(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25"

Łukasz Marczak
5 lat temu
Przeglądów:

1 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

2 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

3 Def: Sudá a lichá funkce Definice Řekneme, že funkce f : M R, M R, je sudá, jestliže x M : x M a f ( x) = f (x). lichá, jestliže x M : x M a f ( x) = f (x). Pozn: vizualizace Které z následujících funkcí jsou sudé, liché, ani jedno? A x B x(x 2 + 1) C x 2 D e x2 +1 E e 3x F sin(2x) G cos x sudé: D, G liché: B, F Kristýna Kuncová (2) Funkce 3 / 25

4 Parita: příklad Dokreslete funkci tak, aby byla lichá/sudá: Kristýna Kuncová (2) Funkce 4 / 25

Periodická funkce Definice Zdroj : http://www.wisegeek.com/what-is-a-portable-ekg.

5 Periodická funkce Definice Zdroj : Řekneme, že funkce f : M R, M R, je periodická s periodou p, jestliže x M : (x ± p) M a f (x + p) = f (x) = f (x p). Kristýna Kuncová (2) Funkce 5 / 25

Periodická funkce:příklad Určete, zda jsou funkce periodické Zdroj : https://math.stackexchange.

6 Periodická funkce:příklad Určete, zda jsou funkce periodické Zdroj : Ne, Ano Inspirace:realisticky.cz Kristýna Kuncová (2) Funkce 6 / 25

7 Periodická funkce:příklad Dokreslete graf funkce, aby byla periodická s co nejmenší periodou: Kristýna Kuncová (2) Funkce 7 / 25

8 Omezenost Určete, které funkce jsou omezené, omezené shora, zdola, neomezené A; B; D; C Kristýna Kuncová (2) Funkce 8 / 25

9 Def: Omezenost Definice Řekneme, že funkce f : M R, M R, je omezená, jestliže k R x M : f (x) < k. omezená shora, jestliže k R x M : f (x) < k. omezená zdola, jestliže k R x M : f (x) > k. Kristýna Kuncová (2) Funkce 9 / 25

10 Omezenost: příklad Napište nebo nakreslete funkci, která je 1 omezená shora ale ne zdola 2 omezená zdola ale ne shora 3 omezená 4 neomezená 1 Ukažte, že funkce 1 je omezená zdola x 6 2 Ukažte, že funkce x 2 je omezená + 2 ( ) x 3 3 Ukažte, že funkce arctan 1 + x 4 je omezená Kristýna Kuncová (2) Funkce 10 / 25

11 Monotonie Na obrázku je průměrná teplota vzduchu v Praze roku Je to funkce rostoucí? Klesající? V kterých měsících? (Zajímají nás oranžové sloupce.) Zdroj : htm/b1 04.htm Kristýna Kuncová (2) Funkce 11 / 25

12 Monotonie: def Definice Řekneme, že funkce f : M R, M R, je na M rostoucí, jestliže x, y M, x < y: f (x) < f (y) klesající, jestliže x, y M, x < y: f (x) > f (y) neklesající, jestliže x, y M, x < y: f (x) f (y) nerostoucí, jestliže x, y M, x < y: f (x) f (y) Řekneme, že funkce f : M R, M R, je na M monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, neklesající nebo nerostoucí. Kristýna Kuncová (2) Funkce 12 / 25

13 Monotonie: příklad Které funkce jsou na svém definičním oboru ne/rostoucí či ne/klesající? Případně pro jaká x jsou monotónní? Kristýna Kuncová (2) Funkce 13 / 25

14 Skládání monotónních funkcí Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? A Složením dvou rostoucích funkcí dostaneme rostoucí funkci. B Složením dvou klesajícíh funkcí dostaneme klesající funkci. C Složením klesající a rostoucí funkce dostaneme rostoucí funkci. A Důkaz A f, g jsou rostoucí, tedy pro x < y platí g(x) < g(y) a f (x) < f (y). Pak f (g(x)) < f (g(y)). B f, g jsou klesající, tedy pro x < y platí g(x) > g(y) a f (x) > f (y). Pak f (g(y)) < f (g(x)) a složení dvou klesajících je tedy rostoucí. C g, je klesající, tedy pro x < y platí g(x) > g(y). f je rostoucí, tedy Pak f (g(y)) < f (g(x)), což je klesající funkce. Kristýna Kuncová (2) Funkce 14 / 25

15 Extrémy V grafu jsou zachyceny průměrné srážky v povodí Metuje. V kterých měsících pršelo nejvíce? Ve kterých nejméně? (Zajímají nás ty černé vodorovné čárky.) Zdroj : Kristýna Kuncová (2) Funkce 15 / 25

16 Def: Extrémy Definice Necht M R, M, x M a funkce f je definována alespoň na M. Řekneme, že f nabývá v bodě x svého maxima na M, jestliže platí y M : f (y) f (x), minima na M, jestliže platí y M : f (y) f (x)), ostrého maxima na M, jestliže y M, y x: f (y) < f (x), ostrého minima na M, jestliže y M, y x: f (y) > f (x). Řekneme, že f nabývá v bodě x svého lokálního maxima ( lokálního minima, ostrého lokálního maxima, ostrého lokálního minima) na M, jestliže existuje δ > 0 takové, že f nabývá v bodě x svého maxima (minima, ostrého maxima, ostrého minima) na M B(x, δ). Kristýna Kuncová (2) Funkce 16 / 25

17 Konkávní a konvexní funkce Inspirace:realisticky.cz Kristýna Kuncová (2) Funkce 17 / 25

18 Konkávní a konvexní funkce Zdroj : Kristýna Kuncová (2) Funkce 18 / 25

Konkávní a konvexní funkce Definice Necht I je

(0, 1) : f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y),

19 Konkávní a konvexní funkce Definice Necht I je interval a necht f je reálná funkce definovaná alespoň na I. Řekneme, že f je konvexní na I, jestliže x, y I λ (0, 1) : f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y), konkávní na I, jestliže x, y I λ (0, 1) : f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y), Kristýna Kuncová (2) Funkce 19 / 25

20 Konkávní a konvexní funkce Zdroj : Kristýna Kuncová (2) Funkce 20 / 25

21 Konkávní a konvexní funkce Určete, mezi kterými body je funkce 1 rostoucí a konvexní 2 rostoucí a konkávní 3 klesající a konvexní 4 klesající a konkávní Zdroj : Hallett%20Calculus%20Single%20%26%20Multivariable%206th%20Ed%20Text.pdf/ /Hugues- Hallett%20Calculus%20Single%20%26%20Multivariable%206th%20Ed%20Text.pdf 1 DE, HI; 2 AB, EF; 3 CD, GH; 4 BC, FG Kristýna Kuncová (2) Funkce 21 / 25

22 Průběh funkce Čas na kreslení Kristýna Kuncová (2) Funkce 22 / 25

Podobne dokumenty

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?