1 Soustava lineárních rovnic

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Soustava lineárních rovnic"

Antoni Witkowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační metoda 5 Cramerovo pravidlo Ferdinand Georg Frobenius

2 Soustava lineárních rovnic Definice (soustava lineárních rovnic) Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x 1, x 2,, x n nazýváme soustavu rovnic a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n = b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n = b 2 a 31 x 1 a 32 x 2 a 3n x n = b 3 a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n = b m Reálná čísla a ij nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla b i koeficienty pravých stran soustavy rovnic (nebo také absolutní členy) Definice (řešení soustavy rovnic) Řešením soustavy lineárních rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel r 1, r 2,, r n, po jejichž dosazení za neznámé x 1, x 2,, x n (v tomto pořadí) do soustavy lineárních rovnic dostaneme ve všech rovnicích identické rovnosti Definice (matice soustavy a rozšířená matice soustavy) Matici a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn nazýváme maticí soustavy Matici a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 A r = a m1 a m2 a mn b m nazýváme rozšířenou maticí soustavy

3 Poznámka (maticový zápis soustavy lineárních rovnic) Vektor b = b 1 b 2 b m nazveme vektor neznámých nazveme vektor pravých stran Vektor x = Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých můžeme potom zapsat v maticovém tvaru pomocí součinu matic tedy a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A x = b, x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m x 1 x 2 x n Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Věta (Frobeniova věta) Soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, když její matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost, tj h(a) = h(a r ) Poznámka (počet řešení) Pro h(a) h(a r ) soustava nemá řešení Pro h(a) = h(a r ) = n má soustava právě jedno řešení Pro h(a) = h(a r ) < n má soustava nekonečně mnoho řešení, která závisí na n h(a) parametrech (volných neznámých)

4 Definice (homogenní soustava) Soustava lineárních rovnic se nazývá homogenní, jsou-li všechny její absolutní členy rovny nule, tj b 1 = b 2 = = b m = 0 V opačném případě mluvíme o nehomogenní soustavě Věta (řešení homogenní soustavy) Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení Poznámka (počet řešení homogenní soustavy) Řešením homogenní soustavy je n-tice x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0 Toto řešení se nazývá triviální Pro h(a) = n má homogenní soustava jediné - triviální řešení Pro h(a) < n má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení, která závisí na n h(a) parametrech Gaussova eliminační metoda Gaussova eliminační metoda 1 Pomocí ekvivalentních řádkových úprav převedeme rozšířenou matici soustavy A r na schodovitý tvar (tzv přímý chod) 2 Určíme hodnosti matic h(a r ) a h(a) a pomocí Frobeniovy věty rozhodneme, zda má soustava řešení 3 Pokud je soustava řešitelná, tj platí h(a) = h(a r ), přiřadíme matici ve schodovitém tvaru soustavu lineárních rovnic Takto získaná soustava má stejné řešení jako původní soustava 4 Rovnice řešíme odspodu od poslední a získané výsledky postupně dosazujeme za jednotlivé neznámé do rovnic směrem nahoru (tzv zpětný chod) Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, zvoĺıme patřičný počet neznámých za nezávislé parametry

5 Příklad (jedno řešení) Řešte soustavu lineárních rovnic 2x 1 3x 2 x 3 = 9 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 2x 2 3x 3 = 6 Jako první v rozšířené matici soustavy napíšeme druhou rovnici, protože začíná jedničkou h(a) = h(a r ) = 3 soustava má řešení počet neznámých: n = 3 h(a) = n = 3 1 řešení Příklad (jedno řešení - pokračování) 1 x 1 x 2 x 3 = 2 2 x 2 2x 3 = 4 3 7x 3 = 7 3 7x 3 = 7 x 3 = 1 2 x 2 2x 3 = 4 x 2 = 4 2x 3 = 4 2( 1) = 2 x 2 = 2 1 x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 = 2 x 2 x 3 = 2 2 ( 1) = 1 řešení x = (1, 2, 1) x 1 = 1

6 Příklad (nekonečně mnoho řešení: 1 parametr) x 1 2x 2 3x 3 4x 4 = 4 x Řešte soustavu lineárních rovnic 2 x 3 x 4 = 3 x 1 3x 2 3x 4 = 1 7x 2 3x 3 x 4 = : h(a) = h(a r ) = 3 soustava má řešení počet neznámých: n = 4 h(a) = 3 < 4 nekonečně mnoho řešení, 1 parametr 7 Příklad (nekonečně mnoho řešení: 1 parametr - pokračování) 1 x 1 2x 2 3x 3 4x 4 = 4 2 x 2 x 3 x 4 = 3 3 x 3 2x 4 = 6 zvolme x 4 = t, t R 3 x 3 2x 4 = 6 x 3 = 6 2x 4 = 6 2t x 3 = 6 2t 2 x 2 x 3 x 4 = 3 x 2 = 3 x 3 x 4 = 3 6 2t t = 3 t x 2 = 3 t 1 x 1 2x 2 3x 3 4x 4 = 4 x 1 = 4 2x 2 3x 3 4x 4 = = 4 2(3 t) 3(6 2t) 4t = 4 6 2t 18 6t 4t = 8 x 1 = 8 řešení x = ( 8, 3 t, 6 2t, t), t R

7 Příklad (nekonečně mnoho řešení: 2 parametry) x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 0 3x Řešte soustavu lineárních rovnic 1 5x 2 6x 3 4x 4 = 0 4x 1 5x 2 2x 3 3x 4 = 0 3x 1 8x 2 24x 3 19x 4 = ( 1) ( ) h(a) = h(a r ) = 2 soustava má řešení (je to homogenní soustava) počet neznámých: n = 4 h(a) = 2 < 4 nekonečně mnoho řešení, 2 parametry Příklad (nekonečně mnoho řešení: 2 parametry - pokračování) 1 x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 0 2 x 2 6x 3 5x 4 = 0 zvolme x 4 = t, x 3 = s, t, s R 2 x 2 6x 3 5x 4 = 0 x 2 = 6x 3 5x 4 = 6s 5t x 2 = 6s 5t 1 x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 0 x 1 = 2x 2 4x 3 3x 4 = = 2( 6s 5t) 4s 3t = 12s 10t 4s 3t = 8s 7t x 1 = 8s 7t řešení x = (8s 7t, 6s 5t, s, t), s, t R

8 Příklad (žádné řešení) Řešte soustavu lineárních rovnic h(a) = 2, h(a r ) = x 1 x 2 x 3 x 4 = 2 2x 1 3x 2 4x 3 3x 4 = 5 4x 1 x 2 2x 3 5x 4 = h(a) h(a r ) soustava nemá řešení Jordanova eliminační metoda Maticový zápis soustavy vynásobíme zleva maticí A 1 : A x = b A 1 A x = A 1 b x = A 1 b Do jednoho schematu zapíšeme matici A a vektor b, schéma vynásobíme maticí A 1 zleva: (A b) (A 1 A A 1 b) (I x) Poznámka (Jordanova metoda) Při Jordanově eliminační metodě převádíme matici A pomocí ekvivalentních řádkových úprav na jednotkovou matici Sloupcový vektor b se transformuje na sloupcový vektor x, který je řešením soustavy A x = b Řešení soustavy tak dostáváme přímo

9 Příklad (Jordanova metoda 1 řešení) Jordanovou metodou řešte soustavu lineárních rovnic h(a) = h(a r ) = 3 soustava má řešení počet neznámých: n = 3 h(a) = n = 3 1 řešení: x 1 = 2, x 2 = 4, x 3 = 3 x = ( 2, 4, 3) x 1 4x 2 3x 3 = 5 2x 1 5x 2 2x 3 = 10 3x 1 3x 2 x 3 = : 12 : 3 12 : 4 4 Příklad (Jordanova metoda s parametry) Jordanovou metodou řešte soustavu ( ) 1 ( 1) x 1 2x 2 x 3 x 4 = 1 2x 1 3x 2 x 3 x 4 = 3 4x 1 7x 2 x 3 3x 4 = ) 3 1 ( h(a) = h(a r ) = 2 soustava má řešení počet neznámých: n = 4, h(a) = 2 < 4 nekonečně mnoho řešení, n h = 2 parametry x 3 = t, x 4 = s x 1 = 3 5x 3 x 4 x 1 = 3 5t s x 2 = 1 3x 3 x 4 x 2 = 1 3t s x = (3 5t s, 1 3t s, t, s)

10 Příklad (Jordanova metoda s parametry - pokračování) (1 Řešení závislé na parametrech ) x ( 1 a x ( ) 3 parametry x 1 = p, x 3 = r x 2 = 2 x 1 2x 3 x 2 = 2 p 2r x 4 = 3 x 1 5x 3 x 4 = 3 p 5r x = (p, 2 p 2r, r, 3 p 5r) 1 ) 3 Řešení soustav lineárních rovnic Cramerovým pravidlem Poznámka (označení) Mějme dánu soustavu n lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n = b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n = b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n = b n Označme D = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn, b = b 1 b 2 b n, kde D je determinant matice soustavy a b vektor pravých stran

11 Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo) Soustava n lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n = b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n = b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nn x n = b n s nenulovým determinantem matice soustavy (D 0) má právě jedno řešení x 1, x 2,, x n, kde pro i-tou neznámou platí x i = D i D, i = 1, 2,, n Přitom D i je determinant, který vznikne z determinantu D tím, že v něm i-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran b Poznámka (Cramerovo pravidlo) Cramerovo pravidlo umožňuje vypočítat libovolnou neznámou bez znalosti a výpočtu ostatních neznámých Pro řešení soustav lineárních rovnic s velkým počtem neznámých není Cramerovo pravidlo příliš vhodné, protože výpočet determinantů vyšších řádů je značně pracný

12 Příklad (Cramerovo pravidlo) Cramerovým pravidlem řešte soustavu lineárních rovnic x 1 x 2 x 3 = 2 x 1 4x 2 2x 3 = 1 x 1 x 2 x 3 = 0 D = = ( 4 2 1) (4 2 1) = 1 3 = 4 D 1 = = (8 0 1) (0 4 1) = 7 3 = 4 x 1 = D 1 D = 4 4 = 1 Příklad (Cramerovo pravidlo - pokračování) D 2 = D 3 = = ( 1 4 0) (1 0 2) = 5 1 = 4 x 2 = D 2 D = 4 4 = 1 = (0 1 2) (8 1 0) = 1 9 = 8 x 3 = D 3 D = 8 4 = 2 řešení soustavy x = ( 1, 1, 2)

Podobne dokumenty

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text