Przetwarzanie sygnałów biomedycznych

Transkrypt

1 7--3 Przewarzanie sygnałów biomedycznych Człowie- nalepsza inwesyca Proe współfinansowany przez Unię Europesą w ramach Europesiego Funduszu Społecznego Wyład I Przewarzanie sygnałów biomedycznych prof. dr hab. inż. Krzyszof Kałużyńsi

2 7--3 Cel Przeazanie wiedzy n. podsawowych i zaawansowanych meod przewarzania sygnałów biomedycznych analiza widmowa, filrace, meody orelacyne, ransformaca falowa, meody specalne oraz umieęności ich wyorzysania. Zares Właściwości wybranych sygnałów biomedycznych. Szereg Fouriera, przeszałcenie Fouriera w przewarzaniu sygnałów. Widmo gęsości ampliudy, energii i mocy. wierdzenie o próbowaniu. Podsawy esymaci paramerów procesów losowych. Funca i współczynni orelaci i auoorelaci. wierdzenie Wienera-Chinczyna. Esymaca widmowe gęsości mocy sygnałów losowych. ransformaca Hilbera. Sygnał analiyczny. Dososowanie przeszałcenia Fouriera do porzeb prayczne analizy sygnałów. Dysrena ransformaa i szereg Fouriera. Funce granic. Analiza czasowo-częsoliwościowa sygnałów. Sperogram. Prezenace czasowoczęsoliwościowe. ransformaca falowa. Filry cyfrowe w zasosowaniach biomedycznych. Wybrane ułady cyfrowe. Bani filrów. Filrace specalne. Meoda deompozyci empiryczne EMD. Przyłady zasosowań do analizy sygnałów biomedycznych.

3 7--3 Zares Laboraorium Wydobywanie sygnałów z szumu z wyorzysaniem uśredniania. Analiza sygnału świergoowego. ransformaca Hilbera. Rozład sygnału na mody wewnęrzne EMD. Analiza sygnału EKG z wyorzysaniem ransformaci falowe. Analiza sygnału o nieznane sruurze. Zaęcia prowadzi mgr inż. Iryna Gorbeno Uzysiwane ompeence Wiedza: Znaomość meod analizy sygnałów niesaconarnych Znaomość uwarunowań i meod filraci sygnałów biomedycznych Znaomość części zasosowań i ograniczeń przewarzania sygnałów biomedycznych Umieęności: - uzysiwania i inerpreaci reprezenaci czasowo-częsoliwościowe sygnałów biomedycznych - idenyfiaci sruury nieznanego sygnału - analizy wyniów esperymenu 3

4 7--3 Zaliczenie przedmiou:. Egzamin - 7% oceny ońcowe 7p. Laboraorium - 3% oceny ońcowe Wymagania:. Zaliczenie laboraorium >5% punów arówi, oceny za wyonanie ćwiczenia w racie ćwiczenia; edno sprawozdanie.. Egzamin suden ma prawo do 3 egzaminów w cylu zaliczeniowym. 3. Uzysanie >5% punów oznacza pozyywny wyni egzaminu. 4. Zaliczenie przedmiou wymaga uzysania w sumie >5% punów z laboraorium i egzaminu. 5. Wyład arówi, órych wynii będą dodawane do wyniu egzaminu max. liczba punów do uzysania z arówe wynosi p. Laboraorium zaęcia organizacyne sala 45/6 Informace, maeriały wyład i laboraorium hp://zib.mchr.pw.edu.pl/?dydaya Konsulace po. 39, pon 3-4, w. - 4

5 7--3 Osoby zaęe elefonami/ableami/ompuerami będą raowane ao przeszadzaące w prowadzeniu wyładu i proszone o zaniechanie w/w zaęć bądź opuszczenie sali. 5

6 7--3 Lieraura. Zielińsi.P. Cyfrowe przewarzanie sygnałów, WKiŁ 5. Ozime E. Podsawy eoreyczne analizy widmowe sygnałów, PWN, Lyons R.G. Wprowadzenie do cyfrowego przewarzania sygnałów, WKiŁ 4. Oppenheim A.V., Schafer R.W. Cyfrowe przewarzanie sygnałów, WKiŁ, Benda J., Piersol A.: Meody analizy i pomiaru sygnałów losowych, PWN, Ruowsi L. Filry adapacyne i adapacyne przewarzanie sygnałów, WN, Moczo J., Kramer L. Cyfrowe meody przewarzania sygnałów biomedycznych, Wyd. Nau. UAM, Pozyce podsawowe Sygnały Sygnał naczęście funca czasu przedsawiaąca przebieg parameru pewnego zawisa, wielości fizyczne, choć może o być np. przebieg echa w funci odległości od sondy sanera ulradźwięowego. Przyład sygnału biomedycznego 6

7 7--3 Klasyfiaca sygnałów Sygnały: deerminisyczne oresowe losowe sochasyczne niesaconarne nieoresowe saconarne ergodyczne Sygnały mogą być ciągłe lub dysrene, co es onsewencą sposobu ich reesraci, np. dane doyczące populaci pewnego gaunu zwierzą są dysrene, dane giełdowe są dysrene, reesrowany w sposób analogowy sygnał eleryczny es sygnałem ciągłym. Uwaga - sygnały przewarzane cyfrowo są poddawane operaci próbowania, przez co saą się sygnałami dysrenymi!! Przyłady sygnałów I sygnały deerminisyczne Sygnał świergoowy - liniowy wzros częsoliwości w funci czasu 7

8 7--3 Przyłady sygnałów II sygnały deerminisyczne Ciąg impulsów/pacze gaussowsich fala sin. z obwiednią gaussowsą sygnał sosowany w obrazowaniu ulradźwięowym Procesy losowe sochasyczne {x } proces sochasyczny - rodzina funci zmienne losowe i czasu x -a realizaca procesu - funca czasu dla pewne warości zmienne losowe X i warości procesu dla usalonego czasu są warościami zmienne losowe Zmienna losowa funca oreślona na zbiorze zdarzeń i przymuąca warości rzeczywise z oreślonym prawdopodobieńswem 8

9 7--3 Przewarzanie sygnałów Dziedzina czasu: filraca - liniowa sygnały addyywne - specalna - homomorficzna sygnały połączone w wyniu inne operaci, np. mnożenia, splou - adapaywna meody orelacyne orelaca wzaemna, auoorelaca, współczynni orelaci i auoorelaci inne hisogram przeszałcenie Hilbera meody specalne EMD Empirical Mode Decomposiion Przewarzanie sygnałów Dziedzina częsoliwości analiza widmowa: - lasyczna przeszałcenie Fouriera, w. Wienera-Chinczyna - zasosowanie modeli wymierne funci przenoszenia - inne meody analizy widmowe 9

10 7--3 Przewarzanie sygnałów prezenace czasowo- Połączone dziedziny czasu i częsoliwości - częsoliwościowe - sperogram - prezenaca Wigner-Ville - ransformaca falowa Inne - ompresa, odowanie... Przewarzanie sygnałów zasosowania

11 7--3 Zasosowania przewarzania sygnałów I eleomuniaca echnia miliarna Auomaya przemysłowa echnia samochodowa, AGD Analiza danych rynowych i giełdowych Rozrywa/mulimedia Idenyfiaca osób Geologia Badania osmiczne Rozpoznawanie i generaca mowy Medycyna i biologia Zasosowania przewarzania sygnałów II Medycyna obrazowanie, analiza sygnałów biomedycznych, wspomaganie słuchu, ineligenne proezy ończyn, urządzenia do wspomagania funci narządów Idenyfiaca obieów osób Rozpoznawanie i generaca mowy Biologia, eologia analiza zmian populaci zwierzą, analiza aywności organizmów

12 7--3 Zasosowania przewarzania sygnałów w medycynie Esymaca opóźnienia esymaca rymu serca, obrazowanie przepływu rwi, elasografia ulradźwięowa Analiza widmowa analiza zmienności rymu serca, analiza sygnałów dopplerowsich przepływu rwi, Uśrednianie poencały wywołane, wydobywanie sygnałów z szumu/deeca słabych sygnałów meody orelacyne i inne miary podobieńswa w synchronizaci uśredniania Serowanie proezami analiza widmowa sygnałów EMG Kompresa sygnałów analiza falowa, modelowanie Filraca liniowa lasyczna Filrace specalne eliminaca sygnałów załócaących Sygnały biomedyczne Zróżnicowana budowa i funca organów i ane będących źródłem sygnałów biomedycznych pozwala przypuszczać, właściwości ych sygnałów mogą być bardzo zróżnicowane. Nieóre z ych sygnałów maą charaer quasi deerminisyczny, zn. przymuąc pewne uproszczenia, a bra różnic w olenych cylach, można byłoby e opisać analiycznie. Jes a w przypadu EKG, sygnału ęna lub ciśnienia, czy sygnału impedanci ani. Między olenymi cylami ych sygnałów mogą wysąpić różnice spowodowane przez czynność oddechową i funconowanie uładów regulaci w organizmie, obecne są w nich aże szumy o charaerze losowym.

13 7--3 Sygnały biomedyczne W sygnałach biomedycznych obecne są aże szumy o charaerze losowym. Ma o znaczenie w przypadu wydobywania sygnałów z szumu, np. późnych poencałów EKG, iedy o uśredniane cyle powinny być do siebie a nabardzie zbliżone i różnice między nimi powoduą odrzucanie nieórych cyli przez algorym wyorzysuący współczynni orelaci wzaemne. Sygnały biomedyczne Wiele sygnałów ma charaer losowy są procesami sochasycznymi. Jes a w przypadu EMG, EHG czy EEG. Sygnałem losowym w przypadu róich czasów obserwaci es ulradźwięowy sygnał dopplerowsi prędości przepływu rwi, naomias przy dłuższych czasach obserwaci wyazue cechy quasipowarzalności, wyniaące z pracy serca. Szczególnym rodzaem sygnału biomedycznego es sygnał mowy, órego przewarzanie sanowi odrębną dziedzinę naui i echnii, ze względu na ogromne znaczenie aich zasosowań, a np. omuniaca człowie-maszyna czy idenyfiaca osób na podsawie właściwości ich mowy. 3

14 7--3 Sygnały biomedyczne - przyłady Sygnał dopplerowsi prędości przepływu rwi - nieco ponad cyl pracy serca i fragmen o. ms 5 x 4-5 x Obrazy i sygnały biomedyczne Ulrasonografia Wizualizaca sruur oraz rozładów prędości przepływu rwi na podsawie analizy ech ulradźwięowych 4

15 7--3 Przewarzanie sygnałów - przyłady Sperogram oresowego sygnału z piłoszałną modulacą częsoliwości Przewarzanie sygnałów - przyłady częsoliwość Czas 5

16 7--3 Zapis nuowy - prezenaca czasowo-częsoliwościowa muzyi sygnału - począi zapisu nuowego XVI wie c z ę s o l i w o ś ć czas Zasosowania przewarzania sygnałów - przyłady Sygnał ECG oraz ciąg inerwałów R-R pozbawionych części sładowe średnie 6

17 7--3 Zasosowania przewarzania sygnałów - przyłady ciąg inerwałów R-R pozbawionych części sładowe średnie Widmo ciągu inerwałów R-R po usunięciu sładowe średnie Zasosowania przewarzania sygnałów - przyłady Późne poencały EKG 7

18 7--3 Zasosowania przewarzania sygnałów przyłady Procedura: Późne poencały EKG - awizyca sygnału z rzech odprowadzeń z wysoą częsoliwością próbowania Hz - uśrednianie - synchronizaca uśredniania: wybór wzorca QRS z danych wyznaczanie współczynnia orelaci wzaemne między wzorcem i olenymi cylami sygnału EKG w przypadu uzysania odpowiednio wysoie warości współczynnia orelaci dodaemy do siebie zsynchronizowane z wzorcem sygnały Zasosowania przewarzania sygnałów przyłady Późne poencały EKG Procedura cd.: - uśrednianie - uwzględnianie czynniów aich a zmienna długość cylu EKG zmienny poziom szumów w sygnale - szacowanie mocy szumów w płasim odcinu sygnału poza QRS - seleca cyli EKG na podsawie w/w analizy 8

19 7--3 Zasosowania przewarzania sygnałów - przyłady Analiza falowa sygnałów dopplerowsich aywności ruchowe płodu - D 5 5 D3 5-5 D 5 5 D A4 x 4 signal Podział sygnału na podpasma zaresy częsoliwościowe w celu uzysania informaci ruchach różnych sruur płodu. Zares -fs/ Podpasma odpowiadaące sygnałom Podsawy eoreyczne przewarzania sygnałów 9

20 7--3 Splo i dysrybuca dela Diraca Splo dwóch funci * f f τ f f τ dτ Właściwości splou Przemienność f * f f * f Rozdzielność względem dodawania f *[ f + f ] f * f + f * f 3 3 Łączność f *[ f * f ] [ f * f ]* f 3 3

21 7--3 Dysrybuca dela Diraca Właściwości dysrybuci δ dla δ f δ f f δ f Definica graniczna dysrybuci przez ciąg funci sinx/xsincx: δ lim sinc π Oresowy ciąg dysrybuci : δ δ Splo funci z ciągiem dysrybuci dela Diraca δ δ f f * δ τ δ τ dτ f f δ f f * δ f * δ f Splo sygnału o ograniczonym czasie rwania z oresowym ciągiem dysrybuci pozwala uzysać sygnał oresowy.

22 7--3 Orogonalność Weory orogonalne Weory a sygnały Aprosymaca Baza orogonalna Przyłady funci orogonalnych Orogonalność - weory Wyrażenie błędu Ve weora V przy pomocy weora V oraz weora V C V + V e C miara podobieńswa weorów V i V Jeśli C, weory są prosopadłe orogonalne, niezależne

23 7--3 Orogonalność - weory Iloczyn salarny weorów A B ABcosθ Sładowa weora A wzdłuż weora B oraz weora B wzdłuż A A B A B Acosθ B Dla weorów V i V B A A B Bcosθ A V C V + V e czyli V V V V C V V C V V V V V V V Jeśli V i V orogonalne, ich iloczyn salarny es równy Orogonalność - sygnały f i f sygnały, chcemy aprosymować f przez f w pewnym przedziale, f C f f e f C f f e - funca błędu e aprosymaci: f e należy zminimalizować, np. w sensieśredniowadraowym ε f C f d [ ] dε dc po zamianie oleności operaci całowania i różniczowania orzymuemy C f f d f d 3

24 7--3 Orogonalność - sygnały f i f sygnały, chcemy aprosymować f przez f w pewnym przedziale, f C f C f f d f d C V V V V V V V Przez analogię do weorów f ma sładową f o warości C. Jeśli sładowa a znia, sygnały f i f są orogonalne. Oznacza o,że f f d Orogonalność - sygnały Przyłady sygnałów orogonalnych funce sinn o i sinm o w przedziale,+, π/ o : sin n o sin m o d Inne przyłady sygnałów orogonalnych cosn o i cosm o w przedziale,+, π/ o, zespolone funce wyładnicze, wielomiany Legendre a. 4

25 7--3 Orogonalność - baza Przesrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywisych lub zespolonych zbiór weorów, zbiór funci sygnałów. Przesrzeń es zupełna, eśli pewien podzbiór e przesrzeni generue ę przesrzeń, np. dowolny weor należący do przesrzeni można wyrazić w e przesrzeni ao ombinacę liniową elemenów ego podzbioru. Np. weor w 3D es ombinacą liniową wersorów osi, óre sanowią ai właśnie podzbiór. Weory orogonalne np. zbiór wersorów osi oroarezańsiego uładu współrzędnych 3D. Baza zbiór sygnałów wzaemnie parami orogonalnych w pewnym przedziale, np. {cosn o }, nεn. Dowolny sygnał można wyrazić ao ombinacę liniową elemenów ego zbioru sładowych orogonalnych. Orogonalność - sygnały Aprosymaca funci f przez zbiór sygnałów wzaemnie orogonalnych {f } f n C f f f Minimalizaca błędu średniowadraowego: e n C f ε [ f n C f ] d δε δε δε δε... δc δc δc δ 3 C n 5

26 d f C f n ] [ ε Minimalizaca błędu średniowadraowego:... 3 C n C C C δ δε δ δε δ δε δ δε d f d f f C...]... [... ] [ + + d f C f f C f C f f C C d f C f C C n δ δ δ δ δ δε Dla, po zamianie oleności operaci całowania i różniczowania, ze względu na orogonalność f oraz zerowanie się pochodnych wyrazów niezawieraących C dosaemy: Orogonalność - sygnały n f C f d f d f f C Baza {f } umożliwia aprosymacę funci f w posaci gdzie Jes o rozwinięcie f w szereg Fouriera!!! Błąd średniowadraowy aprosymaci es zminimalizowany. Ze względu na orogonalność funci bazy przedsawienie w posaci e sumy es wolne od redundaci. W worzeniu warości współczynnia C ma udział ylo edna funca bazy f. Orogonalność - sygnały

27 7--3 Rozwinięcie w szereg Fouriera i przeszałcenie Fouriera rygonomeryczny szereg Fouriera f oresowa, spełnia waruni Dirichlea n f a + [ an cos n + bn sin n] π/, n, ±, ±,... / a f d / / an f cos n d bn f sin n d / / / 7

28 7--3 Wyładniczy szereg Fouriera n Fn exp n n f Fn / / f exp n d F F e n n arg F n { F n } - widmo ampliudowe, {argf n } widmo fazowe { F n } widmo mocy sygnału f Związe między współczynniami rozwinięcia w szereg wyładniczy i w szereg rygonomeryczny F a b n n n Przyłady rozwinięć w SF: rec Ciąg impulsów prosoąnych o współczynniu wypełnienia τ/: π/ współczynnii rozwinięcia Fn dla i τ: F Aτ n τ sin c τ / exp n n d τ / współczynnii rozwinięcia Fn dla i τ: rozwinięcie dla i τ: Aτ n τ rec sin c exp n n

29 7--3 Przyłady rozwinięć w SF: Ciąg δ : π/ współczynnii: Fn / δ exp n d δ exp n d / / / rozwinięcie: δ Fn exp n exp n exp n n n π n Przeszałcenie Fouriera Prose i odwrone przeszałcenia Fouriera funci f FF{f} f F isnieą gdy f es bezwzględnie całowalna: f F exp d f F exp d π F argf - widmo gęsości ampliudy - widmo fazowe 9

30 7--3 Wybrane właściwości przeszałcenia Fouriera Liniowość: f F, f F Af +Bf AF +BF Podobieńswo F{ f a} F a a Symeria f F F πf- ransformaa pochodne f f F f n n F Wybrane właściwości przeszałcenia Fouriera Przesunięcie w czasie f F f- exp- F ransformaa iloczynu funci f F, f F F { f f } F * F π ransformaa splou funci f F, f F F f * f } F F { 3

31 7--3 Przyłady ransforma Fouriera I Sygnał prosoąny o czasie rwania rec: F rec exp d A sin c Moduł F, oś rzędnych znormalizowana do A; Linia przerywana - wyni dla czasu rwania sygnału /. Położenia zer dla/π; olene zera dla π/±π/,±4π/,±6π/... Położenia pierwszych esremów lisów bocznych dla /±3π/; olene pulsace wynoszą m 3π/+mπ/ oraz m -3π/-mπ/ Poziom lisa głównego A po normalizaci Moduł pierwszego lisa bocznego - A/3π Asinc3π/; po normalizaci /3π Sosune modułów lisa pierwszego i głównego /3π. Przyłady ransforma Fouriera II Dysrybuca dela Diraca: F{ δ } δ exp d Funca sała F nie isniee w myśl definici funca nie es bezwględnie całowalna. w. o symerii: f F F πf- 3

32 7--3 Przyłady ransforma Fouriera III Funca róąna, dla </, dla pozosałych f A Można wyznaczać F z definici, można wyorzysać w. o ransformacie pochodne f F f F f n n F druga pochodna funci f ma posać: '' A f [ δ / δ + δ + / ] A 4A F F{ f '' } [exp / + exp / ] [ cos / ] 4A A sin / 4 sin c / 4 Przyłady ransforma Fouriera IV Funca róąna, dla </, dla pozosałych f A Inna możliwość splo dwóch oien prosoąnych oreślonych w przedziale -/4, /4, ażde o ransformacie: Wyorzysuąc w. o ransformacie splou mamy: F f * f } F F { F : [ F ] Π FΠ A / sin c 4 Należy uwzględnić fa, że w wyniu przeprowadzenia operaci splou poawia się dodaowy czynni A/ zmieniaący ampliudę róąa: A rec * rec wobec czego F A A 4 [ sin c ] A [sin c ] 4 A 3

33 7--3 Moduł F ona prosoąnego i ona róąnego ono prosoąne F{ rec } A sin c ono róąne Barlea A F sin c / 4 Różnice: Uwaga: wyresy znormalizowane do ednosowe warości max.! niższy względny poziom pierwszego lisa bocznego ona róąnego niż w przypadu ona prosoąnego wynosi sinc 3π/.44 więsza szeroość lisa głównego ona róąnego niż w przypadu ona prosoąnego na poziomie pierwszych prześć przez zero x więsza Przyłady ransforma Fouriera VI dla < Sygnał esponencalny f { F, a > a e dla a + a a+ a+ e e d e F d e a + a + e -a 33

34 7--3 Przyłady Fouriera F a + a Re F a + ransforma VII ReF ImF absf Im F a + abs F a + / argf Im F arg F arcan arcan Re F a Przyłady ransforma Fouriera VIII Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie rwania pacza i ednosowe ampliudzie F / / / / cos exp d [exp + exp + ] d + [sin c + sin c ] / / [exp + exp ]exp d Moduł F paczi funci cosinus o czasie wania, oś Y znormalizowana do / -pifo pifo 34

35 7--3 Przyłady ransforma Fouriera IX Sygnał cosinusoidalny F nie isniee w sensie definici, ponieważ funca cosinus nie es bezwzględnie całowalna. Można wyznaczyć warość główną F paczi fali cos przy ->, orzysaąc z definici dely Diraca: δ lim sinc π F{cos } lim / π[ sin c + sin c + ] π π π[ δ + δ + ] Przyłady ransforma Fouriera X Sygnał sinusoidalny F nie isniee w sensie definici, ponieważ funca sinus nie es bezwzględnie całowalna. Można wyznaczyć warość główną F paczi fali sin przy ->. F paczi fali sin: + F{sin } [ sin c + sin c ] + F{sin } lim π[ sin c + sin c ] π[ δ + δ + ] na rysunu poazano F!! 35

36 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XI Zespolony sygnał wyładniczy exp cos + sin Sygnał cosinusoidalny Sygnał sinusoidalny - F{sin o } F{exp } F{cos } + F{sin } π[ δ + δ + ] + π[ δ + δ + ] πδ Jes o zw. sygnał analiyczny posiada niezerowe warości widma ylo po edne sronie począu uładu Przyłady ransforma Fouriera XII F dowolne funci oresowe nie isniee w sensie definici Można aą funcę rozwinąć w SF, poem przeprowadzić F szeregu Fn exp n n f π F n δ n n F Ciąg dysrybuci Diraca posiada nasępuące rozwinięcie w SF: δ Fn exp n exp n n n F ego ciągu es równa: π F { δ } δ n δ n n n 36

37 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XIII Przebieg prosoąny rec ores,wypełnienie τ/, ampliuda A, π/: Aτ F{ rec } F{ πaτ πaτ n n n nτ sin c δ n nπτ sin c δ n nτ sin c exp n} Przyłady ransforma Fouriera XIV Pacza fali cosinusoidalne Pacza fali cosinusoidalne o pulsaci Ω ma ograniczony czas rwania do o >π/ω i rozpoczyna się w puncie,. es przesunięa o o / w prawo. Sygnał przymuący warości różne od zera dla czasów nieuemnych nazywa się sygnałem przyczynowym. Inerpreaca - przesunięcie o o / ona prosoąnego wycinaącego fragmen funci cosinus. Jego ransformaa może być wyznaczona nasępuąco: rec- / sinc /exp / 37

38 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XV Inerpreaca - przesunięcie o o / ona prosoąnego wycinaącego fragmen funci cosinus. ransformaa: rec- / sinc /exp / Wypadowa ransformaa ma posać F iloczynu: f cos ½[F- + F+ ] rec- / cos /{sinc[- /] + sinc[+ /]} exp / F{ rec cos } a więc w ransformacie Fouriera przesunięego sygnału nie obserwuemy zmian modułu, edynie zmianę fazy. Przyłady ransforma Fouriera XVI Ciąg pacze funci cosinusoidalne o pulsaci Ω i pulsaci powarzania <<Ω. τ /Ω π/ Możliwości wygenerowania aiego sygnału i wyznaczenia widma:. Splo paczi fali cos z ciągiem dysrybuci Diraca iloczyn widm sygnałów. Iloczyn fali cos i przebiegu prosoąnego splo widm sygnałów 38

39 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XVII Ciąg pacze funci cosinusoidalne o pulsaci Ω i pulsaci powarzania <<Ω iloczyn przebiegu prosoąnego o wypełnieniu τ/ i funci cosinus. ransformay obu przebiegów sładowych: F{cos Ω} π[ δ Ω + δ + Ω] πaτ nπτ F { rec } sin c δ n n π/ Przyłady ransforma Fouriera XVIII Ciąg pacze funci cosinusoidalne o pulsaci Ω i pulsaci powarzania <<Ω iloczyn przebiegu prosoąnego o wypełnieniu τ/ i funci cosinus. F ciągu pacze - splo ransforma obu przebiegów: F{ rec cos Ω} F{ rec }* F{cos Ω} F{ rec }*{ π[ δ Ω + δ + Ω]} π π + πτ nπτ nπτ sin c δ Ω n + sin c δ + Ω n n 39

40 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XIX Sysem opisany w dziedzinie czasu przez odpowiedź impulsową h i w dziedzinie częsoliwości przez funcę przenoszenia H zasosowanie wierdzenia o ransformacie splou funci pobudzenie f F odpowiedź r R Opis w dziedzinie czasu Opis w dziedzinie częsoliwości f r τ h τ dτ R F H Przyłady ransforma Fouriera XX Funca sinusoidalna o pulsaci pomnożona przez sygnał wyładniczy o uemnym wyładniu i so ednosowy. Jes o eden z modeli sygnału emiowanego w aparaurze do obrazowania ulradźwięowego impuls ulradźwięowy. f sin exp F sin exp exp d [exp exp + ] d [exp exp ]exp exp d + 4

41 7--3 Przyłady ransforma Fouriera XXI Impuls ulradźwięowy można inerpreować ao odpowiedź impulsową przewornia ulradźwięowego. Sysem ai powinien posiadać nisą dobroć,. posiadać oscylacyną odpowiedź impulsową, óra es łumiona. Inacze es o sysem o nisie dobroci. Drganiom szybcie zaniaącym odpowiada sysem o więsze szeroości pasma,. więsze szeroości modułu F, czyli niższe dobroci. f sin exp F + + f sin exp. f sin exp.5 Przyłady F F funci gaussowsie XXII W dziedzinie czasu: x e β W dziedzinie częsoliwości: β + F{ x } F{ e } e e d e d β + F{ x } e e e d mnożymy całę przez e e + + / / F{ x } e e e d e e d e e d 4

42 Wyładni funci podcałowe należy doprowadzić do posaci wadrau różnicy: ] [ / / / / x + / / / d e e x F / / } { d e e d e e d e e x F / / / / } { Związe między i : Przyłady F XXIII F funci gaussowsie Należy wyazać, że warość całi es sałą - wiemy, że: dx e x π / / du d u du e e d e e x F u / } { π π ds du s u } { π π π s e ds e e x F β β β π π 4 / } { e e e F d e e x F / } { Podsawienie: Podsawienie: Przyłady F XXIV F funci gaussowsie

43 7--3 Przyłady F F funci gaussowsie XXV x e β F{ e β } e β π / 4β Przyłady F F paczi gaussowsie XXVI Pacza gaussowsa: x e β exp o W dziedzinie częsoliwości F: X π exp[ ] exp[ ] β 4β σ π 8π σ β π σ σ FWHM ln gdzie: pulsaca, pulsaca środowa paczi, β - współczynni oreślaący obwiednię sygnału, σ - współczynni oreślaący obwiednię widma, FWHM - szeroość modułu F na poziomie połowy masimum Full Widh a Half Maximum. Wyres obo - znormalizowany. 43

44 7--3 ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości I Sygnał zespolony, ego sładowa parzysa i nieparzysa posiadaą część rzeczywisą i urooną f f + f Re f + Im f + Re f Im f n p n n p + p ransformaa aiego sygnału posiadać będzie szczególne właściwości, wyniaące z właściwości przeszałcenia Fouriera F f exp d f [cos sin d f cosd f sin d Części sygnału i odpowiadaące im części ransformay f f + f Re f + Im f + Re f Im f n p n n p + F F + F Im F + Re F + Re F + Im F n p n n p p p ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości II Przyład sanowi sygnał złożony z dwóch zespolonych funci wyładniczych, z órych edna zosała pomnożona przez ednosę urooną: f f + f n p exp + exp cos sin + cos + sin cos sin + cos + sin Re f p Sładowe sygnału: f f + f Re f + Im f + Re f Im f n p n n p + cos Im f p cos Re f n sin Im f n sin p 44

45 7--3 ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości III Przyład sanowi sygnał złożony z dwóch zespolonych funci wyładniczych, z órych edna zosała pomnożona przez ednosę urooną: f f n + f p cos sin + cos + sin Re f p cos Im f p cos Re f n sin Im f n sin Części sygnału i odpowiadaące im części ransformay F {Re f p } F {cos } π [δ + + δ ] rzeczywisa parzysa F {Im f p } F { cos } π [δ + + δ ] uroona parzysa F {Re f n } F {sin } π [δ + δ ] uroona nieparzysa F {Im f n } F{ sin } π [δ + δ ] rzeczywisa nieparzysa ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości IV Oznaczenia Re, r rzeczywisa Im, im uroona p parzysa np - nieparzysa 45

46 7--3 wierdzenie o próbowaniu I Iloczyn funci f o widmie F ograniczonym do ± m oresie π/, >> m i ciągu del Diraca o δ δ π F δ F { } δ n n Splo widm funci f i ciągu del Diraca π F f δ } F{ f }* F{ δ } F *[ π π { n δ n ] Splo sygnału o ograniczonym czasie rwania z oresowym ciągiem dysrybuci dae sygnał oresowy!!! Splo funci z ciągiem dysrybuci dela Diraca δ δ f δ f f * δ f * δ f Splo sygnału o ograniczonym czasie rwania z oresowym ciągiem dysrybuci pozwala uzysać sygnał oresowy. Wobec ego splo widm F i ciągu del Diraca będzie oresowym powieleniem widma F, z oresem równym oresowi ransformay ciagu del, czyli : F { f f } F * F π π F f δ } F *[ π δ n ] { n n F n ] 46

47 7--3 wierdzenie o próbowaniu II Sygnał rzeczywisy widmo ampliudy sygnału rzeczywisego Wniose - sygnał należy próbować z częsoliwością próbowania minimum x wyższą niż częsoliwość naszybsze sładowe sygnału. Wniose widmo sygnału po operaci próbowania es oresowe z oresem równym częsoliwości próbowania!! f s >f m o > m wierdzenie o próbowaniu III Iloczyn funci cosinusoidalne o pulsaci Ω i ciągu del Diraca o oresie π/, >>Ω δ δ π F δ F{cos Ω} π[ δ Ω + δ + Ω] { } δ n n Splo widm funci cosinusoidalne i ciągu del Diraca π {cos } {cos }* { } {[ ]}*[ F Ω δ F Ω F δ π δ Ω + δ + Ω δ n] π π n π F {cos Ω δ } δ n ± Ω n 47

48 7--3 wierdzenie o próbowaniu IV Próbowanie funci cosinusoidalne o pulsaci Ω ciągiem del Diraca o oresie π/, >Ω π F {cos Ω δ } δ n ± Ω n Wniose - sygnał należy próbować z częsoliwością próbowania minimum x wyższą niż częsoliwość naszybsze sładowe sygnału. Wniose widmo sygnału po operaci próbowania es oresowe z oresem równym częsoliwości próbowania!! fo>fm o > m!!!!!! wierdzenie Nyquisa o próbowaniu wymaga, by f o >f m o > m w naszym przyładzie >Ω. Przewarzanie sygnałów - przyłady Przebieg prosoąny o dodanie sładowe sałe rec ores, wypełnienie τ/, ampliuda A, π/: F Aτ n τ sin c τ / exp n n d τ / Dla wypełnienia 5% i symerii mamy: Rozwinięcie w szereg Fouriera: F n dla n parzysych A nπ sin A nπ dla n nieparzysych nπ rec A 4 [ nπ A sin exp n] [sin + sin3 + sin5 +...] π n n π 3 5 przebieg prosoąny es więc sumą nieparzysych harmonicznych z maleącymi ampliudami 48

49 7--3 Przewarzanie sygnałów - przyłady Sperogram oresowego sygnału prosoąnego z piłoszałną modulacą częsoliwości bez sladowe sałe. Sygnał zawiera nieparzyse sładowe harmoniczne; wierdzenie Nyquisa nie es spełnione dla sładowych powyże 5. wierdzenie o próbowaniu V Sygnał rzeczywisy widmo ampliudy sygnału analiycznego uzysany np. w wyniu zasosowania przeszałcenia Hilbera bądź w inny sposób przyład funca zespolona wyladnicza o > m!!!!!! 49

50 7--3 Przewarzanie sygnałów - przyłady częsoliwość Sperogram sygnału dopplerowsiego prędości przepływu rwi z ęnic i żyły. Sygnał pochodzący z ęnic i sygnał pochodzący z żył sanowią dwa sygnały analiyczne uzysane w wyniu demodulaci wadraurowe. Pozwala o rozróżnić sygnały pochodzące od przeciwnych ierunów przepływu Czas Warość średnia, energia, moc, widmowa gęsość energii i mocy 5

51 7--3 Warość średnia, energia, moc Podsawowe paramery sygnałów o warość średnia, energia i moc, zdefiniowane poniższymi zależnościami: warośćśrednia sygnału w przedziale [, ]: w przypadu sygnału o niesończonym czasie rwania warość średnia es nasępuącą wielością graniczną: E[ x] x d E [ x] lim x d eśli sygnał es oresowy o oresie o, warość średnia es oreślona zależnością: o + E [ x] x d o o Energia, moc, widmowa gęsość energii i mocy Energia sygnału E x x d Moc sygnału P x lim x d co w przypadu sygnału oresowego przybiera posać: o + P x x d o o Warość sueczna sygnału równa es pierwiasowi wadraowemu z mocy sygnału. 5

52 7--3 Energia i moc - lasyfiaca sygnałów Sygnały ze względu na właściwości zdefiniowanych powyże wielości można podzielić na sygnały o ograniczone energii, eśli E x <, oraz sygnały o sończone mocy, eśli P x <. Moc sygnałów o ograniczone energii es równa, zaś energia sygnałów o sończone mocy es niesończona. a więc możemy mieć do czynienia z sygnałami o ograniczone energii i sończonym czasie rwania, sygnałami o ograniczone energii i niesończonym czasie rwania, sygnałami nieoresowymi o ograniczone mocy np. sygnał sały oraz z sygnałami oresowymi o ograniczone mocy. Uwaga - sygnały spróbowane - ao sończone zbiory próbe, możemy raować zarówno a sygnały o sończonym czasie rwania, a i sygnały oresowe, órych przedłużeniem oresowym es właśnie spróbowany sygnał. Energia, moc, widmowa gęsość energii i mocy Sygnały oresowe Rozwinięcie w szereg Fouriera, - ores sygnału F n - widmo ampliudy F n - widmo mocy moc sygnału P w. Parsevala energia racona w ednosce czasu w oporności Ω związi z eleroechnią F n P / -/ / -/ f exp-nd f d Fn 5

53 7--3 Energia, moc, widmowa gęsość energii i mocy Sygnały o sończonym czasie rwania i sończone energii w sończonym przedziale czasu sygnały nieoresowe, bezwzględna całowalność, moc średnia równa zero, energia sygnału E oreślona es przez zależność w. Rayleigh a : E f d π - - F d F - widmowa gęsość energii Ω Energia, moc, widmowa gęsość energii i mocy Sygnały o niesończonym czasie rwania i niesończone energii w niesończonym przedziale czasu Sygnały o niesończonym czasie rwania np. oresowe - energia niesończona w niesończonym przedziale, F z definici nie isniee funca nie es bezwzględnie całowalna, można oreślić moc średnią P uśrednienie za czas obserwaci, Ω: P lim / -/ f d - lim F d F Φ lim Φ - widmowa gęsość mocy; w prayce Φ F / 53