kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)"

Włodzimierz Kowal
5 lat temu
Przeglądów:

1 TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1

2 Pružný poloprostor (1) vychází z předpokladů teorie pružnosti pružná oblast ohraničená jen z jedné strany ( povrch poloprostoru ) homogenní, obvykle izotropní materiál: E, ν 2

3 Pružný poloprostor (2) P Válcový souřadný systém (r, ϕ, z): z R θ θ R σ z cos(θ) = z R (1) (2) σ r τrz σ R σθ = 0 τ rz σ r sin(θ) = r R r 2 = x 2 + y 2 (3) R 2 = r 2 + z 2 (4) R 2 = x 2 + y 2 + z 2 (5) r r 3

4 Pružný poloprostor (3) Pro zatížení osamělým břemenem (J. Boussinesque): σ z = 2 P 3 π R 5 (6) σ r = P [ 1 2 µ 2 π R(R + z) 3 z r2 ] R 5 (7) σ e ta = P [ ] z (1 1 µ) 2 π R 3 1 (8) R(R + z) τ rz = 3 P 2 π z 3 z 2 r R 5 (9) 4

5 Pružný poloprostor (4) Pro zatížení osamělým břemenem (J. Boussinesque): u = w = P (1 + µ) 2 π E P (1 + µ) 2 π E [ r z r (1 2 µ) R3 R(R + z) [ 2(1 µ) + z2 ] R R 3 ] (10) (11) (12) Pro povrch poloprostoru (z = 0): w pp = R (1 µ)2 π E r (13) 5

6 Pružný poloprostor (5) Zatížení na ploše obdélníka: p C D AB σ z M MC σ z B Označme: s = L = L 2 x + L 2 y (14) s 2 + z 2 (15) Ly D Lx A 6

7 TÉMA 5: Pružný poloprostor (6) Zatížení na ploše obdélníka: σ z = p 2 π w = (1 µ2 )p π E [ ( ) ( Lx L y z 1 L L 2 x + z Lx + L y L 2 y + z 2 + arctan z L ( ( ) ( ) ) Ly + s Lx + s L x ln + L y ln. L x L y ) ] (16) 7

8 Kontaktní modely podloží (1) Winklerův model: p(x,y) q(x, y) = C w(x, y) (17) C... součinitel stlačitelnosti podkladu [ N m 3]. q(x,y) 8

9 Kontaktní modely podloží (2) Pastěrnakův model: p(x,y) q(x,y) q(x, y) = C 1 w(x, y) C 2 w(x, y) x (18) C 1... součinitel stlačitelnosti podkladu [ N m 3], C 2... zohledňuje vliv smyku. 9

10 Nosník na Winklerově podkladu Rovnováha na elementu prutu: M V q V +dv M+dM V (V + dv ) + p dx q dx = 0, (19) tedy: V = dv dx Dle Winklera platí: = p q. (20) p = K w. (21) p [K] = kn m 3 (22) 10

11 Nosník na Winkler. podkladu (2) Ze Schwedlerovy věty: kombinací (20) a (23): tedy: d dx V = dm dx, (23) ( dm dx ) = p q, (24) d 2 M = p q. (25) dx2 11

12 Nosník na Winkler. podkladu (3) Vztah mezi momentem a průhybem: kombinací (25) a (26): d2 dx 2 a po úpravě a uvážení, že p = K w (21) : M = EI d2 w dx 2, (26) ( d 2 ) w dx 2 EI = p q, (27) EI d4 w + K w = q, (28) dx4 Což je rovnice ohybové čáry nosníku na pružném podkladu. 12

13 Nosník na Winklerově podkladu výpočet metodou sítí (1) Protože analytické vyřešení rovnice (35) je velmi obtížné, je zpravidla třeba použít nějakou numerickou metodu. Například diferenční metodu neboli metodu sítí. V metodě sítí se derivace přibližně nahrazují diferencemi ve vybraných bodech ( síti ) řešené oblasti. V každém z těchto bodů se sestaví rovnice a úloha se pak převede na řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. Rovnice jsou vždy lineární, protože hledané funkce v diferencích vystupuje jen ve funkčních hodnotách. 13

14 Nosník na Winklerově podkladu výpočet metodou sítí (2) Derivace funkce f = w(x): f w = lim δx 0 x se dá přibližně aproximovat diferencí: (29) w t f approx = w x = w i+1 w i x i+1 x i (30) i 1 w w t approx i i+1 w nebo f approx = w i+1 w i 1 = w i+1 w i 1. (31) x i+1 x i 1 2 x x i 1 x i x i+1 x 14

15 Nosník na Winklerově podkladu výpočet metodou sítí (3) Analogicky je možné postupovat i u derivací vyšších řádů: f approx = w i+1 w i 1, 2 x f approx = w i+2 w i 2 x w i w i 2 2 x 2 x = w i+2 2 w i + w i 2 2 x 2. (32) A nakonec: f iv approx = 4 w i+4 w i w i 4w i 2 + w i 4 4 x 4. (33) Nebo jednodušší tvar (jinak odvozený): f iv approx = 4 w i+2 w i w i 4w i 2 + w i 4 x 4. (34) 15

16 Nosník na Winklerově podkladu výpočet metodou sítí (4) Přepíšeme rovnici (35) pomocí diferenčních vztahů: EI d4 w dx 4 + K w = q, Tedy: EI x 4 (w i+4 4 w i w i 4w i 2 + w i 4 ) + K x w i = q x 16

17 TÉMA 6: Nelineární mechanika typy nelinearit: konstrukční geometrická fyzikální metody řešení nelineárních úloh. 17

18 Typy nelinearit konstrukční nelinearita např. jednostranné vazby nebo prvky působící jen v tahu (jen v tlaku), fyzikální nelinearita vlastnosti materiálu nejsou lineární pružné (nelineární pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení. 18

19 Konstrukční nelinearita F F jednostranné vazby vazba působí jen v určitých situacích (např. v tlaku), využívá se mj. řešení kontaktních úloh (ve spojení s Winklerovým nebo jiným modelem podloží), vyžaduje iterační řešení. 19

20 Jednostranné vazby (1) 20

21 Jednostranné vazby (2) Model: ufem CS: CART Time: 1 y z x podlozka

22 Jednostranné vazby (3) Reakce (klasické vazby): ufem Results Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

23 Jednostranné vazby (4) Deformovaný tvar (klasické vazby): ufem Result: s_1 Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

24 Jednostranné vazby (5) Napětí σ x (klasické vazby): ufem Result: s_x Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

25 Jednostranné vazby (6) Napětí σ y (klasické vazby): ufem Result: s_y Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+03 y z x podlozka

26 Jednostranné vazby (7) Napětí σ 1 (klasické vazby): ufem Result: s_1 Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

27 Jednostranné vazby (8) Deformovaný tvar (jednostranné vazby): ufem CS: CART Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

28 Jednostranné vazby (9) Napětí σ x (jednostranné vazby): ufem Result: s_x Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

29 Jednostranné vazby (10) Napětí σ y (jednostranné vazby): ufem Result: s_y Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+03 y z x podlozka

30 Jednostranné vazby (11) Napětí σ 1 (jednostranné vazby): ufem Result: s_1 Set: 1: e e e e e e e e e e e e e e e e e+02 y z x podlozka

Podobne dokumenty

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,