(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

Transkrypt

1 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

2 Růst populací Zdroj : yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35

3 Růst populací o 200 let později... Zdroj : of Babel byl na světě 1 milion lidí. Kristýna Kuncová (1) Derivace 3 / 35

4 Růst populací Je to možné? Počet lidí na začátku: Počet lidí za rok: p 0 = 8 p 1 = p 0 + rp 0 = (1 + r)p 0, kde r značí růstovou rychlost Počet lidí za dva roky: Počet lidí za n let: p 2 = p 1 + rp 1 = (1 + r) 2 p 0 p n = (1 + r) n p 0 Takže za 200 let = (1 + r) r = 0.06, což je zhruba roční populační růstová rychlost Libanonu. Kristýna Kuncová (1) Derivace 4 / 35

5 Derivace Zdroj : Kristýna Kuncová (1) Derivace 5 / 35

6 Def: Derivace Definice Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje lim h 0 f (a + h) f (a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme ji f (a). Zdroj : Poznámka Geometrický význam: směrnice tečny v bodě. Kristýna Kuncová (1) Derivace 6 / 35

7 Pozn.: Derivace Poznámka 1 Alternativně lze psát 2 Derivaci lze počítat zprava a zleva f +(a) = lim x a+ f (a) = lim x a f (x) f (a) x a f (x) f (a), f f (x) f (a) x a (a) = lim x a x a 3 Mohou nastat různé možnosti (i) derivace (tedy ta limita) existuje a je R číslo (ii) derivace (tedy ta limita) existuje a je ± (iii) derivace neexistuje Kristýna Kuncová (1) Derivace 7 / 35

8 Čas na Techambition: Kristýna Kuncová (1) Derivace 8 / 35

9 Derivace: příklady V tabulce jsou hodnoty funkce f na okolí bodu dva. Odhadněte f (2): x 1,998 1,999 2,000 2,001 2,002 f (x) 7,976 7,988 8,000 8,012 8,024 A 4 B 12 B C 1/4 D -12 E -4 Načrtněte graf funkce sinx a určete, zda derivace v bodě x = 3π je A kladná B záporná C nulová B Zdroj: Kristýna Kuncová (1) Derivace 9 / 35

10 Derivace: příklady Načrtněte graf funkce e x a seřad te následující hodnoty dle velikosti A f ( 2) B f (2) C f (0) D f ( 1) E f (4) A, D, C, B, E Zdroj: Kristýna Kuncová (1) Derivace 10 / 35

11 Derivace: příklady výpočtů f f (a + h) f (a) (a) = lim, h 0 h f = k f = x f = x 2 k k k 0 (a) = lim = lim h 0 h h 0 h = 0. x a + h a h (a) = lim = lim h 0 h h 0 h = 1. (x 2 ) (a + h) 2 a 2 a 2 + 2ah + h 2 a 2 (a) = lim = lim h 0 h h 0 h 2ah = lim h 0 h + h2 h = 2a. Kristýna Kuncová (1) Derivace 11 / 35

12 Derivace: příklady Kolik je cos(x + h) cos x lim h 0 h A 0 B cos x C sin x D Limita neexistuje, protože výraz 0/0 není definován. C Kristýna Kuncová (1) Derivace 12 / 35

13 Derivace: Varovné příklady f = x v 0+ f = x v 0 ( x 0 x) +(0) = lim h 0+ x 0 = lim 1 =. h 0+ x ( x ) x 0 +(0) = lim h 0+ x 0 = lim x h 0+ x = 1 ( x ) x 0 (0) = lim h 0+ x 0 = lim x h 0 x = 1 Zdroj : Kristýna Kuncová (1) Derivace 13 / 35

14 Aritmetika derivací Věta (Aritmetika derivací) Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R. (a) Platí (f ± g) (a) = f (a) ± g (a), (b) Je-li alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě a, pak (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a), (c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc g(a) 0, pak ( ) f (a) = f (a)g(a) f (a)g (a) g g(a) 2, vždy je-li výraz na pravé straně definován. Kristýna Kuncová (1) Derivace 14 / 35

15 Aritmetika derivací: příklady (x 2 + x 3 ) = 2x + 3x 2 (kf ) = k f + kf = 0f + kf = kf (xe x ) = x e x + x(e x ) = e x + xe x (tanx) = = ( ) sin x = (sin x) cos x sin x(cos x) cos x cos 2 x cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x, x π 2 + kπ, k Z Kristýna Kuncová (1) Derivace 15 / 35

16 Aritmetika derivací: důkaz Důkaz (f + g) (f + g)(a + h) (f + g)(a) (a) = lim h 0 h (f )(a + h) (f )(a) = lim + h 0 h (g)(a + h) (g)(a) h (f )(a + h) (f )(a) (g)(a + h) (g)(a) = lim + lim h 0 h h 0 h = f (a) + g (a). Kristýna Kuncová (1) Derivace 16 / 35

17 Aritmetika derivací: příklady f = e 7. Kolik je f? A 7e 6 B e 7 C 0 Zdroj: GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf C f = cos x sin x. Kolik je f? A cos 2 x B sin 2 x C cos 2 x sin 2 x D sin x cos x C Kristýna Kuncová (1) Derivace 17 / 35

18 Aritmetika derivací: příklady f = ex x 2 Kolik je f? A ex 2x B ex (x 2) x 3 C ex x 2 2xe x x 4 D ex 2x + x 2 e x x 4 B, C Kristýna Kuncová (1) Derivace 18 / 35

19 Aritmetika derivací: příklady 1 Jestliže f (x) = g (x), pak f = g. Je to pravda? Ne 2 Jestliže f (a) g (a), pak f (a) g(a). Je to pravda? Ne Kristýna Kuncová (1) Derivace 19 / 35

20 Derivace složené funkce Věta (O derivaci složené funkce) Necht f má derivaci v bodě y 0 R, g má derivaci v bodě x 0 R, y 0 = g(x 0 ) a g je v bodě x 0 spojitá. Potom (f g) (x 0 ) = f (y 0 )g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ), je-li výraz na pravé straně definován. Kristýna Kuncová (1) Derivace 20 / 35

21 Derivace složené funkce: příklady (e x ) = e x ( x) = e x ( 1) ((4x 2 3) 4 ) = 4(4x 2 3) 3 (4x 2 3) = 4(4x 2 3) 3 8x (ln x 2 ) = 1 x 2 2x = 2 x, x > 0 Kristýna Kuncová (1) Derivace 21 / 35

22 Derivace složené funkce: příklady f = sin x + e sin x Kolik je f? A cos x + e cos x B cos x + e sin x C cos x + sin xe cos x D cos x + cos xe sin x D Zdroj: GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf Kristýna Kuncová (1) Derivace 22 / 35

23 Derivace a spojitost Věta Má-li funkce f vlastní derivaci v bodě a, pak je v a spojitá. Poznámka Platí i verze zprava a zleva. Má-li funkce f vlastní derivaci zprava (zleva) v bodě a, pak je v a zprava (zleva) spojitá. Kristýna Kuncová (1) Derivace 23 / 35

24 Derivace a spojitost: příklady (x 3 + 2x 2 3) = 3x 2 + 4x Kristýna Kuncová (1) Derivace 24 / 35

25 Derivace a spojitost: Varovné příklady ( 3 x) = x 2 Kristýna Kuncová (1) Derivace 25 / 35

26 Derivace a spojitost: Varovné příklady (sgnx) (0) = Kristýna Kuncová (1) Derivace 26 / 35

27 Derivace a spojitost: Varovné příklady x v 0 neexistuje Kristýna Kuncová (1) Derivace 27 / 35

28 l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo) Necht a R {± }, f, g jsou reálné funkce a existuje lim x a f (x) g (x). Jestliže navíc platí (a) lim x a f (x) = lim x a+ g(x) = 0, nebo (b) lim x a g(x) =, potom f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Pravidlo funguje i pro limity zleva a zprava. Kristýna Kuncová (1) Derivace 28 / 35

29 l Hospitalovo pravidlo: příklady 2x 2 x + 6 lim x 5x ln x lim x 0+ 1 x L H = něco/ L H = něco/ lim 4x 1 x 10x lim x 0+ 1 x 1 x 2 L H = něco/ lim x = lim x 0+ x = 0 x 2 + 2x 3 L lim H = x 1 x 2 1 lim 2x + 2 = = 2 0/0 x 1 2x = 2 5 Kristýna Kuncová (1) Derivace 29 / 35

30 l Hospitalovo pravidlo: Varovné příklady 2x + 1 lim x 0 3x e 1 x lim x 0+ x L H = lim e 1 x 0/0 x 0+ x 2 Kristýna Kuncová (1) Derivace 30 / 35

31 l Hospitalovo pravidlo: příklady A B 0 C 1 B ln x lim x x = Kristýna Kuncová (1) Derivace 31 / 35

32 l Hospitalovo pravidlo: Varovné příklady Najděte chybu: 5x + cos x lim x x L H = něco/ lim 5 sin x = 5 x 1 Kristýna Kuncová (1) Derivace 32 / 35

33 l Hospitalovo pravidlo: příklady Určete A 4 B 1 C 0 D -1 f (x) lim x 4 g(x). E -2 Zdroj : TheBook.pdf Kristýna Kuncová (1) Derivace 33 / 35

34 Rovnice tečny Poznámka (Jak najít tečnu a normálu) Tečna k funkci f v bodě a má rovnici Normála pak má rovnici Pokud výrazy dávají smysl. y = f (a) + f (a)(x a). y = f (a) 1 f (x a). (a) Najděte rovnici tečny a normály funkce f (x) = x 2 v bodě a = 3. Kristýna Kuncová (1) Derivace 34 / 35

35 Rovnice tečny Najděte rovnici tečny a normály funkce f (x) = x 2 v bodě a = 3. Kristýna Kuncová (1) Derivace 35 / 35