Zbiory wypukłe i stożki

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zbiory wypukłe i stożki"

Transkrypt

1 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016

2 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R n : (a x) b}, {x R n : (a x) b} nazywamy półprzestrzeniami domkniętymi (odpowiednio otwartymi, jeśli znaki nierówności lub zastąpimy przez < lub przez >).

3 Rozmaitość liniowa Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Niech W będzie k-wymiarową podprzestrzenią liniową przestrzeni R n, a x 0 R n ustalonym wektorem. Zbiór X = x 0 + W = {x 0 + x : x W } nazywamy k-wymiarową rozmaitością liniową.

4 Rozmaitość liniowa przykłady Przykład Każda hiperpłaszczyzna H(a, b) w przestrzeni R n jest (n 1)-wymiarową rozmaitością liniową. Przykład Jeśli A jest macierzą o wymiarach m n, rza = m, to zbiór X b = {x R n : Ax = b} jest (n m)-wymiarową rozmaitością liniową.

5 Rozmaitość liniowa przykłady Przykład Każda hiperpłaszczyzna H(a, b) w przestrzeni R n jest (n 1)-wymiarową rozmaitością liniową. Przykład Jeśli A jest macierzą o wymiarach m n, rza = m, to zbiór X b = {x R n : Ax = b} jest (n m)-wymiarową rozmaitością liniową.

6 Prosta Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Jednowymiarową rozmaitość liniową w przestrzeni R n, czyli zbiór {x 0 + td : t R}, gdzie d 0, nazywamy linią prostą (w skrócie prostą) w przestrzeni R n.

7 Półprosta Liniowe podzbiory przestrzeni R n O prostej {x 0 + td : t R} mówimy, że przechodzi przez punkt x 0 i jest równoległa do wektora d. Wektor d nazywamy wektorem kierunkowym prostej, a równanie x = x 0 + td, t R, nazywamy równaniem parametrycznym prostej. Ograniczając zakres zmienności parametru t do przedziału 0, + ), otrzymujemy półprostą o początku w punkcie x 0 równoległą do wektora d. Półprostą o początku w punkcie 0 i przechodzącą przez punkt a 0 oznaczać będziemy dalej przez (a), czyli (a) = {ta : t 0, + )}.

8 Odcinek Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Zbiór [a, b] = {(1 t) a + tb : t 0, 1 } nazywamy odcinkiem łączącym punkty a, b R n. Równanie x = (1 t) a + tb, t 0, 1 nazywamy równaniem parametrycznym odcinka łączącego punkty a, b R n.

9 Zbiór wypukły Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Zbiór M R n nazywamy zbiorem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy (1 t) x + ty M. Przykład x,y M t 0,1 Zbiorami wypukłymi są:, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, hiperpłaszczyzna, półprzestrzeń P = {x R n : (a x) b}, rozmaitość liniowa, prosta, odcinek.

10 Zbiór wypukły Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Zbiór M R n nazywamy zbiorem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy (1 t) x + ty M. Przykład x,y M t 0,1 Zbiorami wypukłymi są:, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, hiperpłaszczyzna, półprzestrzeń P = {x R n : (a x) b}, rozmaitość liniowa, prosta, odcinek.

11 Zbiór wypukły przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Kula domknięta clk (x 0, r) = {x R n : x x 0 r} jest zbiorem wypukłym. Przykład Zbiór A = { x R 3 : x x 2 2 = x 2 3 } nie jest wypukły.

12 Zbiór wypukły przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Kula domknięta clk (x 0, r) = {x R n : x x 0 r} jest zbiorem wypukłym. Przykład Zbiór A = { x R 3 : x x 2 2 = x 2 3 } nie jest wypukły.

13 Uwypuklenie zbioru Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór M i jest wypukły, to zbiór M = M i jest również wypukły. Definicja i I Część wspólną wszystkich podzbiorów wypukłych przestrzeni R n zawierających zbiór nazywamy A powłoką wypukłą lub uwypukleniem zbioru A i oznaczamy symbolem conva.

14 Uwypuklenie zbioru Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór M i jest wypukły, to zbiór M = M i jest również wypukły. Definicja i I Część wspólną wszystkich podzbiorów wypukłych przestrzeni R n zawierających zbiór nazywamy A powłoką wypukłą lub uwypukleniem zbioru A i oznaczamy symbolem conva.

15 Kombinacja wypukła Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Kombinacją wypukłą punktów x 1, x 2,..., x k R n nazywamy punkt x = α 1 x 1 + α 2 x α k x k, gdzie α i 0 dla i = 1, 2,..., k oraz k α i = 1. i=1

16 Kombinacja wypukła cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Zbiór M jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k M ich kombinacja wypukła należy do zbioru M. Jeśli A, to conv A jest zbiorem wszystkich kombinacji wypukłych punktów zbioru A.

17 Kombinacja wypukła cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Zbiór M jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k M ich kombinacja wypukła należy do zbioru M. Jeśli A, to conv A jest zbiorem wszystkich kombinacji wypukłych punktów zbioru A.

18 Hiperpłaszczyzna podpierająca Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym i x 0 bda. Hiperpłaszczyznę H (a, (a x 0 )) = {x R n : (a x) = (a x 0 )} nazywamy hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór A w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (a x) (a x 0 ) dla każdego x A albo (a x) (a x 0 ) dla każdego x A. Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym takim, że bd M. Dla każdego x 0 bd M istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca M w punkcie x 0.

19 Hiperpłaszczyzna podpierająca Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym i x 0 bda. Hiperpłaszczyznę H (a, (a x 0 )) = {x R n : (a x) = (a x 0 )} nazywamy hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór A w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (a x) (a x 0 ) dla każdego x A albo (a x) (a x 0 ) dla każdego x A. Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym takim, że bd M. Dla każdego x 0 bd M istnieje hiperpłaszczyzna podpierająca M w punkcie x 0.

20 Hiperpłaszczyzna rozdzielająca Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Niech A, B R n będą zbiorami niepustymi. Hiperpłaszczyznę H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną rozdzielającą zbiory A i B, jeśli (a x) b dla x A oraz (a x) b dla x B. Ponadto, jeśli co najmniej jedna z nierówności jest ostra, to mówimy, że hiperpłaszczyzna H(a, b) rozdziela ostro zbiory A i B.

21 Hiperpłaszczyzna rozdzielająca cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Jeśli M 1, M 2 są niepustymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 =, to istnieje hiperpłaszczyzna rozdzielająca zbiory M 1 i M 2. Jeśli M 1, M 2 R n są niepustymi, domkniętymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 = oraz jeden z nich jest zwarty, to istnieje hiperpłaszczyzna ostro rozdzielająca M 1 i M 2.

22 Hiperpłaszczyzna rozdzielająca cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Jeśli M 1, M 2 są niepustymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 =, to istnieje hiperpłaszczyzna rozdzielająca zbiory M 1 i M 2. Jeśli M 1, M 2 R n są niepustymi, domkniętymi zbiorami wypukłymi takimi, że M 1 M 2 = oraz jeden z nich jest zwarty, to istnieje hiperpłaszczyzna ostro rozdzielająca M 1 i M 2.

23 Hiperpłaszczyzna rozdzielająca cd Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Jeśli M R n jest niepustym zbiorem domkniętym i wypukłym, to M jest równy przecięciu wszystkich półprzestrzeni domkniętych zawierających M.

24 Punkt ekstremalny Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Punkt x nazywamy wierzchołkiem lub punktem ekstremalnym zbioru wypukłego M wtedy i tylko wtedy, gdy x M oraz zbiór M {x} jest wypukły. Zbiór wszystkich wierzchołków zbioru M oznaczać będziemy dalej symbolem M ex. Przykład Wierzchołkami odcinka [x, y] są punkty x i y.

25 Punkt ekstremalny Liniowe podzbiory przestrzeni R n Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Definicja Punkt x nazywamy wierzchołkiem lub punktem ekstremalnym zbioru wypukłego M wtedy i tylko wtedy, gdy x M oraz zbiór M {x} jest wypukły. Zbiór wszystkich wierzchołków zbioru M oznaczać będziemy dalej symbolem M ex. Przykład Wierzchołkami odcinka [x, y] są punkty x i y.

26 Punkt ekstremalny przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Jeśli M = { x R 2 : x x 2 2 1}, to M ex = { } x R 2 : x1 2 + x2 2 = 1, tzn. każdy punkt leżący na brzegu koła jest jego punktem ekstremalnym. Przykład Jeśli M = { x R 2 : x 2 x 2 1 } to Mex = { x R 2 : x 2 = x 2 1 }.

27 Punkt ekstremalny przykłady Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne Przykład Jeśli M = { x R 2 : x x 2 2 1}, to M ex = { } x R 2 : x1 2 + x2 2 = 1, tzn. każdy punkt leżący na brzegu koła jest jego punktem ekstremalnym. Przykład Jeśli M = { x R 2 : x 2 x 2 1 } to Mex = { x R 2 : x 2 = x 2 1 }.

28 Twierdzenia o rozdzielaniu, punkty ekstremalne (Kreina-Milmana) Jeśli niepusty zbiór M R n jest wypukły, domknięty i ograniczony, to: a) M ex, b) M = conv M ex.

29 Funkcja wypukła Liniowe podzbiory przestrzeni R n Definicja Niech M R n będzie zbiorem wypukłym. Funkcję f : M R nazywamy funkcją wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy x,y M t 0,1 f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y). Funkcję f : M R nazywamy funkcją wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy x,y M t 0,1 f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y).

30 Funkcja wypukła Liniowe podzbiory przestrzeni R n Warunek podany w definicji [ oznacza, że dla dowolnych x, y M [ ] [ ] ] x y odcinek łączący punkty, w przestrzeni R f (x) f (y) n+1 (cięciwa wykresu f ) funkcji wypukłej (odpowiednio wklęsłej) leży na lub powyżej (odpowiednio leży na lub poniżej) wykresu funkcji f. Bezpośrednio z definicji wynika również, że jeśli funkcja f jest wklęsła, to funkcja g = f jest wypukła i na odwrót.

31 Funkcja wypukła przykłady Przykład Funkcja f : R n R określona wzorem f (x) = a T x + b jest jednocześnie wypukła i wklęsła. Przykład Funkcja f : R n R, f (x) = x jest wypukła.

32 Funkcja wypukła przykłady Przykład Funkcja f : R n R określona wzorem f (x) = a T x + b jest jednocześnie wypukła i wklęsła. Przykład Funkcja f : R n R, f (x) = x jest wypukła.

33 Własności funkcji wypukłych Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym. Funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { [ ] } x Epi f = M R : y f (x) R n+1 y jest wypukły. Definicja Zbiór Epi f nazywamy epigrafem lub nadwykresem funkcji f.

34 Własności funkcji wypukłych Niech M R n będzie niepustym zbiorem wypukłym. Funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór { [ ] } x Epi f = M R : y f (x) R n+1 y jest wypukły. Definicja Zbiór Epi f nazywamy epigrafem lub nadwykresem funkcji f.

35 Własności funkcji wypukłych cd (Nierówność Jensena) Niech M będzie zbiorem wypukłym. Funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej kombinacji wypukłej x = k α i x i, gdzie α i 0 dla i = 1, 2,..., k oraz i=1 k α i = 1, punktów zbioru M spełniony jest warunek i=1 ( k ) f α i x i k α i f (x i ). i=1 i=1

36 Różniczkowalne funkcje wypukłe Niech M będzie otwartym zbiorem wypukłym. Różniczkowalna funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 0 M. f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Warunek podany w twierdzeniu oznacza, że hiperpłaszczyzna [ ] x0 styczna do wykresu funkcji f w punkcie jest jednocześnie f (x 0 ) hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór Epif w punkcie [ x0 f (x 0 ) ].

37 Różniczkowalne funkcje wypukłe Niech M będzie otwartym zbiorem wypukłym. Różniczkowalna funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, x 0 M. f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Warunek podany w twierdzeniu oznacza, że hiperpłaszczyzna [ ] x0 styczna do wykresu funkcji f w punkcie jest jednocześnie f (x 0 ) hiperpłaszczyzną podpierającą zbiór Epif w punkcie [ x0 f (x 0 ) ].

38 Różniczkowalne funkcje wypukłe Niech M będzie otwartym zbiorem wypukłym. Dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja f : M R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej hesjan [ f 2 ] f (x) (x) = x i x j jest macierzą nieujemnie określoną dla każdego x M.

39 Przykład zastosowania nierówności Jensena Przykład Dla dowolnych liczb dodatnich a 1, a 2,..., a n i nieujemnych liczb α 1, α 2,..., α n takich, że k α 1 = 1 zachodzi nierówność i=1 a α 1 1 aα aαn n α 1 a 1 + α 2 a α n a n.

40 Wielościenny zbiór wypukły Definicja Wielościennym zbiorem wypukłym nazywamy przecięcie skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych. Ograniczony i niepusty wielościenny zbiór wypukły nazywamy wielościanem wypukłym.

41 Wielościan wypukły Liniowe podzbiory przestrzeni R n Dowolny wielościenny zbiór wypukły W można przedstawić jako zbiór rozwiązań układu równań i/lub nierówności liniowych, to znaczy W = {x R n : (a i x) = b i } {x R n : (a i x) b i }, i I 1 i I 2 gdzie zbiór I = I 1 I 2 jest niepusty i skończony (jeden ze zbiorów I 1, I 2 może być pusty). Bezpośrednio z definicji wynika również, że W jest zbiorem domkniętym. Jeśli W jest wielościanem, to W = convw ex, gdzie zbiór W ex jest skończony. Wielościan wypukły w przestrzeni R n możemy zatem zdefiniować również jako powłokę wypukłą skończonej liczby punktów przestrzeni R n.

42 Wierzchołki wielościennego zbioru wypukłego Niech W będzie wielościennym zbiorem wypukłym. Dla dowolnego punktu x W oznaczmy przez I (x) = {i I : (a i x) = b i } zbiór indeksów ograniczeń aktywnych w punkcie x, a przez A (x) = {a i : i I (x)} zbiór wektorów wyznaczających ograniczenia aktywne w punkcie x.

43 Wierzchołki wielościennego zbioru wypukłego cd Punkt x R n jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego W wtedy i tylko wtedy, gdy x W oraz w zbiorze A(x) jest n wektorów liniowo niezależnych. Wniosek Wielościenny zbiór wypukły ma niepusty i skończony zbiór wierzchołków.

44 Wierzchołki wielościennego zbioru wypukłego cd Punkt x R n jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego W wtedy i tylko wtedy, gdy x W oraz w zbiorze A(x) jest n wektorów liniowo niezależnych. Wniosek Wielościenny zbiór wypukły ma niepusty i skończony zbiór wierzchołków.

45 Wierzchołek zdegenerowany Definicja Wierzchołek x wielościennego zbioru wypukłego W R n nazywamy wierzchołkiem zdegenerowanym, jeśli z układu wektorów a i, i I A (x) można wybrać co najmniej dwie bazy przestrzeni R n. W przeciwnym przypadku x nazywamy wierzchołkiem niezdegenerowanym.

46 Wierzchołki zbioru rozwiązań dopuszczalnych Jeśli macierz A o wymiarach m n ma rząd równy m, to punkt x R n jest wierzchołkiem zbioru X = {x R n : Ax = b x 0} wtedy i tylko wtedy, gdy x jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym układu Ax = b.

47 Ściana wielościennego zbioru wypukłego Definicja Ścianą wielościennego zbioru wypukłego W nazywamy zbiór W H, gdzie H jest taką hiperpłaszczyzną że W H i W H jest zbiorem wypukłym. Wymiarem ściany nazywamy wymiar najmniejszej rozmaitości liniowej zawierającej tę ścianę. Ściany jednowymiarowe nazywamy krawędziami zbioru wypukłego W.

48 Ściana wielościennego zbioru wypukłego przykłady Przykład Wyznaczymy ściany wielościennego zbioru wypukłegow R 3 określonego układem nierówności 3x 1 + 4x 2 + x 3 12, x 1 + x 3 6, x 1 0 x 2 0 x 3 0.

49 Stożek Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Definicja Niepusty zbiór S R n nazywamy stożkiem wtedy i tylko wtedy, gdy αx S. α 0 x S Jeśli ponadto S jest zbiorem wypukłym, to nazywamy go stożkiem wypukłym.

50 Przykłady stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład Zbiory: {0}, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, półprosta (a) = {αa : α 0} są stożkami wypukłymi. Przykład Zbiór S = { x R 3 : x x 2 2 x 2 3 } jest stożkiem, ale nie jest stożkiem wypukłym.

51 Przykłady stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład Zbiory: {0}, R n, dowolna podprzestrzeń przestrzeni R n, półprosta (a) = {αa : α 0} są stożkami wypukłymi. Przykład Zbiór S = { x R 3 : x x 2 2 x 2 3 } jest stożkiem, ale nie jest stożkiem wypukłym.

52 Własności stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym), to zbiór S = S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym). Niech S. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy αx + βy S dla dowolnych x, y S i α 0, β 0. i I

53 Własności stożków Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Niech I. Jeśli dla każdego i I zbiór S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym), to zbiór S = S i jest stożkiem (stożkiem wypukłym). Niech S. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy αx + βy S dla dowolnych x, y S i α 0, β 0. i I

54 Własności stożków cd dualne Wniosek Niech S będzie stożkiem. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy x + y S dla dowolnych x, y S. Wniosek Niepusty zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k S ich kombinacja liniowa k α i x 1 o nieujemnych współczynnikach należy do zbioru S. i=1

55 Własności stożków cd dualne Wniosek Niech S będzie stożkiem. Zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy x + y S dla dowolnych x, y S. Wniosek Niepusty zbiór S jest stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów x 1, x 2,..., x k S ich kombinacja liniowa k α i x 1 o nieujemnych współczynnikach należy do zbioru S. i=1

56 Promień ekstremalny dualne Definicja Półprostą (x) = {αx : α 0}, gdzie x 0, nazywamy krawędzią lub promieniem ekstremalnym stożka wypukłego S wtedy i tylko wtedy, gdy x S oraz zbiór S (x) jest wypukły. Przykład Stożek wypukły S = { x R 2 : x 2 x 1 } ( ma dwa promienie [ ] ) ( [ ] ) 1 1 ekstremalne i. 1 1

57 Promień ekstremalny dualne Definicja Półprostą (x) = {αx : α 0}, gdzie x 0, nazywamy krawędzią lub promieniem ekstremalnym stożka wypukłego S wtedy i tylko wtedy, gdy x S oraz zbiór S (x) jest wypukły. Przykład Stożek wypukły S = { x R 2 : x 2 x 1 } ( ma dwa promienie [ ] ) ( [ ] ) 1 1 ekstremalne i. 1 1

58 Przykłady Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład { } Stożek wypukły S = x R 3 : x 3 x1 2 + x 2 2 ma nieskończoną liczbę promieni ekstremalnych wyznaczonych na przykład przez wszystkie punkty x = [ x 1 x 2 1 ]T, gdzie x1 2 + x 2 2 = 1. Przykład Nieujemny orthant R n + = {x R n : x 0} ma n promieni ekstremalnych (e j ) gdzie j = 1, 2,..., n.

59 Przykłady Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Przykład { } Stożek wypukły S = x R 3 : x 3 x1 2 + x 2 2 ma nieskończoną liczbę promieni ekstremalnych wyznaczonych na przykład przez wszystkie punkty x = [ x 1 x 2 1 ]T, gdzie x1 2 + x 2 2 = 1. Przykład Nieujemny orthant R n + = {x R n : x 0} ma n promieni ekstremalnych (e j ) gdzie j = 1, 2,..., n.

60 Wielościenny stożek wypukły dualne Definicja Stożek, który jest wielościennym zbiorem wypukłym, nazywamy wielościennym stożkiem wypukłym lub stożkiem skończonym.

61 Wielościenny stożek wypukły cd dualne Dowolny wielościenny stożek wypukły V jest częścią wspólną skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych, można go zatem przedstawić jako zbiór rozwiązań układu równań i/lub nierówności liniowych z prawymi stronami równymi zeru, tzn. V = {x R n : (a i x) = 0} {x R n : (a i x) 0}, i I 1 i I 2 gdzie zbiór I = I 1 I 2 jest niepusty i skończony (jeden ze zbiorów I 1, I 2 może być pusty). Zbiór V jest oczywiście również zbiorem domkniętym.

62 Wielościenny stożek wypukły cd dualne Niech V będzie wielościennym stożkiem wypukłym. Półprosta (x), gdzie x 0, jest promieniem ekstremalnym stożka V wtedy i tylko wtedy, gdy x V i zbiór A(x) = {a i : (a i x) = 0} zawiera n 1 wektorów liniowo niezależnych.

63 dualne Wielościenny zbiór wypukły i wielościenny stożek wypukły Z każdym wielościennym zbiorem wypukłym W = {x R n : (a i x) = b i } {x R n : (a i x) b i } i I 1 i I 2 związany jest wielościenny stożek wypukły W 0 = {x R n : (a i x) = 0} {x R n : (a i x) 0}. i I 1 i I 2

64 dualne Związki między W a W 0 Niepusty zbiór W jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy W 0 = {0}. Niech W będzie zbiorem niepustym. Wówczas zbiór W ma co najmniej jeden punkt ekstremalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 jest punktem ekstremalnym stożka W 0. (O reprezentacji) Jeśli W ex jest zbiorem niepustym, to W = conv (W ex ) + W 0.

65 dualne Związki między W a W 0 Niepusty zbiór W jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy W 0 = {0}. Niech W będzie zbiorem niepustym. Wówczas zbiór W ma co najmniej jeden punkt ekstremalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 jest punktem ekstremalnym stożka W 0. (O reprezentacji) Jeśli W ex jest zbiorem niepustym, to W = conv (W ex ) + W 0.

66 dualne Związki między W a W 0 Niepusty zbiór W jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy W 0 = {0}. Niech W będzie zbiorem niepustym. Wówczas zbiór W ma co najmniej jeden punkt ekstremalny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 jest punktem ekstremalnym stożka W 0. (O reprezentacji) Jeśli W ex jest zbiorem niepustym, to W = conv (W ex ) + W 0.

67 o reprezentacji dualne Tezę twierdzenia o reprezentacji można również sformułować następująco. Dla dowolnego punktu x W istnieją takie liczby k α i 0, (i = 1, 2,..., k), α i = 1, β j 0, (j = 1, 2,..., q), że i=1 x = k α i x i + q β j y j, i=1 gdzie x 1, x 2,..., x k są punktami ekstremalnymi zbioru W, a (y 1 ), (y 2 ),..., (y q ) są promieniami ekstremalnymi stożka W 0. j=1

68 Stożek dualny Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym. em dualnym do A nazywamy zbiór Przykład A = {x R n : (a x) 0}. a A W przypadku zbiorów {0}, R n mamy odpowiednio {0} = R n, (R n ) = {0}.

69 Stożek dualny Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Definicja Niech A R n będzie zbiorem niepustym. em dualnym do A nazywamy zbiór Przykład A = {x R n : (a x) 0}. a A W przypadku zbiorów {0}, R n mamy odpowiednio {0} = R n, (R n ) = {0}.

70 Stożek dualny przykłady dualne Przykład em dualnym do zbioru jednopunktowego A = {a}, gdzie a 0, jest półprzestrzeń A = {x R n : (a x) 0}. Przykład em dualnym do zbioru dwupunktowego A = {a, b}, gdzie a i b są liniowo niezależne, jest stożek A = {x R n : (a x) 0} {x R n : (b x) 0}.

71 Stożek dualny przykłady dualne Przykład em dualnym do zbioru jednopunktowego A = {a}, gdzie a 0, jest półprzestrzeń A = {x R n : (a x) 0}. Przykład em dualnym do zbioru dwupunktowego A = {a, b}, gdzie a i b są liniowo niezależne, jest stożek A = {x R n : (a x) 0} {x R n : (b x) 0}.

72 Własności stożków dualnych dualne Jeśli A B R n, to B A oraz A B. Niech A R n będzie zbiorem niepustym. Wówczas: a) A jest stożkiem wypukłym i domkniętym, b) A A, c) A = A A jest stożkiem wypukłym i domkniętym. Wniosek A jest najmniejszym stożkiem wypukłym i domkniętym zawierającym zbiór A.

73 Własności stożków dualnych dualne Jeśli A B R n, to B A oraz A B. Niech A R n będzie zbiorem niepustym. Wówczas: a) A jest stożkiem wypukłym i domkniętym, b) A A, c) A = A A jest stożkiem wypukłym i domkniętym. Wniosek A jest najmniejszym stożkiem wypukłym i domkniętym zawierającym zbiór A.

74 Własności stożków dualnych dualne Jeśli A B R n, to B A oraz A B. Niech A R n będzie zbiorem niepustym. Wówczas: a) A jest stożkiem wypukłym i domkniętym, b) A A, c) A = A A jest stożkiem wypukłym i domkniętym. Wniosek A jest najmniejszym stożkiem wypukłym i domkniętym zawierającym zbiór A.

75 Własności stożków dualnych cd dualne Dla dowolnej macierzy A o wymiarach m n określimy dwa domknięte stożki wypukłe S = { { } Ax : x R n +} i T = z R m : A T z 0. S i T spełniają warunki: a) S = T, b) T = S.

76 Własności stożków dualnych cd dualne Dla dowolnej macierzy A o wymiarach m n określimy dwa domknięte stożki wypukłe S = { { } Ax : x R n +} i T = z R m : A T z 0. S i T spełniają warunki: a) S = T, b) T = S.

77 Lemat Farkasa Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Warunek T = S punktu twierdzenia 66 nazywa się lematem Farkasa. Można go sformułować również w następującej postaci. (Lemat Farkasa) Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, b R m. Poniższe warunki są równoważne: ( ) a) A T z 0 (b z) 0, b) z R m x R n + b = Ax.

78 Lemat Farkasa Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Warunek T = S punktu twierdzenia 66 nazywa się lematem Farkasa. Można go sformułować również w następującej postaci. (Lemat Farkasa) Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, b R m. Poniższe warunki są równoważne: ( ) a) A T z 0 (b z) 0, b) z R m x R n + b = Ax.

79 Lemat Farkasa cd Liniowe podzbiory przestrzeni R n dualne Wniosek Niech A będzie macierzą o wymiarach m n, b R m. Wówczas dokładnie jeden z układów { Ax = b x 0 lub { A T z 0 b T z > 0 ma rozwiązanie.

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Pewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych

Pewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych Maciej Grzesiak Pewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych 1. Pochodna funkcji o argumencie wektorowym Niech f : W R, gdzie W R n jest zbiorem otwartym. Oznaczenia: x = (x

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg.

1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Zbiory i funkcje wypukłe, 2005/06 1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Oznaczenia, definicje, twierdzonka. Wszystkie rozważania prowadzone są w przestrzeni euklidesowej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Matematyka stosowana Optymalizacja I Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Uniwersytet Warszawski, 2012 Streszczenie. Wykład zajmuje się programowaniem liniowym, w tym całkowitoliczbowym.

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa II wykład piąty

Geometria Różniczkowa II wykład piąty Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykład VIII (22XI2012) Zbioryifunkcje wypukłe

Wykład VIII (22XI2012) Zbioryifunkcje wypukłe 89 Wykład VIII (22XI2012) Zbioryifunkcje wypukłe 90 Definicja i przykłady zbiorów wypukłych Jeślix,y V sądwomapunktamiprzestrzeniwektorowej,tozbiór [x,y]={tx+(1 t)y t [0,1]}nazywamyodcinkiemłączącym punkty

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328

Rozdział VII. Przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie Przekształcenia geometryczne Symetria osiowa Symetria środkowa 328 Drogi Czytelniku 9 Oznaczenia matematyczne 11 Podstawowe wzory 15 Rozdział I. Zbiory. Działania na zbiorach 21 1. Zbiór liczb naturalnych 22 1.1. Działania w zbiorze liczb naturalnych 22 1.2. Prawa działań

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola

Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Czym jest parabola? Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożka płaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo