Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze"

Miłosz Mazurkiewicz
4 lat temu
Przeglądów:

1 Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1

2 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1

3 Úvod

4 Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme v obyčejných diferenciálních rovnicích, je dy(x) dx = f(x, y(x)), y(x 0) = y 0. Snažíme se najít tedy řešení (hodnotu) y(x) pro libovolné x. 2

5 Úvod - Numerická úloha Protože neumíme v numerice řešit úlohy spojitě, musíme přidat k této úloze ještě délku kroku h. Tedy budeme nacházet řešení jenom pro x 0 + ih, kde i {0, 1,...}. 3

6 Úvod - Podmínky Podle řádu diferenciální rovnice potřebujeme znát daný počet podmínek. Je-li tedy řád rovnice s, pak musíme mít s podmínek. Podmínky můžeme mít bud 1. počáteční - známe s podmínek v bodě x 0, 2. okrajové - známe s na okrajích výpočetní oblasti, 3. smíšené - kombinace výše uvedených, 4. zadané rovnicí. 4

7 Základní metody

8 Základní metody - Eulerova metoda Používá Taylorův rozvoj y(x + h) okolo bodu x do prvního řádu y(x + h) = y(x) + hy (x) + O(h 2 ) = y(x) + hf(x, y(x)) + O(h 2 ). Tedy používá aproximaci y(x + h) y(x) + hf(x, y(x)). 5

9 Základní metody - Metoda středního bodu Také používá Taylorův rozvoj y(x + h) do prvního řádu, ale pro aproximace y (x) využívá mezi bod x + h/2. y (x) = f(x + h 2, y(x) + h f(x, y)), 2 tedy Eulerovu metodu pro y(x + h/2). Výsledná rovnice je pak y(x + h) = y(x) + hf(x + h 2, y(x) + h f(x, y)). 2 6

10 Základní metody - Heunova metoda Nejdříve odhadne směrnici y (x) v bodě x + h pomocí Eulerovy metody, spočítá směrnici v bodě x a pomocí průměru pak aproximuje y (x) jako y(x ) = 1 (f(x, y) + f(x + h, y(x) + hf(x, y))). 2 Výsledný vzorec je tedy y(x + h) = y(x) + h (f(x, y) + f(x + h, y(x) + hf(x, y))). 2 7

11 Pokročilejší metody

12 Pokročilejší metody - Runge-Kuttovy metody Hledá řešení jako y(x + h) = y(x) + h kde k 1 = f(x, y) k 2 = f(x + c 2 h, y + h(a 21 k 1 )). s b i k i, i=1 k s = f(x + c s h, y + h(a s1 k 1 + a s2 k a s,s 1 k s 1 )). 8

13 Pokročilejší metody - RK4 Příklad pro Runge-Kuttovu metodu 4. řádu k 1 = f(x, y), k 2 = f(x + h/2, y + hk 1 /2), k 3 = f(x + h/2, y + hk 2 /2), k 4 = f(x + h, y + hk 3 ) a b 1 = 1 6, b 2 = 1 3, b 3 = 1 3, b 4 =

14 Pokročilejší metody - Implicitní metody Využívá implicitně zadaného bodu y(x + h). Kupříkladu implicitní Eulerova metoda y(x + h) = y(x) + hf(x + h, y(x + h)). Pokud je f(x, y(x)) lineární v y, tak je najít řešení to jednoduché, pokud je ale nelineární je potřeba pokročilý řešič, což je neefektivní. 10

15 Pokročilejší metody - Metody prediktor-korektor Spočítáme jednoduchou metodou ỹ(x + h) - krok P-predictor. Spočítáme ỹ (x + h) = f(x + h, ỹ(x + h)) - krok E-valuation. Opravíme y(x + h) pomocí implicitní metody, kde místo y (x + h) budeme uvažovat ỹ (x + h) - krok C-orrector. Evaluaci a korekci můžeme provádět kolikrát potřebujeme. 11

16 Soustava

17 Soustava - Úloha Nyní řešíme úlohy d y(x) dx = f(x, y(x)), y(x 0) = y 0. Řešení počítáme postupně po složkách, tedy triviální rozšíření. 12

18 Soustava - Příklad Necht y 1(x) = f 1 (x, y 1, y 2 ), y 1 (x 0 ) = α 1, y 2(x) = f 2 (x, y 1, y 2 ), y 2 (x 0 ) = α 2. Pak řešení y 1 (x + h) a y 2 (x + h) Eulerovou metodou je y 1 (x + h) = y 1 (x) + hf 1 (x, y 1 (x), y 2 (x)), y 2 (x + h) = y 2 (x) + hf 2 (x, y 1 (x), y 2 (x)). 13

19 Vyšší řád

20 Vyšší řád - Úloha Nyní řešíme úlohy d n y(x) dx n = f(x, y, y,..., y (n 1) ). Potřebujeme tedy i n podmínek (at už počátečních nebo okrajových či jiných). 14

21 Vyšší řád - Převod úlohy Použijeme substituci z 1 = y(x), z 2 = z 1 = y (x), z 3 = z 2 = y (x),. z n = z n 1 = y (n 1) (x), f(x, z 1, z 2,..., z n ) = z n = y (n) (x) a následně řešíme jako soustavu rovnic. 15

22 Program

23 Program - Úloha Budeme řešit obyčejnou difereciální rovnici prvního řádu s počáteční podmínkou dy(x) dx = y sin(x), y(x 0 ) = y 0. 16

24 Program - Analytické řešení Metody budeme porovnávat s analytickým řešením: y(x) = C 1 exp( cos(x)), kde C 1 = y 0 exp( cos(x 0 )). 17

25 Program - Metody Ze základních metod použijeme Eulerovu, středního bodu, Heunovu. Z pokročilých pak Runge-Kuttovu metodu 4. řádu, implicitní Eulerovu metodu, metodu prediktor-korektor Eulerovy metody (počet opakování označuje proměná m). Program je ke stažení zde 18

26 Program - Poznámky Zajímavé, že v tomto případě není implicitní Eulerova metoda lepší jak explicitní (tedy klasická). Stojí také za povšimnutí, že metoda prediktor-korektor se zvyšujícím se m konverguje k implicitní Eulerově metodě. 19

Podobne dokumenty

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter