Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Transkrypt

1 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme si, jak se zobecňuje pojem derivace funkce jedné proměnné a jaký je pak geometrický význam derivace funkce dvou proměnných Seznámíme se s totálním diferenciálem funkce více proměnných a s implicitními funkcemi a jejich derivacemi Cíle Parciální derivace, parciální derivace vyšších řádů, smíšené parciální derivace, totální diferenciál, tečná rovina, normála, Taylorův polynom, implicitní funkce Předpokládané znalosti Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, tj derivace funkce, geometrický význam derivace funkce v bodě, totální diferenciál funkce jedné proměnné, Taylorův polynom Zavedeme pojem parciální derivace pro funkce dvou proměnných a ukážeme, jak se definuje parciální derivace funkce n-proměnných Podobně jako derivaci funkce jedné proměnné, definujeme parciální derivace funkce více proměnných jako,,jisté limity

2 Definice 511 Řekneme, že funkce z = fx,y) má v bodě A = [x 0,y 0 ] R 2 parciální derivaci prvého řádu) podle x, jestliže existuje vlastní) limita lim h 0 fx 0 + h,y 0 ) fx 0,y 0 ) h Řekneme, že funkce z = fx,y) má v bodě A = [x 0,y 0 ] R 2 parciální derivaci prvého řádu) podle y, jestliže existuje vlastní) limita lim h 0 fx 0,y 0 + h) fx 0,y 0 ) h Všimněme si, že obě limity jsou limity funkce jedné proměnné Počítáme limitu funkce, která závisí pouze na parametru h, jen h se mění Poznámka 1 Obvyklá označení pro parciální derivaci funkce f podle x v bodě A = [x 0,y 0 ] jsou: x 0,y 0 ), x 0,y 0 ), f x x 0,y 0 ), f xx 0,y 0 ), A), A), atd 2 Parciální derivace funkce z = fx,y), tj, resp jsou opět funkcemi y proměnných x,y) se stejným nebo menším definičním oborem 3 Parciální derivaci pro funkci n proměnných definujeme následujícím způsobem: Necht z = fx 1,x 2,,x n ) je funkce n proměnných, A = [ x 1, x 2,, x n ] R n, pak f x 1, x 2, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) f x 1, x 2,, x n ) A) = lim i h 0 h Parciální derivace i je definována jako,,obyčejná derivace funkce podle proměnné x i, a lze tedy očekávat, že pro parciální derivaci budou platit stejná pravidla jako pro derivaci funkce jedné proměnné

3 Věta 511 Necht f : R n D f R, g : R n D f R mají parciální derivaci podle proměnné x i na Q D f D g, i = {1, 2,n},X = [x 1,x 2,x n ] Pak platí: 1 Pravidlo pro derivování součtu resp rozdílu dvou funkcí n-proměnných: fx) ± gx)) = X) ± g X), i i i 2 Pravidlo pro derivování součinu dvou funkcí n-proměnných: i fx) gx)) = i X) gx) + fx) g i X), 3 Pravidlo pro derivování podílu dvou funkcí n-proměnných: i ) fx) = gx) X) gx) fx) g i g 2 X) X) i Jak budeme postupovat při parciálním derivování v konkrétních příkladech? Postupujeme tak, že proměnné, podle kterých se nederivuje, považujeme za konstanty Proměnná, podle které derivujeme, je pak nezávislá proměnná Již víme jaký geometrický význam má derivace funkce jedné proměnné Derivace funkce jedné proměnné v daném bodě je směrnice tečny ke grafu funkce jedné proměnné v tomto bodě Jak to bude vypadat v případě derivací funkcí dvou proměnných, jaký bude jejich geometrický význam? Necht f : R 2 D f R je funkce dvou proměnných x, y Necht σ je rovina daná rovnicí y = y 0 Rovina σ je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou xz xz je dána rovnicí y = 0) Průnikem roviny σ s grafem funkce z = fx,y) je křivka κ Parciální derivace A), A = [x 0,y 0 ], je směrnice tanα) tečny t κ ke křivce κ v bodě A = [x 0,y 0,z 0 = fx 0,y 0 )] Analogicky uvažujme rovinu ν danou rovnicí x = x 0 Rovina ν je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou yz yz je dána rovnicí x = 0) Průnikem roviny ν s grafem funkce z = fx,y) je křivka λ Parciální derivace y A) je směrnice tanβ) tečny t λ ke křivce λ v bodě A, Obr

4 z A=[x 0,y 0,z 0 ] ν σ t λ y 0 y x 0 α t κ κ λ β A=[x 0,y 0 ] x Poznámka Pro jednoduchost bod z definičního oboru funkce f budeme značit velkým písmenem, např A D f Jemu odpovídající bod na grafu funkce f budeme značit tučně, tj A Definice 512 Parciální derivace druhého řádu funkce z = fx, y) jsou definovány vztahy: 2 f 2 = ), 2 f y = 2 y Parciální derivace 2 f y, 2 f y ), y 2 f y = ), y 2 f y = y nazýváme smíšené parciální derivace ) Analogicky definujeme parciální derivace druhého řádu pro funkce více proměnných a také parciální derivace vyšších řádů Pořadí proměnných ve jmenovateli určuje pořadí jednotlivých parciálních derivací

5 Následující Schwarzova věta charakterizuje tzv,,záměnnost smíšených parciálních derivací Věta 512 Jsou-li smíšené parciální derivace 2 f y, 2 f y spojité v bodě A = [x 0,y 0 ], pak jsou si v tomto bodě rovny, tj 2 f y A) = 2 f y A) Poznámka Za obdobných předpokladů věta platí i pro parciální derivace vyšších řádů, také pro funkce více proměnných Např necht 4 u u = fx,y,z) Jsou-li y 2 a 4 u y 2 v bodě [x 0,y 0,z 0 ] spojité, pak jsou si v tomto bodě rovny Řešené úlohy Příklad 511 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y) = 3x 4 y 2 5 arctanx 2 Řešení: Jedná se o funkci dvou proměnných x, y Hledáme tedy parciální derivace a y 1 Nejdříve budeme derivovat zadanou funkci podle x, proměnnou y budeme považovat za konstantu: = 12x3 y x 42x = 12x3 y 2 10x 1 + x 4 2 Derivujeme podle y, nyní x budeme považovat za konstantu: y = 6x4 y Příklad 512 Určete všechny parciální derivace funkce gx,y,z) = 3x 2 + x y x + y ex 2y+3z

6 Řešení: Postupně zadanou funkci derivujeme podle jednotlivých proměnných 1 Derivujeme podle x, proměnné y, z považujeme za konstanty: g 1 x + y) x y) 1 = 6x + e x 2y+3z 1 x + y) 2 2y = 6x + x + y) 2 ex 2y+3z 2 Derivujeme podle y, proměnné x, z považujeme za konstanty: g y = 1 x + y) x y) 1 x + y) 2 e x 2y+3z 2) = 2x x + y) 2 + 2ex 2y+3z 3 Derivujeme podle z, proměnné x, y považujeme za konstanty: g = ex 2y+3z 3 = 3e x 2y+3z Příklad 513 Určete hodnoty všech parciálních derivací funkce f = xe x2 y v bodě A = [1, 1] Řešení: Vypočítáme jednotlivé parciální derivace zadané funkce a určíme jejich funkční hodnotu v bodě A přímým dosazením: 1 Derivujeme podle x, proměnnou y považujeme za konstantu, a poté do derivace funkce f podle x, což je opět funkce proměnných x, y, dosadíme bod A: A) = e x2y + xe x2y 2xy) = e x2y 1 2x 2 y) = 3e A=[1, 1] A=[1, 1] 2 Derivujeme podle y, proměnnou x považujeme za konstantu, a poté do derivace funkce f podle y dosadíme bod A: y A) = xe x2y x 2 ) = x 3 e x2 y = e A=[1, 1] A=[1, 1] Příklad 514 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce z = x 2 y + y3 x

7 Řešení: Nejdříve vypočítáme parciální derivace prvého řádu: = 2xy 4y3 x 5, y = x2 + 3y2 x 4 Derivujeme ještě jednou podle x i podle y funkce, y : 2 f = ) = 2y + 20y3 2 x, 6 2 f y = ) = 6y 2 y y x, 4 2 f y = 2 f y = y ) = 2x 12y2 y x, ) 5 = 2x 12y2 x 5 Příklad 515 Vypočítejte z = y 2 sin x 3 z 2 y, je-li Řešení: Zadanou funkci z budeme postupně derivovat dvakrát podle x a poté podle y: = y2 cos x, 2 z 2 = y2 sin x, 3 z 2 y = 2y sin x Úlohy k samostatnému řešení 1 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y) = sinx 2 + y 2 ) 2 Určetevšechnyparciálníderivace funkce fx,y)=tanx 3 y) v bodě A = [0,π] 3 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y,z) = e xyz +e x+2y+3z +x y +y z 4 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y,z) = sinxcos y + sinx + y) cosy + z) + sinz v bodě A = [0, π 3, π 2 ] 5 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y) = y arcsin x + 2x + 3y) 3 6 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx, y) = v bodě A = [1, 1] x x 2 + y

8 7 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y,z) = x 2 y 3 z 3 + x 4 y 5 xy 7 z z 6 + y 2 z 2 8 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y,z) = arcsiny + x 3 + y 2 + z)e z v bodě A = [2, 1, 0] 2 4 f 9 Vypočtěte parciální derivaci yy funkce fx,y) = 2xey + 3ye x 10 Vypočtěte parciální derivaci fx,y,z) = cos2x) cos4y) cos3z) 5 f y funkce Výsledky úlohy k samostatnému řešení 1 = 2x cosx2 + y 2 ), y = 2y cosx2 + y 2 ) 2 = 3x2 y, = cos 2 x 3 y) y x3, cos 2 x 3 y) A) = 0, A) = 0 y 3 = yzexyz +e x+2y+3z +yx y 1, y = xzexyz +2e x+2y+3z +x y ln x+zy z 1, = xye xyz + 3e x+2y+3z + y z ln y 4 = cos x cos y+cosx+y) cosy+z), y z) sinx + y) siny + z), 3), A) = 3, A) = 3 y = = sin x sin y+cosx+y) cosy+ = sinx + y) siny + z) + cosz, A) = y 2 1 x +3 2x + 3y, = arcsin x+ 9 x y 2 32x + 3y) 1 2, 2 f y 2 = x + 3y) 1 2, 6 = y2 x 2 x 2 +y 2 ) 2, y = 2xy x 2 +y 2 ) 2, 2 f 2 = 2xx2 3y 2 ) x 2 +y 2 ) 3, 2x3y 2 x 2 ) x 2 +y 2 ) 3, 2 f 2 A) = 1 2, 2 f y A) = 1 2, 2 f y 2 A) = 1 2 2x + 3y, 2 f = y1 2x) + 2 4[x1 x)] f y = 2 f y = x x x + 3y) f = 2y3x2 y 2 ), 2 f = y x 2 +y 2 ) 3 y 2 7 = 2xy3 z 3 + 4x 3 y 5 y 7 z, y = 3x2 y 2 z 3 + 5x 4 y 4 7xy 6 z + 2yz 2, = 3x 2 y 3 z 2 xy 7 6z 5 + 2y 2 z, 2 f 2 42xy 5 z + 2z 2, 2 f 2 = 6x 2 y 3 z 30z 4 + 2y 2, 6xy 3 z 2 y 7, 2 f y = 9x2 y 2 z 2 7xy 6 + 4yz = 2y 3 z x 2 y 5, 2 f y 2 = 6x 2 yz x 4 y 3 2 f y = 6xy2 z x 3 y 4 7y 6 z, 2 f = 8 = 3x2 e z, y = 1 1 y 2 +2yez, = ez +x 3 +y 2 +z)e z, 2 f 2 = 6xe z, 2 f y 2 = y1 y 2 ) 3 2+2e z, 2 f 2 =2+x 3 +y 2 +z)e z, 2 f y =0, 2 f =3x2 e z, 2 f y =2yez, 2 f 2 A)= 12, 2 f A)= , 2 f A)= 41, 2 f A)=0, 2 f A)=12, 2 f A)=1 y y y 9 4 f yy = y 2xe y +3ye x ) y ))) = y 2xe y +3e x ) ))

9 = y = y = y ) 2e y +3e x ) = 3ex ) = 0 y )))) 5 f = cos2x) cos4y) cos3z)) y y ))) 2sin2x) cos4y) cos3z)) = 6sin2x) cos4y) sin3z)) y ) 12cos2x) cos4y) sin3z)) 36cos2x) cos4y) cos3z)) = y 10 = 144 cos2x) sin4y) cos3z) )) Kontrolní test 1 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y) = x sin 2 xy 2 ) a) = sin2 xy 2 ) + 2xy 2 cosxy 2 ), y = 4x2 y cosxy 2 ) b) = 2xy2 sinxy 2 ) cosxy 2 ), c) = sin2 y 2 ) + 2xy 2 siny 2 ) cosy 2 ), d) = sin2 xy 2 ) + 2xy 2 sinxy 2 ) cosxy 2 ), y = 4x2 y sinxy 2 ) cosxy 2 ) y = 4x2 y sin2xy) cos2xy) y = 4x2 y sinxy 2 ) cosxy 2 ) 2 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y) = x 2 ln y v bodě A = [3, 1] a) A) = 0, y A) = 9 b) A) = 6, y A) = 9 c) A) = 0, y A) = 3 d) A) = 6, y A) = 3 3 Určete všechny parciální derivace funkce fx,y,z) = arcsinxy 2 ) arccosxz 3 ) a) = y 2 z 3, 1 xy 2 1 xz 3 y = 2xy, 1 xy 2 = 3xz2 1 xz 3 b) = y 2 1 x2 y 4 + z 3 1 x2 z 6, c) = y 2 1 x2 y 4 z 3 1 x2 z 6, d) = y 2 1 xy 2 + z 3 1 xz 3, y = y = y = 2xy 1 x2 y 4, 2xy 1 x2 y 4, 2xy 1 xy 2, = 3xz 2 1 x2 z 6 = = 3xz2 1 x2 z 6 3xz2 1 xz 3 4 Určete všechny parciální derivace funkce fx, y, z) = x+y+z)3x+4y+5z) v bodě A = [ 1, 2, 2]

10 a) A) = 1, b) A) = 8, c) A) = 7, d) A) = 11, A) = 2, y A) = 9, y A) = 6, y A) = 11, y A) = 3 A) = 10 A) = 5 A) = 11 5 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y) = x y a) 2 f = yy 2 f 2 1)xy 2, y = 2 xy lnx 2 2 f ), y = yxy 1 ln x b) 2 f = 2 y2 x y 1 2 f, y = 2 xy ln 2 2 f x, y = xy 1 1 y ln x) c) 2 f 2 = yy 1)xy 2, d) 2 f 2 = y2 x y 2, 2 f y = 2 xy lnx) 2, 2 f y = 2 yxy 1 ln x, 2 f y = xy 1 y ln x + 1) 2 f y = xy 1 y ln x + 1) 6 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y) = ln x y v bodě A = [4, 5] a) 2 f 2A) = 1 16, b) 2 f 2A) = 1 16, c) 2 f 2A) = 1 4, d) 2 f 2A) = 1 4, 2 f y A) = , 2 f y A) = , 2 f y A) = 1 2 5, 2 f y A) = 1 2 5, 2 f y A) = 0 2 f y A) = 1 2 f y A) = 0 2 f y A) = 1 7 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y,z) = yz arctanx a) 2 f = 2yz 2 cos 3 x, 2 f y =0, 2 f 2 =0, 2 f 2 y = 2z cos 3 x, 2 f = 2y cos 3 x, 2 f y =arctanx b) 2 f = 0, 2 f 2 y = 0, 2 f 2 = 0, 2 f 2 y = 2 f y = x 1 + x 2 z 2 f 1 + x 2, = y 1 + x 2,

11 c) 2 f sin x =2yz 2 cos 3 x, 2 f y =0, 2 f 2 =0, 2 f 2 y 2 f y =arctanx sin x =2z cos 3 x, 2 f sin x =2y cos 3 x, d) 2 f = 2xyz 2 f x 2 ) 2, y =0, 2 f 2 =0, 2 f 2 y = z 2 f 1 + x 2, = y 1 + x 2, 2 f y =arctanx 8 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce fx,y,z) = ze xz + ye xy v bodě A = [1, 2, 3] a) 2 f + 8e 2, 2 f 2A)=27e3 y 2 A)=3e2, 2 f 2 A)=4e3, 2 f 2 f A)=14e3, y A)=0 b) 2 f, 2 f 2A)=8e2 y 2 =A)6e2, 2 f 2 =A)3e3, 2 f A)=12e3, 2 f y A)=5e3 c) 2 f + 8e 2, 2 f 2A)=27e3 y 2 A)=4e2, 2 f 2 A)=5e3, 2 f A)=15e3, 2 f y A)=0 d) 2 f, 2 f 2A)=27e3 y 2 A)=9e2, 2 f 2 A)=16e3, 2 f A)=7e3, 2 f y A)=2e2 2 f y A)=7e2, 2 f y A)=8e2, 2 f y A)=8e2, 2 f y A)=8e2, 4 f 9 Vypočtěte parciální derivaci funkce fx,y) = lnx + 2y) yy a) b) c) d) x + 2y) 3 x + 2y) 4 x + 2y) 3 x + 2y) 4 3 f 10 Vypočtěte parciální derivaci yy funkce fx,y) = 5x 4y) 7 a) 0 b) x 4y c) x 4y d) 215x 4y) 4 Výsledky testu 1 d), 2 a), 3 b), 4 b), 5 c), 6 a), 7 d), 8 c), 9 b), 10 c)