Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
|
|
- Włodzimierz Kuczyński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek
2 Obsah
3 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y. Separací proměnných převedeme rovnici na tvar dy dx = tg x tg y cos y sin y dy = sin x cos x dx a substitucemi u = sin y, v = cos x dostaneme po integrování ln u = ln v + ln C, neboli sin y = C cos x. (xy + x)dx + (y x y)dy = 0 Teorie (obecný integrál). + y = C( x ) 3. xyy = x x + y = ln Cx 4. y tg x y = a y = C sin x a 5. xydx + (x + )dy = 0 y = C(x + )e x 6. y + dx = xydy ln x = C + y + ; x = 0 7. e y ( + x )dy x( + e y )dx = 0 + e y = C( + x ) 8. (x )y + xy = 0, y(0) = y{ln( x ) + } = 9. y sin x = y ln y, y( π ) = e y = e tg x 0. sin y cos xdy = cos y sin xdx, y(0) = π 4 cos x = cos y. y cotg x + y =, y( π 3 ) = 0 y = 4 cos x Řešení pomocí webmathematicy 3
4 0. Rovnice umožnující přechod k separaci proměnných. Příklad : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = 3 + (x + y). Substitucí x + y = u, + y = u převedeme rovnici na tvar u = 3 + u du dx = u u. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u u du = dx, neboli u ln u = x C a přejdeme k původním proměnným 3x + y + ln x y = C. Teorie Příklad 3 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (x + y + ) dx + (x + y ) dy = 0. Substitucí x + y = u, dx + dy = du převedeme rovnici na tvar (u + ) dx + (u )(du dx) = 0 (3 u) dx + (u ) du = 0. Separaci proměnných a integrováním dostaneme u 3 u du + dx = C, neboli u 5 ln u 3 + x = C a přejdeme k původním proměnným x + y + 5 ln x + y 3 = C. 4. y y = x 3 x + y = Ce x 5. y = sin(x y) 6. y = 4x + y 7. y = cos(x y ) 8. y + x + y = x + y x + C = cotg( y x + π 4 ) 4x + y ln( 4x + y + ) = x + C y = x arcotg( C x ) + kπ; k Z x + C = u + 3 ln u 8 3 ln(u + ) u = + x + y webmathematica 4
5 Příklad 9 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = x + xy xy Substitucí y = ux, y = u x + u převedeme rovnici na tvar. Teorie u x + u = x + xux xux Integrováním dostaneme u + du = ln u + + (u + ) u + a přejdeme k původním proměnným 0. y = x+y x y. y = xy x y u du (u + ) = dx x. = ln x + C ln y x + + y = ln x + C ln x + y + x + x x + y = C. arcotg yx = ln C x + y x + y = Cy. xy y = x + y x = C + Cy) 3. (3y + 3xy + x )dx = (x + xy)dy 4. (x + y )y = xy (x + y) = Cx 3 e x x+y y x = Cy, y = 0 5. xy = y cos ln y x ln Cx = cotg( ln y x ) y = xe kπ, k Z 6. y + x + y xy = 0, y() = 0 y = x 7. (xy y) arcotg y x = x, y() = 0 x + y = e y x arcotg y x 8. (y 3x )dy + xydx = 0, y(0) = 9. y = y xy x y +xy x, y() = y 3 = y x y = x webmathematica 5
6 0.3 Variace konstant Příklad 30 : Metodou variace konstanty řešte diferenciální rovnici y cos x + y = tg x. Teorie Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici metodou separace proměnných y cos x + y = 0 ln y + tg x = ln C y = Ce tgx. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y = C(x)e tgx. Po dosazení do původní rovnice dostaneme (C (x)e tgx + C(x)e tgx cos x ) cos x + C(x)e tgx = tg x. tedy C (x)e tgx cos x = tg x C(x) = e tgx (tgx ) + K. Obecné řešení rovnice má tvar y = Ce tgx + tg x =. 3. xy y = x 4 y = Cx + x 4 3. xy + y + = 0 y = Cx 33. xy + (x + )y = 3x e x xy = (x 3 + C)e x 34. (xy + e x )dx xdy = 0 y = e x (ln x + C) 35. y = x(y x cos x) y = x(c + sin x) 36. (xy ) ln x = y y = C ln x ln x 37. y sin x + y cos x = y = sin x + C cos x 38. (e y x)y = x = e y + Ce y 39. y = y 3x y x = Cy 3 + y 40. y = x sin y+ sin y x = 8 sin y cos + y Ce 4. y + 3y x = x 3, y() = 4. y xy =, y(0) = 0 y = x + 3 x y = e x x 0 e t dt 43. xy y = sin x cos x, y je omezená pro y = cos x 44. x y xy = x cos x 3 sin x, y 0 pro x y = sin x x 45. ( + x ) ln( + x )y xy = ln( + x ) x arcotg x y = arcotg x y π pro x 6 webmathematica
7 0.4 Bernoulliova rovnice Příklad 46 : Převodem na lineární diferenciální rovnici vyřešte Substitucí z = y z = yy x y y = x y. dostaneme Teorie xy y y = x xz z = x. Vyřešíme lineární rovnici. hom. rovnice. part. řešení xz z = 0 x C x = x z h = C x C = ln x z p = ln x x 3. obecné řešení z = C x + ln(x ) x y = C x + ln(x ) x. 47. y + y = y e x y(e x + Ce x ) =, y = xy x y = 4y y = x 4 ln Cx, y = xy + y + x 5 y 3 e x = 0 y = x 4 (e x + C), y = ( + x )y = xy + x y y = +x (C x + x ln(x + x + )) webmathematica 7
8 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Systémy funkcí Příklad 5 : Máme rozhodnout o lineární závislosti nebo nezávislosti funkcí, x, x na intervalu I = (, ). Teorie Budeme zkoumat, kdy x I nastane rovnost c + c x + c 3 x = 0. Postupně pro x = 0 dostaneme c = 0, pak pro x = a x = dostaneme c + c 3 = 0 a c + c 3 = 0. Odtud plyne c = 0, c 3 = 0. Podle definice jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Wronskián daných funkcí je W (x) = x x 0 x 0 0 = 0. Tedy i podle věty 0.4 jsou funkce, x, x lineárně nezávislé. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti následujících funkcí 5.,, x, x 53. e x, xe x, x e x 54. 5, cos x, sin x závislé nezávislé závislé 55. cos x, cos(x + ), cos(x ) závislé 56., arcsin x, arccos x závislé 57. cos x, sin x, cos x nezávislé Najděte Wronskián funkcí 58., x 59. e x, xe x 60., cos x, cos x 6. 4, sin x, cos x 6. e 3x sin x, e 3x cos x e x 8 sin 3 x 0 e 6x webmathematica 8
9 . Eulerova rovnice Řešení Eulerovy rovnice x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a 0 y = 0, kde a 0,..., a n R hledáme ve tvaru y(x) = x λ, (popř. x λ ln x,..., x λ ln k x) λ C. Příklad 63 : Dosazením funkce y(x) = x λ do rovnice x y 4xy + 6y = 0 Teorie dostaneme x λ(λ )x λ 4xλx λ + 6x λ = 0, tedy (λ 5λ + 6) x λ = 0. Tato rovnost je splněna (při x 0) pro kořeny λ =, λ = 3, uvedeného polynomu. Funkce y (x) = x, y (x) = x 3 tvoří fundamentální systém dané rovnice a její obecné řešení má tvar y = C x + C x 3. Příklad 64 : Podobně při řešení rovnice x y 3xy + 4y = 0 dostaneme λ 4λ + 4 = 0 λ, = a fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi y (x) = x, y (x) = x ln x. Obecné řešení má tedy tvar y = C x + C x ln x. Příklad 65 : Řešení rovnice x y + 3xy + y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = x λ. Po dosazení do rovnice dostaneme λ + λ + = 0 λ = + i, λ = i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y (x) = x +i, y (x) = x i nebo y (x) = x cos(ln x), y (x) = x sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C x cos(ln x) + C sin(ln x). x 66. x y 3xy y = 0 y = C x C x x 3 y + x y = 0 y = C + C x + C 3 x ln x 68. x y + 5xy + 3y = 0 y = C x + C x x y + 7xy + 8y = 0 y = C x + C x x 3 y 6y = 0 y = C x 3 + C cos( ln x) + C 3 sin( ln x) 7. x y xy + y = 0 ; y() =, y () = y = x 9 webmathematica
10 .3 Rovnice s konstantními koeficienty Příklad 7 : koeficienty Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními y y y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = e λx (popř. xe λx,..., x k e λx ), kde číselný parametr λ je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) λ λ + = 0. Tedy λ = 4, λ = 3, fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi e 4x, e 3x a obecné řešení rovnice má tvar Příklad 73 : Rovnice y(x) = C e 4x + C e 3x. y 4y + 4y = 0 Teorie má charakteristickou rovnici λ 4λ + 4 = 0 λ, =. Fundamentální systém rovnice je nyní tvořen funkcemi y (x) = e x, y (x) = x e x a obecné řešení rovnice má tvar y = C e x + C x e x. Příklad 74 : K rovnici y + 4y = 0 přísluší charakteristická rovnice λ + 4 = 0 s kořeny λ = i, λ = i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y (x) = e ix, y (x) = e ix nebo y (x) = cos x, y (x) = sin x. Obecné řešení má tvar y(x) = C cos x + C sin x. 75. y y y + y = 0 ; y(0) =, y (0) =, y (0) = 3 y = e x ( + x) 76. y 4y + 3y = 0 ; y(0) = 6, y (0) = 0 y = 4e x + e 3x 77. y + 6y + y + 6y = 0 y = C e x + C e x + C 3 e 3x 78. y (6) + y (5) + y (4) = 0 y = C + C x + C 3 x + C 4 x 3 + e x (C 5 + C 6 x) 79. 4y 8y + 5y = 0 y = e x (C cos x + C sin x ) 80. y 8y = 0 y = C e x + e x (C cos 3x + C 3 sin 3x 8. y (4) +4y +0y +y +5y = 0 y = (C + C x)e x + (C 3 cos x + C 4 sin x)e x 8. y y + y = 0; y(0) = 0, y (0) = y = e x sin x 83. y y + 3y = 0; y(0) =, y (0) = 3 y = e x (cos x + sin x) 0 webmathematica
11 .4 Metoda snižování řádu Pokud známe jedno řešení y (x) homogenní rovnice, pak další partikulární řešení hledáme ve tvaru y(x) = y (x) z(x). Teorie Příklad 84 : Rovnice (sin x cos x) y sin x y + (cos x + sin x) y = 0 má jedno řešení y = e x. Pro druhé řešení y(x) = e x z(x), platí y = e x (z + z ), y = e x (z + z + z ) a po dosazení do původní rovnice dostaneme (sin x cos x) e x (z + z + z ) sin x e x (z + z ) + (cos x + sin x) e x z = 0 (sin x cos x) (z + z ) sin x z = 0 (u = z ) (sin x cos x) u cos x u = 0 (sin x cos x) du = cos x u dx u du = cos x sin x cos x dx ; vypočteme integrál vpravo cos x sin x cos x dx = cos x sin x cos x dx = cos x sin x + cos x + sin x dx = sin x cos x { } v = sin x cos x = dx+ dv = (cos x + sin x) dx v dv = x +ln sin x cos x +C ; tedy ln u = x + ln sin x cos x +Ĉ u = Ce x (sin x cos x) (= z ) z = Ce x ( sin x) y = e x Ce x ( sin x) = C sin x a obecné řešení má tvar y = C e x + C sin x. Nalezněte obecné řešení následujících rovnic, jestliže znáte partikulární řešení 85. ( x )y xy + 4 y = 0 ; y = + x y = C + x + C x 86. x (x+)y y = 0 ; y = + x y = C ( + x ) + C ( x + x+ x ln x + ) 87. xy + y xy = 0 ; y = ex x xy = C e x + C e x 88. y ( + tg x)y = 0 ; y = tg x y = C tg x + C ( + x tg x) 89. (e x + )y y e x y = 0 ; y = e x y = C (e x ) + C e x x (x )y + (4x 3)xy xy + y = 0 y = C x + C x + C 3(x ln x + ) y = x, y = x 9. (x x + 3)y (x + )y + xy y = 0 y = C x + C e x + C 3 (x ) y = x, y = e x webmathematica
12 .5 Nehomogenní rovnice Teorie Příklad 9 : Metodou variace konstant vyřešíme rovnici y + 9y = sin 3x.. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y + 9y = 0 (viz metoda charakteristické rovnice, příklad (??)) λ + 9 = 0 y h (x) = C cos 3x + C sin 3x.. Partikulární řešení y p nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru Funkce y p (x) = C (x) cos 3x + C (x) sin 3x. C (x), C (x) splňují soustavu algebraických rovnic: C cos 3x + C sin 3x = 0 3C cos 3x sin 3x + 3C sin 3x = 0, 3C sin 3x + 3C cos 3x = sin 3x 3C sin 3x cos 3x + 3C cos 3x = cos 3x sin 3x. Odtud po sečtení rovnic dostaneme 3C cos 3x = sin 3x C = 9 ln sin 3x a z první rovnice plyne C cos 3x cos 3x + 3 = 0 C = x 3. Partikulární řešení má tvar y p (x) = x 3 cos x + ln sin 3x sin 3x Obecným řešením úlohy je funkce y(x) = y h (x) + y p (x) = C cos 3x + C sin 3x x 3 cos 3x + ln sin 3x sin 3x. 9 Řešte rovnice 93. y y + y = ex x y = e x (x ln x + C x + C ) 94. y y + y = ex x + y = e x (C x + C ln x + + x arcotg x) 95. y + 3y + y = e x + y = (e x + e x ) ln(e x + ) + C e x + C e x 96. y + y + cotg x = 0 y = + C cos x + C sin x + cos(x) ln tg x Vyřešte rovnici y y = f(x), jestliže 97. f(x) = ex +e y = e x (x + C x ) (e x + ) ln(e x + ) + C 98. f(x) = e x e y x = ex (arcsin(e x ) + e x e x + C ) + 3 ( e x ) 3 + C 99. f(x) = e x cos(e x ) y = C e x cos(e x ) + C webmathematica
13 .6 Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení Teorie Příklad 00 : Pomocí odhadu tvaru partikulárníbo řešení vyřešíme rovnici y 5y = (x ).. Charakteristická rovnice λ 5λ = 0, má kořeny λ = 0, λ = 5 a homogenní řešení má tvar y h = C + C e 5x.. Z rovnosti (x ) = e ax (P n (x) cos bx + Q m (x) sin bx) vyplývá a = 0, b = 0, n =, m = 0 k =, R (x) = a x + a x + a 0, kde a, a, a 0 jsou konstanty. Kritické číslo a + i b = 0 je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, tedy r =. Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = x (a x + a x + a 0 ), potom y p(x) = a x + a x + a 0 + x (a x + a ) = 3a x + a x + a 0, y p(x) = 6a x + a. Po dosazení y p, y p do dané rovnice dostaneme: 6a x + a 5 (3a x + a x + a 0 ) = (x ), 5a x + (6a 0a )x + a 5a 0 = x x +, a partikulárním řešením je funkce a = 5, a = 4 5, = a 0 = 7 5, y p (x) = x ( 5 x x ). 3. Obecné řešení má tvar y(x) = C + C xe 5x + x ( 5 x x ). Metodou odhadu řešte rovnice 0. y + y = 4xe x y = C cos x + C sin x + (x )e x 0. y y = e x x y = C e x + C e x + xe x + x y + y y = 3xe x y = C e x + C e x + ( x x 3 )ex 04. y 3y + y = sin x y = C e x + C e x + sin x cos x y + y = 4 sin x y = C cos x + C sin x x cos x 06. y 3y + y = x cos x y =C e x +C e x +( x 0 00 ) cos x (3x ) sin x 3
14 07. y + 3y 4y = e 4x + xe x y = C e x + C e 4x x 5 e 4x ( x )e x 08. y 9y = e 3x cos x y = C e 3x + C e 3x + e 3x ( 6 37 sin x 37 cos x) 09. y y + y = 6xe x y = (C + C x + x 3 )e x 0. y + y = x sin x y = (C x 4 ) cos x + (C + x 4 ) sin x Řešte rovnice s počáteční podmínkou. y + 9y = 6e 3x ; y(0) = y (0) = 0 y = 3 (cos 3x + sin 3x e3x ). y 4y + 5y = x e x ; y(0) =, y (0) = 3 y =e x (cos x sin x)+(x+) e x 3. y +6y +9y = 0 sin x ; y(0) = y (0) = 0 y = (x+ 3 5 )e 3x + 5 (4 sin x 3 cos x) 4. y + 4y = sin x ; y(0) = y (0) = y = cos x + 3 (sin x + sin x) 5. y + y = cos x ; y(0) =, y (0) = 0 y = cos x + x sin x Odhadněte partikulární řešení následujících rovnic 6. y 7y = (x ) A x 3 + A x + A 3 x 7. y + 7x = e 7x Axe 7x 8. y 8y + 6y = (0 x)e 4x (A x 3 + A x )e 4x 9. y + 5y = cos 5x x(a cos 5x + B sin 5x) 0. y + 4y + 8y = e x (sin x + cos x) (A cos x + B sin x)e x. y 4y + 8y = e x (sin x cos x) x(a cos x + B sin x)e x. y (4) y = 4 Ax 3 3. y + y + y = (x + ) sin x + (x 4x) cos x (Ax + Bx + C) cos x+ +(Dx + Ex + F ) sin x 4. y y = e x sin x + x e x (A cos x + B sin x)+ +x(cx + Dx + E) 5. y (4) 4y + 8y 8y + 4y = e x (x cos x + sin x) x e x {(Ax + B) cos x+ +(Cx + D) sin x} 6. y (5) y (4) +8y 8y +6y 6y = 3 cos x+ x (A cos x + B sin x) + C 4 y = 3 cos x + webmathematica
15 .7 Okrajové úlohy Teorie Příklad 7 : Pomocí charakteristické rovnice a dosazením okrajových podmínek vyřešíme smíšenou okrajovou úlohu y y 8y = 0, x (0, ), y(0) =, y () = 0. Charakteristická rovnice je λ λ 8 = 0 λ = 4, λ = a obecným řešením úlohy je funkce y(x) = C e 4x + C e x. Z okrajových podmínek dostaneme = C + C, C = +e, 6 0 = 4C e 4 C e, C = e6 +e. 6 Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = +e 6 e 4x + e6 +e 6 e x. Řešte následující okrajové úlohy 8. y y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = y = sinh x sinh π 9. y + y = 0 ; y(0) = 0, y(π) = nemá řešení 30. y k y = 0 ; y(0) = v, y(x 0 ) = v y = sinh kx 0 (v sinh k(x 0 x)+v sinh kx) 3. y α y = 0 ; y(0) = v, y (x 0 ) = 0 y = v cosh(x 0 x) cosh αx 0 3. y α sy = 0 ; y(0) = s, y (x 0 ) = 0 s < 0; y = cos α s(x 0 x) s cos α sx 0 pro x 0 = (k+)π α s nemá řešení; s > 0; y = cosh α s(x 0 x) 33. y λ y = 0 ; λ 0, y(0) = 0, y() = λ 34. y λ y = 0 ; λ, y(0) = 0, y () = λ 35. y λ y = 0 ; λ, y (0) = 0, y() = λ pro x 0 (k+)π α s s cosh α sx 0 ; k =,, 3,... y = sinh λx λ sinh λ y = sinh λx λ cosh λ y = cosh λx λ cosh λ 36. xy + y = 0; y() = αy () ; y(x) je omezená pro x y = y (4) λ 4 y = 0; y(0) = y (0) = 0, y(π) = y (π) = 0 y = C sin kx pro λ = k k =,, 3,... y = 0 pro ostatní λ webmathematica 5
16 .8 Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce Teorie Příklad 38 : Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy y + λy = 0, y (0) = 0, y (π) = 0. Řešení hledáme ve tvaru y(x) = e kx, potom charakteristická rovnice má tvar k + λ = 0 k = ± λ. Pro λ < 0 je k = λ, k = λ a obecné řešení má tvar y(x) = C e λx + C e λx y (x) = λ C e λx λ C e λx. Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C, C } 0 = C + C, 0 = λ C e λπ λ C e λπ C = 0, C = 0 y = 0., Pro λ = 0 má obecné řešení tvar y(x) = C + C x y (x) = C a z okrajových podmínek dostaneme Pro λ > 0 má obecné řešení tvar C R, C = 0 y = C. y(x) = C cos λx+c sin λx y (x) = λ C sin λx+ λ C cos λx. Z okrajových podmínek plyne 0 = C, 0 = C sin λπ, Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel } λπ = nπ, n N. {, 4, 9, 6,...} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {cos x, cos x, cos 3x,...}. Najděte vlastní čísla a vlastní funkce úlohy y + λy = 0, je-li 39. x < 0, π >, y(0) = y (π) = 0 λ K = (K ) 4, y K = sin K x, K N 6
17 40. x < 0, π >, y (0) = y(π) = 0 4. x <, >, y() = y() = 0 4. x <, >, y() = y () = x <, >, y () = y() = x <, >, y () = y () = x < a, b >, y(a) = y(b) = x < a, b >, y(a) = y (b) = x < a, b >, y (a) = y(b) = 0 λ K = (K ) 4, y K = cos K x, K N λk = K π, y K = sin Kπx, K N λ K = (K ) π 4, y K = cos K πx, K N λ K = (K ) π 4, y K = sin k πx, K N λk = K π, y K = cos Kπx; K = 0,,,... λ K = K π λ K = (K ) π 4(b a) λ K = (K ) π 4(b a) (b a), y K = sin Kπ(x a) b a, K N, y K = sin (K )(x a)π (b a), K N, y K = cos (K )(x a)π (b a), K N Najděte vlastní čísla a vlastní funkce následujících okrajových úloh 48. y + y + λy = 0 ; x < 0, l >, y(0) = y(l) = 0 λ K = + K π l yk = e x sin Kπx l, K N 49. x y + xy + λy = 0 ; x <, l >, y() = y(l) = 0 λ K = K π Kπ ln x ln l, y ln l K =sin 50. y + (λ + )y = 0 λk = K π, K N x < 0, >, y(0)=y (0)=0, y() y ()=0 y K =sin(arcotg(kπ)+kπx) 5. y + x y +λy = 0 ; y(l)=0, y je omezená pro x 0 λ K = K π l, y K = Kπx x sin l 7
18 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic Teorie Příklad 5 : Určíme fundamentální matici a obecné řešení homogenní soustavy Matice soustavy je y = y + y y = 3y + 4y. A = ( 3 4 a její vlastní čísla dostaneme z rovnice ( ) λ det(λi A)=det =(λ )(λ 4) 3 = 0 λ 3 λ 4 =, λ =5. K vlastním číslům určíme vlastní vektory: λ = : ( ) (I A) h = 3 3 λ = 5 : ( ) (5I A) 3 h = 3 Fundamentální matice má tedy tvar (( ) ( Y(x)= e x, 3 a obecné řešení má tvar y(x) = Y(x) C = C ( ( h h ( h h ) ) = 0 h = (, ) T, ) = 0 h = (, 3) T. ) ) ( ) e e 5x x e = 5x e x 3 e 5x ) ( ) e x + C e 5x = C 3 h e x + C h e 5x.. Soustavy homogenních diferenciálních rovnic 53. y = y y y = C e x + C e 3x y = y 4y y = C e x C e 3x 54. y + y 8y = 0 y = C e 3x 4C e 3x y y y = 0 y = C e 3x + C e 3x 55. y = y + y y = e x (C cos x + C sin x y = 3y y y = e x {(C + C ) cos x + (C C ) sin x} 8
19 56. y = y 3y y = e x (C cos 3x + C sin 3x) y = 3y + y y = e x (C sin 3x C cos 3x) 57. y + y + 5y = 0 y = (C C ) cos x (C + C ) sin x y y y = 0 y = C cos x + C sin x 58. y = y + y y = (C + C x)e 3x y = 4y y y = (C + C + C x)e 3x 59. y = 3y y y = (C + C x)e x y = 4y y y = (C C + C x)e x 60. y = y + y 3 y y = C e x + C e x + C 3 e x y = y + y y 3 y 3 = y y y = C e x 3C 3 e x y3 = C e x + C e x 5C 3 e x 6. y = 3y y + y 3 y = C e x + C e x + C 3 e 5x y = y + y + y 3 y = C e x C e x + C 3 e 5x y 3 = 4y y + 4y 3 y3 = C e x 3C e x + 3C 3 e 5x 6. y = 4y y 3 3y y = C e x + C 3 e x y = y 3 + y y = C e x + C e x y 3 = 6y 6y + 5y 3 y3 = C e x C 3 e x 63. y = y y y 3 y = e x (C sin x + C 3 cos x) y = y + y y = e x (C C cos x + C 3 sin x) y 3 = 3y + y 3 y 3 = e x ( C 3C 3 cos x + 3C 3 sin x 64. y = 4y y y 3 y = C e x + (C + C 3 )e 3x y = y + y y 3 y = C e x + C e 3x y 3 = y y + y 3 y3 = C e x + C 3 e 3x 65. y = y y + y 3 y = (C + C x)e x + C 3 e x y = y + y y 3 y = (C C + C x)e x y 3 = y 3 y y3 = (C C + C x)e x + C 3 e x 66. y = 4y y y = (C + C x + C 3 x )e x y = 3y + y y 3 y = {C C + (C C 3 )x + C 3 x }e x y 3 = y + y 3 y3 = {C C + C 3 + (C C 3 )x + C 3 x }e x 9
20 . Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic Příklad 67 : Řešení nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic hledáme metodou variace konstant. y = y + y + e x y = 3y + 4y. Nejdříve vyřešíme homogenní soustavu (viz příklad??). Řešení homogenní soustavy má tvar ( ) ( ) y(x) = Y(x) C = C e x + C e 5x, 3 kde Y(x) je fundamentální matice soustavy a C je vektor konstant. Partikulární řešení dané rovnice hledáme ve tvaru y p (x) = Y(x) C(x), kde C(x) je vektor funkcí. Po dosazení do soustavy dostaneme Y (x) C(x) + Y(x) C (x) = AY(x) C(x) + b(x). Protože Y = AY, tak platí Odtud vyplývá C (x) ( ) e x + C (x) ( 3 ) e 5x = ( ) e x 0 C e x + C e 5x = e x C e x + 3C e 5x = 0 4C e 5x = e x C = 6 e 4x 4C e x = 3e x C = 3 4 x a partikulární řešení soustavy má tvar ( y p (x) = 3 4 x y(x) = y(x) h + y p (x) = C ( ) e x + 6 Obecným řešením nehomogenní soustavy je funkce ) ( e x +C 3 ( ) e x 3 ) e 5x x ( ) ( ) e x + 6 e 3 x. 68. y = y + e x y = C e x + C e x + xe x x y = y + x y = C e x C e x + (x )e x x 69. y = y 5 cos x y = C e x + C e x sin x cos x y = y + y y = C e x C e x + sin x + 3 cos x 0
21 70. y = 4y + y e x y = C e x + C e 3x + (x + )e x y = y y y = C e x C e 3x xe x 7. y = y y + y = (C + C x)e x 3 y = 3y y y = (C + C + C x)e x 7. y = 5y 3y + e 3x y = C e x + 3C e 4x e x 4e 3x y = y + y + 5e x y = C e x + C e 4x e x e 3x 73. y = y 4y y = 4C e x + C e x 4xe x y = y 3y + 3e x y = C e x + C e x (x )e x 74. y = y y y = C e 3x + 3x + x + C y = y y + 8x y = C e 3x + 6x x + C 75. y = y + y + 6xe x y = C e x + C e 3x (x + 3)e x y = y y y = C e x C e 3x (8x + 6)e x 76. y = y y y = (C + C x x )e x y = y + e x y = {C C + (C + )x x }e x 77. y = y y + 8x y = C cos x C sin x + x + y = 5y y y = (C + C ) cos x + (C C ) sin x + 0x 78. y = y y y = y y 5e x sin x y = C e x + C e 3x + e x ( cos x sin x) y = C e x C e 3x + e x (3 cos x + sin x) 79. y = y + tg x y = C cos x + C sin x + tg x y = y + tg x y = C sin x + C cos x y = 4y y + e x y = C + C e x + e x ln e x y = 6y + 3y 3 e x y = C 3C e x 3e x ln e x 8. y = y y + cos x y =(C +x) cos x+(c +x) sin x+(cos x sin x) ln cos x y = y y y =(C C ) cos x+(c +C ) sin x+ cos x ln cos x +x sin x 8. y = y + y y 3 x + y = C e x + C sin x + C 3 cos x y = y y = x C e x + C cos x C 3 sin x y 3 = y + y y 3 x + y 3 = + C sin x + C 3 cos x Najděte partikulární řešení následujících soustav diferenciálních rovnic 83. y = y + y 3 ; y (0) = 0, y 3 (0) = y = e x e 3x y 3 = y + 4y 3 y3 = e x e 3x
22 84. y = 3y y 3 ; y (0) =, y 3 (0) = 5 y 3 = 0y 4y 3 y = e x y3 = 5e x 85. y = 3y + 8y ; y (0) = 6, y (0) = y = (e x + e x ) y = 3y y y = e x e x 86. y = e x y 5y ; y (0) = 9 900, y (0) = 900 y = 4 5 ex 36 ex y = e x + y 3y y = 5 ex ex 87. y = y ; y (0) = y (0) = y = cos x + sin x y = y y = cos x sin x 88. y = 4y 5y ; y (0) = 0, y (0) = y = ( x)e x y = y y = xe x 89. y = y + y + x ; y (0) = 7 9, y (0) = 5 9 y = 4 3 x 9 7 y = y y + x y = 3 x y = y + 5y ; y (0) =, y (0) = y = (sin x cos x)e x y = 3y y y = e x cos x 9. y = 6y y 6x x + 3 ; y (0) =, y (0) = 3 y = e x + e 3x + x + x y = y x y = e x + x + webmathematica
23 3 Posloupnosti a řady funkcí 3. Posloupnosti funkcí Teorie Příklad 9 : Budeme vyšetřovat konvergenci posloupnosti f n (x) = n n +x. Pro bodovou konvergenci platí lim n n n + x = lim n n ( ) =. + x n Při hledání množiny M, na které posloupnost konverguje stejnoměrně nás zajímá rozdíl n n +x = n n x n +x = x n +x. lim sup n x M n Zjistíme, kdy platí x n + x = 0. Pokud je M omezená množina, pak K x M : x K a platí Jestliže M = R, pak sup x M x n + x K n x n +x lim n sup x M = lim n sup x M x n + x = 0. x n +x =. Daná posloupnost tedy konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, na celé reálné ose konverguje bodově. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci posloupnosti {f n (x)}, je-li 93. f n (x) = x n x (, bodově, x + ε, ε stejn. 94. f n (x) = arcotg nx n+x D(f ) = (, ), x (, + ) stejn. 95. f n (x) = x n + x n+ x, bodově, x, ε stejn. 96. f n (x) = x n x n x (, bodově, x + ε, stejn. 97. f n (x) = nx +n x fn 0 pro x R, ale f n ( n ) = 98. f n (x) = x +n x x R stejn. 99. f n (x) = x + n x x 0, + stejn. 00. f n (x) = e n(x ) x (, ) bodově, x (, ε stejn. 0. f n (x) = arctg nx x (, ) bodově, x (, ε ε, + ) stejn. 0. f n (x) = x arcotg nx x 0, + ) bodově i stejn. 3
24 3. Funkční řady Příklad 03 : Máme najít obor konvergence řady ln n x. n= Teorie Použijeme odmocninové kritérium a zkoumáme, pro která x R platí nerovnost n ln n x = ln x <, což je splněno pro e < x < e. Pro x = e dostaneme řadu ( ) n, která diverguje; podobně pro x = e řada n opět diverguje. Obor n= konvergence dané řady je tedy interval ( e, e). Najděte obor konvergence řady f n (x), je-li n= n= 04. f n (x) = ( )n n+ ( x +x )n 0, ) 05. f n (x) = +x n x R \, 06. f n (x) = xn +x n x R \ {, } 07. f n (x) = ( )n+ x n 08. f n (x) = e nx x > x > 0 cos nx e nx 09. f n (x) = x > 0 0. f n (x) = (5 x ) n < x < 6 ln x. f n (x) = n x > e. f n (x) = n e nx x R \ {0} 3. f n (x) = xn x n Dokažte stejnoměrnou konvergenci 4. f n (x) = x +n 5. f n (x) = ( )n x+ n 6. f n (x) = x +n 4 x 7. f n (x) = sin nx 3 n4 +x 4 8. f n (x) = nx +n 5 x f n (x), je-li n= 4 x < x R x 0 x R x R x R
25 9. f n (x) = arcotg x x +n 3 x R 0. f n (x) = cos nx n. f n (x) = x sin(n x) +n 3 x 4 x R x 0. f n (x) = (arcotg x x +n ) x 0 3. f n (x) = sin( x n ) sin nx x +4n 4. f n (x) = n n! (x n + x n ) x R x 5. f n (x) = x e nx ε > 0, x ε, ) webmathematica 5
26 3.3 Mocniné řady Příklad 6 : Po substituci y = x 3 konvergence R = lim sup n 5n n diverguje; podobně pro y = 5 řady n= Najdeme obor konvergence řady dostaneme mocninnou řadu Teorie 5 n x 3n. n= 5 n y n, která má poloměr n= = 5. Pro y = 5 dostaneme řadu ( ) n, která n= řada diverguje. Obor konvergence původní n= 5 n x 3n je tedy interval ( 3 5, 3 5 ). Najděte poloměr konvergence řady n= n= 3+( ) n n n x n n n! n x n n 3 n (n 3 + )x n n= Najděte poloměr konvergence řady a n x n, je-li 30. a n = n 3. a n = n! 3. a n = (+i)n n n n=0 4 e a n = α n (0 < α < ) 34. a n = an n + bn n (a, b > 0) n 35. a n = 3 n a n = a n +b n (a, b > 0) 37. a n = ( ) n { n (n!) (n+)! }p 38. a n = ( )n n! ( n e )n min( a, b ) min(a, b) p 6
27 39. a n = a(a+)...(a+n )b(b+)...(b+n ) n!c(c+)...(c+n ) Najděte obor konvergence mocninné řady a n (x x 0 ) n, je-li 40. a n = n n, x 0 = < 0, > 4. a n = ( n 3n+ )n, x 0 = ( 7, ) 4. a n = ( )n n+, x 0 = 0 (, > 43. a n = 3 n3 n, x 0 = <, 4) n 44. a n = +3 n 3 +4n, x 0 = ( 3, ) 45. a n = 5n +( 3) n n+, x 0 = 0 n=0 < 5, 5 ) 46. a n = n+ ln 3n 3n+, x 0 = <, 0 > 47. a n = 3 n+ 3 n n, x 0 = 3 < 4, > 48. a n = n a, x 0 = 0, a > 0, a <, ) n 49. a n = 3, x n +n+ 0 = < 0, > Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninou řadu 50. f(x) = e x 5. f(x) = cos x 5. f(x) = sin 3x sin 5x 53. f(x) = sin 3 x 54. f(x) = x (+x) 55. f(x) = 5x 4 x+ 7 n= webmathematica n=0 ( ) n x n n! ; x R + ( ) n n (n)! xn ; x R n= ( ) n n (n)! ( 4n )x n ; x R n= ( ) n+ 3(3 n ) 4(n+)! x n+ ; x R ( ) n (n + )x n+ ; x (, ) n=0 + n= 7( ) n x n ; x (, ) n
28 56. f(x) = x x 3 +x 57. f(x) = ln x 58. f(x) = ln 3 x +3x 59. f(x) = x 4 n=0 +( ) n 3 n+ 3 x n ; x (, ) n+ n=0 x n+ n+ ; x (, ) ln 3 + {( 3 )n ( 3 )n } xn n ; x ( 3, 3 > n= 60. f(x) = + x + x + 6. f(x) = ( x ) 3 + n= n= (n )!! (n)!! x n ; x (, ) ( ) n (n 3)!! (n)!! x n ; x (, ) 6. f(x) = x x x f(x) = ( + x ) arcotg x x + Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninnou řadu 64. f(x) = ln(x + + x ) x f(x) = arcsin x 66. f(x) = arcotg x+3 x f(x) = x x 68. f(x) = 69. f(x) = 70. f(x) = 4 n= n= x + π 4 + n=0 n= (n+)!! (n)!! x n ; x (, ) (n )!! n! x n+ ; x (, ) ( ) n+ 4n xn+ ; x <, > ( ) n (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > n=0 n= n=0 +x+x 3 n=0 x cos α x x cos α+x ln +x x + arcotg x (n )!! x n+ (n)!! n+ ; x <, > ( ) n+ 3 n+ x n+ n+ ; x < 3, 3 > 5 {( 5+ ) n+ + ( ) n ( 5 ) n+ }; x < 5 8 sin π(n+) 3 x n ; x (, ) x n cos nα; x (, ) n= x 4n+ 4n+ ; x (, ) n=0
29 7. f(x) = x arcotg x ln + x ( ) n+ xn n(n ) ; x <, > n= 7. f(x) = x arcsin x + x + x f(x) = ln(+x) +x 74. f(x) = ex x 75. f(x) = arcotg x 76. f(x) = e x sin x 77. f(x) = e x cos x n= (n )!! x n+ (n+)!! n+ ; x <, > ( ) n ( n )xn ; x (, ) n= u k! xn ; x (, ) n=0 k=0 ( ) n ( n )xn n ; x <, > n= n sin( nπ 4 ) n! x n ; x R 78. f(x) = ( arcsin x x ) Pomocí rozvoje v mocninnou řadu vypočtěte integrály x 79. e t dt x 0 x 0 x 0 sin t t dt dt t 4 t dt +t x x + n= n= n= n=0 n=0 n=0 ( ) n (n )!!x n+3 n= n cos( nπ 4 ) n! x n ; x R n+ (n!) (n+)! x n ; x ( ) n n!(n+) xn+ ; x R ( ) n x n+ (n+)(n+)! ; x R (n )!!x 4n+ (n)!!(4n+) ; x (, ) (n)!!(n+3) ; x <, > webmathematica 9
30 4 Fourierovy řady Příklad 83 : Stanovíme Fourierovu řadu funkce f(x) = podle základního trigonometrického systému, tj. ve tvaru + a 0 + (a k cos kx + b k sin kx). Vypočteme koeficienty a k, b k : a 0 = π π 0 b k = π k= dξ =, a k = π π π 0 Teorie { pro 0 x π 0 pro π x 0 cos kξ dξ = k sin kξπ 0, k =,,..., sin kξ dξ = k cos kξπ 0 = k ( )k, k =,,.... Výsledek píšeme ve tvaru: 0 s(x) = + π k= sin(k )x k Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu ( π, π), je-li 84. f(x) = x Výsledku využijte k sečtení řady π (n+) n=0 85. f(x) = π x Výsledku využijte k sečtení řady n= 3 π f(x) = sign x Výsledku využijte k sečtení řady 87. f(x) = sin ax a Z 88. f(x) = cos ax a Z 89. f(x) = e ax a 0 π sinh aπ{ a + n= 30 n=0 4 n=0 n, ( ) n+ n n= n= ( ) n n+ sin πa π sin πa π { ( ) n+ n 4 π n= a + n= cos(n+)x (n+) ; π 8 cos nx; π 6, π sin(n )x n ; π 4 n+ n sin nx ( ) n a n a cos nx ( ) a n } n= ( ) n a +n (a cos nx n sin nx)}
31 90. f(x) = q sin x q cos x+q q < Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li q n sin nx; zaved te e ix = z n= 9. f(x) = π x, x (0, π) 9. f(x) = x, x (a, a + l) 93. f(x) = x, x (0, π) 94. f(x) = e ax, x ( h, h) a + l + l π n= n= sin nx n nπa π (sin l cos nπx l cos nπa l sin nπx l ) 4π n= n= sinh ah{ ah + ( ) 95. f(x) = x cos x, x ( π, π ) 6 π 96. f(x) = e x, x (0, π) e π π { + cos nx n 4π n= sin nx n nπx nπx n ah cos( h ) n sin( h ) (ah) +(πn) } n= cos nx ( +n n= ( ) n+ n (4n ) sin nx n sin nx +n )} Najděte Fourierovu řadu funkcí f n (x) = sin n x a g n (x) = cos n x pro n =, 3, 4, f (x) = cos x g (x) = + cos x 98. f 3 (x) = 3 4 sin x 4 sin 3x g3 (x) = 3 4 cos x + 4 cos 3x 99. f 4 (x) = 3 4 cos x + 8 cos 4x g4 (x) = cos x + 8 cos 4x 300. f 5 (x) = 5 8 sin x sin 3x 6 sin 5x g 5 (x) = 5 8 cos x cos 3x + 6 cos 5x Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li 30. f(x) = π 4 x, x (0, π) (kosinová řada) π 30. f(x) = x, x (0, π) (sinová řada) π n=0 cos(n+)x (n+) ( ) n+ { π n + n ( ) n } sin nx n= 303. f(x) = sin ax, a Z, x (0, π) (kosinová řada) cos(n+)x a (n+) pro a sudé n=0 a + cos nx a 4n }pro a liché 4a π 4a π { n= 3
32 304. f(x) = cos ax, a Z, x (0, π) (sinová řada) 4 π n=0 8 π sin(n+)x a (n+) n= n sin nx a 4n pro a sudé pro a liché 305. f(x) = x( π x), x (0, π ) podle soustavy {cos(n )x}, n N (n ) { + 4( )n (n )π } cos(n )x n= {sin(n )x}, n N { ( )n (n ) + 8 (n ) } sin(n )x 3 n= Integrací Fourierova rozvoje funkce f(x) = x najděte rozvoj funkcí x, x 3, x 4, x 5 pro x ( π, π) 306. f(x) = x n+ sin nx ( ) 307. f(x) = x π f(x) = x 3 ( ) n 6 π n 309. f(x) = x 4 π ( ) n+ 6 π n n f(x) = x 5 ( ) n+ 0 0π n +π 4 n 4 n= n= n= n= n= n 5 n cos nx n ( ) n n 3 sin nx cos nx sin nx webmathematica 3
33 5 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných Teorie Příklad 3 : Je dána funkce f předpisem f(x, y) = x+y x +y, f(0, 0) = 0 a body M = 3, 4, Q =,. a) Rozhodněte o spojitosti funkce f. b) Stanovte diferenciál funkce f v bodě M. c) Stanovte derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru v = (, ) T. d) Stanovte směr a velikost největšího spádu funkce f v bodě Q. Řešení: a) Funkce f je spojitá na R \ 0, 0 (polynomy jsou spojité funkce na R ). Musíme rozhodnout pouze o spojitosti v bodě 0, 0, tzn. ověřujeme zda platí x+y x +y = 0. lim x,y 0,0 Přechodem k polárním souřadnicím x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostaneme x+y x +y = lim r 0 ϕ 0,π) tedy neexistuje a daná funkce není spojitá. lim x,y 0,0 b) Pro parciální derivace funkce f platí f y = x +y (x+y)y (x +y ) = x y yx r(cos ϕ+sin ϕ) r. Poslední limita závisí na volbě úhlu ϕ, (x +y ). V bodě M = 3, 4 je f x a diferenciál funkce f v bodě M je df(m, h) = 7 65 f x = x +y (x+y)x (x +y ) = x +y yx (x +y ), 7 (M) = 65, f y = 3 65 dx dy. c) Derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru ( v ) = (, ) T vypočítáme pomocí vztahu f v (M)= grad f(m) v = 7 65, 3 65 (, ) T = d) ( Směr největšího ) spádu funkce f v bodě Q je dán vektorem grad f(q) = 7 5, 5, jeho velikost je v = Příklad 3 : Spočítejte derivaci funkce f = x3 +xy y, f(0, 0) = 0 v bodě 0, 0 ve směru vektoru v = (, ) T. t f f(0,0+t(,)) f(0,0) 3 +t t t Z definice dostaneme v (0, 0)= lim t 0 t = lim 0 t 0 t =. Parciální derivace f f(0,0+t(,0)) f(0,0) x (0, 0)= lim t 0 t Rozhodněte o spojitosti fce f v bodě 0, 0: 33 = lim t 0 t 3 +t t neexistuje.
34 33. f(x, y) = x +y xy, f(0, 0) = 0 není spojitá 34. f(x, y) = x +sin y y, f(0, 0) = 0 není spojitá 35. f(x, y) = sin(xy ) x +y, f(0, 0) = 0 je spojitá 36. f(x, y) = ( + sin(x y)) ln x y, f(0, 0) = je spojitá Rozhodněte, zda fce f v bodě 0, 0 a ve směru (, ) roste nebo klesá 37. f(x, y) = (x + y ) sin x, fce roste 38. f(x, y) = tg y e x, fce klesá 39. f(x, y) = x y e y, fce je konstantní 30. f(x, y) = ln y + x + cos x, fce klesá Najděte diferenciál funkce f v bodech 0, 0 a, 3. f(x, y) = df xy, f(0, 0) = 0 = 0 dx + 0 dy, df = x +y dx + 3 dy 3. f(x, y) = (y + ) tg πx, f(0, 0) = 0 df = π dx + 0 dy, neexistuje webmathematica 34
35 6 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina Teorie Příklad 33 : Je dána funkce F předpisem F (x, y) = x y 3 + x 3y a body A = 3,, B =,. a) Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodů A, B. Případně určete derivaci y v příslušném bodě. b) Stanovte vektor normály a tečnou rovinu ke grafu funkce F v bodě grafu C =,,?. c) Stanovte tečnu k hladině funkce F procházející bodem D =, 0. a) Ověříme předpoklady věty o implicitní funkci:. Funkce F (x, y) = x y 3 + x 3y je spojitá na R, proto i spojitá na okolí bodů A, B.. Rovnosti F (A) = 0, F (B) = 0 jsou splněny. 3. Parciální derivace F y = F y (A) = 4 0, F y (B) = 0. F (x,y) y = 3x y 3 je spojitá na R a platí Na okolí bodů A tedy existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0; derivace řešení je y (3) = F x(a) F y (A) = xy3 + 3x y 3 = 4 (3, ) 4 = 6. O řešení rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodu B nemůžeme na základě věty o implicitní funkci nic říci. b) Vektor normály n ke grafu funkce F (x, y) = x y 3 + x 3y v bodě grafu C =,, F (, ) =,, 5 je n = (F x (, ), F y (, ), ) = (6, 9, ) a tečná rovina je dána rovnicí z 5 = 6(x ) + 9(y ). c) Tečna k hladině funkce F procházející bodem D =, 0 je dána rovnicí 0 = F x (D)(x ) + F y (D)(y 0) 0 = (x ) 3 y. Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F (x, y) = 0 na okolí bodů A, B, C. Případně určete derivaci y v příslušném bodě. 34. F (x, y) = 3 x + y xy x 3y, A = 0, 3, B =,, C = 3, 0. A : y (0) = 5 3, B : Neex., C : Neex. 35
36 35. F (x, y) = x + 4y x + 6y + 3, A =,, B =,, C =, 0. A : Neex, B : y (0) = 0, C : Neex. 36. Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) implicitně definované rovnicí z 3 3xyz 8 = 0 v bodě A = 0, 3. A : zx = 3, z y = 0, 37. Ke grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : 3x + y z = 0. 3(x ) + (y ) (z 3) = K nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y, z) = x + y + 3z, ϱ : x + 4y + 6z = 0. (x ) + 4(y ) + 6(z ) = 0, (x + ) + 4(y + ) + 6(z + ) = 0 webmathematica 36
37 7 Extrémy funkcí více proměnných Teorie 7. Optimalizační úlohy bez vazeb Příklad 39 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x xy + y x + y. Stacionární bod vypočteme ze soustavy x y = 0 grad f(x 0, y 0 ) = (0, 0) x x + y + = 0 0, y 0 =, 0. ( ) Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) =. Potom Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu ( ) M, 0 = > 0 λ = > 0 bod minima M = 5 > 0 λ = 3 > 0 Příklad 330 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x + 6xy + y. Stacionární bod vypočteme ze soustavy x + 6y = 0 grad f(x 0, y 0 ) = (0, 0) x 6x + 4y = 0 0, y 0 = 0, 0. ( ) 6 Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) =. Potom 6 4 Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu ( ) 6 M = > 0 λ 0, 0 = > M = 8 < 0 λ = 3 sedlový bod 37 < 0 Najděte lokální extrémy funkce f 33. f(x, y) = x 4 + y 4 x xy y,,, min, 0, 0 sedlo 33. f(x, y) = x + xy + y 4 ln x 0 ln y, min 333. f(x, y) = x + y + z + x + 4y 6z,, 3 min 334. f(x, y) = xy + z(a x y 3z) a 5, a 0, a 0 sedlo 0, ±, ±, 0 sedla,,, (e) (e) 335. f(x, y) = xy ln(x + y ), min,,,, max (e) (e) (e) (e) (e) (e) 37
38 7. Optimalizační úlohy s vazbami Teorie Příklad 336 : Stanovte extrém funkce f(x, y) = x 3 + xy + 5x + y na přípustné množině V určené podmínkou h(x, y) = x + y = 0. Vázané extrémy budeme nejdříve hledat pomocí Lagrangeovy funkce Najdeme její stacionární body L(x, y, λ) = x 3 + xy + 5x + y + λ(x + y). L x = 3x + y + 0x + λ = 0 L y = xy + y + λ = 0 L λ = x + y = 0 Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je } x = 0, y = 0, λ = 0 x =, y =, λ = 4 d L = d f + λd h = (6x + 0) dx + 4y dxdy + (x + ) dy a po dosazení vazební podmínky dostaneme dh = dx + dy = 0 d L = (8x 4y + ) dx. V bodě 0, 0, 0 je d L = dx > 0, tedy bod 0, 0 je bodem minima funkce f vzhledem k množině V, v bodě,, 4 je d L = dx < 0, tedy bod, je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. Tento příklad lze také řešit přechodem k jedné proměnné. Z vazby x + y = 0 plyne y = x a po dosazení do původní funkce dostaneme f(x, y) = f(x) = x 3 + x 3 + 5x + x = x 3 + 6x. Pro tuto funkci je f (x) = 6x + x a stacionární body jsou x = 0, x =. Druhá derivace má tvar f (x) = x + a f (0) = > 0 v bodě 0, 0 je minimum funkce f vzhledem k množině V, podobně f ( ) = < 0 v bodě, je maximum funkce f vzhledem k množině V. Nyní budeme hledat extrém stejné funkce f(x, y) = x 3 + xy + 5x + y na přípustné množině V určené podmínkou g(x, y) = x + y 0. Kromě extrému na 38
39 hranici množiny V ( V = V ), ted hledáme i extrémy uvnitř množiny V (zde g(x, y) < 0). Tedy grad f = 0, neboli f x = 3x + y + 0x = 0 f y = xy + y = 0 } x = 0, y = 0, x 3 = 0 3, y 3 = 0, x 4 =, y 4 = 7, x 5 =, y 5 = 7. Pouze body 0, 0, 0 3, 0,, 7 patří do množiny V a pro druhý diferenciál funkce f v těchto bodech platí d f(0, 0; h) = (6x + 0) dx + 4y dxdy + (x + ) dy 0,0 = dy > 0, d f( 0 3, 0; h) = 44 3 dx < 0, d f(, 7; h) = 4 dx 4 7 dxdy. Bod 0, 0 je bodem minima funkce f vzhledem k R, tedy i vzhledem k množině V, podobně bod 0 3, 0 je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. V bodě, 7 ve směru (dx, dy) = (, 0) je d f = 4 > 0 a funkce f má v tomto směru minimum, ale ve směru (dx, dy) = (, ) je d f = < 0 a f má v tomto směru maximum. Bod, 7 je tedy sedlovým bodem funkce f. Zbývá rozhodnout bod, V, pro který je λ = 4 > 0 grad f(, ) = 4 grad g(, ), (gradient funkce f směřuje do množiny V ) a funkce f může nabývat pouze minima vzhledem k V, ale vzhledem k hranici V nabývá maxima. Proto v bodě, není extrém funkce f vzhledem k množině V. Příklad 337 : Stanovte extrém funkce f(x, y, z) = xy + yz na přípustné množině V určené podmínkami h (x, y, z)=y+z =0, h (x, y, z)=x +y =0, x 0, y 0, z 0. Vázané extrémy budeme hledat pomocí Lagrangeovy funkce L(x, y, λ) = xy + yz + λ (y + z ) + λ (x + y ). Najdeme její stacionární body L x = y + λ x = 0 λ = y x L y = x + z + λ y + λ = 0 } x + z + ( y x ) y y = 0 x + zx y yx = 0 L z = y + λ = 0 λ = y L λ = z + y = 0 z = y L λ = x + y = 0 x = y x + ( y)x y yx = 0 y + ( y)x y yx = 0 39
40 Odtud ( y ) + ( y)x = 0 ( y)( + y + x) = 0 a protože x 0, y 0, z 0, tak jediný stacionární bod je B =,, a λ =, λ =. Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je d L = λ dx + dxdy + λ dy + dydz a po dosazení vazebních podmínek v bodě B =,, dh = dz + dy = 0 dz = dy, dh = x dx + y dy = 0 dx = dy dostaneme pro λ =, λ = d L = ( 4 4 ) dy < 0 pro dx = dz = dy 0. Tedy bod,, je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V. Najděte lokální extrémy funkce f vzhledem k množině V 338. f(x, y) = x + xy, V : 3x + y = 0, 339. f(x, y) = x + xy, V : 3x y + 0,, 5 min nemá extrém vzhledem k V 340. f(x, y) = x + xy + y, V : 4x + y = 5, 3, 4, 3, 4 max,, 3,, 3 min 34. f(x, y) = x + xy + y, V : 4x + y 5, 3, 4, 3, 4 max,, 3,, 3 min 34. f(x, y) = x y + z, V : x + y + z =, 3, 3, 3 max, 3, 3, 3 min Najděte min. a max. hodnoty funkce f vzhledem k množině V 343. f(x, y) = x + y + z, V : x + y z, min, + max 344. f(x, y) = x + y + 3z, V : x + y + z 00, 0 min, 300 max webmathematica 40
41 8 Vícenásobné integrály Teorie 8. Dvojné integrály Příklad 345 : Máme množinu M = {x, y R : xy, 4y x, y 3}. Vypočtěte y I = x dxdy. M Průsečík funkcí y = x 4, y = x je bod,, tedy y 3 a pro x platí 4y x y. Tudíž I = y 349. y y x y+ x y 6 x x y 4 M 350. M y 3 x dxdy = x+y+ y e x dx dy x (+y) x y dx dy 4y y x y dx dy dy = 3 y 4 + y3 dy = 3 y 8 + y4 4 = e4 + 5 e 0 5 dx dy, kde M je trojúhelník s vrcholy,, 5,, 4, ln ln 6 x dx dy, kde M je dána nerovnostmi x y, 4x + y x + y dx dy, kde M je dána nerovnostmi x y x, x M 35. x y dx dy, M kde M je dána nerovnostmi x + y, x 0, y 0 3 π 6 4
42 8. Trojné integrály Příklad 353 : Máme množinu M = {x, y R 3 : x +y, x +y +z 4}. Vypočtěte objem tělesa M, tj. integrál I = dxdydz. M Přechodem k cylindrickým souřadnicím x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z dostaneme r, z 4 r, ϕ 0, π) a dxdy = r drdϕ, tedy I = 354. M u = 4 r V dz dxdy = du = r dr dx dy dz, = π 0 0 π r 4 r r dz dr dϕ = u du dϕ = π 0 π kde V je dána nerovnostmi x + y z, 0 z 355. xy 3 z (+z ) dx dy dz, V r r dr dϕ = 4 3 u 3 dϕ = π(8 7). kde V je dána nerovnostmi x + y z, 0 x, 0 y 356. x yz 3 dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi 0 x, 0 y x, 0 z xy 357. dx dy dz, V x+y 4+z π ln 5 3 kde V je dána nerovnostmi x + y 3, 0 y, 0 x, 0 z 4 9 ln 358. xy (4+z) dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi x + y 4z x yz dx dy dz, V kde V je dána nerovnostmi 4x +y +z, x 0, y 0, z webmathematica
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowo1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoPeriodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích
Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta
Bardziej szczegółowoIII. Dvojný a trojný integrál
III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht množina bodů nespojitosti funkce f v má míru. Potom f je integrovatelná
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoEnergetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoSpeciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
Bardziej szczegółowoNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 2016-2017 ( ) Numerické metody a statistika 2016-2017 1 / 17 Číslo předmětu: 714-0781/02 Rozsah: 2+2 Hodnocení: 6 kreditů Přednáší: Radek Kučera
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II STUDIJNÍ MATERIÁL Tento studijní materiál byl zpracován s podporou projektu OPVK ESF Rozvoj a modernizace doktorského studijního
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowo