Zadania z Koncentracji Miary I
|
|
- Antonina Sikora
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę wewnętrzną A, µ A) = sup{µc): C A, C BX)}. Przypomnijmy, że dla podzbioru A przestrzeni metrycznej X, d) i t > 0 określamy A t = {x X : dx, A) < t}. Ponadto dla miary µ na X, d) i zbioru borelowskiego A definiujemy miarę brzegu A jako µ + µa t ) µa) A) = lim inf. t 0+ t Uwagi: 1) Miarę wewnętrzną µ wprowadzamy, by uniknąć problemów z mierzalnością sumy zbiorów borelowskich. Daje się jednak pokazać, że suma zbiorów borelowskich, choć nie musi być borelowska jest mierzalna w sensie Lebesguea. 2) Jeśli µ miara na R n z ciągłą gęstością g, a zbiór A jest porządny, to µ + A) = gx)dh n 1 x), A zatem na przykład dla porządnych zbiorów λ + n A) to miara powierzchniowa brzegu A. 1. Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R λ 1, A + B) λ 1 A) + λ 1 B) 2. Nierówność Prekopy-Leindlera) Wykaż, że jeśli s [0, 1], f, g, h są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi na R n takimi, że to hsx + 1 s)y) fx) s gy) 1 s dla x, y R n hx)dx fx)dx) s gx)dx) 1 s R n R n R n Wskazówki: i) Dla n = 1 zauważ, że można zakładać, że sup x fx) = sup x gx) = 1 i wtedy fx)dx = 1 0 λ 1{f > t})dt, gx)dx = 1 0 λ 1{g > t})dt oraz 1 hx)dx 0 λ 1{h > t})dt i można stosować poprzednie zadanie. ii) Krok indukcyjny. Ustalmy funkcje mierzalne f, g, h na R n+1 i dla x, y R rozpatrzmy funkcje f x ) = fx, ), g y ) = gy, ) i h sx+1 s)y ) = fsx + 1 s)y, ) i wykorzystajmy dla nich założenie indukcyjne. 3. Nierówność Brunna-Minkowskiego) i) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R n i s [0, 1] λ n, sa + 1 s)b) λ n A) s λ n B) 1 s. ii) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R n λ n, A + B) 1/n λ n A) 1/n + λ n B) 1/n. 1
2 4. Klasyczna izoperymetria) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w R n takim, że λ n A) = λ n Bx, r)), to i) Dla wszystkich t > 0, λ n A t ) λ n Bx, r)) t ) = λ n Bx, r + t)). ii) λ + n A) λ + n Bx, r)) = λ n 1 Bx, r)). 5. Niech x 0 będzie ustalonym punktem S n a H podprzestrzenią w R n+1 wymiaru n, nie przechodzącą przez x 0. Wówczas R n+1 \H jest sumą dwóch otwartych półprzestrzeni H + zawierającej x 0 i H nie zawierającej x 0. Niech i = i H : S n S n będzie odbiciem względem H. Określmy dla mierzalnej, ograniczonej funkcji f : S n R max{fx), fix)} dla x H + f H x) := min{fx), fix)} dla x H fx) dla x H Wykaż, że i) dist σn f) = dist σn f H ). ii) Jeśli f jest Lipschitzowska ze stałą L, to f H też jest Lipschitzowska ze stałą L. iii) S n dx 0, x)fx)dσ n x) S n dx 0, x)f H x)dσ n x) ponadto, jeśli f jest ciągła, to równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy f = f H. 6. Funkcję g na S n nazywamy radialną względem ustalonego punktu x 0 S n, jeśli dx, x 0 ) dy, x 0 ) implikuje gx) gy). Jeśli f : S n R jest funkcją mierzalną ograniczoną to jej radialną symetryzacją nazywamy funkcję radialną f taką, że dist σn f) = dist σn f ). Udowodnij, że i) Funkcja f istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero. ii) Funkcja g jest radialna wtedy i tylko wtedy gdy g H = g dla wszystkich H. 7. Ustalmy funkcję L-Lipschitzowską f : S n R i niech A := {g : S n R: dist σn f) = dist σn g), g L-Lipschitzowska}. Ponadto niech m := inf g A S n dx 0, x)gx)dσ n x). Udowodnij, że i) Istnieje ciąg g k ) A jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji g taki, że S n dx 0, x)g k x)dσ n x) m przy k skorzystać z twierdzenia Arzeli-Ascoli) ii) g A oraz m = S n dx 0, x)gx)dσ n x). iii) g = f. 8. Izoperymetria sferyczna) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w S n takim, że σ n A) = σ n Bx 0, r)), to i) Dla wszystkich t > 0, σ n A t ) σ n Bx 0, r)) t ) = σ n Bx 0, r + t)). ii) σ + n A) σ + n Bx, r)). Wskazówka. Wykorzystaj fakt, że symetryzacja radialna funkcji max{t dx, A), 0} jest 1-Lipschitzowska. 9. Wykaż, że σ n A) 1 2 implikuje 1 σ na t ) e n 1)t2 /2. 2
3 Zadania z Koncentracji Miary II 1. Miarę µ na R n nazywamy logarytmicznie wklęsłą jeśli dla dowolnych dwu niepustych zbiorów borelowskich A, B i s [0, 1], µ sa + 1 s)b) µa) s µb) 1 s. i) Wykaż, że jeśli K jest zbiorem zwartym wypukłym o niepustym wnętrzu to rozkład jednostajny na K jest logarytmicznie wklęsły. ii) Wykaż, że afiniczny obraz miary logarytmicznie wklęsłej jest logarytmicznie wklęsły. iii) Wykaż, że jeśli funkcja f : R n, ] jest wypukła oraz miara µ ma gęstość g = e f, to µ jest logarytmicznie wklęsła. iv) Wykaż, że rozkłady gaussowskie są logarytmicznie wklęsłe. v) Wykaż, że jeśli miara logarytmicznie wklęsła µ ma ciągłą gęstość g, to g jest logarytmicznie wklęsła tzn. jest postaci jak w punkcie ii)). Uwaga 1. Daje się wykazać znaczne wzmocnienie v) - jeśli µ jest logarytmicznie wklęsła i nie jest skoncentrowana na podprzestrzeni afinicznej niższego wymiaru, to µ ma logarytmicznie wklęsłą gęstość. Uwaga 2. Można wykazać, że miary probabilistyczne logarytmicznie wklęsłe to słabe granice rzutów rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych. 2. Wykaż, że jeśli µ jest probabilistyczną miarą logarytmicznie wklęsłą oraz A jest zbiorem symetrycznym wypukłym takim, że µa) = a > 0, to dla r > 1, 1 a ) r+1)/2. 1 µra) a a 3. Wykaż, że jeśli X ma rozkład logarytmicznie wklęsły a jest dowolną normą na R n to dla p > 1, gdzie C jest stałą absolutną. E X p ) 1/p CpE X, 4. Dla ε 0, 1) i miary probabilistycznej µ na X, d) określmy α ε µt) := sup{1 µa t ): µa) ε}. Wykaż, że jeśli α µ t 0 ) < ε to dla t > 0, α ε µt + t 0 ) α µ t). 5. Wykaż, że dla dowolnej ustalonej) miary probabilistycznej na X, d) i ε > 0 zachodzi α ε µt) 0 przy t. 6. Wykaż, że jeśli ϕ jest funkcją L-Lipschitzowską z X, d) w Y, ρ) oraz ν = µ ϕ 1, to α ε νt) α µ t/l). 7. Wykaż, że transport radialny miary γ n na rozkład jednostajny na kuli jednostkowej ma stałą Lipschitza nie większą niż C/ n. 3
4 Zadania z Koncentracji Miary III 1. Załóżmy, że wiemy, że dla mierzalnej funkcji F istnieje stała a F taka, że Wówczas jeśli αt 0 ) < 1/2, to µ{ F a F t}) αt) dla t > 0. µ{ F Med µ F ) t + t 0 }) αt) dla t > 0. Ponadto, jeśli ᾱ = 0 αt)dt <, to F jest całkowalna oraz a F F dµ ᾱ oraz µ{ F F dµ t + ᾱ}) αt) dla t > 0. W szczególności jeśli αt) C 1 exp t p /C 2 ), to dla dowolnego ε > 0 i m {Med µ F ), F dµ} µ{ F m t)) C 3 exp 1 ε) t p /C 2 ) dla t > 0, gdzie C 3 zależy tylko od C 1, ε i p. 2. Wykaż, że jeśli X i są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że a i X i b i oraz S = n X i, to dla D 2 = n b i a i ) 2. PS ES + t) 2 exp t2 2D 2 ) 3. Niech Y i bedą niezależnymi wektorami losowymi w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz S = n Y i. Wykaż, że dla D 2 = n Y i 2. P S E S t) 2 exp t2 8D 2 ) 4
5 Zadania z Koncentracji Miary IV 1. Wykaż, że jeśli miara ν jest L-lipschitzowskim obrazem miary µ oraz µ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, to ν spełnia nierówność Poincaré ze stałą CL Niech µ będzie symnetryczną miarą logwklęsłą na R z gęstością gx) taką, że Var µ x) = 1. i) Wykaż, że istnieją stałe uniwersalne C 1 i C 2 takie, że C1 1 g0) C 2 wsk. rozpatrzeć dodatkowo x 0 = inf{x > 0: gx) g0)/e}.) ii) Wykaż, że istnieje stała uniwersalna L taka, że µ jest L-lipschitzowskim obrazem symetrycznej miary wykładniczej ν. 3. Przeprowadzić analogiczne rozumowanie dla miar logwklęsłych na prostej bez założenia symetrii. 4. Wykaż, że by udowodnić nierówność Poincaré dla miary µ na R n wystarczy wykazać, że Var µ f) C f 2 dµ dla funkcji f C 1 ogrr n ). 5
6 Zadania z Koncentracji Miary V Mówimy, że miara µ na przestrzeni X, d) spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0, jeśli µ + A) c min{µa), 1 µa)} dla dowolnego zbioru borelowskiego A. 1. Wykaż, że nierówność Poincaré jest równoważna nierówności E µ f Med µ f 2 CE µ f 2 dla wszystkich funkcji Lipschitzowskich. Co więcej optymalne stałe w obu nierównościach spełniają C opt C opt 1 + 2) 2 C opt. 2. Wykaż, że symetryczny rozkład wykładniczy ν spełnia nierówność Cheegera ze stałą c = Wykaż, że miara µ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy µa) = ν, x] µa t ) ν, x + ct] dla t > Niech µ będzie miarą na prostej, F t) = µ, t], zaś p będzie gęstością jej części absolutnie ciągłej. Wykaż, że następujące warunki są równoważne i) µ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 ii) µ jest 1 c -lipschitzowskim obrazem ν px) iii) essinf min{f x),1 F x)} c 5. Wykaż, że miara µ na R n spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy gdy ce µ f Med µ f E µ f dla wszystkich lipschitzowskich funkcji f. 6. Wykaż, że nierówność Cheegera na R n implikuje nierówność Poincaré ze stałą 2 c. 7. Pokaż, że miara na R z gęstością 1+α 2 x α I { x 1} dla α 0, 1) spełnia nierówność Poincaré, a nie spełnia nierówności Cheegera. 6
7 Zadania z Koncentracji Miary VI W zadaniach poniżej I = I γ = ϕφ 1 ). 1. Wykaż, że X f dµ R µ + {x: fx) > r})dr Wskazówka: Najpierw rozpatrzeć ograniczone f, co można zredukować do przypadku f 0. Rozpatrując zbiory Ar) = {x: fx) > r} i funkcje f t x) = sup dx,y)<t fy) wykaż, że {x: f t x) > r} = Ar) t oraz, że X i przejdź z t 0+. f t f dµ = t 0 µar) t ) µar)) dr t 2. Wykaż, że jeśli miara µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, to spełnia nierówność Poincaré z tą samą stałą. 3. Wykaż, że jeśli miary µ i spełniają nierówność Bobkowa ze stałymi C i, to miara µ 1 µ n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą max i C i. 4. Wykaż, że następujące dwie własności miary µ są równoważne: i) µa t ) ΦΦ 1 µa))+t) dla dowolnego zbioru borelowskiego A i t > 0 ii) µ + A) IµA)) dla dowolnego zbioru borelowskiego A. 5. Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b [0, 1], I a + b 2 ) 1 I 2 2 b a)2 a) I b a)2 b) + 4 i wywnioskuj stąd, że miara γ n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą Wykaż, że It) 2t ln 1 t przy t 0+ i wywnioskuj stąd, że nierówność Bobkowa implikuje logarytmiczną nierówność Sobolewa. 7
8 Zadania z Koncentracji Miary VII 1. Wykaż, że jeśli para µ, ϕ) ma własność τ), to i) µa + B ϕ t)) e t µa) e t 1)µA)+1, ii) µa + B ϕ t)) > min{e t/2 µa), 1/2}, iii) jeśli µa) 1 2, to 1 µa + B ϕt)) < e t/2 1 µa)) oraz iv) jeśli µa) = ν, x], to µa + B ϕ t)) ν, x + t/2]. 2. Dla miary probabilistycznej µ na R n określamy Λ µ t) = ln M µ t) = ln e t,x dµx) i Λ µt) = LΛ µ t) = sup{ s, t Λ µ s): s R n }. Ogólnie Lft) = sup s s, t fs)) nazywamy transformatą Legendre a funkcji f). Wykaż, że jeśli µ, ϕ) ma własność τ) oraz ϕ jest wypukła, to Lϕ 2Λ µ oraz ϕt) 2Λ µt/2). 3. Udowodnij, że dla symetrycznego rozkładu wykładniczego na R Λ νt) = 1 + t t 1 ln 2 1 ) min{t 2, t }. 2 Zatem znaleziona na wykładzie funkcja kosztu dla miary ν jest optymalna z dokładnością do stałej. 4. Wykaż, że para γ n, 1 4 x 2 ) ma własność τ) oraz, że 1 4 x 2 jest optymalną funkcją kosztu. 5. Niech µ będzie symetryczną miarą logarytmicznie wklęsłą na R o wariancji 1. Określmy hx) = ln µ[x, ) dla x > 0 oraz { x 2 dla x 2/3 hx) = max{ 4 9, h x )} dla x > 2/3. Wykaż, że Λ µt) ht) oraz para µ, ht/c)) ma własność τ) dla pewnej uniwersalnej stałej C. 8
9 Zadania z Koncentracji Miary VIII 1. Załóżmy, że zmienne Y i są niezależne oraz u i Y i v i prawie na pewno. Niech T będzie ograiczonym podzbiorem R n oraz Wykaż, że gdzie Z = sup t i Y i. P Z MedZ) t) 4 exp t2 4σ 2 ), σ 2 = sup t 2 i v i u i ) 2. Ponadto E Z MedZ) 4 πσ i VarZ) 16σ Nierówność Chinczyna-Kahane a) Niech ε i będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi takimi, że Pε i = ±1) = 1 2, zaś v 1,..., v n wektorami w pewnej przestrzeni unormowanej F. Wykaż, że dla M = Med n v iε i ) i t > 0 gdzie P v i ε i M t) 4 exp t2 16σ 2 ), σ 2 = sup{ ϕ 2 v i ): ϕ F, ϕ 1}. Wywnioskuj stąd, że istnieje stała C < taka, że dla dowolnego p 1, oraz E v i ε i p ) 1/p M + C pσ E v i ε i p ) 1/p C pe v i ε i 2 ) 1/2. 3. Zmodyfikowana nierówność Sobolewa). Niech ν oznacza symetryczny rozkład wykładniczy na R, tzn. rozkład z gęstością 1 2 e x. i) Wykaż, że dla dowolnej funkcji gładkiej f na R takiej, że f ρ < 1 zachodzi Ent ν e f ) 2 1 ρ f ) 2 e f dν. ii) Udowodnij, że jeśli funkcja F C 1 R n ) spełnia max i i F 1 to dla λ ρ < 1, Ent ν ne λf ) 2λ2 1 ρ n iii) Wywnioskuj stąd, że jeśli F C 1 R n ) spełnia i F ) 2 e λf dν n. to ν n {F max i F b oraz i i F ) 2 a 2 F dν n + t}) exp 1 4 min{ t b, t2 a 2 }). 9
10 Zadania z Koncentracji Miary IX Ciałem wypukłym nazywamy zwarty wypukły podzbiór R n wnętrzu. o niepustym 1. Wykaż, że E max 1 i n g i c lnn + 1). 2. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w R n oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru cε) log n oraz elipsoida E w V taka, że E K V 1 + ε)e. 3. Wykaż, że każda n wymiarowa elipsoida ma n 2 -wymiarowy przekrój, który jest kulą euklidesową. 4. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w R n oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru cε) log n oraz ρ > 0 takie, że gdzie B V = {x V : x = 1}. ρb V K V 1 + ε)ρb V, 5. Wykaż, że jeśli l k 2 się wkłada ze stałą C w l n p oraz p 2, to k AC)pn 2/p, gdzie AC) jest stałą zależną tylko od C. 6. Wykaż, że jeśli l k 2 się wkłada ze stałą C w l n, to k AC) log n. 7. Oblicz dl n p ). Co można powiedzieć o wymiarze przekrojów kuli jednostkowej w l n p, które są bliskie euklidesowym? 10
11 Zadania z Koncentracji Miary X 1. Wykaż, że /2 x e y2 dy 1 /2 x e x2 dla x i wykorzystaj to do dowodu faktu, że dla X N a, σ 2 1 ), lim t t log PX t) = 1 2 2σ Niech X będzie scentrowanym wektorem gaussowskim w ośrodkowej przestrzeni Banacha F. Wykaż, że istnieją wektory x 1, x 2,... w F oraz zmienne g 1, g 2,... o rozkładzie N 0, 1) takie, że X = x ig i, przy czym szereg jest zbieżny p.n. i w każdym L p. Jak się zmieni odpowiedź, jeśli nie założymy scentrowania X? Wskazówka. Rozpatrzyć domkniętą powłokę liniową wektorów ϕx)) ϕ F w L 2. Za g i można wziąć bazę ortonormalną tej przestrzeni Hilberta. 3. Załóżmy, że g i, g j są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, 1) oraz X = n i,j=1 a i,jg i g j. Wykaż, że gdzie i) P X C t a ij ) HS + t a ij ) op )) 2e t, a ij ) op = sup{ a i jx i y j : x 2 i 1, yj 2 1} ij i j oraz a ij ) HS = ij a 2 ij) 1/2. ii) X p C p a ij ) op + p a ij ) HS ) dla p 2. iii) X p Cp X 2 dla p Niech Y 1,..., Y n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie z gęstością 1 2 e x. Wykaż, że dla dowolnych a 1,..., a n R oraz Y = n a iy i, PY Ct a + t a 2 )) e t i wywnioskuj stąd, że Y p Cp a + p a 2 ) dla p 2. Wykaż, że Y p 1 C p a + p a 2 ) dla p Niech Y = n v iy i gdzie v i są wektorami w pewnej przestrzeni Banacha F, a Y i są jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że P Y E Y + Ct sup ϕv i ) + t sup ϕv i ) 2 )) e t ϕ 1 ϕ 1 i wywnioskuj stąd, że dla p 2, E Y p ) 1/p E Y + Cp sup ϕv i ) + p sup ϕv i ) 2 ) ϕ 1 ϕ 1 oraz E Y p ) 1/p E Y + sup E ϕy ) p ) 1/p. ϕ 1 11
12 Zadania z Koncentracji Miary XI W zadaniach tej serii zakładamy, że S = X i, gdzie X i są niezależnymi, ograniczonymi zmiennymi losowymi o średniej zero. 1. Nierówność Hoeffdinga. Wykaż, że PS t) exp 2. Nierówność Bernsteina. Udowodnij, że i) jeśli liczby σi 2, M < są takie, że to oraz dla t > 0, ii) jeśli X i C, to t 2 2 n X i 2 E X i k k! 2 σ2 i M k 2 dla k 2, λ 2 n ) E expλs) exp σ2 i dla M λ < 1 21 M λ ) PS t) exp t 2 ) 2 n σ2 i + 2Mt t 2 ) PS t) exp 2VarS) Ct. 3. Nierówność Benetta. Wykaż, że jeśli X i C, to dla λ > 0 oraz dla t 0, PS t) exp ), VarS) ) E expλs) exp C 2 e λc tc 1) VarS) Ct )) C 2 h exp VarS) gdzie hx) := 1 + x) ln1 + x) x dla x 0. t 2C ln 1 + tc )), VarS) 4. Rozpatrując jako przypadki graniczne zmienne o rozkładzie gaussowskim i Poissona, przedyskutuj optymalność oszacowania w nierówności Bennetta. 12
13 Zadania z Koncentracji Miary XII 1. Załóżmy, że ϕ i : R R dla 1 i n są funkcjami 1-lipschitzowskimi oraz ϕ i 0) = 0. Wykaż, że dla dowolnego ograniczonego T R n oraz funkcji wypukłej niemalejącej G: R R, EG sup ) ε i ϕ i t i ) EG sup ε i t i ). Wskazówka. Sprowadzić zadanie do wykazania, że dla ograniczonego zbioru T R 2 i funkcji 1-lipschitzowskiej ϕ takiej, że ϕ0) = 0 zachodzi ) ) EG t 1 + ε 1 ϕt 2 )) EG t 1 + ε 1 t 2 ). sup sup Następnie zredukować do zbioru dwupunktowego T i rozpatrzyć przypadki 2. Przy założeniach poprzedniego zadania udowodnij, że dla dowolnej funkcji wypukłej niemalejącej F : [0, ) [0, ), 1 EF 2 sup ) ε i ϕ i t i ) EF sup ε i t i ). 3. Załóżmy, że wektory losowe X i w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha są scentrowane, wspólnie ograniczone oraz szereg S = X i jest zbieżny prawie na pewno. Wykaż, że istnieje λ > 0 takie, że E expλ S log + S ) <. 13
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoMetody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw I
Metody Losowe w Geometrii Wypukłej - zestaw I 1. Niech x 0 będzie ustalonym punktem S n a H podprzestrzenią w R n+1 wymiaru n, nie przechodzącą przez x 0. Wówczas R n+1 \H jest sumą dwóch otwartych półprzestrzeni
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoKoncentracja Miary. Rafał Latała. 22 maja 2009
Koncentracja Miary Rafał Latała 22 maja 29 Poniższe notatki powstają na podstawie (wybranych) wykładów z Koncentracji Miary, prowadzonych w semestrze wiosennym 28/9. Przepraszam za wszystkie nieścisłości
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoKoncentracja Miary. Rafał Latała. 23 maja 2009
Koncentracja Miary Rafał Latała 23 maja 29 Poniższe notatki powstają na podstawie wybranych) wykładów z Koncentracji Miary, prowadzonych w semestrze wiosennym 28/9. Przepraszam za wszystkie nieścisłości
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.
Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n
Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoZadania z Procesów Stochastycznych 1
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoIzoperymetria gaussowska
Politechnika Wrocławska 6 lipca 2010 Klasyczny problem izoperymetryczny Spośród wszystkich ograniczonych płaskich figur o zadanym obwodzie znaleźć tę, która ma największe pole. Klasyczny problem izoperymetryczny
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSpacery losowe w R d
Politechnika Wrocławska 6 lipca 2010 Błądzenia po kracie Z d Błądzenie losowe (spacer losowy) to podstawowy przykład łańcucha Markowa, obowiązkowo pojawiający się na jednym z pierwszych wykładów o procesach
Bardziej szczegółowoGeometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa
Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa Iwona Żerda Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Jagielloński 6 grudnia 2013 6 grudnia 2013 1 / 19 Plan prezentacji 1 Algorytm Gibbsa 2 Tempo zbieżności
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoStacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga
RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowo2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowo