Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
|
|
- Aleksandra Jóźwiak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
2 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými členy Násobení nekonečných řad a odhad zbytku 2 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Mocninné řady Fourierovy řady Fourierovy řady vzhledem k {1, sin x, cos x,... } c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 2 / 187
3 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Definice 1 Necht {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Položme s n = a a n. Tuto posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady n=1 a n, přičemž symbolem n=1 a n rozumíme nekonečný součet a a n +, jehož hodnotu definujeme takto: Jestliže existuje konečná limita s = lim n s n, definujeme a n = s n=1 ( ) = lim s n n a řekneme, že nekonečná řada n=1 a n konverguje. Jestliže limita neexistuje, nebo je rovna nekonečnu, řekneme, že tato řada diverguje, a to k ± v případě nevlastní limity (píšeme n=1 a n = ± ), resp. řekneme, že osciluje, když lim n s n neexistuje. Číslo a n se nazývá n tý člen, číslo s n se nazývá n tý částečný součet řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 4 / 187
4 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 1 Geometrická řada je součet tvaru a + aq + aq 2 + aq aq n + = aq n 1 = n=1 aq n, kde a, q R jsou pevně zvolená čísla. Tedy je to nekonečná řada, kde a n := aq n 1 pro n N. Číslo q se nazývá kvocient geometrické řady, přičemž q může být kladné či záporné. Posloupnost částečných součtů pro geometrickou řadu odvodíme snadno: s n = a+aq+aq 2 + +aq n 2 +aq n 1, qs n = aq+aq 2 +aq 3 + +aq n 1 +aq n. Odečtením druhé rovnice od první dostaneme n=0 s n qs n = a aq n s n (1 q) = a (1 q n ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 5 / 187
5 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Je-li q = 1, potom je zřejmě s n = na. Je-li q 1, potom je Ihned tedy dostáváme s n = a 1 qn 1 q. Geometrická řada s a = 0 (a q R libovolným) konverguje (k 0), protože v tomto případě jsou s n = 0. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě diverguje (k ± podle znaménka čísla a), protože v tomto případě jsou s n = na. Geometrická řada s a 0 a q = 1 zřejmě osciluje, protože je v tomto případě s n = {a, 0, a, 0, a, 0,... } a limita této posloupnosti neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 6 / 187
6 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 1 Necht a 0. Potom geometrická řada n=1 aqn 1 konverguje právě tehdy když q < 1. V tomto případě (a také v případě a = 0) je pak její součet aq n 1 = n=1 a, q < 1. 1 q c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 7 / 187
7 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 2 n=1 1 2 n = ( 1 ) n 1 n=1 2 = = 1 (a = 1 2, q = 1 2 ) Plocha Sierpinského koberce (o straně 1 jednotka) P = 1 n=1 8 n 1 9 n = n=1 ( ) 8 n = = 1 1 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 8 / 187
8 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 3 n=1 1 n 2 +2n = n=1 A n + B n+2 = n=1 1 2 n 1 2 n+2 s n = 1 ( n 2 1 n + 1 n 1 1 n n 1 ) n + 2 = 1 ( n ) n + 2 lim n s n = 3 4 n=1 1 n 2 +2n = 3 4 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 9 / 187
9 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 4 n=1 ( 1)n (Grandiho řada) s n = a a n = Limita s n neexistuje, řada osciluje. n=1 1 n (harmonická řada) { 1 n liché 0 n sudé s 2 n, 1 + n 1 2 n=1 1 n = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 10 / 187
10 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Poznámka 1 an... rozumí se n=1 a n 2 Charakter chování řady (konvergence, divergence, oscilace) zachováme, jestliže změníme konečný počet členů posloupnosti a n. (Zvláště vynecháme-li konečný počet prvků např. na začátku.) 3 Často nás spíše než součet řady zajímá, zda řada konverguje, resp. diverguje, aniž nás zajímá konkrétní hodnota součtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 11 / 187
11 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 2 (Nutná podmínka konvergence) Jestliže řada a n konverguje, pak limita lim a n = 0. Důkaz. Když s = lim s n = lim(a a n ) existuje a je konečná, pak a n = s n s n 1, tedy lim a n = lim s n lim s n 1 = s s = 0. Poznámka Opačné tvrzení neplatí viz harmonickou řadu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 12 / 187
12 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Příklad 5 ( 1) n asociativní zákon neplatí! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 13 / 187 Věta 3 (Asociativní zákon pro nekonečné řady) Necht a n = a je konvergentní. Necht n k je libovolná rostoucí posloupnost přirozených čísel, n 0 = 0 a b k = a nk a nk. Pak řada k=1 b k konverguje se stejným součtem jako původní řada, tj. bk = a. Důkaz. a a n1 + a n a n2 + = an = a }{{}}{{} b 1 b 2 Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j t 1 = s n1, t 2 = b 1 + b 2 = s n2,..., t k = s nk. Protože limita s n je a, pak lim k s nk = lim n t k = a, tedy b k = a. (Posloupnost {t i } je vybraná podposloupnost {s j }.)
13 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 4 (Cauchyovo Bolzanovo kritérium konvergence) Řada a n je konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n je cauchyovská, tj. ε > 0 n 0, n > n 0 a m N : s n+m s n = a n a n+m < ε. Důkaz. {s n } je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská (R je úplný metrický prostor). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 14 / 187
14 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Věta 5 Necht a n = a a b n = b jsou konvergentní řady a α, β R. Pak i řada (αa n + βb n ) je konvergentní a platí (αan + βb n ) = αa + βb. Důkaz. Vlastnosti limit samostatné procvičení. Poznámka an = a a b n =, pak (a n + b n ) = c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 15 / 187
15 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Řadami s nezápornými členy rozumíme řady n=1 a n, pro které a n 0 pro každé n N. (Často budemem uvažovat i řady s kladnými členy, tedy a n > 0, n N.) Je zřejmé, že součet nemůže být záporný (nekladný) a nemůže nastat oscilace. Tj. limita částečných součtů existuje a platí 0 lim s n, přičemž lim s n = 0 pouze pokud a n = 0, n N. Věta 6 (Prosté srovnávací kritérium) Necht a n, b n 0 a necht a n b n platí pro velká n, tj. n 0 N : a n b n n n 0. Je-li b n <, pak a n <. Naopak, je-li a n =, pak b n =. Poznámka Řada b n ja majorantní řadou k řadě a n a řada a n ja minorantní řadou k řadě b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 17 / 187
16 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že a n b n n N. Označme s k = k j=1 a j, t k = k j=1 b j s n t n, n N. Je-li b n <, pak posloupnost {t n } konverguje, tedy je shora ohraničená. Potom je také posloupnost {s n } shora ohraničená. Protože je navíc neklesající, musí konvergovat. Sporem předpokládejme, že a n = a b n <. Dle výše dokázaného plyne z konvergence řady b n konvergence řady a n. Spor. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 18 / 187
17 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 6 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady 1 n 2. Pro n 2 máme 1 1 n 2 n(n 1). Pokud dokážeme, že majorantní řada konverguje, lze použít předchozí větu. Pro velká m N máme m n=2 1 m n(n 1) = tedy 1 n 2 n=2 1 n + 1 n 1 = m m 2 1 m + 1 m 1 = pro m, m konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 19 / 187
18 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 7 (Integrální kritérium) Necht n=1 a n je nekonečná řada s nezápornými členy. Necht f (x) je funkce definovaná na intervalu [N, ) pro nějaké N [0, ), která je na tomto intervalu nezáporná, nerostoucí a platí f (n) = a n pro všechna n N. Potom a n konverguje n=1 a n diverguje k n=1 N N f (x) dx f (x) dx =. konverguje, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 20 / 187
19 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že N = 1. Vzhledem k monotonii funkce f je tato integrovatelná na libovolném intervalu [1, t], 1 t R a funkce horní meze F (t) = t 1 f (x)dx je neklesající. i=1 a i, Jistě platí n i=2 a i n 1 f (x)dx n 1 tedy s n a 1 F (n) s n n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 21 / 187
20 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Jestliže n=1 a n konverguje, pak je posloupnost {s n } shora ohraničená a tedy k R : F (n) k n N. Funkce F je neklesající, tedy F (t) k t [1, ). Limita lim t F (t) tedy konverguje, což znamená konvergenci 1 f (x) dx. Jestliže 1 f (x) dx konverguje, pak je F shora ohraničená. Z nerovnosti s n a 1 F (n) plyne ohraničenost posloupnosti částečných součtů {s n }, která je neklesající a ohraničená, tedy konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 22 / 187
21 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 7 Pomocí integrálního kritéria snadno dokážeme, že { 1 n α = diverguje pro α 1, konverguje pro α > 1. n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 23 / 187
22 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 8 (Limitní srovnávácí kritérium) a Necht a n, b n 0 a existuje limita lim n n b n = L (vlastní nebo nevlastní). Je-li b n < a L <, pak a n <. Důkaz. Je-li b n = a L > 0, pak a n =. Předpokládejme, že b n < a L <, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n < L + ε. Odtud b } n {{} a n < (L + ε)b n a n (L + ε)b n a n (L + ε) b n <. Tedy a n konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 24 / 187
23 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Předpokládejme, že b n = a L > 0 a uvažujme dva případy. Jestliže L <, pak ε > 0 a n 0 N, n n 0 : 0 < L ε < an b n. Tedy (L ε)b n < a n a n. Jestliže L =, pak k > 0, k R, a n 0 N, n n 0 : k < an b n. Tedy kb n < a n a n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 25 / 187
24 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 8 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 arctg 1 n. arctg 1 n lim n 1 n = lim n n 2 1 n 2 tj. b n = 1 n =, L > 0 arctg 1 n =. Příklad 9 = 1 > 0, 1 n 2 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n=1 ln ( ) n. 2 ( ln lim n ( ln lim n ) 1+ 1 n 2 1 n 1+ 1 n 2 ) 1 = lim n 2 n 1+ 1 n n 2 = lim n 1 = 0, (nelze použít) n 2 = 1, tj. b n <, L < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 26 / 187
25 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 9 (Podílové (d Alambertovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : a n+1 a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže a n+1 a n 1, n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim a n+1 a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Pro a n = 1 n 2 diverguje. i pro a n = 1 n je L = 1, přitom jedna řada konverguje a druhá c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 27 / 187
26 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Dokážeme limitní podílové kritérium (první část podobně). Jestliže lim a n+1 a n = L, pak ε > 0 n 0 N, n n 0 : L ε < a n+1 L + ε (L ε)a n < a n+1 < (L + ε)a n. a n < L < 1: Necht ε > 0 je takové, že L + ε = q < 1 a n+1 qa n a n0 +1 qa n0, a n0 +2 q 2 a n0,..., a n0 +k q k a n0, pak n 0 n 0 a n = a n + a n0 +k n=1 n=1 k=1 tedy řada a n konverguje. n=1 a n }{{} číslo +a n0 q k q = číslo + a n0 1 q, k=1 L > 1: Porovnání s geometrickou řadou s q = L ε > 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 28 / 187
27 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 10 (Odmocninové (Cauchyovo) kritérium) Necht a n > 0 pro n N. 1 Jestliže k R, k < 1 : n a n k, n N, pak a n konverguje. Jestliže n a n 1 pro nekonečně mnoho n N, pak a n diverguje. 2 Necht navíc existuje limita lim n a n = L, L R. Je-li L < 1, pak an < ; je-li L > 1, pak a n = ; je-li L = 1, nelze rozhodnout. Poznámka Opět např. pro a n = 1 i pro a n 2 n = 1 n konverguje a druhá diverguje. je L = 1, přitom jedna řada Důkaz. Opět dokážeme limitní kritérium (první část podobně). Jestliže lim n a n = L L ε < n a n < L + ε, pro velká n. Tedy (L ε) n < a n < (L + ε) n a použijeme obdobně jako v předchozím důkazu porovnání s geometrickou řadou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 29 / 187
28 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka Lze ukázat, že platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n. a Tedy pokud existuje limita lim n+1 n a n = L, potom existuje i limita lim n n a n a tyto dvě limity si jsou rovny. Navíc, jestliže je podílové kritérium nerozhodnutelné ( a n+1 a n 1), potom je také odmocninové kritérium nerozhodnutelné ( n a n 1). Říkáme, že odmocninové kritérium je silnější, než podílové kritérium (každý problém, který lze vyřešit podílovým kritériem, lze vyřešit i odmocninovým kritériem, ale ne naopak). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 30 / 187
29 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 10 Rozhodněte o konvergenci (divergenci) řady n n n! a n+1 a n = (n+1)n+1 (n+1)! n! n n n (3+ 1 n )n lim n n = lim n n (3+ 1 n )n 3+ 1 n = (n+1)n n n = 1 3 = ( n ) n n e > 1 řada diverguje < 1 řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 31 / 187
30 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 11 (Raabeovo kritérium) Necht a n > 0 a necht existuje limita ( lim n 1 a ) n+1 n a n = L, L R. Pro L < 1 řada diverguje, pro L > 1 řada konverguje a pro L = 1 nelze rozhodnout. Poznámka Raabeovo kritérium je zesílením podílového kritéria. (Přibližování k 1 zespoda či shora.) V literatuře lze najít (či odvodit) další zobecnění, tedy další silnější kritéria. Jediné univerzální je ale Cauchyovo Bolzanovo kritérium (věta 4). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 32 / 187
31 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 11 n=1 n! ( 2+1)( 2+2) ( 2+n) lim a n+1 a n = lim (n+1)!( 2+1)( 2+2) ( 2+n) ( ) lim n 1 a n+1 a n = lim n ( 2+1)( 2+2) ( 2+n)( 2+n+1)n! = lim n+1 2+n+1 = 1 ( 1 n+1 2+n+1 ) = lim n( 2+n+1 n 1) 2+n+1 = lim n 2 2+n+1 = 2 > 1, tedy řada konverguje c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 33 / 187
32 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Poznámka an, a n > 0 a člen a n má n v exponentu, nebo obsahuje faktoriál. Pak je obvykle výhodné zkusit podílové nebo odmocninové kritérium. Není-li tomu tak, pak zkusíme podílové srovnávací kritérium s 1/n α. Dále je k dispozici integrální kritérium. Např. 1 n(ln n) α e dx x(ln x) α = ln x = t, dx x n=2 =dt = 1 dt t α = { konv. α > 1 div. α 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 34 / 187
33 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Věta 12 (Kondenzační kritérium) Necht {a n } n=1 je monotónní posloupnost kladných čísel. Pak je konvergence řady n=1 a n ekvivalentní s konvergencí řady n=0 2n a 2 n. Poznámka Kondenzační kritérium lze někdy využít, když v odmocninovém a podílovém kritériu vyjde jednička. Kondenzační kritérium se často formuluje pouze pro monotónní posloupnosti {a n } n=1. Z nutné podmínky konvergence pak plyne, že daná posloupnost musí být bud kladná a klesající, nebo záporná a rostoucí, jinak jsou obě uvažované řady divergentní. (Pro zápornou a rostoucí posloupnost {a n } n=1 jde pouze o překlopení.) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 35 / 187
34 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Důkaz. Z platnosti nutné podmínky konvergence je zřejmé, že a n a n+1. Rozepsáním a n = a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) +, n=1 2 n a 2 n = a 1 + (a 2 + a 2 ) + (a 4 + a 4 + a 4 + a 4 ) + n=0 vidíme, že konvergence druhé řady implikuje konvergenci první řady. Nyní druhou řadu upravíme (konvergence není ovlivněna) na n a 2 n = a 2 + (a 4 + a 4 ) + (a 8 + a 8 + a 8 + a 8 ) +, n=1 jejíž konvergence plyne z konvergence řady n=1 a n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 36 / 187
35 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Příklad 12 Rozhodněme o konvergenci řady n=1 1 n(ln n) α, α R. Odmocninové kritérium 1 lim n n(ln n) α = lim 1 n n( n ln n) = 1 α 1 1 α = 1, kde ln( n ln(ln n) ln n) = n 0 n ln n e 0 = 1. Podílové kritérium nemá cenu zkoušet, pro úplnost dostaneme lim a n+1 a n = lim n n + 1 ( ln n ln(n + 1) ) α = 1 1 α = 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 37 / 187
36 Nekonečné číselné řady Řady s nezápornými členy Kondenzačním kritériem dostaneme řadu 2 n a 2 n = n=0 = n=0 n=0 2 n 2 n (ln 2 n ) α = 1 (ln 2 n ) α n=0 1 (n ln 2) α = 1 (ln 2) α n=0 1 n α, tedy n=1 { 1 n(ln n) α = diverguje pro α 1, konverguje pro α > 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 38 / 187
37 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 2 Necht a n > 0. Pak řada n=1 ( 1)n 1 a n se nazývá alternující řada. Poznámka Alternující řada je také řada n=1 ( 1)n a n a obecně řada splňující sgn f n = sgn f n+1, n N. n=1 f n c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 40 / 187
38 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 13 (Leibnizovo kritérium) Necht a n > 0 je nerostoucí posloupnost. Jestliže lim n a n = 0, pak alternující řada n=1 ( 1)n 1 a n konverguje. Poznámka Vzhledem k platnosti nutné podmínky konvergence lze větu 13 formulovat i s ekvivalencí. Důkaz. s 2n = a 1 a }{{} a 2n 1 a 2n, s }{{} 2n+2 = s 2n + a 2n+1 a 2n+2, }{{} tedy posloupnost {s 2n } je neklesající. Podobně s 2n 1 = a 1 (a 2 a 3 ) (a 2n 2 a 2n 1 ), s 2n+1 = s 2n 1 (a 2n a 2n+1 ), tedy {s 2n+1 } je nerostoucí. s 2 = a 1 a 2 s 2n s 2n + a 2n+1 = s 2n+1 s 1 = a 1 {s 2n }, {s 2n+1 } jsou ohraničené, obě mají konečnou limitu lim(s 2n+1 s 2n ) = lim a 2n+1 = 0 lim s 2n+1 = lim s 2n = s = lim s n n=1 ( 1)n 1 a n = s konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 41 / 187
39 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 13 n=1 ( 1) n 1 n ( 1 n 0, 1 n+1 < 1 n Příklad 14 = 1 ) (Leibnizova řada) ( 1) n 1 konverguje n n=2 ( 1) n 1 n + ( 1) n lim a n = 0, kdyby řada konvergovala, pak bychom mohli aplikovat asociativní zákon (věta 3). Pro n liché máme 1 1 n 1 n+1+1 = n+1+1 n+1 ( n 1)( n+1+1) = n+1 n+2 ( n 1)( n+1+1) 1 n. Uzávorkovaná řada diverguje, tedy ve větě 13 nelze vynechat předpoklad monotonie. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 42 / 187
40 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 3 Řekneme, že řada a n konverguje absolutně, pokud konverguje řada an. Řekneme, že řada konverguje neabsolutně (relativně), jestliže řada an konverguje, ale řada a n diverguje. Příklad 15 ( 1) n 1 n je neabsolutně konvergentní sama konverguje, ale absolutní hodnotou dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. ( 1) n 1 n 2 je absolutně konvergentní, nebot ( 1) n 1 n 2 = 1 n 2 <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 43 / 187
41 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 14 Je-li řada a n absolutně konvergentní, pak je konvergentní. (Tedy z absolutní konvergence plyne konvergence.) Důkaz. Podle Cauchyova Bolzanova kritéria (věta 4) je řada a n konvergentní právě tehdy, když posloupnost a a n je cauchyovská, tj. }{{} s n ε > 0 n 0 N n n 0, m N : s n+m s n = a n+m + + a n+1 < ε a n+m + + a n+1 < ε. tedy posloupnost částečných součtů řady a n je cauchyovská, tedy řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 44 / 187
42 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Poznámka Opak neplatí viz Leibnizovu řadu. Poznámka Při rozhodování o konvergenci/divergenci je někdy výhodné otestovat nejprve a n pomocí kritéríı o řadách s nezápornými členy. Je-li an < a n <. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 45 / 187
43 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 15 (Abelovo kritérium) Necht a n je konvergentní a {b n } je ohraničená a monotónní posloupnost. Pak (a n b n ) je konvergentní. Věta 16 (Dirichletovo kritérium) Necht a n má ohraničenou posloupnost částečných součtů a {b n } je monotónní posloupnost s limitou nula (b n 0). Pak (a n b n ) je konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 46 / 187
44 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Příklad 16 Otestujme konvergenci řady sin nx n, x R. Pokud je x celočíselný násobek π, řada konverguje. Dále postupujme pro všechna ostatní x. Zvoĺıme a n = sin nx, b n = 1 n, tedy b n 0 a je ohraničená. s n = sin x + + sin nx / i c n = cos x + + cos nx n k=1 (cos kx + i sin kx) = n k=1 eikx c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 47 / 187
45 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy n e ikx = e ix + e 2ix + + e nix = e ix eixn 1 e ix 1 ( ) ixn e 2 e ixn 2 e ixn 2 ix = e ( ) = e iα e iα = 2i sin α e ix 2 e ix 2 k=1 e ix 2 = e ix 2 e ixn 2 sin xn 2 sin x 2 = [ cos ( ) ( )] n + 1 n + 1 sin xn 2 x + i sin 2 x 2 sin x. 2 Imaginární část dává sin x + + sin nx = sin ( ) n + 1 sin xn 2 x 2 sin x, 2 což je ohraničené, tedy řada konverguje podle Dirichletova kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 48 / 187
46 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Konverguje absolutně? Pokud je x celočíselný násobek π, pak ano. Pokud x není celočíselný násobek π, pak sin nx n Řada sin nx n sin 2 nx n = 1 cos 2nx 2n = 1 2 diverguje, tedy řada sin nx n 1 }{{ n} = ( cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 1 2 sin 2 α sin 2 α = Poznámka cos 2nx n. }{{} konv. dle DK konverguje neabsolutně. ) 1 cos 2α 2 Leibnizovo kritérium je speciálním případem Dirichletova pro ( 1) n a n. ( 1) n má ohraničené částečné součty a a n 0 (shora) hraje roli b n v Dirichletově kritériu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 49 / 187
47 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 4 Necht f : N N je bijekce. Řekneme, že řada b n, kde b n = a f (n), je přeřazením řady a n. Řekneme, že pro řadu a n platí komutativní zákon, jestliže pro libovolnou bijekci f : N N platí a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 50 / 187
48 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 17 (Komutativní zákon pro nekonečné řady) Necht řada a n konverguje absolutně, tj. a n <. Pak pro tuto řadu platí komutativní zákon. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 51 / 187
49 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Označme b n = a f (n) a necht t n = b b n = a f (1) + + a f (n) je posloupnost částečných součtů b n a necht s n = a a n je posloupnost částečných součtů a n. Protože a n konverguje absolutně, pak a n konverguje, tedy existuje konečná limita s = lim s n. Dokážeme, že t n s. Platí s n t n = a a n (a f (1) + + a f (n) ). Necht ε > 0 je libovolné. Protože a n je konvergentní, tak podle Cauchyova Bolzanova kritéria (věta 4) n 0 N : n n 0, m N : a n a n+m < ε. Zejména máme a n a n0 +m < ε. Protože n n 0, máme a a n (a f (1) + + a f (n) ) = a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 52 / 187
50 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Necht n 1 N je takové, že {1,..., n 0 } {f (1),..., f (n 1 )}, pak pro n max{n 0, n 1 } platí a a n0 + + a n (a f (1) + + a f (n) ) a n a n0 +q }{{} <ε (q je největší zbývající index ). Tedy s n t n 0 a n = a f (n). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 53 / 187
51 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Definice 5 Pro posloupnost a n označme { a n + a n a n 0 = 0 a n < 0 a a n = { a n a n 0 0 a n > 0. Potom {a + n } nazýváme kladná část a {a n } záporná část posloupnosti {a n }. Poznámka Zřejmě platí a + n = an+ an 2 = max{a n, 0}, resp. a n = an an 2 = min{a n, 0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 54 / 187
52 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 18 Necht a n je neabsolutně konvergentní, pak a + n = + a a n =. Důkaz a + n < a a n > a + n = a an > a + n < a an = a + n = a an = Kdyby platilo 1, pak a n = a n + an konverguje podle věty o konvergenci součtu dvou konvergentních řad spor, nebot a n =. Kdyby platilo 2 nebo 3, pak a n = a n + + an a součet bude (případ 2) nebo (případ 3) spor s a n <. Tedy nutně a n + = a an =. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 55 / 187
53 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Věta 19 (Riemannova věta o přeřazení, velká věta o přeřazení) Necht řada a n je neabsolutně konvergentní a L 1, L 2 R, L 1 L 2. Pak existuje permutace množiny N taková, že pro posloupnost částečných součtů t n přeřazení řady a f (n) (tj. t n = a f (1) + + a f (n) ) platí lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. Zejména neabsolutně konvergentní řadu lze přerovnat tak, že diverguje k ± nebo osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 56 / 187
54 Nekonečné číselné řady Řady s libovolnými členy Důkaz. Předpokládejme, že L 1, L 2 R, L 1 < L 2 a L 2 > 0 (pro ostatní případy je modifikace důkazu zřejmá). Platí a + n = a a n =. Existuje n 1 : a a+ n 1 > L 2 a necht n 1 je nejmenší takový index. Necht n 2 je takový index, že a a+ n 1 + a a n 2 < L 1 a necht je nejmenším indexem s takovou vlastností. Důležité je, že a n 0 (což je nutná podmínka konvergence a n ) a n 0 a tedy velikost přelezení/podlezení hodnot L 1, L 2 se bĺıží k nule. Z konstrukce plyne, že lim sup t n = L 2 a lim inf t n = L 1. (Např. pro L 1 =, L 2 = budeme součty rozkmitávat.) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 57 / 187
55 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka Konečné řady: (a a n )(b b m ) = a 1 b a n b m. Nekonečné řady: ( ) ( ) an bn =? a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n... a n b 1 a n b 2 a n b n... c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 59 / 187
56 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 20 Necht řady a n, b n jsou absolutně konvergentní a necht c n je libovolná nekonečná řada, v níž posloupnost {c n } je permutací posloupnosti {a i b j } (tj. {c n } je libovolná posloupnost obsahující permutaci prvků z uvedené tabulky). Pak c n konverguje také absolutně a platí cn = c = a b, kde a n = a, b n = b. Důkaz. Pro i m = min{i 1,..., i n }, j m = min{j 1,..., j n }, i M = max{i 1,..., i n }, j M = max{j 1,..., j n } máme c c n = a i1 b j1 + + a in b jn ( a im + + a im )( b jm + + b jm ) A B, kde }{{}}{{} a(i M ) b(j M ) A = a n, B = b n. Tedy posloupnost částečných součtů c n je shora omezená, tedy c n <, tedy c n je absolutně konvergentní a platí pro ni komutativní zákon. n 2 k=1 c k = a 1 b 1 +(a 1 b 2 +a 2 b 2 +a 2 b 1 )+ +(a 1 b n + +a n b n + +a n b 1 )+ = (a a n )(b b n ) = s n t n ab n=1 c n = ab. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 60 / 187
57 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Poznámka (a 1 x + a 2 x a n x n )(b 1 x + b 2 x b n x n ) = x 2 (a 1 b 1 ) + x 3 (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + x 4 (a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b 1 ) + (Postupujeme po diagonálách.) Definice 6 Uvažujme nekonečné řady a n, b n. Necht c n = a 1 b n + + a n b n + + a n b 1 (po elkách ), pak se řada cn nazývá Dirichletův součin řad a n, b n. Je-li c n = a 1 b n + a 2 b n a n 1 b 2 + a n b 1 (po diagonálách), pak se řada c n nazývá Cauchyův součin řad a n, b n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 61 / 187
58 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 21 Necht a n, b n jsou konvergentní řady, a n = a, b n = b. Pak jejich Dirichletův součin c n také konverguje a c n = ab. (Mertensova věta) Necht a n, b n jsou konvergentní řady, an = a, b n = b a alespoň jedna z nich konverguje absolutně. Pak konverguje i jejich Cauchyův součin a c n = ab. Poznámka V Mertensově větě o Cauchyově součinu nelze vypustit předpoklad absolutní konvergence alespoň jedné řady. Např. pro [( ( 1) n 1 n ) ( ( 1) n 1 n )] Cauchy máme c n = n + 2 n n 1 1 n + 1 n n = 1, lim c n 0, není splněna nutná podmínka konvergence a tedy Cauchyův součin řady ( 1) n 1 n se sebou nemůže konvergovat. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 62 / 187
59 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Definice 7 Předpokládejme, že řada a n je konvergentní. Výraz R n = k=n+1 a k se nazývá zbytek po n-tém členu, tj. a n = s n + R n. Věta 22 Uvažujme nekonečnou řadu a n se zbytkem R n. Necht b n je konvergentní řada se nezápornými členy, pro niž platí a n b n. Pak řada an konverguje absolutně a pro její zbytek platí R n R n, kde R n je zbytek po n-tém členu řady b n. Důkaz. R n = k=n+1 a k k=n+1 a k k=n+1 b k = R n. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 63 / 187
60 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 23 Necht a n je nerostoucí posloupnost kladných čísel a lim a n = 0. Pak pro zbytek alternující řady ( 1) n 1 a n platí R n < a n+1. Navíc sgn R n = ( 1) n. Důkaz. Dle Leibnizova kritéria je řada ( 1) n 1 a n konvergentní. Dále postupujeme jako v důkazu Leibnizova kritéria pro řadu R n = k=n+1 ( 1)k 1 a k, tedy R n = ( 1) n a n+1 + ( 1) n+1 a n+2 + ( 1) n+2 a n+3 + = ( 1) n (a n+1 a n+2 + a n+3 a n+4 + ) }{{} =:r a odtud 0<a n+1 a n+2 <r <a n+1. Tj. R n =( 1) n r R n =r < a n+1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 64 / 187
61 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Věta 24 Necht a n je monotónní posloupnost nezáporných čísel, řada a n konverguje a f : [1, ) R je monotónní a pro n N : f (n) = a n. Pak R n n f (x)dx. Důkaz. Plyne ze stejného obrázku jako důkaz integrálního kritéria. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 65 / 187
62 Nekonečné číselné řady Násobení nekonečných řad a odhad zbytku Příklad 17 Kolik členů řady n=1 1 musíme vzít, aby chyba (zbytek) byla menší než n 2 0,01? R n n 1 x 2 dx = [ 1 x ] n = 1 n n 100. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 66 / 187
63 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Příklad 18 (Motivace) Uvažujme funkce s n (x) = x n pro x [0, 1] a n N. Jedná se tedy o posloupnost částečných součtů funkcí s 1 (x) = x, s 2 (x) = x 2, s 3 (x) = x 3, s 4 (x) = x 4,... f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 x, f 3 (x) = x 3 x 2,... f n (x) = x n x n 1,... Všechny tyto funkce f n (x) jsou spojité na intervalu [0, 1] pro každé n N. Dále jsou všechny funkce s n (x) spojité na intervalu [0, 1]. Přitom { x n n 0 x [0, 1), s n (x) = 1 n n. 1 x = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 68 / 187
64 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Tedy posloupnost s n (x) konverguje pro každé x [0, 1] k funkci { 0, pro x [0, 1), f n (x) = lim s n(x) = s(x) = n 1, pro x = 1, n=1 přičemž tato funkce s(x) je nespojitá (konverguje pouze bodově). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 69 / 187
65 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Definice 8 Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje bodově na tomto intervalu k funkci f (x), jestliže x I číselná posloupnost {f n ( x)} konverguje k číslu f ( x), píšeme f n f, tj. Definice 9 ε > 0, x I, n 0 = n 0 (ε, x) n n 0 : f n (x) f (x) < ε. Řekneme, že posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, konverguje na intervalu I stejnoměrně k funkci f (x), jestliže píšeme f n f. ε > 0 n 0 = n 0 (ε) : x I, n n 0 : f n (x) f (x) < ε, c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 70 / 187
66 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Konvergence posloupnosti f n (x) = x n, x [0, 1] není na [0, 1] stejnoměrná. P = C[a, b], ρ C (f, g) = max x [a,b] f (x) g(x) metrika stejnoměrné konvergence. Ze stejnoměrné konvergence plyne bodová konvergence. Naopak to neplatí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 71 / 187
67 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 25 Necht posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I k funkci f, označme r n = sup f n (x) f (x). x I Pak posloupnost f n konverguje na I k funkci f stejnoměrně právě tehdy, když r n 0. Důkaz. ( ) lim r n = 0 ε > 0 n 0 N, n n 0 : r n < ε sup x I f n (x) f (x) < ε x I : f n (x) f (x) < ε ( ) triviální modifikace předchozí implikace c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 72 / 187
68 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Příklad 19 Rozhodněte, zda posloupnost f n (x) = stejnoměrně. 2nx 1+n 2 x 2 konverguje na I = [0, 1] Vyřešíme bodovou konvergenci a pak podle věty 25 rozhodneme, je-li 2nx stejnoměrná nebo ne. Protože lim n = 0, konverguje posloupnost 1+n 2 x 2 bodově na I k funkci f (x) 0. Dále r n = sup f n (x) f (x) = sup x I x [0,1] 2nx 1 + n 2 x 2 0 2nx = max x [0,1] 1 + n 2 = 1, n N. x 2 Posloupnost nekonverguje stejnoměrně k nule na intervalu [0, 1]. ( ) 2nx 1+n 2 x = 2n(1+n 2 x 2 ) 2nx(n 2 2x) = 0 2n(1 + n 2 x 2 ) = 2nx(n 2 2x) 2 (1+n 2 x 2 ) n 2 x 2 = 2n 2 x 2 1= n 2 x 2 x = 1 n, f n(0) = 0, f n (1) = 2n, f 1+n 2 n ( 1 n ) = 1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 73 / 187
69 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Příklad 20 f n (x) = sin nx n, I = R f n 0, r n = 1 n f n(x) 0 na R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 74 / 187
70 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Definice 10 Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje (bodově) k funkci f (x), jestliže posloupnost částečných součtů s n (x) = f 1 (x) + + f n (x) konverguje (bodově) k funkci f (x) na intervalu I, tj. s n (x) f (x) na I. Řekneme, že řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci f (x), píšeme n=1 f n(x) = f (x) stejnoměrně, pokud s n f (x) na I. Příklad 21 e x = 1 + x + x 2 2! + = konverguje stejnoměrně na R (ukážeme později). n=0 x n n! c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 75 / 187
71 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Lemma 1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence) Posloupnost funkcí {f n } konverguje na intervalu I stejnoměrně právě tehdy, když ε > 0 n 0 N x I m, n n 0 (m, n N) : f m (x) f n (x) < ε. Důkaz. Viz skripta. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 76 / 187
72 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 26 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí) Řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská, tj. ε > 0 n 0 N x I n n 0 m N : s n+m (x) s n (x) = f n+1 (x) + + f n+m (x) < ε. Důkaz. Řada funkcí n=1 f n(x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x), právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů s n (x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x). Nyní stačí využít Lemma 1. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 77 / 187
73 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 27 (Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence) Necht posloupnost funkcí {f n (x)}, x I, splňuje na intervalu I nerovnost f n (x) a n a číselná řada a n je konvergentní. Pak řada funkcí n=1 f n(x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Důkaz. Podle předchozí věty stačí dokázat, že posloupnost částečných součtů s n (x) je na intervalu I stejnoměrně cauchyovská. Protože řada a n konverguje, pak podle Cauchyova Bolzanova kritéria je číselná posloupnost jejích částečných součtů cauchyovská, tzn. tedy ε n 0 N, n n 0, m N : a n a n+m < ε, f n+1 (x) + + f n+m (x) f n+1 (x) + + f n+m (x) a n a n+m < ε n n 0, m N, x I. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 78 / 187
74 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 28 (Abelovo kritérium) Necht f n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a posloupnost {g n (x)} je na I stejnoměrně ohraničená a monotónní. Pak f n (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Věta 29 (Dirichletovo kritérium) Necht f n (x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost částečných součtů, posloupnost {g n (x)} je na I monotónní a g n 0 na I. Pak fn (x)g n (x) je na intervalu I stejnoměrně konvergentní. Posloupnost {f n (x)} je na I neklesající (nerostoucí), jestliže má tuto vlastnost každá číselná posloupnost {f n (x 0 )}, x 0 I. Jestliže k R, k > 0 : n N, x I : f n (x) k, nazýváme posloupnost {f n (x)} stejnoměrně ohraničenou. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 79 / 187
75 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 30 Necht funkce f n jsou na intervalu I spojité a f n (x) f (x) na intervalu I. Pak je na intervalu I spojitá i limitní funkce f. Důkaz. Potřebujeme dokázat, že lim x x0 f (x) = f (x 0 ) x 0 I. f (x) f (x 0 ) = f (x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ) f (x) f n (x) + f }{{} n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f (x 0 ). }{{} < ε < ε 3 3 Necht ε > 0 je libovolné, protože f n (x) f (x) na I, k ε 3 n 0, n n 0, x I : f n (x) f (x) < ε 3. Protože f n jsou spojité, pak k ε 3 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f n (x) f n (x 0 ) < ε 3. Tedy ε > 0 δ > 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) : f (x) f (x 0 ) < ε a funkce f je spojitá v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 80 / 187
76 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Předchozí Věta 30 v podstatě dokazuje, že prostor spojitých funkcí s metrikou stejnoměrné konvergence je úplný metrický prostor, a tedy lze aplikovat (na kontraktivní zobrazení) Banachovu větu o pevném bodě. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 81 / 187
77 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 31 Necht n=1 f n(x) = f (x) konverguje stejnoměrně na intervalu I, tj. s n (x) = n f k (x) f (x) na I. k=1 Je-li každá z funkcí f n spojitá na I, je i součet f spojitou funkcí na intervalu I. Důkaz. Aplikace Věty 30 na posloupnost s n (x) = f 1 (x) + + f n (x), což je spojitá funkce, protože je konečným součtem spojitých funkcí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 82 / 187
78 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Poznámka Derivace a integrace součtu dvou funkcí platí pro libovolný konečný počet sčítanců. Věta 32 Necht {f n } je posloupnost integrovatelných funkcí na intervalu [a, b] a tato posloupnost na [a, b] konverguje stejnoměrně k funkci f. Pak i limitní funkce je na [a, b] integrovatelná a platí b a b f (x)dx = lim f n (x)dx, n a tj. b a lim n f n (x)dx = lim n b a f n(x)dx. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 83 / 187
79 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Důkaz. Funkce f je integrovatelná na [a, b] právě tehdy, když ε > 0 δ > 0, D(dělení intervalu [a, b]) : ν(d) < δ : S(D, f ) s(d, f ) < ε. Máme S(D, f ) s(d, f ) = = S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) S(D, f ) S(D, f n ) + S(D, f n ) s(d, f n ) + s(d, f n ) s(d, f ) n S(D, f ) S(D, f n ) = [M i (f )(x i x i 1 ) M i (f n )(x i x i 1 )] i=1 n M i (f ) M i (f n ) (x i x i 1 ) i=1 ε 5(b a) n (x i x i 1 ) ε 5 a analogicky pro dolní součty (M i (f ) značí supremum funkce f na intervalu [x i 1, x i ].) Pro dostatečně jemné dělení je i S(D, f n ) s(d, f n ) ε 5. i=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 84 / 187
80 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Dále potřebujeme dokázat, že b a f n(x)dx b a f (x)dx < ε pro dostatečně velké n. b b b f n (x)dx f (x)dx f n (x) f (x) dx < ε a a a pro n taková, že f n (x) f (x) < ε b a na intervalu [a, b]. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 85 / 187
81 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Poznámka b Za předpokladu lim n a f n(x)dx = b a f (x)dx, kde f n(x) f (x) na [a, b] máme x [a, b] lim n x f n (t)dt = a } {{ } F n(x) (F n(x) = f n (x), F (x) = f (x), F n (a) = F (a).) }{{}}{{} =0 =0 x f (t)dt. a } {{ } F (x) c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 86 / 187
82 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 33 Necht {f n (x)} je posloupnost funkcí majících na intervalu I = (a, b) derivaci a necht tato posloupnost na I konverguje k funkci f a posloupnost {f n(x)} na I konverguje stejnoměrně. Pak i limitní funkce f má na I derivaci a platí tj. [lim n f n (x)] = lim n f n(x). Důkaz. Viz skripta. f (x) = lim f n n(x), c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 87 / 187
83 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 34 Necht posloupnost {f n } je na intervalu I stejnoměrně konvergentní a ke každé z těchto funkcí existuje na intervalu I primitivní funkce F n. Jestliže f je stejnoměrná limita funkcí na I, tj. f n f na I, pak k funkci f také existuje primitivní funkce. Jestliže pro nějaké c I platí, že lim n F n (c) = F (c), pak i posloupnost primitivních funkcí F n konverguje stejnoměrně na intervalu I, a to k funkci F, tj. F n F na I. Věta 35 Necht f n (x) = f (x) stejnoměrně na intervalu [a, b] a každá z funkcí f n je na [a, b] integrovatelná. Pak je na [a, b] integrovatelný i součet f a platí b a f (x)dx = b n=1 a f n(x)dx, tj. b a n=1 f n(x)dx = b n=1 a f n(x)dx. Důkaz. Aplikace Věty 32 na částečné součty řady n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 88 / 187
84 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Příklad 22 Vypočítejte ln 3 ln 2 n=1 n e nx dx. Chtěli bychom n e nx dx. To lze pokud řada stejnoměrně konverguje na intervalu [ln 2, ln 3], použijeme Weierstrassovo kritérium f n (x) a n, a n < f n f : n e nx n e n ln 2 = n 2, n+1 n 2 2 n 2n n = n+1 2n 1 2 < 1 n 2 <, tedy n řada konverguje stejnoměrně a lze počítat [ e nx ] ln ln 3 2 = ( 1 2 n 1 ) n = n=1 = = 1 2. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 89 / 187
85 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 36 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I a řada n=1 f n(x) na I konverguje. Pak součet n=1 f n(x) = f (x) má na I derivaci a platí f (x) = g(x), tj. Důkaz. ( f n (x)) = n=1 n=1 f n(x). Označme {s n } a {s n} posloupnosti částečných součtů řad f n (x) a f n(x). (Zřejmě platí, že s n je derivací s n.) Z předpokladů věty na I {s n } konverguje a {s n} konverguje stejnoměrně. Dle Věty 33 má funkce fn (x) = f (x) derivaci a platí f [ (x) = lim n s n(x) = lim f n 1(x) + + f n(x) ] = n=1 f n(x). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 90 / 187
86 Řady funkcí Posloupnosti a řady funkcí Věta 37 Necht posloupnost funkcí {f n (x)} má na intervalu I = (a, b) derivace f n a pro řadu z těchto derivací platí n=1 f n(x) = g(x) stejnoměrně na I. Jestliže řada n=1 f n(x) konverguje alespoň v jednom čísle c I, pak tato řada konverguje stejnoměrně a pro její součet n=1 f n(x) = f (x) platí f (x) = g(x), tj. ( n=1 f n(x)) = n=1 f n(x). Poznámka Lze sestrojit příklady, kde se ukáže, že nelze nahradit stejnoměrnou konvergenci bodovou konvergencí. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 91 / 187
87 Řady funkcí Mocninné řady Definice 11 Necht a n je posloupnost reálných čísel a x 0 R, pak nekonečná řada funkcí n=0 a n(x x 0 ) n se nazývá mocninná řada se středem x 0 a koeficienty a n, n N 0. Poznámka Substitucí y = x x 0 a n y n lze každou řadu převést na řadu se středem y 0 = 0. Můžeme proto uvažovat řady n=0 a nx n. Mocninná řada vždy konverguje ve svém středu. Konvence: a n x n = n=0 a nx n. N 0 := N {0}. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 93 / 187
88 Řady funkcí Mocninné řady Věta 38 Necht a := lim sup n a n. Je-li a = 0, pak mocninná řada a n x n konverguje x R. Je-li a =, pak řada konverguje pouze ve svém středu x 0 = 0. Je-li 0 < a <, pak řada konverguje x R : x < R := 1 a a diverguje pro x R : x > R. Číslo R se nazývá poloměr konvergence mocninné řady a n x n. Poznámka Interval I takový, že pro x I příslušná řada (absolutně) konverguje nazýváme intervalem (absolutní) kovergence této řady. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 94 / 187
89 Řady funkcí Mocninné řady Důkaz. Předpokládejme pro jednoduchost, že existuje limita lim n a n = a. Pro nějaké x R aplikujeme na řadu a n x n odmocninové kritérium < 1 konverguje lim n a n x n = x lim n a n = a x > 1 diverguje = 1 nevíme { x < 1 a = R řada konv. x > 1 a = R řada div. Pokud limita lim n a n neexistuje, pak lim sup n a n charakterizuje jak velká čísla a n se v posloupnosti vyskytují a čím větší jsou a n, tím menší je interval pro x, pro něž řada konverguje. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 95 / 187
90 Řady funkcí Mocninné řady Poznámka Protože platí lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n, lze v případě existence limity podílu použít pro určení poloměru konvergence ji. Protože ve zmíněných limitách jsou absolutní hodnoty, získáváme uvnitř intervalu konvergence přímo absolutní konvergenci. Pro hodnoty x, kde limity vychází jedna (krajní body intervalu konvergence) tyto hodnoty dosadíme a řešíme konvergenci příslušných číselných řad. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 96 / 187
91 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 23 1 x n, a = lim n 1 = 1 R = 1 pro x = 1 řada osciluje, pro x = 1 řada diverguje, řada konverguje (absolutně) pro x ( 1, 1) 2 x n n, a n = 1 n lim a n+1 a n = lim n n+1 = 1 R = 1 pro x = 1 máme 1 n, která diverguje (harmonická řada), pro x = 1 máme ( 1) n n, která konverguje (Leibnizova řada), řada konverguje pro x [ 1, 1), absolutně konverguje pro x ( 1, 1) 3 4 ( 1) n x n n, R = 1, konverguje pro x ( 1, 1], absolutně konverguje pro x ( 1, 1) x n, R = 1, lim a n 2 n+1 a n = 1, x = 1 1 konverguje absolutně, n 2 x = 1 ( 1) n konverguje absolutně, řada konverguje absolutně n 2 pro x [ 1, 1] c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 97 / 187
92 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 24 R =? 1 2 x n n! a n = 1 n!, R = lim 1 n! (n+1)n! 1 = lim(n + 1) = řada konverguje pro x R n!x n a n = n!, R = 0, řada konverguje pouze pro x = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 98 / 187
93 Řady funkcí Mocninné řady Poznámka Proč se říká poloměr konvergence? Často se uvažuje řada a n z n, z C, a n C, kde pak místo intervalu konvergence pracujeme s kružnicemi o poloměru z. Tedy hledáme takové číslo R, kdy daná řada konverguje pro všechny z C, z < R a diverguje pro všechny z C, z > R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 99 / 187
94 Řady funkcí Mocninné řady Věta 39 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak r : 0 < r < R řada konverguje na intervalu [ r, r] stejnoměrně (a absolutně). Důkaz. Necht 0 < r < R je libovolné. Použijeme Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence, tj. a n x n a n x n = a n x n a n r n pro x [ r, r], řada a n r n konverguje, nebot r < R, tedy a n x n konverguje na [ r, r] stejnoměrně. Absolutní konvergence plyne z faktu, že v nerovnosti a n x n a n r n vystupuje absolutní hodnota. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 100 / 187
95 Řady funkcí Mocninné řady Věta 40 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí x 0 an t n dt = a n x n+1 n + 1, přičemž řada na pravé straně rovnosti má poloměr konvergence opět R. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 101 / 187
96 Řady funkcí Mocninné řady Důkaz. x 0 an t n dt st.konv. = a n x 0 t n dt = a n [ t n+1 n + 1 Předpokládejme, že existuje limita lim n a n = a = 1 R, potom lim n an ( 1 = a lim n + 1 n + 1 = lim n ( 1 a n lim ) 1 n ] x 0 = a n n + 1 x n+1 n + 1 ) 1 n = 0 0 = a lim e 1 ln( 1 ln(n+1) n n+1) = a lim e n = a e 0 = a, tedy poloměr konvergence řady a n n+1 x n+1 je R. Protože a n n+1 x n+1 = x a n n+1 x n mohli jsme použít n-tou odmocninu místo (n + 1)-ní. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 102 / 187
97 Řady funkcí Mocninné řady Věta 41 Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence R > 0. Pak x ( R, R) platí ( ) a n x n = n=1 na n x n 1, n=1 přičemž derivováním se poloměr konvergence nemění. Důkaz. Opět plyne ze stejnoměrné konvergence a jednoduchého výpočtu. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 103 / 187
98 Řady funkcí Mocninné řady Věta 42 (Abelova věta) Necht mocninná řada a n x n má poloměr konvergence 0 < R < a předpokládejme, že pro x = R je tato řada konvergentní. Pak její součet f (x) = a n x n je funkce, která je v x = R zleva spojitá, tj. an R n = f (R) = lim f (x). x R c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 104 / 187
99 Řady funkcí Mocninné řady Důkaz. Pro důkaz využijeme Abelovo kritérium (věta 28). Pro x [0, R] je číselná řada a n R n konvergentní, tedy je pro libovolné x konvergentní stejnoměrně (jako funkce vystupují konstanty). Přepišme řadu z tvrzení věty takto an x n = ( a n R n x ) n. R Pro použití Abelova kritéria musí být posloupnost funkcí {( ) x n } R nerostoucí a stejnoměrně ohraničená, což je pro x [0, R] splněno. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 105 / 187
100 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 25 Určete součet řady n=1 n 2 n. lim n+1 2n 2n 2 n pokračovat. = lim n+1 2n = 1 2 < 1 řada konverguje a má tedy smysl Využijeme mocninnou řadu n=0 n x n. Ihned máme n R = lim n+1 = 1, tedy pro x = 1 2 absolutně konverguje. [ n x n = x n x n 1 = x n n=0 n=1 [ ] = x x n = x n=1 ( x 1 x n=1 x = 1 2 n=1 n 2 n = 1/2 (1 1/2) 2 = = 2 x n 1 dx ] ) = x 1 x + x (1 x) 2 = x (1 x) 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 106 / 187
101 Řady funkcí Mocninné řady Využijeme Cauchyův součin (absolutně konvergentní) řady n=1 1 2 = 1 se sebou. Tedy n 1 1 = ( ) ( 1 ) 1 2 n 2 n = n 1 + 2n+1 odkud ihned n=1 n 2 n = 2. Přímo pomocí částečných součtů máme = n=1 n 2 n+1 = 1 2 n=1 s n = n 2 n, s n 2 = n 2 n+1. Odkud odečtením získáme s n 2 = n n 2 n = 2. n 2 n, n=1 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 107 / 187
102 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 26 Určete součet řady n=1 1 n2 n. Využijeme mocninnou řadu pro x = 1 2 absolutně konverguje. n=1 x n n = n=1 n=1 x 0 t n 1 dt = 1 n2 n = n=1 = ( 1 2) n n n=1 xn n x 0 n=1 x 0 n+1. Ihned máme R = lim n = 1, tedy t n 1 dt 1 1 t dt = [ ln 1 t ]x 0 = ln(1 x) ( = ln 1 1 ) = ln = ln 2 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 108 / 187
103 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 27 Určete poloměr konvergence a součet řady n=0 n(n + 2)x n. R = lim a n n(n + 2) = lim (n + 1)(n + 3) = 1 a n+1 Pro x ( 1, 1) máme n=0 x n = 1 1 x. Protože pro x = 0 máme ihned n=0 n(n + 2)x n = 0, budeme předpokládat, že x 0. x n = 1 / d 1 x dx n=0 [ ] 1 / nx n 1 = x 3 1 x nx n+2 x 3 / d = (1 x) 2 dx n=0 n=0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 109 / 187
104 Řady funkcí Mocninné řady n=0 n(n + 2)x n+1 = 3x 2 x 3 / (1 x) 3 1 x n=0 n(n + 2)x n = 3x x 2 (1 x) 3 Výsledný vztah platí i pro x = 0, tedy lze ho použít pro všechna x ( 1, 1). c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 110 / 187
105 Řady funkcí Mocninné řady Definice 12 Necht funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů, pak se mocninná řada n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! nazývá Taylorova řada dunkce f. Je-li x 0 = 0, pak se řada nazývá Maclaurinova řada. Poznámka f n=0 f (n) (0) x n n! Problém platí (a kde) f (x) = f (n) (0) n=0 n! x n? c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 111 / 187
106 Řady funkcí Mocninné řady Příklad 28 Uvažujme funkci f (x) = f f (x) f (0) (0) = lim = lim x 0 x 0 Podobně f (0) = lim x 0 což znamená {e 1 x 2 x 0, 0 x = 0. Potom a 0 = 0, a n = f (n) (0) n!,n N. x x 0 e (e 1 x 2 ) f (0) x 0 1 x 2 = lim x 0 = x = 1 t = lim t ± (t e t2 ) = lim t ± (e 1 x 2 ) f (n) (0) = 0 n N 0, f (x) 0 x n = 0 f (x). x t e t2 = lim t ± 1 2t e t2 = 0 1 x 2 2 e = lim x 0 x 3 = 0 c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 112 / 187
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoMatematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoUniverzita Palackého v Olomouci
Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowoKarel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoSpeciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoTGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Bardziej szczegółowoNDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
Bardziej szczegółowoPoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowo