Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 2

Transkrypt

1 Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład Michał Ramsza października Streszczenie Wykład drugi bazuje głównie na [, roz 6 5, [, roz oraz [ Materiał obejmuje zagadnienie zwiazane z układami równań różnicowych pierwszego stopnia, nieliniowych i liniowych o stałych współczynnikach Nie zajmujemy się układami wyższych stopni Układy liniowe o stałych współczynnikach Notacja Przez x t R n rozumiemy wektor postaci x t x t, x t,n R n Sformułowanie zagadnienia Rozważamy równanie postaci gdzie x t R n, b R n a macierz A jest postaci a a n A a n a nn x t+ Ax t + b, )

2 Rozwiazanie: podejście pierwsze Rozwiazanie Niech x będzie dane Mamy wtedy x Ax + b x Ax + b A Ax + b) + b A x + Ab + b x Ax + b A x + A b + Ab + b t x t A t x + A k b k Warto zwrócić uwagę, że ostatnia formuła to analog odpowiedniej formuły dla równania różnicowego identycznej postaci Krótsza postać Chcemy dowiedzieć się jaka jest suma t k Ak dla macierzy, dla której det I A), tj nie jest wartościa własna macierzy A Rozważamy sumę t A k I A) I + A + + A t ) I A) k I + A + + A t A + + A t) I A t Mnożac obie strony powyższego równania przez I A) istnieje z założenia) otrzymujemy t A k I A t) I A) k Korzystajac z wyprowadzonego wzoru mamy t x t A t x + A k b A t x + k [ t A k b k A t x + I A t) I A) b A t x + I A) b A t I A) b A t x I A) b ) + I A) b ) }{{}}{{} stały wektor stały wektor Powyższa formuła jest wygodniejsza do analizowania W przypadku gdy A t przy t to x t I A) b Tego typu analiza wymaga dokładniejszego zdefiniowania równowagi oraz analizy wyrażenia A t

3 Równowaga Definicja Równowagą w układzie równań różnicowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach rozumiemy stan x spełniający x A x + b 5 Istnienie i jednoznaczność równowagi Zgodnie z definicja mamy x A x + b x A x b I A) x b x I A) b jeżel istnieje) Zgodnie z powszechnie znanymi twierdzeniami z algebry liniowej mamy następujace twierdzenie Twierdzenie Równowaga x układu xt + Ax t + b istnieje i jest jedyna wtedy i tylko wtedy gdy macierz I A jest nieosobliwa, a więc np wtedy i tylko wtedy gdy det I A) W takim przypadku wynosi ona x I A) b 6 Zachowanie się ścieżki w relacji do równowagi Korzystajac z postaci ) i postaci równowagi otrzymujemy x t A t x I A) b ) + I A) b A t x x) + x Jeżeli tylko macierz A jest taka, że A t przy t to rozwiazanie zbiega do równowagi x a więc jest ona globalnie asymptotycznie stabilna Całość dalszej analizy jest zwiazana z zachowaniem się wyrażenia A t i w większości opiera się na postaci Jordana macierzy Jordan normal form) 7 Rozwiazanie w terminach macierzy Jordana 7 Podstawowa logika rozwiazywania Rozwiazanie jest postaci x t A t x x) + x Poprzez zamianę zmiennych przy pomocy macierzy zamiany bazy H możemy zapisać macierz A jako A HDH, gdzie macierz D ma specjalna postać Mamy Otrzymujemy A t A A A A HDH HDH HDH HDH HD t H x t HD t H x x) + x Zatem całe zachowanie się rozwiazania jest zdeterminowane macierza D Będziemy się starali aby macierz D była macierza Jordana

4 Być może wygodne jest wprowadzenie nowych zmiennych y t w postaci x t Hy t + x ) Mamy wtedy x t HD t H x x) + x Hy t + x HD t H Hy + x x) + x Hy t + x HD t H Hy ) + x Hy t HD t H Hy y t D t y Tak wprowadzone zmienne powoduja, że równowaga jest przesunięta do poczatku układu współrzędnych i używamy nowego układu współrzędnych Czasami wygodniej jest rozwiazać równanie w zmiennych y i następnie wyznaczyć z niego rozwiazanie w terminach x korzystajac z x t Hy t + x Tak właśnie zrobimy w dalszej części 7 Rozwiazanie: rzeczywiste wartości własne o krotności algebraicznej Jeżeli macierz A posiada spektrum złożone tylko z rzeczywistych wartości własnych {λ,, λ n } wszystkie o krotności algebraicznej to odpowiadajace im wektory własne {h,, h n } sa liniowo niezależne i tworza bazę przestrzeni R n Macierz H [h,, h n jest macierza zamiany bazy i możemy zapisać A jako A HDH, gdzie λ λ D λ n λ n W takiej sytuacji rozwiazanie w terminach y t jest trywialne bo λ t λ t D t λ t n λ t n Mamy zatem y t,j λ t jy,j, j,, n Rozwiazanie x t obliczamy korzystajac z ) do czego konieczna jest znajomość bazy H) 7 Przykład Rozważamy układ równań różnicowych postaci x t+ x t + [ 5 5 [, x [ / )

5 W pierwszym kroku obliczamy równowagę otrzymujac [ x I A) [ Następnie obliczamy wartości własne macierzy A Wielomian charakterystyczny jest postaci skad wartości własne to wλ) ) 5 λ λ λ ) λ ) 6 i λ Następnie obliczamy wektory własne, odpowiadajace wartościom własnym Dla wartości własnej λ / otrzymujemy układ równań następujacej macierzy rozszerzonej [A [ [ I Jak wektor własny możemy zatem przyjać wektor h [, T Dla wartości własnej λ / otrzymujemy [A [ I [ Jako wektor własny możemy zatem przyjać h [, T Macierz zamiany bazy H jest zatem postaci [ H a macierz D jest postaci [ D Rozwiazanie w terminach zmiennych y t jest zatem postaci [ y t D t y D t H x x) D t 5 [ t t [ [ 5 t 5 t Rozwiazanie w terminach zmiennych x wyznaczamy zgodnie ze wzorem [ [ [ [ x t Hy t + x 5 t 5 t + t + t 5 t + t Zachowanie się rozwiazania jest przedstawione na rysunku 7 Rozwiazanie: rzeczywiste wartości własne o krotności algebraicznej większej niż Jeżeli macierz A posiada spektrum złożone tylko z rzeczywistych wartości własnych {λ,, λ m o krotnościach algebraicznych odpowiednio a,, a m, gdzie j a j n to postępujemy w następujacy sposób Procedura zostanie opisana dla pierwszej wartości własnej λ ale dla kolejnych wartości własnych przeprowadza się ja w dokładnie taki sam sposób W pierwszym kroku obliczamy wektory własne odpowiadajace tej wartości własnej, a więc rozwiazujemy układ równań A λ I)h

6 5 5 x x Rysunek : Rozwiazanie równania ) W zależności od krotności geometrycznej otrzymamy co najmniej jeden wektor własny a co najwyżej a wektorów własnych Załóżmy, że otrzymaliśmy g wektorów własnych h,,, h,g Aby stworzyć bazę przestrzeni R n każdej wartości własnej λ j musimy przypisać dokładnie a j wektorów Zatem brakuje nam a j g j Wektory te możemy obliczyć zgodnie z następujac a procedura Wybieramy odpowiednio wektory własne wektory własne nie sa wyznaczone jednoznacznie) i startujemy od wektora h,g i obliczamy kolejne wektory h,g +,, h,a rekurencyjnie W bazie A λ I) h,g + h,g A λ I) h,g + h,g + A λ I) h,a h,a {h,,, h,g, h,g +,, h,a } klatka odpowiadajaca wartości własnej λ ma postać λ λ λ, λ λ λ gdzie pierwszy blok ma wymiary g g a drugi blok ma wymiary a g ) a g ) Powtarzajac odpowiednia procedurę dla wszystkich wartości własnych otrzymujemy bazę H i odpowiadajac a jej macierz przejścia H oraz blokowa macierz D Ewolucja rozwiazania y t przebiega niezależnie w blokach Dlatego zachowanie się rozwiazania

7 odpowiadajacego blokom postaci λ j λ j przebiega dokładnie tak samo jak w punkcie 7 Musimy się skupić na zachowaniu się macierzy D t gdzie D jest blokiem postaci λ j λ j D λ j λ j Zanim rozważymy ogólna postać powyższej klatki popatrzmy na kilka przykładów Dla macierzy mamy B [ α, B α [ α α α, B [ α α α, Dla macierzy mamy α α α α α α B α, B α α, B α α, α α α Dla macierzy mamy α α α α α α B α α, B α α α α, B α α α α α, α α α Możemy zatem napisać ogólny wzór, który jest postaci λ t j tλ t tt )λ t j j! λ t D t j tλ t λ t j tλ t j λ t j tt )t n+)λ t n+ j n )! gdzie n a j g j Korzystajac z powyższych postaci możemy w ramach zmiennych odpowiadaja- cych blokowi zwiazanemu z wartościa własna λ j ) opisać ewolucję zmiennych, y t,+a ++a j +, y t,+a ++a j +,, y t,+a ++a j +a j ) Poczatkowe g j zmiennych jest proste do opisania, zob powyższe uwagi i punkt 7 Pozostałe a j g j zmienne dla prostoty wzorów oznaczymy jako y,, y n ) Ich ewolucja przebiega zgodnie z następujacymi wzorami n l ) t y t,l λ t k j y,l+k, l,, n k k

8 75 Przykład Rozważamy układ równań różnicowych następujacej postaci [ [ x t+ x t +, x Obliczamy równowagę otrzymujac [ x I A) [ 6 6 Następnie obliczamy wartości własne Wielomian charakterystyczny jest postaci wλ) ) ) λ λ 6 λ 5) + 6 [ 5) skad otrzymujemy jedna wartość własna λ 5/6 o krotności algebraicznej Obliczamy wektory własne Macierz rozszerzona układu równań jest postaci [A 56 [ [ I zatem jako wektor własny możemy przyjać wektor h [, T Aby obliczyć wektor serii korzystamy z zależności rekurencyjnej i rozwiazujemy następujacy układ równań [ A 5 [ [ 6 I h a zatem jako wektor serii możemy przyjać h [, T Ostatecznie macierz przejścia z bazy do bazy ma postać [ H Wektor y otrzymujemy z zamiany bazy [ y H x x) Macierz D ma postać [ [ 5 D Korzystajac z wyprowadzonych wzorów otrzymujemy ) ) t ) ) t ) t 5 t 5 y t, 5) ) ) t ) t 5 y t, ) t [ ) 6 6 Ostatecznie rozwiazanie w terminach x otrzymujemy w postaci x t Hy t + x [ 6 t+ 5 t+ + t 5 t 6 t 5 t+ + 6 t+ + t 5 t 6 t Graficzne wykres tego rozwiazania przedstawia rysunek [ 5 ) t 5 + t 6 ) t 5 6

9 7 6 5 x x Rysunek : Rozwiazanie równania 5) 76 Rozwiazanie: zespolone wartości własne o krotności algebraicznej Zakładamy, że macierz A ma spektrum złożone z zespolonych wartości własnych o krotności algebraicznej występujacych w sprzężonych parach) Wtedy możemy przeprowadzić następujac a procedurę, zob[, str 68, Tw Zakładamy, że mamy n par postaci α j + i β i α j i β, j,, n Dla każdej pary możemy obliczyć parę sprzężonych liniowo niezależnych) wektorów własnych h j u j + iv j, h j u j iv j Tworzac bazę złożona z wektorów {u, v, u, v,, u n, v n } Macierz H [u, v,, u n, v n jest macierza zamiany bazy, w której macierz D ma specyficzna postać α β β α D HAH 6) α n β n β n α n 77 Przykład Rozważamy macierz postaci 5 A Podobnie jak poprzednio obliczamy wartości własne otrzymujac λ i, λ i +, λ i, λ i +

10 i odpowiadajace im wektory własne postaci v + i + i, v i i, v i i+, v i + i i + i Tworzymy z nich macierz przejścia postaci H Obliczamy D H AH Postać we współrzędnych biegunowych Oczywiście obliczenie macierzy D t gdzie D jest postaci 6) jest trochę niewygodne a dodatkowo nie bardzo nadaje się do analizy stabilności Dlatego lepiej jest przekształcić macierz tej postaci do współrzędnych biegunowych Niech r j oznacza moduł liczb α j ± i β j a θ j [, π jej argument główny Wtedy mamy α j r j cos θ j ) i β j r j sin θ j ) i blok odpowiadajacy parze wartości własnych α j ± i β j można zapisać w postaci [ cos θj ) sin θ r j j ) sin θ j ) cos θ j ) Dla takiej postaci macierzy mamy r j [ ) t cos θj ) sin θ j ) rj t sin θ j ) cos θ j ) [ cos tθj ) sin tθ j ) sin tθ j ) cos tθ j ) Rozwiazanie w terminach zmiennych y odpowiadajacych temu blokowi) jest zatem postaci [ [ [ yt,j cos rj t tθj ) sin tθ j ) y,j sin tθ j ) cos tθ j ) lub można jest zapisać jako y t,j+ y,j+ y t,j r t j cos tθ j ) y,j sintθ j )y,j+ ) y t,j+ r t j sintθ j )y,j + costθ j )y,j+ )

11 Rozwiazanie w terminach x t obliczamy jak poprzednio Warto zwrócić uwagę na następujac a własność [ [ [ cos α sin α y cos α y sin α y sin α cos α y cos α y + sin α y sin α y + cos α y + sin α y + cos α y [ y + y y y sin α + cos α ) y + sin α + cos α ) y a więc przekształcenie liniowe zadane powyższa macierza nie zmienia normy wektora jest obrotem względem poczatku układu współrzędnych o kat α 79 Przykład Rozważamy następujacy układ równań różnicowych 5 x t x t +, x Zgodnie z obliczeniami z przykładu 77 otrzymujemy x t HD t H x x) + x t cosπ/) t sinπ/) H sinπ/) cosπ/) cosπ/) sinπ/) H + 7 sinπ/) cosπ/) ) t costπ/) ) t sintπ/) H ) t sintπ/) ) t costπ/) ) t costπ/) ) t sintπ/) ) t sintπ/) H ) t costπ/) ) 9 t 9 t ) 5 t t sin π t )+ 5 t +6 t ) sin π t )+ t 7 t ) 9 t + + t ) t 5 t t ) sin π t sin π t )+ cos π t )+ cos π t ) + 5 t +) cos π t ) 6 ) + 5 t + 9 t ) cos π t ) Przykład Rozważamy układ równań różnicowych postaci [ x t+ x t + 5 [ [, x 7)

12 Obliczamy wartości własne i wektory własne otrzymujac λ i, λ i+ i odpowiadajace im wektory własne [ [ h i h i i + Macierz zamiany bazy ma zatem postać H [ a macierz D jest postaci D Rozwiazanie wyglada w następujacy sposób [ x t HD t H x x) + x [ cos π t ) sin π t ) sin π t ) t cos t π t ) t t ) sin π t [ [, ) sin π t )+ 887 ) 95 cos π t )+ 799 ) 6576 t ) 75 t ) ) ) t cos π t ) ) t 8 x x Rysunek : Rozwiazanie równania 7) 7 Rozwiazanie: zespolone wartości własne o krotności algebraicznej większej niż Ostatnim rozpatrywanym przypadkiem jest sytuacja, w które macierz A posiada pary sprzężonych wartości własnych o krotnościach algebraicznych wyższych niż Ponieważ różnym wartościom własnym odpowiadaja różne klatki, więc rozważymy przykład pojedynczej pary wartości własnych α + iβ, α iβ o krotności algebraicznej n

13 Parze takiej odpowiada co najmniej jedna para wektorów własnych h u + iv, h u iv W zależności od krotności geometrycznej wartości własnych wektorów takich może być więcej aż do n par) Ponieważ jednak postać macierzy D w zakresie bloków odpowiadajacym wektorom własnym jest taka sama jak w punkcie 76 więc skupimy się tylko na sytuacji, w której krotność geometryczna wynosi W takiej sytuacji musimy znaleźć pozostałe n par wektorów, które razem z para wektorów własnych tworza bazę przestrzeni Robimy to identycznie jak w przypadku rzeczywistych wartości własnych w punkcie 7 Otrzymujemy w ten sposób ciag wektorów parę wektorów własnych i ciag par wektorów serii) {h, h, h, h,, h n, hn } Z wektorów tych identycznie jak w punkcie 76 możemy stworzyć bazę postaci {u, v, ũ, ṽ,, ũ n, ṽ n } i odpowiadajac a jej macierz przejścia H [u, v, ũ, ṽ,, ũ n, ṽ n W tak skonstruowanej bazie macierz klatkowa D ma następujac a postać D α β β α Podobnie jak poprzednio możemy zapisać α β β α α β β α α r cosθ) β r sinθ) gdzie r jest modułem liczb α ± iβ a θ [, π jest argumentem głównym Pozostaje jedynie kwestia znalezienia postaci macierzy D t to jednak jest relatywnie proste korzystajac z powyższego zapisu we współrzędnych biegunowych o wzorów wyprowadzonych w punkcie 7 Kolejne potęgi macierzy D zapisanej w postaci blokowej wygladaj a w następujacy sposób Przez O oznaczymy blok [ α β O β α Postać O t została już znaleziona wcześniej więc nie stanowi ona problemu Rozważmy najprostsza możliwa sytuację Mamy macierz D [ O I O [ O, D O O [ O, D O O, Podobnie dla macierzy D O I O I O, D O O I O O O, D O O O O O O,

14 Zatem pierwszy wiersz macierz blokowej D t składa się z bloków ) t O t k, dla k,, minn, t) t k oraz dla ewentualnych dalszych wyrazów Kolejne wiersze sa identyczne ale przesunięte o jedna kolumnę w prawo Ponieważ znamy postać O t więc kończy to poszukiwanie postaci macierzy D t 7 Przykład Rozważmy następujacy układ równań różnicowych + 5 x t Wielomian charakterystyczny wynosi Obliczamy wartości własne otrzymujac obie o krotności algebraicznej x t, x wλ) λ λ + λ 6 λ + 6 λ ) λ + λ i, λ + i Następnie obliczamy wektory własne otrzymujac h i i h 6 i+ i i+ 6 i i 8) Następnie obliczamy pierwszy wektor serii Rozwiazujemy układ równań A λ I) h h co przekłada się na następujac macierz rozszerzona i i i [A λ I h 9 i 7 6 i i + 5 i 5 i 55 7 i 5 5 i 66 i i+6 68 i+ 8 i i 6 i Jako wektor serii możemy przyjać h 6 i 5 78 i 8 i i 5 78 i 8 79 i 8 78 i 8 h 6 i 5 78 i 8 i i 5 78 i 8 79 i 8 78 i 8

15 Majac cztery wektory tworzymy bazę zgodnie z procedura z punktu 76 otrzymujac u, v, ũ 7, ṽ co prowadzi do macierzy przejścia postaci H 7 Macierz D ma w wyznaczonej bazie postać D cosπ/6) sinπ/6) sinπ/6) cosπ/6) cosπ/6) sinπ/6) sinπ/6) cosπ/6) Zatem D t t costπ/6) t sintπ/6) t t cost )π/6) t t sint )π/6) t sintπ/6) t cosπ/6) t t sint )π/6) t t cost )π/6) t costπ/6) t sintπ/6) t sintπ/6) t costπ/6) Rozwiazanie jest ostatecznie postaci x t 7 t costπ/6) t sintπ/6) t t cost )π/6) t t sint )π/6) t sintπ/6) t cosπ/6) t t sint )π/6) t t cost )π/6) t costπ/6) t sintπ/6) t sintπ/6) t costπ/6) Powyższe wyrażenie można wymnożyć otrzymujac jawne wzory na poszczególne współrzędne wektora x t 7 Stabilność równowagi Korzystajac z wyprowadzonych powyżej wzorów można pokazać następujacy wynik Twierdzenie Niech x t+ Ax t +b będzie zadanym układem równań różnicowych, gdzie det I A) Wtedy wyznaczona jednoznacznie równowaga x I A) b jest globalnie asymptotycznie stabilna wtedy i tylko wtedy gdy moduł każdej wartości własnej macierzy A jest mniejszy niż

16 7 Przypadek dwuwymiarowy W przypadku układu dwuwymiarowego wielomian charakterystyczny jest postaci wλ) λ tra) λ + deta) a więc jego pierwiastki można scharakteryzować w terminach śladu tra) i wyznacznika deta) Klasyfikacja ta jest przedstawia się następujaco i jest graficznie przedstawiona na rysunku tra)) > deta) pierwiastki rzeczywiste tra) < deta) < tra) lub tra) < deta) < tra) saddle niestabilne) deta) > tra) i deta) > tra) stable node stabilne) deta) < tra) i deta) < tra) unstable node niestabilne) tra)) < deta) pierwiastki zespolone deta) < spiral sink stabilne) deta) > spiral source niestabilne) stable node spiral source stable node deta) saddle spiral sink stable node saddle - - unstable node - - tra) Rysunek : Graficzna reprezentacja klasyfikacji układów dwuwymiarowych 75 Przykłady Zobacz Maxima Układy nieliniowe Postać Rozważamy układ równań postaci gdzie φ : R n R n jest funkcja klasy C x t+ φx t ), 9)

17 Równowaga Definicja Definicja Równowagą układu 9) nazywamy element x R n spełniający x φ x) Istnienie Podobnie jak poprzednio możemy stosować twierdzenie Brouwera lub twierdzenie Banacha oraz duża liczbę licznych twierdzeń o punktach stałych Stabilność Definicja Definicja Równowaga x układu 9) jest globalnie asymptotycznie stabilna jeżeli lim x t x dla dowolnego x R n t Równowaga x jest lokalnie asymptotycznie stabilna jeżeli istnieje ɛ > taki, że lim x t x t dla każdego x B x, ɛ) Linearyzacja i twierdzenie o lokalnej stabilności Niech x będzie równowaga układu 9) W dostatecznie małym otoczeniu x mamy x t+ φx t ) φ x) + Dφ x) x t x) + reszta Dφ x) x t + φ x) Dφ x) x }{{} stały wektor W otoczeniu równowagi możemy przybliżać układ 9) układem x t+ Ax t + b, gdzie A Dφ x) jest macierza Jacobiego a b φ x) Dφ x) x Konsekwentnie lokalna asymptotyczna stabilność równowagi wynika bezpośrednio z twierdzenia Twierdzenie Niech φ układzie 9) będzie dyfeomorfizmem klasy C Wtedy równowaga x jest lokalnie asymptotycznie stabilna wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartości własne macierzy Jacobiego Dφ x) mają moduły mniejszy niż UWAGA: Fragment dotyczacy układów nieliniowych jest dramatycznie niekompletny, ale dalsza analiza zaczynajaca się od wprowadzania pojęcia rozmaitości stabilnej, niestabilnej i centralnej wymaga technik matematycznych znacznie wykraczajacych poza ramy wykładu W podobny sposób pominęliśmy pojęcia atraktora, zachowań chaotycznych, atraktorów dziwnych, fraktali, ich wymiaru i wiele innych fascynujacych pojęć

18 Literatura [ O Galor Discrete dynamical systems Springer, 7 [ M W Hirsch and S Smale Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra Academic Press: New York, 97 [ K Sydseater, P Hammond, A Seierstad, and A Strom Further mathematics for economic analysis Prentice Hall, -nd edition, 8