Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Transkrypt

1 Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme: Definice (Rozšířená množina reálných čísel) Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body a +, tj R = R {, + }. Body ± nazýváme nevlastní body, zatímco body množiny R nazýváme vlastní body. a + =, a =, + =, =, =, ( ) ( ) =, Je-li a > 0, pak a =, a ( ) =. Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. Poznámka Nejsou definovány výrazy ( ) =, ± =, a ± = ,, 0,, 00,, 0. Tyto výrazy nazýváme neurčité výrazy. Samozřejmě není definováno dělení nulou. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 4 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 5 / 90

2 Úvod Definice 2 Posloupnost reálných čísel je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot podmnožina R, tj. a: N R, většinou místo a(n) píšeme a n. Příklad a n = n = {, 2, 3,... } {a n } n=, a n = vzorec pro a n a n = n sin(n π 2 ) {, 0, 3, 0, 5, 0, 7,... } a n = {,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,... } Definice 3 () Řekneme, že posloupnost a n konverguje k číslu a R, píšeme n a n = a, jestliže ke ε > 0 n 0 N: pro n n 0 platí a n a < ε, tj. a n (a ε, a + ε). Řekneme, že posloupnost a n diverguje k + ( ), píšeme n a n = + ( ), jestliže ke A R n 0 N takové, že pro n n 0 je a n > A (a n < A). Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 6 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 8 / 90 Speciální typy okoĺı bodu Definice 4 (Okoĺı bodu) Libovolný otevřený interval I R obsahující bod 0 R nazýváme okoĺı bodu 0 a značíme jej O( 0 ). Definice 5 (Okoĺı ± ) Necht A R je libovolné. Interval (A, ), resp. (, A), nazýváme okoĺı +, resp.. Poznámka (i) Průnik dvou okoĺı bodu 0 je opět okoĺım bodu 0. (ii) Pro dva body 2 eistují jejich okoĺı tak, že O( ) O( 2 ) =. δ-okoĺı bodu 0 O δ ( 0 ) = ( 0 δ, 0 + δ). Prstencové (ryzí) δ-okoĺı bodu 0 P δ ( 0 ) = O δ ( 0 ) \ { 0 } = ( 0 δ, 0 ) ( 0, 0 + δ). Levé a pravé δ-okoĺı bodu 0 O δ ( 0) = ( 0 δ, 0 ], O + δ ( 0) = [ 0, 0 + δ). Levé a pravé prstencové δ-okoĺı bodu 0 P δ ( 0) = ( 0 δ, 0 ), P + δ ( 0) = ( 0, 0 + δ). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 9 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 0 / 90

3 Definice ity posloupnosti pomocí okoĺı bodu Příklad 2 a n = a R : O(a) n 0 N n n 0 : a n O(a). n a n = ( ) n neeistuje. Definice 6 Řekneme, že posloupnost je a n je shora (zdola) ohraničená, jestliže eistuje M R takové, že a n M (a n M) pro každé n N. Posloupnost a n je ohraničená, pokud je ohraničená shora i zdola. Řekneme, že a n je rostoucí (neklesající, nerostoucí, klesající), jestliže a n+ > a n (a n+ a n, a n+ a n, a n+ < a n ) pro n N. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Příklad 3 Dokažte, že posloupnost a n = n, n N, je klesající a že n a n = 0. n N: n+ < n n < n + 0 <. Necht ε > 0 je libovolné. Hledáme n 0 : n n 0 a n a < ε, tj. Označíme n 0 := [ ] ε + (> ε ). n 0 < ε n < ε n > ε. n n 0 > ε n < ε Věta Každá posloupnost má nejvýše jednu itu. Sporem předpokládejme, že a, b R, a b : a n a a současně a n b. Pro O(a) n N n n : a n O(a) a současně O(b) n 2 N n n 2 : a n O(b). Označme n 0 = ma{n, n 2 }, pak pro n n 0 : a n O(a) O(b) spor pokud O(a) O(b) =. Uvažujme ε < a b 2, potom O ε (a) O ε (b) =. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 3 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 4 / 90

4 Věta 2 Necht a n je konvergentní posloupnost, tj. a n = a, a R. Pak a n je ohraničená posloupnost. Věta 3 Necht a n = a, b n = b, a, b R. Pak platí () (a n ± b n ) = a ± b, (2) (a n b n ) = a b, (3) je-li b 0, ( a n b n ) = a b, (4) a n = a. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 5 / 90 Důkaz bodu (2). Potřebujeme dokázat, že pro ε > 0 eistuje n 0 N, n n 0 : a n b n ab < ε. a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n a n b + a n b ab = a n b }{{} n b + b a }{{} n a }{{} M < ε < ε 2M 2 b (Eistence M plyne z ohraničenosti a n, tj. a n < M, n N.) Pro libovolné ε > 0 zvoĺıme n, n 2 tak, že b n b < ε 2M pro n n a a n a < ε 2 b pro n n 2. Označíme n 0 := ma{n, n 2 }, potom n n 0 : a n b n ab < M ε 2M + b ε 2 b = ε. (Kdyby b = 0, pak jím neděĺıme, ale celý člen je roven nule a stačí b n b < ε M c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 6 / 90 Věta 4 Necht posloupnost a n je neklesající (nerostoucí) a shora (zdola) ohraničená. Pak posloupnost a n je konvergentní, tj. eistuje a R: a n a, přičemž a = sup{a n, n N} (a = inf{a n, n N}). Necht posloupnost a n je neklesající a shora ohraničená. Ohraničenost shora A : a n A, tedy eistuje supremum. Označme jej a. Potom ε > 0 n 0 N: a n0 > a ε. Kdyby to neplatilo, pak by a nebylo sup{a n }. Posloupnost je neklesající, tedy a n a n0 > a ε, n n 0 a n = a. Poznámka (Bernoulliova nerovnost) Pro R, > a n N platí ( + ) n + n. Pro 0, n > platí nerovnost ostře. (Důkaz matematickou indukcí.) c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 7 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 8 / 90

5 Podobně ukážeme, že posloupnost b n je klesající. Příklad 4 Posloupnosti a n = ( + n) n a bn = ( + n) n+ jsou konvergentní a mají stejnou itu. Nejprve ukážeme, že a n = ( ) n+ n n je rostoucí. a n a n = ( n+ ) n n ( n n ) n = n n = n n ( ) n+ n n n = n n ( n 2 ) n > n n n ( n ( n 2 ) n 2 ) n = n n = n n a n > a n, n > (použita ostrá varianta Bernoulliovy nerovnosti), tedy posloupnost je rostoucí. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 9 / 90 b n b n = > = b n > b n, n >, tedy posloupnost je klesající. Nyní stačí uvážit b n = ( + n) n+ = ( + n) an > a n, n N, tj. a a n < b n b, n N. Tím jsme potvrdili tvrzení o ohraničenosti posloupností a n (shora) a b n (zdola). Obě posloupnosti jsou konvergentní a mají stejnou itu, tj. b [( ] n = + n n n) an = a n. n Definice 7 Limitu n ( + n) n nazýváme Eulerovo číslo a značíme e. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 20 / 90 Definice 8 Řekneme, že a R je hromadný bod posloupnosti a n, jestliže v každém okoĺı O(a) eistuje nekonečně mnoho indeů n N takových, že a n O(a). Množinu všech hromadných bodů posloupnosti a n budeme značit H(a n ). Příklad 5 a n = ( ) n = {,,,,... }; H(a n ) = {, } a n = ( ) n + n ; H(a n) = {, } a n = a, a R ; H(a n ) = {a} a n = {,, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,... }; H(a n ) = N { } Definice 9 Necht n < n 2 < n 3 < n 4 < je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost a nk se nazývá vybraná podposloupnost posloupnosti a n. Věta 5 Necht a n a, a R, pak pro každou vybranou podposloupnost posloupnosti a n platí, že a nk a pro k. Vybíráme, ale nepřehazujeme, tj. a n (a ε, a + ε), n n 0 a nk (a ε, a + ε), n k n 0. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 22 / 90

6 Věta 7 (Princip vnořených intervalů) Věta 6 Číslo a R je hromadným bodem posloupnosti a n právě tehdy, když eistuje vybraná podposloupnost a nk posloupnosti a n taková, že a nk a pro k. ( ) Hromadný bod nekonečně mnoho bodů posloupnosti v jeho libovolném okoĺı pro ε k = 2 k a nk : a nk a < 2 k. ( ) Z definice ity a hromadného bodu. Necht I n = [a n, b n ] je posloupnost uzavřených intervalů na množině R s vlastností, že intervaly jsou do sebe vnořeny (I n+ I n ) a n (b n a n ) = 0. Pak eistuje právě jedno c R s vlastností c I n n N, přičemž platí c = I n = [a n, b n ]. n N n N Posloupnost dolních krajních bodů a n je neklesající a posloupnost horních krajních bodů b n je nerostoucí (plyne z I n+ I n ), navíc posloupnost a n (b n ) je shora (zdola) omezená. Podle věty 4 eistují ity a n = a, b n = b. Pak platí a = b. (Určitě platí a b, nebot a n b n a kdyby a < b spor s (a n b n ) = 0 a n = b n.) Tedy hledané číslo c = a = b, nebot a n a = c = b b n c I n, n N, tedy leží v průniku c n N I n. Kdyby eistovala c, c 2 I n a c 2 > c spor s b n a n 0, nebot by pak [c, c 2 ] I n. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 23 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 24 / 90 Věta 8 (Bolzano-Weierstrass) Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Důkaz je založen na metodě půlení intervalů.necht a n je ohraničená posloupnost, pak eistuje M 0: a n M n N a n [ M, M] Aspoň jeden z intervalů [ M, 0], [0, M] obsahuje nekonečně mnoho prvků a n.předpokládejme, že to je [0, M] [0, M/2] a [M/2, M], jeden z nich obsahuje nekonečně mnoho členů a n... Metodou půlení intervalů obdržíme posloupnost vnořených intervalů I n, z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho prvků posloupnosti a n a pro délku intervalu I n : d(i n ) 0 eistuje podle věty 7 právě jedno a I n, tak, že každý interval I k, k N, obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti a n.vždy vybereme jeden z těchto prvků a označíme jej a nk tak, aby posloupnost n k byla rostoucí, tj. a nk je vybraná podposloupnost z a n, a nk I k, a nk a d(i k ) 0 pro k, tzn. a nk a. Důsledek (Věty 8) Pro libovolnou posloupnost reálných čísel je množina jejích hromadných bodů neprázdná (H(a n ) ). Je-li posloupnost a n ohraničená, podle věty 8 eistuje a nk a, tj. a je hromadný bod (podle věty 6). Není-li posloupnost shora (zdola) ohraničená, pak H(a n ) ( H(a n )). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 25 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 26 / 90

7 Definice 0 Necht a n je posloupnost reálných čísel a H(a n ) je množina jejích hromadných bodů. Hodnoty b = sup H(a n ) R, c = inf H(a n ) R (s konvencí: je-li H(a n ) shora (zdola) neomezená, pak její sup = (inf = )), se nazývají ita superior, ita inferior posloupnosti a n a značí se b = sup a n, n c = inf n a n. Věta 9 Pro posloupnost reálných čísel a n definujme b n = sup{a k, k n} a c n = inf{a k, k n}. Pak platí, že b n = sup a n a c n = inf a n. Z předpokladů je vidět, že b n+ b n, c n+ c n, tedy b n je nerostoucí a c n neklesající, pak eistuje b = b n (b R nebo b = ), podobně eistuje c = c n (c = nebo c R). Z konstrukce posloupností b n a c n plyne, že jsou supremem, resp. infimem H(a n ). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 27 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 28 / 90 Věta 0 Necht a n je ohraničená posloupnost, b = sup a n, c = inf a n (b, c R, tj. b, c ± ). Pak ε > 0 n 0 N tak, že pro n n 0 je a n < b + ε, a n > c ε. Sporem necht pro ohraničenou posloupnost a n ε > 0 n 0 N n n 0 : a n b + ε. Pak eistuje nekonečně mnoho bodů nad (nebo rovno) b + ε, tj. je zde alespoň jeden hromadný bod (včetně možnosti b + ε a ) spor. Věta Platí, že a n = a sup a n = inf a n = a. ( ) a n = a H(a n ) = {a}, sup a n = sup H(a n ) = a = inf H(a n ) = inf a n. ( ) Podle věty 0 ke ε > 0 n 0 N: n n 0 je a n < sup a }{{ n +ε a } b=a současně a n > inf a }{{ n ε a } n (a ε, a + ε) a n = a. c=a c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 29 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 30 / 90

8 Definice Řekneme, že posloupnost je Cauchyovská, jestliže ke ε > 0 n 0 N takové, že pro m, n N, m, n n 0 je a n a m < ε. Věta 2 Posloupnost a n je konvergentní (a n a R) právě tehdy, když je Cauchyovská. Poznámka Pokud by šlo o racionální čísla (Q), tak věta neplatí. Např. ( + n) n Q, ale e Q. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 3 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 32 / 90 Důkaz ( ). Necht je a n konvergentní a a n = a. Bud ε R + libovolné. Potom n 0 N : n n 0 je a n a < ε 2. Tedy pro m, n N, m, n n 0 platí a m a n = a m a + a a n = (a m a) (a n a) Posloupnost a n je tedy Cauchyovská. a m a + a n a < ε 2 + ε 2 = ε. Důkaz ( ). Necht je a n je Cauchyovská a ε R + je libovolné. n 0 N : m, n n 0 : a m a n < ε 2. Speciálně platí a n a n0 < ε 2, tedy a n0 ε 2 < a n < a n0 + ε 2, n n 0. Označme c n := inf{a k, k n} a d n := sup{a k, k n}. Potom tedy platí a n0 ε 2 < c n < d n < a n0 + ε 2, n n 0, a n0 ε 2 inf a n sup a n a n0 + ε 2, n n 0. Tj. sup a n R, inf a n R a pro libovolné ε R + máme sup a n inf a n ε, což znamená, že sup a n = inf a n a n je konvergentní. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 33 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 34 / 90

9 Příklad 6 2n 3 + 3n n 3 (2 + 3 n n 4n 3 = + 2 ) n 3 n n n 3 (4 = ) 2 n 2 Poznámka st. čitatele < st. jmenovatele 0 st. čitatele > st. jmenovatele ± st. čitatele = st. jmenovatele podíl koeficientů Příklad 7 (n n 2 (n n + n) = 2 + n)(n + n 2 + n) n n n + n 2 + n = n n 2 n 2 n n + n 2 + n n n = n + = n n 2 +n n 2 = n c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 35 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 36 / 90 Příklad 8 Motivace: f () = 2 + 2, D(f ) Definice 2 (Limita) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 R itu rovnu L R, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že pro ( 0 δ, 0 + δ) { 0 } platí f () L < ε. Píšeme 0 f () = L. Příklad ( + 2)( ) = = ( + 2) = 3 g() = { 2 0 = 0 g() = 0 0 Definice 3 (Limita pomocí okoĺı) Poznámka O ε (L) O δ ( 0 ) : P δ ( 0 ) f () O ε (L). nezávisí na funkční hodnotě f ( 0 ) (ta nemusí být dokonce ani definována). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 38 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 39 / 90

10 Definice 4 (Limita, nevlastní ita, ita v nevlastním bodě) Necht 0, L R. Jestliže ke každému O(L) eistuje P( 0 ) takové, že pro každé P( 0 ) platí f () O(L), pak řekneme, že 0 f () = L. Nepřesně, ale ilustrativně: Je-li bĺızko 0, pak je f () bĺızko L. Příklad 0 Např. pro 0 =, L = máme f () =, tj. A R B R : < B je f () > A. Příklad Limita sin neeistuje. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 40 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 4 / 90 Obr.: Nevlastní ita Obr.: Limita v nevlastním bodě c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 42 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 43 / 90

11 Definice 5 (Jednostranná ita) Limitu zprava + 0 f () = L definujeme takto O(L) P + ( 0 ) : P + ( 0 ) je f () O(L). Limitu zleva definujeme analogicky. ( 0, 0 + δ) R P + ( 0 ) = (, B) = nemá smysl = c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 44 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 45 / 90 Není-li možné číslo do funkce dosadit jinak než itně, můžeme představu o itním chování funkce získat i empiricky a to dosazováním bĺızkých čísel. Podívejme se na chování funkce sin pro , 0, 0 0, 00 0, 000 sin 0, , , , , Z tabulky vidíme, že hodnoty se bĺıží jedničce. A skutečně 0 + sin =. POZOR nejde o neprůstřelnou metodu: 0, 0, 0 0, 00 0, 000 sin π Přitom 0 + sin π neeistuje. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 46 / 90 (Zkuste dosazovat náhodná čísla bĺıžící se k nule zprava.. Např. sin = 0, ) π 0,003 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 47 / 90

12 Věta 3 () Funkce má v libovolném bodě 0 nejvýše jednu itu. (2) Je-li 0 f () = L R, pak eistuje P( 0 ) takové, že funkce f je v tomto okoĺı ohraničená. Tj. M 0 : f () M pro P( 0 ). () Obdobně jako u ity posloupností. (Sporem předpokládáme eistenci dvou it.) (2) 0 f () = L znamená, že pro ε > 0 P( 0 ) takové, že pro P( 0 ) f () (L ε, L + ε). Stačí vzít M = ma{ L ε, L + ε } f () M. Věta 4 Necht 0 R, pak 0 f () = L R právě tehdy, když Důkaz ( ). 0 f () = L = + 0 f (). 0 f () = L, pak podle definice O(L) δ > 0: ( 0 δ, 0 + δ) { 0 } jsou funkční hodnoty f () O(L) tj. podle definice 0 O(L) δ > 0 ( 0 δ, 0 ) f () O(L), f () = L, O(L) δ > 0 ( 0, 0 + δ) f () O(L), tj. podle definice + 0 f () = L. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 48 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 49 / 90 Důkaz ( ). 0 0 a podobně + 0 f () = L a + 0 f () = L, tj. podle definice f () = L O(L) δ > 0 : ( 0 δ, 0 ) f () O(L) f () = L O(L) δ 2 > 0 : ( 0, 0 + δ 2 ) f () O(L). Označme δ := min{δ, δ 2 } O(L) δ > 0 : ( 0 δ, 0 + δ) { 0 } platí f () O(L) 0 f () = L. (Toto δ jsme našli.) Věta 5 (Věta o třech itách) Předpokládejme, že eistuje P( 0 ), v němž pro trojici funkcí f, g, h platí nerovnost g() f () h() pro P( 0 ). Jestliže 0 g() = L a 0 h() = L, pak 0 f () = L. Přímo z definice ity. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 50 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 5 / 90

13 Věta 6 Necht 0 f () = 0 a P( 0 ), v němž je funkce g ohraničená (tj. M > 0, g() M P( 0 )), pak 0 [f () g()] = 0. Necht ε > 0 je lib., chceme f () g() 0 < ε (pro bĺızko 0 ) f () g() f () }{{} malé v okoĺı 0 g() }{{} M na P( 0 ) f () M Protože 0 f () = 0, k číslu ε M (> 0) eistuje P( 0 ): P( 0 ) f () < ε M.Necht P( 0 ) := P( 0 ) P( 0 ), pak P( 0 ) : f () g() 0 f () M < ε M M = ε 0 f () g() = 0. Věta 7 Necht 0 f () = ( ) a P( 0 ), v němž je funkce g zdola (shora) ohraničená, pak Příklad 2 Použití věty 6: [f () + g()] = ( ). 0 sin 0 = 0 f () =, g() = sin a 0 = 0, sin Použití věty 7: ( + sin ) = +. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 52 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 53 / 90 Poznámka Předpokládejme 0 f () = 0. 0 f () =? Věta 8 Necht 0 f () = 0 a eistuje P( 0 ), v němž je funkce kladná (záporná), pak 0 f () = ( ). Např. f () =, 0 = 0 0 neeistuje, protože 0 = = 0 +. Poznámka kladná nula =, = záporná nula c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 54 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 55 / 90

14 Věta 9 Necht 0 R, 0 f () = L, 0 g() = L 2, L, L 2 R. Pak platí () 0 [f () ± g()] = L ± L 2, (2) 0 [f () g()] = L L 2, (3) L 2 0: 0 f () g() = L L 2, (4) 0 f () = L. Věta 20 Necht f () = y 0, 0 a eistuje P( 0 ), v němž f () y 0, pak g(y) = L y y 0 g ( f () ) = L. 0 Podobně jako u posloupností. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 56 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 57 / 90 Necht ε > 0 je libovolné. y y0 g(y) = L podle definice k ε > 0 eistuje P(y 0 ): pro y P(y 0 ) je g(y) O ε (L). 0 f () = y 0 podle definice k δ > 0 eistuje P( 0 ): pro P( 0 ) je f () O δ (y 0 ). Necht P( 0 ) je prstencové okoĺı bodu 0, v němž f () y 0.Pak pro P( 0 ) P( 0 ), platí f () (y 0 δ, y 0 + δ) {y 0 } = P(y 0 ), tedy g ( f () ) O ε (L) a podle definice 0 g ( f () ) = L. Příklad 3 pak ale f () 0, g(y) = f () = 0, 0 { y = 0 0 y 0, g(y) = 0, y 0 g( f () ) = =. 0 0 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 58 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 59 / 90

15 Věta 2 0 f () = L právě tehdy, když pro každou posloupnost n 0 platí, že posloupnost f ( n ) L. Poznámka Tvrzení uvedená dosud v této kapitole platí i pro jednostranné ity (po příslušné modifikaci). Důkaz ( ). Předpokládejme 0, L R (Pro 0, L = ± obdobně.) 0 f () = L podle definice ε > 0 δ > 0: pro P δ ( 0 ) je f () O ε (L). Necht n je libovolná posloupnost, pro niž platí n 0, pak (dle definice) δ > 0 n 0 N: pro n n 0 n O δ ( 0 ) f ( n ) O ε (L). Označený tet = definice toho, že n f ( n ) = L. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 60 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 6 / 90 Důkaz ( ). Sporem předpokládejme, že n 0 platí f ( n ) L a neplatí 0 f () = L, tedy že ε > 0 δ > 0 P δ ( 0 ) : f () O ε (L). Necht δ =, P δ ( 0 ): f ( ) O ε (L) δ 2 = 2, 2 P δ2 ( 0 ): f ( 2 ) O ε (L). δ n =, 2 n n P δn ( 0 ): f ( n ) O ε (L) Tím máme n 0 < n 0, 2 n tedy eistuje n 0 a zároveň f ( n ) O ε (L), což je spor s předpokladem ( n 0 f ( n ) L). Příklad 4 0 sin = 0 z věty o třech itách > 0 : 0 < sin < 0 sin , tedy 0 + sin = 0.Protože sin je lichá funkce, ita zleva je také nula 0 sin = 0. 0 cos = ( cos = cos sin2 ) ( ) 2 = 2 sin = 2 sin = c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 62 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 63 / 90

16 Příklad 5 0 sin = (0, π 2 ) : sin < < tg < sin < cos > sin všechny jdou do pro 0 +. Protože sin je sudá funkce, platí to i pro 0. > cos Příklad 6 e 0 = Z definice e máme ( ) n+ ( n + n+ < e < + n ). Necht (0, 2 ) a n N splňuje n+ < n.potom platí + n+ < e n+ < e e n < + n. Protože n, platí n + + = +, tedy n+ Vztah n + > dává n > 2 = 2, tedy n < 2.Celkem jsme dostali + + < e < c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 64 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 65 / 90 Odečteme jedna a poděĺıme (> 0) + < e < 2. Pro 0 + s použitím věty o třech itách máme 0 + e =. Limita zleva podobně. Příklad 7 0 a = ln a a e ln a = 0 0 ln a ln a e ln a = ln a = ln a. 0 ln a c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 66 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 67 / 90

17 Definice 6 (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 D(f ), jestliže 0 f () eistuje a je rovna f ( 0 ), tj. ε > 0 δ > 0 : O δ ( 0 ) platí f () O ε (f ( 0 )). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 zprava (zleva), je-li ( ) + 0 f () = f ( 0 ) 0 f () = f ( 0 ). Definice 7 (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém (a, b). Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], je-li spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a v bodech a (b) je spojitá zprava (zleva). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 69 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 70 / 90 Příklad 8 { 0 Q Dirichletova funkce χ() = není spojitá v žádném bodě I ( 0 χ() neeistuje libovolně malé okoĺı obsahuje i 0). Příklad 9 Funkce f () = χ() je spojitá v bodě 0 = 0 a není spojitá v žádném jiném bodě. 0 }{{} χ() = 0 }{{} 0 ohraničená Poznámka Představa, že funkce je spojitá jestliže se nepřetrhne platí, ale je zavádějící. Např. funkce f () = ( )( 2)χ() je spojitá v bodech 0, a 2. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 7 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 72 / 90

18 Věta 22 (Spojitost operací se spojitými funkcemi) Necht f, g jsou funkce spojité v 0. Pak jsou v 0 spojité i funkce f ± g, f g a je-li g( 0 ) 0, je spojitá i funkce f /g. Je-li h funkce, která je spojitá v bodě y 0 = f ( 0 ), pak je v 0 spojitá i funkce (h f )() = h ( f () ). Tvrzení plyne z příslušných vět pro itu funkce. Věta 23 (O spojitosti elementárních funkcí) (i) Polynom P() = a n n + + a + a 0 je funkce spojitá na celém R. (ii) Racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, kde je polynom ve jmenovateli různý od nuly. (iii) Funkce sin a cos jsou spojité na R; funkce tg je spojitá na R {(2k + ) π 2, k Z}; funkce cotg je spojitá na R {(kπ, k Z}. (iv) Funkce a je spojitá na R. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 73 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 74 / 90 (i) 0 = 0, tedy f () = je spojitá na R. Ze spojitosti operací (V.22) vyplývá spojitost P() na R. (ii) f () = P() Q(), pak f je spojitá na R {α : Q(α) = 0}. (iii) Pro f () = sin potřebujeme dokázat, že 0 (sin sin 0 ) = 0. (sin sin 0 ) = 2 0 (cos }{{ 2 } ohraničená (iv) 0 (a a 0 ) = 0 a 0 (a 0 }{{} ) = 0. sin 0 2 } {{ } 0 ) = 0. Věta 24 Necht f je spojitá a rostoucí (klesající) na itervalu I, pak inverzní funkce f je také spojitá a rostoucí (klesající) na f (I ) = {y R : I, f () = y}. Předpokládejme, že f je rostoucí (pro klesající postupujeme obdobně). Tvrzení o monotonii f bylo dokázáno už dříve, stačí tedy dokázat spojitost. Necht y 0 f (I ). Potřebujeme dokázat, že ke ε > 0 δ > 0: y O δ (y 0 ) f (y) O ε (f (y 0 )). Tuto konstrukci lze provést záměnou ε a δ v definici spojitosti funkce f v bodě 0 = f (y 0 ), tj. v definici 0 f () = f ( 0 ). c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 75 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 76 / 90

19 Věta 25 (. Weierstrassova věta) Necht funkce f je na uzavřeném intervalu [a, b] spojitá. Pak je na tomto intervalu ohraničená, tj. eistuje M 0: f () M [a, b], neboli f ([a, b]) je ohraničená množina. Sporem předpokládejme, že f není shora ohraničená (pro ohraničenost zdola by se postupovalo obdobně), tj. n N n takové, že f ( n ) > n. Věta 26 (2. Weierstrassova věta) Necht funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], dále necht M = sup{f (), [a, b]} a m = inf{f (), [a, b]}. Pak eistují čísla, 2 taková, že f ( ) = M, f ( 2 ) = m. Tedy spojitá funkce nabývá na uzavřeném intervalu své největší a nejmenší hodnoty. Posloupnost n [a, b], tzn. že je ohraničená a podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty eistuje vybraná konvergentní podposloupnost nk c [a, b].ze spojitosti f plyne f ( nk ) f (c) a současně f ( nk ) > n k. Spor posloupnost nemůže jít současně ke konstantě a do nekonečna. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 77 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 78 / 90 Dokážeme pro M (pro m analogicky).podle definice suprema ε > 0 [a, b] : f () > M ε a M f (). ε = [a, b] : M f ( ) > M ε, ε 2 = 2 2 [a, b] : M f ( 2 ) > M ε 2, Posloupnost n je ohraničená, tedy (podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty) eistuje vybraná konvergentní podposloupnost, tj. nk Funkce f je spojitá, pak podle věty 2 k c [a, b]. f ( n k ) = f (c) a současně M f ( nk ) > M, k 2 n. ε n = 2 n n [a, b] : M f ( n ) > M ε n. Výsledkem konstrukce je posloupnost n [a, b]: M f ( n ) > M 2 n. tj. k f ( nk ) = M a tedy f (c) = M. Bod c je proto hledaným bodem, v němž funkce nabývá hodnotu M. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 79 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 80 / 90

20 Věta 27 (. Bolzanova věta) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a v krajních bodech intervalu nabývá hodnot s opačným znaménkem (f (a) f (b) < 0). Pak eistuje číslo c (a, b) takové, že f (c) = 0. Použijeme metodu půlení intervalů. Necht (a, b). Pak nastává jedna z následujících možností. f ( ) = 0 c = 2 f ( ) 0, pak alespoň jeden z intervalů [a, ], [, b] má funkce f v krajních bodech opačné znaménko zvoĺıme 2 z tohoto intervalu. f ( 2 ) = 0 c = 2 2 f ( 2 ) 0, pak alespoň jeden z intervalů... Tuto konstrukci opakujeme a bud po konečném počtu kroků najdeme c : f (c) = 0, nebo je výsledkem posloupnost vnořených uzavřených intervalů I I 2 I n = [a n, b n ] s opačnými znaménky v krajních bodech. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 8 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 82 / 90 Tedy b n a n 0, pak (dle principu vnořených intervalů)!c n N I n, tj. c = a n a c = b n. Věta 28 (2. Bolzanova věta) Necht funkce f je spojitá na intervalu [a, b] a Ze spojitosti plyne M = sup{f (), [a, b]}, m = inf{f (), [a, b]}. f (a n ) = f (c) }{{}}{{} <0 0 f (b n ) = f (c) }{{}}{{} >0 0 f (c) 0 f (c) 0 f (c) = 0. Pak y [m, M] c [a, b] : f (c) = y. Tj. spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 83 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 84 / 90

21 Pokud y = M, nebo y = m, tvrzení plyne z 2. Weierstrassovy věty. Pokud y (m, M), pak uvažujme funkci g() = f () y. Necht, 2 [a, b] jsou taková, že f ( ) = m, f ( 2 ) = M, pak g( ) = m y < 0, g( 2 ) = M y > 0. Funkce g je spojitá a podle. Bolzanovy věty eistuje číslo c: g(c) = 0, tedy f (c) = y. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 85 / 90 Poznámka Důsledek spojitý obraz spojitého je spojitý f ([a, b]) = [m, M]. Předpoklad spojitosti na uzavřeném intervalu [a, b] nelze zeslabit, např. nahradit spojitostní na (a, b): f () = je na (0, ) spojitá, ale ne omezená. Polynom P() lichého stupně má aspoň jeden reálný kořen. P() =, musí protnout osu. P() = (nebo obráceně). Metoda půlení intervalů = numerické řešení rovnice f () = 0. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 86 / 90 Body nespojitosti Rozlišujeme následující typy bodů nespojitosti. (a) Odstranitelná nespojitost: Eistuje vlastní ita 0 f () = L, ale L f ( 0 ). (f ( 0 ) nemusí být ani definována.) (b) Nespojitost prvního druhu (skok): Eistují obě vlastní jednostranné ity f () = L a 0 + f () = L 2, ale L L 2. 0 (c) Nespojitost druhého druhu: Aspoň jedna jednostranná ita neeistuje, nebo je nevlastní. Spojité dodefinování Má-li funkce f v bodě 0 odstranitelnou nespojitost a 0 f () = L, můžeme ji v tomto bodě spojitě dodefinovat jako { L, = 0, f () = f (), D(f ) { 0 }. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 87 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 88 / 90

22 Příklad 20 { sin f () = 0 0 = 0 sin Funkce není spojitá v bodě = 0, nebot 0 odstranitelná nespojitost. Příklad 2 f () = arctg Funkce má skok v = 0. = f (0), = 0 je Příklad 22 { sin f () = 0 0 = 0 Limita 0 sin neeistuje, tedy = 0 je nespojitost druhého druhu. Příklad 23 f () = e / Jedna jednostranná ita je nevlastní, tedy = 0 je bod nespojitosti druhého druhu. c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 89 / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 90 / 90