sorzystajmy ponownie z sieci, opisanej na rysunu 3. 1 Symbol T * oznacza czas dyretywny.

15 Propozycja nowego algorytmu Tym razem jedna przyjmijmy, że tylo ścieża A-C-E-G-I jest rytyczna (rys. 10). Dane o sieci zawiera tabela 4. Dane o sieci z rys. 3 Tabela 4 Czynności A B C D E F G H I Czas trwania (w dniach) Koszt srócenia o jeden dzień D H A C E G I B F Rys. 10. Wyjściowa sieć w przyładzie 4 (K min, T* = ) Jeżeli czas dyretywny wyniesie dni, wszystie ścieżi będą niedopuszczalne. Dzięi sróceniu czasu trwania czynności z najtańszego przeroju (A+E+I) o jedną jednostę otrzymamy od razu rozwiązanie dopuszczalne, a zarazem optymalne, mimo iż początowy czas realizacji przedsięwzięcia był dłuższy od zadanego aż o 3 dni (tab. 5). Tabela 5 Długość ścieże dla planu początowego i optymalnego Ścieżi przed I iteracją Czas trwania ścieże po I iteracji A-D-H 3 A-D-G-I 4 A-C-E-G-I 5 A-C-E-H 4 A-C-F-I 4 B-E-H 3 B-E-G-I 4 B-F-I 3 Możliwość pominięcia nietórych etapów pojawia się również wówczas, gdy dany przerój można wyorzystać p razy z rzędu. Symbol p l oznacza liczbę jednoste, l o tórą warto od razu srócić czynności a j z przeroju l:

16 0 H. GASPARS gdzie: t j g t j c z j l l g c T s T * + Zs p = min min{ t + }, min j t j z j E + 1 l 13, (5) l a s j ws atualny czas trwania j-tej czynności, graniczny czas trwania j-tej czynności, całowity zapas czasu j-tej czynności, T s czas trwania ścieżi niedopuszczalnej s, T * ustalony czas dyretywny, l s Z suma całowitych zapasów czasu czynności należących jednocześnie do l-tego przeroju i do ścieżi s, l w s liczba czynności należących jednocześnie do l-tego przeroju i do ścieżi s. Czynności rytyczne z wybranego wariantu można srócić p l razy, natomiast liczba jednoste, o tórą należy przyspieszyć j-te działanie nierytyczne z tego przeroju l c wynosi max{0, p z j}. Przy sracaniu czasu realizacji przedsięwzięcia opisanego w przyładzie przerój A+E oraz B+C+D są najtańszymi wariantami w dwóch sąsiednich iteracjach. Zastosowanie wzoru (5) może zatem jeszcze bardziej przyspieszyć obliczenia. Nową metodę można stosować zarówno wówczas, gdy oszty srócenia czasu trwania danego działania o ażdą olejną jednostę są taie same, ja i wtedy, gdy owe oszty są różne w zależności od tego, o tórą jednostę czas trwania wybranej czynności jest sracany. Procedura zaprezentowana w tym rozdziale znajduje zastosowanie w zadaniach o postaci (3) (4). Gdy celem decydenta jest minimalizacja czasu realizacji przedsięwzięcia przy zadanym oszcie dyretywnym, liczba jednoste, o tórą należy przyspieszyć moment zaończenia inwestycji nie jest z góry znana. Wiadomo jedynie, że sracając czas realizacji projetu o olejne jednosti, nie można przeroczyć dostępnych środów. W przypadu zadania (1) (), nie jesteśmy więc w stanie oreślić początowego zbioru ścieże niedopuszczalnych, na podstawie tórego ustalana jest lista przerojów. Warto wówczas wygenerować rozwiązania dla różnych momentów zaończenia przedsięwzięcia i wybrać ten punt, leżący na rzywej czasowoosztowej, tóry spełnia waruni (1) (). 13 Wyrażenie E((T s T * + Z l s)/w l s) oznacza cechę ilorazu (T s T* + Z l s)/w l s. Ze wzoru (5) można orzystać tylo wtedy, gdy oszt srócenia czasu trwania poszczególnych czynności jest stały.

17 Propozycja nowego algorytmu Ocena nowej wersji algorytmu Zarówno pierwotna, ja i nowa wersja algorytmu może być wyorzystywana przy ustalaniu harmonogramu projetów, charateryzujących się małą liczbą czynności. Obie metody są ręcznymi procedurami obliczeniowymi, tóre można stosować niezależnie od tego, czy oszt srócenia czasu trwania czynności o ażdą olejną jednostę jest stały czy zmienny, co jest z pewnością ich atutem, gdyż w wielu pracach analizowane są jedynie sytuacje, w tórych funcja osztów spełnia oreślone założenia 14. Złożoność obu techni zależy m.in. od budowy sieci, obrazującej realizację przedsięwzięcia oraz od różnicy między rzeczywistym a dyretywnym momentem zaończenia inwestycji. Techniczna różnica między tymi procedurami polega na tym, iż w algorytmie CPM-COST sracane są czynności leżące na ścieżach rytycznych, nowa wersja natomiast załada acelerację działań rytycznych nieoniecznie należących do najdłuższych dróg. Zmodyfiowany algorytm ma tę przewagę nad pierwotną wersją procedury, iż generuje rozwiązania nie gorsze od algorytmu CPM-COST, pozwala uninąć srócenia czynności, tórych przyspieszenie mogłoby w olejnych iteracjach oazać się zbyteczne 15. Nowy algorytm nie znajduje natomiast bezpośredniego zastosowania w zadaniach (1) (). Ponadto wyniów uzysanych dla pośrednich iteracji, wyonywanych w celu srócenia czasu realizacji przedsięwzięcia do T *, nie należy tratować jao rozwiązania optymalne dla momentów T * + 1, T * +, Warto podreślić, że poza algorytmem opisanym w pracy [3], można znaleźć w literaturze wiele innych ręcznych procedur obliczeniowych, mających na celu wygenerowanie postaci rzywej czasowo-osztowej dla małych projetów. Są to jedna metody przybliżone, z tórych część powstała w sposób intuicyjny Jest liniowa [3], [6], [8], [13], [4], [6], [38], [39], [45], wypuła [8], [33], [4] bądź wlęsła [9]. 15 Zob. twierdzenia i przyłady omówione w poprzednich rozdziałach. 16 Metodą przybliżoną jest na przyład omówiony w pracy [3] algorytm tablicowy, opracowany na podstawie tych samych założeń, co algorytm CPM-COST. Dlatego też działa on niepoprawnie. Do tej grupy algorytmów można zaliczyć metodę SAM (Siemens Approximation Method) [41] i jej udosonaloną wersję, zaproponowaną przez Goyala [18]. Obie te metody mają zastosowanie tylo wówczas, gdy jednostowy oszt srócenia jest stały dla danej czynności. Nadają się one ponadto do bardzo małych projetów ze względu na onieczność iteracyjnego analizowania ażdej ścieżi sieci oddzielnie. Metody Siemensa i Goyala są podobne do zmodyfiowanej wersji algorytmu CPM-COST, gdyż w obu tych procedurach wybór czynności, tórych czas trwania należy srócić, jest ściśle zdeterminowany docelowym czasem dyretywnym inwestycji. Kolejnym przybliżonym algorytmem, niewymagającym (choć niewyluczającym) użycia omputera jest metoda Panagiotaopoulosa [36], tóra przyjmuje bardziej realne postaci funcji osztów niż metoda Siemensa czy Goyala. Z pratycznego puntu widzenia jest ona jedna dość złożoną procedurą, gdyż przypomina metodę cechowania węzłów, stosowaną również w pracy [11].

18 H. GASPARS Gdy optymalne czasy trwania czynności nie muszą być całowite, a ażdej czynności odpowiada ciągła liniowa funcja osztu zależnego od czasu (np. [45]), problem LTCT 17 rozwiązywany jest w czasie wielomianowym [43]. W przypadu liniowych bądź przedziałami liniowych funcji osztu można stosować np. podejście Fulersona, łączące metodę masymalnego przepływu w sieci z programem dualnym [11], [1], bądź programowanie parametryczne Kelley a [5]. Założenie o wypułej i ciągłej postaci funcji osztu czyni jedna te metody mało użyteczne (por. [36]) 18. Ze względu na to, iż dysretna wersja tego zagadnienia (znacznie bardziej powszechna w pratyce [1], [0], [1], [30], [33], [35], [36]), znana jest jao problem NP-trudny, rozwiązywany w czasie wyładniczym [7] 19, podejmowane są próby opracowania przybliżonych metod generowania rozwiązania dla problemu dysretnego w czasie wielomianowym. Wymagają one jedna zastosowania omputera [43, s. 915] 0. Poza tym nietóre z nich znajdują zastosowanie tylo wówczas, gdy oszty sracania czasów trwania działań o olejne jednosti są stałe. Dlatego opracowanie dostatecznie sprawnego algorytmu dla wersji dysretnej wydaje się nadal sprawą otwartą, o czym wspominają taże Czerwińsi i Ignasia w pracy [6]. Algorytmem najbardziej zbliżonym do procedury zaproponowanej w niniejszej pracy jest metoda minimalnego cięcia, autorstwa Phillipsa i Dessouy ego (LTCT- Solver) [34], [38]. Stanowi ona udosonaloną wersję algorytmów Kelley a i Fulersona 1. Minimalne cięcie to ażdy minimalny zbiór łuów, dzielący podsieć rytyczną na dwa rozłączne zbiory zdarzeń S i U taie, że s S, u U i S U = W, gdzie 17 Linear Time Cost Tradeoff Problem. 18 Załadanie, iż funcja osztu dla poszczególnych czynności powinna być wypuła, jest westionowane przez wielu autorów. Ich zdaniem wystarczy, by punty leżące na rzywej czasowo-osztowej dla działań stanowiły rozwiązania Pareto-optymalne, tóre z olei nie wyluczają wlęsłej postaci rozpatrywanej funcji. 19 Jeżeli przyjmiemy, że w sład diagramu sieciowego wchodzi n czynności ( j = 1,.., n), a ażdej n z nich przypisano m j opcji czasowych, to istnieje m j możliwych rozwiązań. Tylo wtedy, gdy sieć j = 1 słada się z niezależnych ścieże, problem dysretny można rozwiązać w czasie wielomianowym. 0 Ten algorytm polega na ustaleniu optimum dla zadania programowania liniowego, a następnie na znalezieniu najbliższego rozwiązania dopuszczalnego zadania programowania dysretnego. Wadą owej procedury jest możliwość przyjęcia masymalnie dwóch opcji czasowych dla ażdej czynności. Do grupy metod przybliżonych działających w czasie wielomianowym można zaliczyć taże algorytmy doonujące podziału dużego projetu na subprojety, dla tórych wyznaczane są strategie optymalne (zob. [43, s. 9 95] oraz [33, s.130]). 1 Ponieważ zaproponowane na początu lat sześćdziesiątych ubiegłego stulecia metody Fulersona i Kelley a wymagały odpowiedniego przygotowania matematycznego, bardzo szybo podjęto próbę opracowania, na podstawie tychże metod, algorytmów, z tórych mogliby orzystać np. inżynierowie. Zanim Phillips i Dessouy przedstawili swoją oncepcję, Prager przygotował procedurę, tóra miała być zrozumiała nie tylo dla przedstawicieli środowisa nauowego [39]. Wyorzystał w tym celu prezentację graficzną, przypominającą wyres Gantta. Metoda oazała się jedna dość złożona i czasochłonna.

19 Propozycja nowego algorytmu... 3 s jest źródłem sieci, u jej ujściem, a W stanowi zbiór wszystich zdarzeń grafu. Z definicji wynia, że minimalne cięcie to zbiór tych wszystich łuów, tóre zarówno wchodzą (forward arcs), ja i wychodzą (bacward, reverse arcs) ze zbioru U. Z olei przerój słada się z samych czynności typu forward. Phillips i Dessouy proponują, by po wybraniu najtańszego cięcia czasy trwania czynności forward zostały srócone, a czynności bacward (jeżeli trwają rócej niż czas normalny) wydłużone o jednostę. Choć idea algorytmu jest prosta (por. []), a sama procedura zwraca zawsze optimum i to nie tylo dla czasu docelowego, lecz też wszystich pośrednich etapów, to jedna pod iloma względami ustępuje ona udosonalonej wersji algorytmu CPM-COST 3. Oprócz całej gamy algorytmów, stanowiących w więszości przypadów metody heurystyczne tworzone z myślą o małych projetach, drugą ategorią techni stosowanych w analizie czasowo-osztowej są metody programowania liniowego [45], całowitoliczbowego [0], [30], [3], [35], dynamicznego [5], [7], [1], [40] 4 i nieliniowego [8]. W przypadu nietórych z nich nie przyjmuje się nawet żadnych założeń co do postaci funcji osztu dla czynności [3], [35]. Zastosowanie metod pro- W pracy [33] cięcie zdefiniowane jest jao zbiór łuów tai, że ażda ścieża rytyczna ma przynajmniej jeden łu należący do tegoż cięcia. Znalezienie minimalnego cięcia odbywa się w czasie O ( nmlog( n / m)), gdzie n oznacza liczbę zdarzeń, a m liczbę czynności podsieci rytycznej [16]. Sposób usprawniający szuanie minimalnego cięcia przedstawiono w artyule [46]. 3 Po pierwsze, możliwości srócenia czasu realizacji przedsięwzięcia o ila jednoste w ramach jednej iteracji są bardzo ograniczone. Po drugie, metoda minimalnego cięcia została opracowana przy założeniu, że oszt srócenia czasów trwania poszczególnych działań jest stały. Po trzecie, metoda ta dopuszcza sytuację, w tórej czas trwania czynności sróconej w j-tej iteracji będzie wydłużony w -tej iteracji, gdzie > j. Wyobraźmy sobie, że ierowni projetu, w momencie gdy już przedsięwziął odpowiednie roi, by srócić czas realizacji przedsięwzięcia do momentu T*, podejmuje decyzję o dodatowym przyspieszeniu inwestycji do czasu T * t. W tej sytuacji może się oazać, iż ierowni niepotrzebnie przeznaczył środi na srócenie czynności, tóra zgodnie z ustaloną strategią optymalną dla czasu T * t nie powinna być wcale przyspieszona. Wydłużanie w tracie obliczeń czynności sróconych wcześniej należy tratować jao pewnego rodzaju oretę, tóra z pratycznego puntu widzenia nie jest jedna wygodna. O potrzebie orecyjnego wydłużania działań sróconych w poprzednich iteracjach mowa jest też w pracach: [3, s. 04], [15, s. 50, 53], [18], [33], [41], [43]. Jedna w nietórych przypadach nadmierne srócenie czynności we wcześniejszych etapach nie jest wyniiem wyboru przeroju nie będącego przerojem doładnym, lecz jest onsewencją srócenia czynności o więcej niż jedną jednostę w ramach danej iteracji, gdy jednostowe przyspieszenie czasu jej trwania nie było możliwe [33] lub wydawało się mało opłacalne [41]. 4 Metodę Butchera [5] można użyć tylo dla sieci o bardzo prostej budowie. Z olei algorytm Robinsona [40] wymaga ażdorazowo innego sposobu postępowania w zależności od strutury sieci. Zaletą programowania dynamicznego jest to, że wartości nieliniowej funcji osztów nie wymagają aprosymacji, gdyż wystarczy je odpowiednio stablicować. Zdaniem Robinsona, programowanie dynamiczne posiada zalety zarówno metod heurystycznych, ja i algorytmów doładnych. Metody heurystyczne pozwalają przyjąć bardziej realne funcje osztów, lecz są tylo metodami przybliżonymi, algorytmy doładne natomiast generują strategie optymalne, ale ograniczają się do bardzo prostych zależności między czasem trwania czynności a osztem jego srócenia.

20 4 H. GASPARS gramowania matematycznego prowadzi do optimum, lecz rozwiązywanie tego typu zadań, nawet z pomocą omputera, jest niezwyle czasochłonne ze względu na onieczność wprowadzenia wielu zmiennych i warunów, a to oznacza, że ta naprawdę nadają się one do planowania małych projetów. Algorytmy heurystyczne z olei mogą oazać się szybsze, lecz niestety mniej doładne [6], [10], [41]. Zauważmy, iż puntem wyjścia dla wszystich dotychczas wymienionych metod jest założenie, że aceleracja przedsięwzięcia może się odbywać tylo przez sracanie czasu trwania wybranych czynności. Autorzy prac [4], [17, s. 170], [31, s. 137], [37, s. 17], [49, s. 185] proponują zupełnie inny sposób sracania czasu realizacji inwestycji, polegający m.in. na zmniejszeniu zaresu zadań wyonywanych w ramach danej czynności, na dzieleniu czynności na rótsze działania równolegle, bądź na jednoczesnym wyonywaniu tych czynności, tóre według pierwotnego planu miały być realizowane sewencyjnie. Taa metoda też wiąże się z ponoszeniem dodatowych osztów, a ponadto może wpłynąć na obniżenie jaości wyonania projetu. Przyjęcie założenia o niepodzielności czynności [43] i o brau możliwości doonywania jaicholwie zmian w struturze projetu oznacza, iż wspomnianą metodę ompresji sieci należy w naszych rozważaniach pominąć. Długą listę metod wyorzystywanych w analizie czasowo-osztowej zamyają specjalne programy omputerowe, mające zastosowanie w dziedzinie efetywnego zarządzania projetem (np. Microsoft Project, Lindo, GAMS, Optimum, Primavera) [], [30]. Są one przeznaczone do planowania i nadzorowania realizacji projetu. Ponieważ celem niniejszej pracy było opracowanie ręcznej procedury obliczeniowej, oceny efetywności zaproponowanego algorytmu doonano więc głównie na podstawie analizy pozostałych techni, tóre nie wymagają użycia omputera. Wyazano, iż zaproponowana metoda generuje rozwiązania nie gorsze od wyniów uzysiwanych za pomocą algorytmu CPM-COST. W związu z tym, że zmodyfiowana wersja oparta jest na założeniach podobnych to tych, tórymi ierowali się Phillips i Dessouy, twórcy procedury zawsze zwracającej optimum, mamy prawo przypuszczać, iż doładność przedstawionej procedury jest zbliżona do doładności metody minimalnego cięcia. Nowa wersja algorytmu CPM-COST jest pozbawiona wielu wad nie tylo innych metod heurystycznych, ale również nietórych metod programowania matematycznego. Przede wszystim można ją stosować dla dowolnej deterministycznej strutury sieci, a oszty jednostowe srócenia czasu trwania danej czynności mogą leżeć zarówno na liniowej, ja i wypułej czy wlęsłej rzywej czasowo-osztowej. Konstrucja algorytmu pozwala ponadto znacznie ograniczyć liczbę iteracji, potrzebnych do uzysania rozwiązania, a zasady opracowane dla tejże metody są dość proste, co sprawia, iż ma ona taże walor dydatyczny.

21 Propozycja nowego algorytmu... 5 Bibliografia [1] ABRAMOV S.A., MARINICZEW M.L., POLJAKOW P.D., Setiewyje metody planirowanija i uprawlenija, Sowietsoje Radio, Moswa [] ABDELSALAM H.M., BAO H.P., Solving the Project Time-Cost Trade-Off Problem through an Integrated Engineering-Computation Environment, Proceedings of the Eleventh Annual Conference of the Production and Operations Management Society, POM-000, April 1 4, San Antonio, Texas 000. [3] BLADOWSKI S., Metody sieciowe w planowaniu i organizacji pracy, PWE, Warszawa [4] BRANDENBURG H., Zarządzanie projetami, Wydawnictwo Aademii Eonomicznej w Katowicach, 00. [5] BUTCHER W.S., Dynamic program for project cost-time curves, Proceedings ASCE, 1967, 93(CO1). [6] CZERWIŃSKI Z., Moje zmagania z eonomią, Wydawnictwo Aademii Eonomicznej w Poznaniu, 00. [7] DE P., DUNNE E.J., GHOSH J.B., WELLS C.E., Complexity of the discrete time-cost trade-off problem for project networs, Operations Research, 1997, 45, s [8] ELMAGRAPHY S.E., SALEM A., Optimal linear approximation in project compression, IIE Transactions, 1984, 16(4), s [9] FALK J.E., HOROWITZ J.L., Critical path problems with concave cost-time curves, Management Science, 197, 19, s [10] FONDHAL J.W., A Non-Computer Approach to the Critical Path Method for the Construction Industry, Stanford University, Stanford [11] FORD L.R., FULKERSON D.R, Przepływy w sieciach, tłum. M. Wycech-Łosiowa, PWN, Warszawa [1] FULKERSON D.R., A networ flow computation for project cost curves, Management Science, 1961, 7(), s [13] FUSEK A., NOWAK K., PODLESKI H., Analiza drogi rytycznej (CPM i PERT). Instrucja programowana, PWE, Warszawa [14] GASPARS H., Analiza czasowo-osztowa (CPM-COST). Algorytm a model optymalizacyjny, Badania Operacyjne i Decyzje, 006, nr 1, s [15] GEDYMIN O., Metody optymalizacji w planowaniu sieciowym, PWN, Warszawa [16] GOLDBERG A., TARJAN R.E., A new approach to the maximum flow problem, J. Assoc. Comput. Mach., 1988, 35, s [17] GOODMAN L.J., LOVE R.N., Project Planning and Management. An integrated Approach, Pergamon Press, New Yor [18] GOYAL S.K., A note on A simple CPM time-cost tradeoff algorithm, Management Science, 1975, 1(6), s [19] GUZIK B. (red.), Eonometria i badania operacyjne, MD 51, AE, Poznań [0] HARVEY R.T., PATTERSON J.H., An implicit enumeration algorithm for the time/cost trade-off problem in project networ analysis, Found. Control Engineering, 1979, 4, s [1] HINDELANG T.J., MUTH J.F., A dynamic programming algorithm for Decision CPM networs, Operations Research, 1979, 7(), s [] ICMELI O., ERENGUC S.S., ZAPPE C.J., Project Scheduling Problems: A Survey, International Journal of Operations and Production Management, 1993, 13(11), s [3] IDŹKIEWICZ A.Z., PERT. Metody analizy sieciowej, PWN, Warszawa [4] IGNASIAK E., Programowanie sieciowe, PWE, Warszawa 197. [5] KELLEY J.E., Critical path planning and scheduling: mathematical basis, Operations Research, 1961, 9(3), s

22 6 H. GASPARS [6] KOPAŃSKA-BRÓDKA D., Wprowadzenie do badań operacyjnych, wyd. II popr., Wydawnictwo Aademii Eonomicznej w Katowicach, [7] KUKUŁA K., JĘDRZEJCZYK Z., SKRZYPEK J., WALKOSZ A., Badania operacyjne w przyładach i zadaniach, PWN, Warszawa [8] LAMBERSON L.R., HOCKING R.R., Optimum time compression in project scheduling, Management Science, 1970, 16(10), s [9] LEVY F.K., THOMPSON G.L., WIEST J.D., The ABC s of Critical Path Scheduling, Harvard Business Review, 1963, 41, s [30] LIU L., BURNS S.A., FENG C.-W., Construction time-cost tradeoff analysis using LP/IP hybrid method, Journal of Construction Engineering and Management, 1995, 11(4), s [31] LOCK D., Podstawy zarządzania projetami, tłum. M. Ciszewsa, M. Sosnowsi, PWE, Warszawa 003. [3] MEYER W.L., SHAFFER L.R., Extensions of the Critical Path Method Through the Application of Integer Programming, Department of Civil Engineering, University of Illinois, [33] MODER J.J., PHILLIPS C.R., Project Management with CPM and PERT, Reinhold Publishing Corporation, New Yor [34] MÖHRING R.H., SCHULZ A.S., STORK F., UETZ M., On project scheduling with irregular starting time costs, Operations Research Letters, 001, 8, s [35] MOUSSOURAKIS J., HAKSEVER C., Flexible Model for Time/Cost Tradeoff Problem, Journal of Construction Engineering and Management, 004, s [36] PANAGIOTAKOPOULOS D., A CPM time-cost computational algorithm for arbitrary activity cost functions, INFOR, 1977, 15(), s [37] PHILLIPS J., Zarządzanie projetami IT. Poznaj najsuteczniejsze metody zarządzania przedsięwzięciami informatycznymi, tłum. M. Lipa, P. Pilch, M. Szczepania, Helion, Gliwice 005. [38] PHILLIPS S.J., DESSOUKY M.I., Solving the Time/Cost Tradeoff Problem using the Minimum Cut Concept, Management Science, 1977, 4(4), s [39] PRAGER W., A structural method of computing project cost polygons, Management Science, 1963, 9(3), s [40] ROBINSON D.R., A dynamic programming solution to cost-time tradeoff for CPM, Management Science, 1975, (), s [41] SIEMENS N., A simple CPM time-cost tradeoff algorithm, Management Science, 1971, 17(6), s [4] SIEMENS N., GOODING C., Reducing project duration at minimum cost: a time/cost trade-off algorithm, OMEGA, 1975, 3, s [43] SKUTELLA M., Approximation algorithms for the discrete time-cost tradeoff problem, Mathematics of Operations Research, 1998, 3(4), s [44] TROCKI M., GRUCZA B., OGONEK K., Zarządzanie projetami, PWE, Warszawa 003. [45] TRZASKALIK T., Modelowanie optymalizacyjne, Absolwent, Łódź 000. [46] TUFEKCI S., A Flow-preserving Algorithm for the Time-Cost Trade-Off Problem, AIII Transactions, 198, (3), s [47] VANHOUCKE M., New computational results for the discrete time/cost trade-off problem with timeswitch constraints, Vleric Woring Papers, 00, 18, s [48] WATERS D., A practical introduction to management science, II ed., Addison-Wesley Longman, [49] WYSOCKI R.K., MCGARY R., Efetywne zarządzanie projetami, wyd. III, tłum. T. Rychoń, M. Szolc, Helion, Gliwice 005.