Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.

Transkrypt

1 Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít a lavici poue adáí písemky, psací potřeby, průka totožosti a papíry, a které koušku vypracováváte. Nepište obyčejou tužkou ai červeě, jiak písemka ebude přijata. Na koci každého příkladu formulujte odpověd. Veškeré své odpovědi důvoděte. Soupis vybraých vorců si( ± w) si cos w ± si w cos pro každé, w C. cos( ± w) cos cos w si si w pro každé, w C. si + ( ), C. (+)! cos ( ), C. ()! l ( ) ( ) pro <. Je-li 0 C pól řádu k fukce f(), pak res 0 f() (k )! lim 0 ( 0 ) k f() ] (k ). Jsou-li a a b reálé a c komplexí Fourierovy koeficiety, pak a c + c pro každé N 0 a b i(c c ) pro každé N. ] Pro a > 0 je F e at (ω) π a. Pro N 0 je L t ] (s)! s +. Pro a C je L e at ] (s) s a. Pro ω C je L si(ωt)] (s) Pro α C je Z α ] (). α Pro α C je Z si(α)] () a e ω ω a L cos(ωt)] (s) s. s +ω s +ω si α cos α+ a Z cos(α)] () cos α. cos α+

2 Zadáí A. 0 bodů] Vypočtěte itegrál C e + 3 d kde C je kladě orietovaá kružice o rovici.. 0 bodů] Je dáa fukce f() ( ). (a) Naleěte Lauretův rovoj fukce f() a prstecovém okolí bodu. Dále určete meikruží kovergece této řady. (b) Klasifikujte všechy iolovaé sigularity fukce g() ( ) 50 f() a aleěte res g() bodů] Je dáa fukce f(t) te t, t 0, ]. (a) Naleěte komplexí Fourierovu řadu fukce f(t). (b) Naleěte reálou Fourierovu řadu fukce f(t). (c) K jaké fukci koverguje Fourierova řada bodu (a) a itervalu 3, ]?. 0 bodů] Pomocí Fourierovy trasformace aleěte řešeí rovice y(t) + e τ (τ)y(t τ) dτ e t. (Nápověda: F e t (t) ] (ω) +iω a F e t ] (ω) +ω.) 5. 0 bodů] Je dáa posloupost (a ), kde a 3.! (a) Naleěte Z-trasformaci poslouposti (a ). (b) Naleěte Z-trasformaci poslouposti (a + ).

3 Zadáí B. 0 bodů] Je dáa fukce f() cos 3 si. (a) Určete hlaví část Lauretovy řady fukce f() a prstecovém okolí bodu 0. (b) Klasifikujte všechy iolovaé sigularity fukce g() f() + +e i. (c) Vypočtěte res 0 g(), kde g() je fukce bodu (b).. 0 bodů] Vypočtěte + 3 C ( + 6) si(π) d, kde C je kladě orietovaá kružice o rovici bodů] Je dáa fukce f(t) (t + ) (t ). (a) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce f(t). (b) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce g(t) f(3t)e it. (c) Z defiice kovoluce vypočtěte (f f)(t).. 0 bodů] Pomocí Laplaceovy trasformace aleěte řešeí rovice splňující y(0) y (0) bodů] Je dáa fukce y (t) + y (t) + 3y(t) F () + 3. (a) Roložte fukci F () do Lauretovy řady a okolí bodu. (b) Využitím výsledku bodu (a) určete iverí Z-trasformaci fukce F ().

4 Zadáí C. 0 bodů] Je dáa fukce u(x, y) e y si(αx) + 3xy + x, kde α R je parametr. (a) Určete všechy hodoty parametru α tak, aby u(x, y) byla harmoická a R. (b) Pro všechy kladé hodoty parametru α bodu (a) aleěte všechy fukce v(x, y) tak, aby u(x, y) + iv(x, y) byla holomorfí a C.. 0 bodů] Naleěte rovoj fukce f() + ( 3) do mocié řady a okolí bodu. Dále určete poloměr kovergece této řady bodů] Je dáa fukce f(t) t, t π, π]. (a) Naleěte komplexí Fourierovu řadu fukce f(t). (b) Naleěte reálou Fourierovu řadu fukce f(t). (c) Naleěte součet Fourierovy řady bodu (a) a itervalu 5π, 7π].. 0 bodů] Spojitá fukce f(t) L (R) má Fourierovu trasformaci (a) Naleěte fukci f(t). ˆf(ω) ω ω + 5ω +. (b) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce g(t) f(t + ) cos(t) bodů] Pomocí Laplaceovy trasformace aleěte řešeí rovice splňující y(0). y (t) 3 t 0 e τ y(t τ) dτ e 3t

5 Zadáí D. 0 bodů] Je dáa fukce kde α, β R jsou parametry. u(x, y) e αx si(y) + βy, (a) Určete všechy hodoty parametrů α a β, pro které je fukce u(x, y) harmoická a R. (b) Naleěte kladou hodotu parametru α, parametr β a fukci v(x, y) tak, aby f() u(x, y) + iv(x, y) byla holomorfí a C a f(iπ).. 0 bodů] Vypočtěte si x x 6x + 0 dx bodů] Je dáa fukce f(t) (t 3)e t. (a) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce f(t). (b) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce (f f )(t). (c) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce g(t) f(3t + )e it.. 0 bodů] Je dáa fukce f(t) { cos t, t 0, π), 0, t π. (a) Zapište f(t) pomocí Heavisideovy fukce. (b) Naleěte Laplaceovu trasformaci fukce f(t). (c) Naleěte Laplaceovu trasformaci periodické fukce g(t), která má periodu T π a a itervalu 0, π) je dáa předpisem g(t) f(t) bodů] Pomocí Z-trasformace aleěte řešeí rovice ( π ) y + y + + y si splňující y 0 0 a y.

6 Zadáí E. 0 bodů] Vypočtěte. 0 bodů] Naleěte součet mocié řady a určete její poloměr kovergece bodů] Je dáa fukce x (x x + 5) dx. ( ) ()!( + ) + f(t) t + 6. (a) Naleěte Fourierovu trasformaci fukce f(t). (b) Naleěte iverí Fourierovu trasformaci fukce g(t), kde g(t) f(3t) + e (t ).. 0 bodů] Pomocí Laplaceovy trasformace aleěte řešeí rovice splňující y(0) y (0) 0. y (t) + y(t) t (t )(t ) 5. 0 bodů] Z-trasformace poslouposti (a ) je F () l ( + 9 ). (a) Pomocí rovoje do Lauretovy řady aleěte posloupost (a ). (b) Naleěte prvích pět čleů poslouposti (c ) (a ) (b ), kde b 0 b a pro každé je b 0. (c) Naleěte Z-trasformaci poslouposti (a ).

7 Zadáí F. 0 bodů] Je dáa fukce u(x, y) x 3 y xy 3 + 6xy 3y. (a) Ověřte, že u(x, y) je harmoická fukce a R. (b) Naleěte fukci v(x, y) tak, aby f() u(x, y) + iv(x, y) byla holomorfí a C a f( + i) 3 + 5i.. 0 bodů] Je dáa fukce f() (a) Určete rovoj fukce f() do Lauretovy řady a prstecovém okolí bodu 0. (b) Klasifikujte všechy iolovaé sigularity fukce f(). (c) Vypočtěte res f() ] bodů] Fukce f(t) má graf (a) Naleěte komplexí Fourierovu řadu fukce f(t). (b) Naleěte součet Fourierovy řady bodu (a) a itervalu, 6].. 0 bodů] Naleěte iverí Laplaceovu trasformaci fukce F (s) s + + e 3s s bodů] Pomocí Z-trasformace aleěte řešeí rovice splňující y 0 y 0. y + y + 6y

8 Stručá řešeí Zadáí A. Z Cauchyovy věty plye, že C e d 0. Z defiice křivkového itegrálu máme 3 π ( ) 3 d e it ie it dt πi. eit C Odtud C e + 3. (a) f() d πi. 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) pro 0 < <. Meikruží kovergece je určeo erovostmi 0 < <. (b) Fukce g má v bodě 0 jedoduchý pól a v bodě má pól řádu 5. Díky (a) je g() + ( ) + ( ) 5 ( ) 5 pro 0 < <. Proto + res g() (a) Fourierova řada fukce f je c e πit, kde ] c te t e πit dt t et( πi) 0 πi 0 πi e πi e ( πi). 0 e t( πi) dt (b) Reálá Fourierova řada fukce f je a 0 + a cos(πt) + b si(πt), kde a Re c e + π (e )( π ) ( + π ) pro N 0, b Im c πe 8(e )π + + π ( + π ) pro N. { (c) F f (t) (t 3)e t 3, je-li t (3, ); e, je-li t {3, }.. Aplikací Fourierovy trasformace dostaeme ŷ(ω) + +iωŷ(ω). Vyjádřeme-li +ω (ω i) ŷ(ω), dostaeme ŷ(ω). Odtud (ω i) (ω+i) y(t) { ŷ(ω)e iωt i res i ŷ(ω)e iωt ( 3 dω t) e t pro t 0, π i res i ŷ(ω)e iωt 3 et pro t < 0. Celkem tak máme y(t) 3 e t te t (t). 5. (a) Z a ] () Z ]! () Z 3 ] (! () Z ) Z!] () ( )!] 3 e e 3. (b) Z a + ] () ( ) Z a ] () a 0 a e e

9 Zadáí B (. (a) f() ) ( ) 3 ()! ( ) (+)! + část Lauretovy řady fukce f a P (0) proto je Hlaví (b) Bod 0 je pól řádu 3 fukce g, což plye (a). Body (k + )π, k Z, jsou jedoduché póly fukce g. (c) Z (a) plye, že res 0 g(). 3. ( ) +3 d πi +3 res C (+6) si(π) 0 + res +3 (+6) si(π) i 8i. (+6) si(π) 7 3. (a) ˆf(ω) e iωt dt eiω e iω iω ˆf(0) 3. (b) pro ω 0. Ze spojitosti fukce ˆf plye, že ĝ(ω) F f(3t)e it] (ω) F f(3t)] (ω + ) ( ) 3 ˆf ω + 3 { e i ω+ 3 i ω+ e 3 pro ω, i(ω+) pro ω. (c) (f f)(t) t+ f(τ)f(t τ) dτ (u + ) (u ) du t 0 pro t (, ) (, ); t + pro t, ); t pro t, ]. (t τ + ) (t τ ) dτ. Aplikací Laplaceovy trasformace dostaeme s Y (s) + sy (s) + 3Y (s) s. Odtud Y (s) s(s + s + 3) s(s + 3i)(s + + 3i). Protože 0, + 3i a 3 3i jsou jedoduché póly, je 3 y(t) res i Y (s)e st 3 39 e t si(3t) 3 e t cos(3t) pro t (a) i F () + 3 ( ) + 3 ( ) ( ) 3 + ( ) 3 pro > 3. (b) Z (a) plye, že Z F ()] (0) 0 a Z F ()] () +( ) 3 pro N.

10 Zadáí C. (a) Přímočarým výpočtem jistíme, že u 0 právě tehdy, když α 0 ebo α 0. Fukce u je proto harmoická a R právě tehdy, když α {, 0, }. (b) At α. Cauchyovy-Riemaovy podmíky jsou v y ey cos x+3y + a v x e y si x 3x. Itegrací prví podmíky dostaeme v(x, y) e y cos x + 3 y + y +C(x), kde C(x) je atím eurčeá reálá fukce proměé x. Dosaeím do druhé podmíky obdržíme C (x) 3x. Tedy C(x) 3 x + K, kde K R. Proto v(x, y) e y cos x + 3 y + y 3 x + K, K R.. Protože pro + <, je ( ) ( 3) ( ) 3 + f() ( + ) ( 3) ( + ) + pro + <. Poloměr kovergece je. ( + ) + 3. (a) Fourierova řada fukce f je c e it, kde c { π ( ) t e it pro 0, dt π π π pro 0. 3 (b) Z (a) plye, že Re c 0 π, Re c 3 ( ) Fourierova řada fukce f proto je π + 3 (c) F f (t) (t 6π), t 5π, 7π].. (a) Protože ˆf(ω) ω, je (ω +)(ω +) a Im c 0, kde N. Reálá cos(t). ( ) f(t) ˆf(ω)e iωt dω π ( ) i res i ˆf(ω)e iωt iωt + res i ˆf(ω)e i 6 (e t e t ) pro t 0, ( ) i res i ˆf(ω)e iωt iωt + res i ˆf(ω)e i 6 (et e t ) pro t < 0. Odtud f(t) i 6 (b) ĝ(ω) F ( e t e t ) sg t, t R. f(t + ) eit +e it ei(ω ) ˆf(ω ) + ei(ω+) ˆf(ω + ) ] (ω) F f(t + )] (ω )+ F f(t + )] (ω + ) (ω )e i(ω ) + (ω+)e i(ω+). (ω ) +5(ω ) + (ω+) +5(ω+) + 5. Aplikací Laplaceovy trasformace dostaeme sy (s) 3 Y (s). Laplaeův s+ s+3 obra řešeí proto je Y (s) s+. Odtud (s+3) t 0. y(t) res 3 Y (s)e st ( t)e 3t,

11 Zadáí D. (a) Přímočarým výpočtem jistíme, že u 0 právě tehdy, když α 0 a β R. Proto u je harmoická a R právě tehdy, když α {, } a β R. (b) Z rovosti f(iπ) plye, že β π. Díky (a) víme, že α je jediá kladá hodota parametru α, pro kterou může být u reálou částí holomorfí fukce. Pro tyto hodoty parametrů dostaeme Cauchyovy-Riemaovy podmíky ve tvaru v y e x si(y) a v x e x cos(y). Z prví podmíky π máme v(x, y) e x cos(y)+c(x). Dosaeím do druhé podmíky dostaeme C (x). Tedy C(x) x + K, kde K R. Z f(iπ) plye, že π π v(0, π) 0, a proto K. Celkem tak máme v(x, y) e x cos(y) x. π. Protože e ix x 6x+0 dx πi res 3+i si x dx Im x 6x + 0 e ix π x 6x+0 e (cos 3 + i si 3), je e ix x 6x + 0 dx π si 3. e 3. (a) ˆf(ω) F te t] (ω) 3F ( ) iω π + 3 e ω. e t] ( (ω) i F e t] ) (ω) 3F e t] (ω) (b) F (f f )(t)] (ω) ˆf(ω)iω ˆf(ω) πiω ( iω + 3) e ω (c) ĝ(ω) F f(3t + )e it] (ω) F f(3t + )] (ω ) ( ) ω 3 F f(t + )] ( ) 3 3 e i ω 3 (ω ) ˆf 3 ( ) i(ω ) π + e i 3 (ω ) e (ω ) (a) f(t) (cos t) ((t) (t π)), t 0, ). (b) L f(t)] (s) s L (t π) cos t] (s) s s + s + +e πs L cos t] (s) s(+e πs ) (c) Z (b) a věty o Laplaceově trasformaci periodické fukce máme L g(t)] (s). s ( + e πs ) ( e πs ) (s + ). s Aplikací Z-trasformace dostaeme ( ) ( Y () Y ()+Y () Z si π )] (). Obra řešeí proto je Y () ( +). Odtud ( +)( ) y res i Y () + res i Y () + res Y () i + ( ) ] + 3 pro N 0. (Pro 0 vorec platí, ebot Y () má v 0 poue odstraitelou sigularitu, která do součtu reiduí epřispěje.)

12 Zadáí E. x (x x+5) dx πi res +i x 0. (x x+5). Derivace adaé řady je ( ) ()! + ( ) ()! cos, C. Proto ( ) ()!( + ) + cos d si + cos + C pro všecha C, kde C C. Dosadíme-li 0, obdržíme C. Tedy ( ) ()!( + ) + si + cos pro všecha C. Poloměr kovergece je. 3. (a) ˆf(ω) Tedy ˆf(ω) π e ω, ω R. (b) ǧ(ω) F f(3t) + e (t ) ˆf ( ) ω 6π 3 + e iω F e t π e iωt e { πi t + 6 dt res iωt i π t +6 e ω pro ω 0, e πi res iωt i π t +6 eω pro ω < 0. ] (ω) F f(3t)] ( ω)+ F π π ] ( ω) e 3 ω + eiω π e ω e (t ). Aplikací Laplaceovy trasformace obdržíme s Y (s) + Y (s) e s. Proto s s Y (s) s (s + ) e s s (s + ). At g(t) je Laplaceův vor k fukci G(s) s (s +). Pak Navíc pro t 0. g(t) res i G(s)e st + res i G(s)e st + res 0 G(s)e st t si t. e s s (s +) e s G(s) L g(t )(t )] (s). Hledaé řešeí je y(t) g(t) g(t )(t ) t si t t si(t )] (t ), 5. (a) Protože l( + ζ) ( ) ζ pro ζ <, je F () ( ) 9 ] ( ω) pro > 3. Odtud a 0 a + 0 pro N 0 a a ( ) 9 pro N. (b) Využitím výsledku (a) a defiice kovoluce dostaeme, že c 0 c 0, c c 3 9 a c 8. (c) Z a ] () F () 8 +9.

13 Zadáí F. (a) Protože u x 6xy u y, je u harmoická a R. (b) Cauchyovy-Riemaovy podmíky jsou v y 3x y y 3 + 6y a v x x3 + 3xy 6x + 3. Z prví podmíky plye, že v(x, y) 3 x y y + 3y + C(x). Dosaeím do druhé podmíky obdržíme C (x) x 3 6x + 3. Proto C(x) x 3x + 3x + K, kde K R. Navíc požadovaá rovost f( + i) 3 + 5i implikuje v(, ) 5. Odtud K. Tedy. (a) f() 3 0 ( v(x, y) 3 x y y + 3y x 3x + 3x +. ) 3( ) 0 pro 0 < <. + (b) ±i jsou jedoduché póly a 0 je pól řádu 0. (c) Díky (a) je + 0 f() pro 0 < <. Proto res f() (a) Fourierova řada fukce f je c e i π t, kde 3( ) t + π e i t dt c 0 pro t, 3) (5, 6], t 3 (b) F f (t) pro t 3, 5), pro t 5. { ( i) + ( i) i pro 0, π π pro 0.. Fukce má jedoduché póly v s s + + i, s + i, s 3 i a s i, a proto L s + ] (t) res sk k e st s + et e t (si t cos t) + (si t + cos t). 8 8 Navíc e 3s s+ e 3s L e t ] (s) L e (t 3) (t 3) ] (s). Odtud L F (s)] (t) et 8 (si t cos t) + e t 8 (si t + cos t) + e (t 3) (t 3). 5. Aplikací Z-trasformace dostaeme Y () Y () 6Y () (. ) Tedy Y () ( ) ( 3)( + ). Odtud y res Y () + res Y () + res 3 Y () ( ) 5 pro N 0. (Pro 0 vorec platí, ebot Y () má v 0 poue odstraitelou sigularitu, která do součtu reiduí epřispěje.)