Kristýna Kuncová. Matematika B3

Transkrypt

1 (10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30

2 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a v = x? A Zdroj : conceptests/question-library/mat215.shtml Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 2 / 30

3 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = e x cos y a v = e x sin y? Zdroj : conceptests/question-library/mat215.shtml A Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 3 / 30

4 Def: Měřitelná funkce Definice (Měřitelná funkce) Zdroj : method Necht M R n je měřitelná množina. Řekneme, že funkce f : M R je měřitelná, jestliže všechny úrovňové množiny {x M : f (x) > c}, c R jsou měřitelné. Poznámka Každá spojitá funkce na měřitelné množině je měřitelná. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 4 / 30

5 Riemannův integrál Zdroj : Zdroj : Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 5 / 30

6 Def: Dělení množiny Definice (Dělení množiny) Zdroj : partition.svg Necht M R n je měřitelná. Konečný systém E 1, E 2,..., E m měřitelných podmnožin M se zve dělení množiny M, jestliže E i jsou po dvou disjunktní a m i=1 E i = M. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 6 / 30

7 Def: Lebesgueův integrál Zdroj : Definice (Lebesgueův integrál) Necht M je měřitelná, f : M R je měřitelná a nezáporná. Pak Lebesgueovým integrálem nazveme číslo I R { }: Značíme (L) f dλ. I = sup dělení (E 1,...E m) m i=1 λ(e 1 ) inf E i f. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 7 / 30

8 Lebesgueův integrál Zdroj : integration Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 8 / 30

9 Rozklad funkce Fakt f + := max{f, 0}, f := max{ f, 0} f = f + f Zdroj : Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 9 / 30

10 Def: Lebesgueův integrál Zdroj : Definice (Lebesgueův integrál) Necht M je měřitelná, f : M R je měřitelná funkce. Pak Lebesgueův integrál definujeme jako (L) f dλ = (L) f + dλ (L) f dλ, má-li výraz vpravo smysl. Vyjde-li, integrál nedefinujeme. Má-li funkce f konečný Lebesgueův integrál, říkáme, že je integrovatelná. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 10 / 30

11 Věta: Aritmetika Lebesgueova integrálu Věta (Aritmetika Lebesgueova integrálu) Necht M je měřitelná množina. Necht f, g : M R jsou integrovatelné, necht α, β R. Pak αf + βgdλ = αf dλ + βg + dλ. M M M Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 11 / 30

12 Absolutní hodnota Fakt f = f + + f. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 12 / 30

13 Věta: Integrovatelnost absolutní hodnoty Věta (Integrovatelnost absolutní hodnoty) Necht M je měřitelná množina. Necht f : M R je integrovatelná. Pak je i f integrovatelná. Důkaz Náznak důkazu. Víme: Dále víme: Výraz M f dλ = f = f + + f. M f + dλ f dλ M je dobře definován a konečný (tedy obě čísla jsou konečná). Pak je ale dobře definován a konečný i výraz f + dλ + f dλ. M M Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 13 / 30

14 Newtonův integrál Definice (Newtonův integrál) Necht f a F jsou definované na intervalu [a, b], necht F je tamtéž spojitá a necht F je primitivní funkcí k f na (a, b). Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N) b Definice (Newtonův integrál) a f (t)dt = F(b) F(a). Necht funkce f má na (a, b) primitivní funkci F, limity lim x a+ F(x), lim x b F(x) existují a jejich rozdíl je definován. Hodnotou Newtonova integrálu funkce f přes interval (a, b) pak rozumíme číslo (N) b a f (t)dt = lim F(x) lim F(x). x b x a+ Pokud (N) b f (t)dt existuje vlastní, pak říkáme, že integrál je konvergentní. a Není-li integrál konvergentní, říkáme, že je divergentní. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 14 / 30

15 Věta: Vztah Lebesgueova a Newtonova integrálu Věta (Vztah Lebesgueova a Newtonova integrálu) Necht f je spojitá funkce na (a, b). Necht konverguje (N) b f dx. Pak a konverguje i Lebesgueův integrál funkce f a platí (L) b f dx = (N) b a a f dx. Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 15 / 30

16 Vlastnosti Lebesgueova integrálu Zdroj : funkce Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 16 / 30

17 Vlastnosti Lebesgueova integrálu II Zdroj : -x-to-infty-frac-sin-x-x Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 17 / 30

18 Def: Řezy Definice (Řezy) Necht M R d R n je měřitelná množina. Pak definujeme řezy jako: M x, = {y R n ; [x, y] M}, pro x R d a M,y = {x R n ; [x, y] M}, pro y R n. Zdroj : integral change order integration examples Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 18 / 30

19 Věta: Fubiniho věta Zdroj : 2/examples.html Animace Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 19 / 30

20 Věta: Fubiniho věta Věta (Fubiniho věta) Necht M R d R n je měřitelná množina, necht f : M R je měřitelná. Necht navíc platí alespoň jedna z podmínek Pak 1 f je nezáporná 2 M je omezená a f je spojitá na M. M f (x, y) dx dy = R n ( ) f (x, y) dx dy = M,y R d ( ) f (x, y) dy dx. M x, Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 20 / 30

21 Fubinka Otázka Na obrázku je znázorněn kvádr, jehož hrany jsou rovnoběžné se souřadnými osami. Který z následujících integrálů určitě NEpočítá jeho objem? Zdroj : conceptests/questionlibrary/mat215.shtml A B C dx dy 1 dy dz C D dy dx 1 dz dy Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 21 / 30

22 Fubinka Otázka Který z následujících integrálů počítá obsah útvaru na obrázku? Zdroj : conceptests/questionlibrary/mat215.shtml A B A 4 x dy dx x dy dx C D y x 1 dx dy 1 dx dy Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 22 / 30

23 Fubinka Otázka Který z následujících výrazů NEpočítá obsah útvaru na obrázku? A B x 2 1 2x x 2 0 2x 2 1 dy dx 1 dy dx Zdroj : conceptests/questionlibrary/mat215.shtml C D 2 D 1 y/2 1 dx dy + 2 y 1 1 dx dy + 0 y/2 1 y/2 1 2 y/2 0 y 1 1 dx dy 2 y/2 y 1 1 dx dy Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 23 / 30

24 Fubinka Otázka Určete množinu, přes kterou integrujeme v integrálu x 0 f (x, y, z) dz dy dx. Zdroj : conceptests/question-library/mat215.shtml C Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 24 / 30

25 Fubinka Otázka Na obrázku je těleso ohraničené plochami x + z = 1, z = 0, x = 0, y = 1 a plochou y = 2 x 2. Který z následujících integrálů počítá jeho objem? A B C D C 1 2 x 2 1 x x 2 x x 2 1 x x 2 x dz dy dx dz dy dx dz dy dx dz dy dx Zdroj : conceptests/questionlibrary/mat215.shtml Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 25 / 30

26 Fubinka Otázka Na obrázku je stejné těleso v různých polohách. Seřad te integrály S k x dλ podle velikosti. Zdroj : conceptests/question-library/mat215.shtml A I 1 < I 2 < I 3 < I 4 B I 2 < I 1 = I 3 < I 4 C I 2 < I 1 < I 3 < I 4 D I 2 < I 2 < I 4 < I 3 E I 1 = I 2 = I 3 = I 4 B Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 26 / 30

27 Věta: O substituci Věta (O substituci) Necht G R n je otevřená množina, ϕ : G R n je C 1 (G). Necht f je měřitelná funkce na otevřené množině M ϕ(g) R n. Pak f dx = f (ϕ(t)) J ϕ (t) dt, má-li alespoň 1 strana smysl. M ϕ 1 (M) Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 27 / 30

28 Polární souřadnice Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 28 / 30

29 Sférické souřadnice Otázka Jaké těleso je popsáno sférickými souřadnicemi, jestliže r [0, 1], β [ π 2, π 2 ], γ [0, π 2 ]? Zdroj : conceptests/question-library/mat215.shtml C Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 29 / 30

30 Sférické souřadnice Otázka Na obrázku je část kužele. Jak zvolíme parametrizaci pro sférické souřadnice? 0 r 1 0 r 1 A 0 γ π 4 π 2 β 3π 2 C 0 γ π 4 π β 2π B B 0 r 1 π 4 γ π 2 π 2 β 3π 2 D 0 r 1 π 4 γ π 2 π β 2π Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 30 / 30