Matematika 2, vzorová písemka 1

Transkrypt

1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter

2 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět jak dále, postupně si odkrývejte řešení.

3 - vždy 6 příkladů po 0 bodech: Neurčitý integrál, integrace racionální funkce. 2 Určitý integrál, substituční metoda, metoda per partes. 3 Aplikace určitého integrálu. 4 Funkce více proměnných, definiční obor, extrémy, tečná rovina. 5 Diferenciální rovnice. řádu. 6 Lineární diferenciální rovnice 2. (3.) řádu.. Hodnocení: Celkem lze získat 6 0 = 60 bodů.

4 vzorové písemky č. Vypočtěte integrál 2x+4 2 Vypočtěte integrál e (x+)(x 2 +2x+2) dx x +ln x dx. 3 Vypočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky 2 (ex + e x ) od x = 2 do x 2 = 2 kolem osy x.

5 vzorové písemky č. - pokračování 4 Určete a načrtněte definiční obor funkce f (x, y) = ln (x y) + 4 x 2 y 2. 5 Řešte diferenciální rovnici y + xy = x. 6 Řešte diferenciální rovnici 4y 8y + 3y = 4e x 2.

6 Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny.

7 Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny. D = = 4 < 0 Nejsou reálné kořeny. Krok 3: Rozložíme racionální funkci na součet parciálních zlomků

8 Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny. D = = 4 < 0 Nejsou reálné kořeny. Krok 3: Rozložíme racionální funkci na součet parciálních zlomků 2x + 4 (x + )(x 2 + 2x + 2) = A B(2x + 2) + x + (x 2 + 2x + 2) + C (x 2 + 2x + 2)

9 Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C

10 Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C 2x + 4 = A(x 2 + 2x + 2) + B(2x + 2)(x + ) + C(x + )

11 Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C 2x + 4 = A(x 2 + 2x + 2) + B(2x + 2)(x + ) + C(x + ) Krok 5: Dosadíme kořen x = 2( ) + 4 = A( + 2( ) + 2) + B 0 + C 0 2 = A

12 Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4.

13 Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4. koef. u x 2 : 0 = A + 2B koef. u x 0 : 4 = 2A + 2B + C Krok 7: Jelikož A = 2, snadno vypočteme B a C:

14 Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4. koef. u x 2 : 0 = A + 2B koef. u x 0 : 4 = 2A + 2B + C Krok 7: Jelikož A = 2, snadno vypočteme B a C: B = C = 2

15 Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele.

16 Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele. Krok 9: 2 x + dx = 2 ln x + + C

17 Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele. Krok 9: 2 x + dx = 2 ln x + + C Krok 0: (2x + 2) (x 2 + 2x + 2) dx = ln(x 2 + 2x + 2) + C 2

18 Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx

19 Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx Krok 2: Jelikož je diskriminant kvadratického polynomu ve jmenovateli záporný (viz krok 2.), integrací dostaneme funkci arctg()

20 Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx Krok 2: Jelikož je diskriminant kvadratického polynomu ve jmenovateli záporný (viz krok 2.), integrací dostaneme funkci arctg() 2 x 2 + 2x + 2 dx = 2 = 2 (x + ) dx = (x + ) 2 + dx = 2arctg(x + ) + C 3

21 Příklad - výpočet Krok 3: Výsledek bude 2x + 4 (x + )(x 2 + 2x + 2) dx = = 2 ln x + ln(x 2 + 2x + 2) + 2arctg(x + ) + C

22 Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál e x dx budeme řešit substitucí. +ln x

23 Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál e e x + ln x dx = x dx budeme řešit substitucí. +ln x substituce + ln x = u x dx = du = e 2

24 Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál Krok 2: = 2 e e x + ln x dx = x dx budeme řešit substitucí. +ln x substituce + ln x = u x dx = du = e 2 [ ] u 2 2 du = = 2 ( 2 ) = u 2

25 Příklad 3 - obsah rotační plochy Křivka y = 2 (ex + e x ) = cosh x je řetězovka. Vytvoří ji řetěz (lano), které je zavěšeno na svých koncích v gravitačním poli. Rotací řetězovky kolem osy x vzniká plocha nazývaná katenoid. Plochu vytvoří např. mýdlová blána natažená mezi dvě souosé kružnice.

26 Příklad 3 - výpočet Krok : rotační plochy vypočteme ze vztahu b S = 2π a y ( + y 2 )dx

27 Příklad 3 - výpočet Krok : rotační plochy vypočteme ze vztahu b S = 2π a y ( + y 2 )dx Krok 2: y = 2 (ex + e x ) = 2 (ex e x )

28 Příklad 3 - výpočet Krok 3: Vypočteme výraz ( + y 2 ) ( + y 2 ) = + 4 (ex e x ) 2 = 4 (4 + e2x 2e x e x + e 2x ) = = 4 (e2x e 2x ) = 4 (ex + e x ) 2

29 Příklad 3 - výpočet Krok 3: Vypočteme výraz ( + y 2 ) ( + y 2 ) = + 4 (ex e x ) 2 = 4 (4 + e2x 2e x e x + e 2x ) = Krok 4: b S = 2π a = 4 (e2x e 2x ) = 4 (ex + e x ) 2 2 y ( + y 2 )dx = 2π 2 2 (ex + e x ) 4 (ex + e x ) 2 =

30 Příklad 3 - výpočet Krok 5: 2 = 2π 2 4 (ex + e x ) 2 dx = π (e x + e x ) 2 dx =

31 Příklad 3 - výpočet Krok 5: 2 = 2π 2 4 (ex + e x ) 2 dx = π Krok 6: Integrovaná funkce je sudá, proto = 2 π (e x + e x ) 2 dx = π 0 (e x + e x ) 2 dx = (e 2x e 2x )dx =

32 Příklad 3 - výpočet Krok 7: [ e 2x = π 2 ] 2 [ e 2x e 4 + 2x = π e 4 2 ( ] 2 ) = = π 2 ( e e 4)

33 Příklad 4 - definiční obor funkce dvou proměnných Krok : Určíme podmínky pro jednotlivé části funkce f (x, y) = ln (x y) + 4 x 2 y 2

34 Příklad 4 - definiční obor funkce dvou proměnných Krok : Určíme podmínky pro jednotlivé části funkce Krok 2: Podmínky ln(x y) 0 2 (x y) > 0 f (x, y) = 3 (4 x 2 y 2 ) 0 ln (x y) + 4 x 2 y 2

35 Příklad 4 -. podmínka Grafické vyjádření: Krok 3: ln(x y) 0 (x y) y x

36 Příklad 4-2. podmínka Grafické vyjádření: Krok 4: (x y) > 0 x > y

37 Příklad 4-3. podmínka Grafické vyjádření: Krok 5: (4 x 2 y 2 ) 0 x 2 + y 2 4

38 Příklad 4 - souhrn Krok 6: D f = { [x, y] R 2 : y x, x > y, x 2 + y 2 4 } Grafické vyjádření:

39 Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice

40 Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice Jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu Krok 2: Řešíme rovnici bez pravé strany y + xy = 0

41 Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice Jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu Krok 2: Řešíme rovnici bez pravé strany y + xy = 0 y = xy dy y y y = x = xdx ln y = x C

42 Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2

43 Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2 Krok 3: Použijeme metodu variace konstant y = C(x)e x2 2

44 Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2 Krok 3: Použijeme metodu variace konstant y = C(x)e x2 2 y = C (x)e x2 2 + C(x)e x2 2 ( x) Krok 4: Dosadíme do zadané rovnice

45 Příklad 5 - výpočet C (x)e x2 2 + C(x)e x2 2 ( x) + xc(x)e x2 2 ( x) = x Krok 5: Integrujeme C (x)e x2 2 = x C (x) = xe x2 2

46 Příklad 5 - výpočet C(x) = = xe x2 2 dx substituce x 2 2 = t xdx = dt = e t dt = e t + K = e x2 2 + K Krok 6: Dosadíme za C(x) (v kroku 3):

47 Příklad 5 - výpočet C(x) = = xe x2 2 dx substituce x 2 2 = t xdx = dt = e t dt = e t + K = e x2 2 + K Krok 6: Dosadíme za C(x) (v kroku 3): ( ) y = C(x)e x2 2 = e x2 2 + K e x2 2 = + Ke x2 2

48 Příklad 6 - diferenciální rovnice 2. řádu Řešte diferenciální rovnici 2. řádu 4y 8y + 3y = 4e x 2 Krok : Řešíme rovnici bez pravé strany 4y 8y + 3y = 0

49 Příklad 6 - diferenciální rovnice 2. řádu Řešte diferenciální rovnici 2. řádu 4y 8y + 3y = 4e x 2 Krok : Řešíme rovnici bez pravé strany 4y 8y + 3y = 0 Krok 2: Řešíme charakteristickou rovnici 4r 2 8r + 3 = 0

50 Příklad 6 - výpočet r,2 = 8 ± = { Krok 3: rovnice bez pravé strany bude mít tvar

51 Příklad 6 - výpočet r,2 = 8 ± = { Krok 3: rovnice bez pravé strany bude mít tvar y 0 = C e 3 2 x + C 2 e 2 x

52 Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar

53 Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar Y = Axe x 2 Krok 5: Vypočteme Y, Y a dosadíme do zadané rovnice

54 Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar Y = Axe x 2 Krok 5: Vypočteme Y, Y a dosadíme do zadané rovnice Y = Ae x Axe x 2 Y = 2 Ae x Ae x Axe x 2

55 Příklad 6 - výpočet ( 4 2 ) ( ) 2 Ae x Axe x 2 8 Ae x Axe x 2 + 3Axe x x 2 = 4e 2 Krok 7: Vypočteme konstantu A

56 Příklad 6 - výpočet ( 4 2 ) ( ) 2 Ae x Axe x 2 8 Ae x Axe x 2 + 3Axe x x 2 = 4e 2 Krok 7: Vypočteme konstantu A 4A + Ax 8A 4Ax + 3Ax = 4 4A = 4 A =

57 Příklad 6 - výpočet Krok 8: Prtikulární řešení má tedy tvar Y = xe x 2 Krok 9: celé rovnice bude

58 Příklad 6 - výpočet Krok 8: Prtikulární řešení má tedy tvar Y = xe x 2 Krok 9: celé rovnice bude y = y 0 + Y y = C e 3 2 x + C 2 e 2 x xe x 2

59 2 ln x + ln(x 2 + 2x + 2) + 2arctg(x + ) + C ( e e 4) 3 π 2 4 y x, x > y, x 2 + y Ke x2 2 6 C e 3 2 x + C 2 e 2 x xe x 2