Regulacja ciągła i dyskretna

Transkrypt

1 Regulacja ciągła i dysrena Andrzej URBANIAK Regulacja ciągła i dysrena () W olejnym wyładzie z zaresu serowania i regulacji zajmiemy się sroną funcjonalno-sprzęową. Analizę odniesiemy do uładów regulacji ciągłej a nasępnie doonamy przeszałcenia ych zależności w celu uzysania opisu odpowiedniego dla uładów dysrenych.

2 Regulacja ciągła i dysrena Sygnał regulujący Obie Sygnał regulowany y Elemen wyonawczy Sygnał serujący u Regulaor Elemen pomiarowy y e Uchyb Sygnał pomiarowy x Zadajni Regulacja ciągła i dysrena () Na począe przeanalizujemy schema funcjonalny uładu regulacji (odpowiedni schemau bloowego przedsawionego w ramach poprzedniego wyładu). Cenrum procesu regulacji jes obie regulacji. Jego charaerysyi dynamiczne oraz inne właściwości oreślają charaer pozosałych elemenów (urządzeń) auomayi. Z obieem ściśle wiąże się oreślenie zadania serowania, óre może być opisane na wiele sposobów. Najprosszy sposób polega na oreśleniu oczeiwanej warości wielości regulowanej wyrażonej za pomocą sygnału regulowanego. Z drugiej srony wiedza echnologiczna pozwala oreślić wielość wejściową (regulującą), poprzez órą można wpływać na obie w celu zmiany wielości regulowanej. Z obieem ściśle jes związany elemen wyonawczy. Jego zadanie polega na wypracowaniu efeywnego sygnału regulującego na podsawie sygnału serującego uzysanego z regulaora. Powinien on zaem posiadać ai charaer, aby mógł suecznie wpłynąć na zmiany na obiecie. Jeśli na przyład obie jes ypu hydraulicznego (zbiorni, pompa) o elemeny wyonawcze będą ego samego ypu (zawory, zasuwy, dozownii). Nierzado eż elemeny wyonawcze onsrucyjne sprzężone są z obieem. Kolejnym elemenem najbliższym obieowi jes elemen pomiarowy, óry w nowoczesnych rozwiązaniach częso bardzo złożonym uładem. Jego zadanie polega na przeworzeniu sygnału niosącego informację o warości regulowanej na sygnał porównywalny z sygnałem zadanym uzysanym z zadajnia. Obszar zareślony linią przerywaną obejmuje eleryczne sygnały wejściowe i wyjściowe. Jeśli zaem sygnał z zadajnia jes ypu elerycznego, o wyjście czujnia pomiarowego również musi mieć charaer sygnału elerycznego. Nowoczesne onsrucje elemenów pomiarowych pozwalają praycznie na pomiar olbrzymiej gamy wielości, również aich, órych warości do niedawna można było uzysiwać jedynie na drodze laboraoryjnej. Współczesne rozwiązania elemenów pomiarowych zawierają sysemy miroprocesorowe pozwalające na uzysaniu na ich wyjściu sandardowych sygnałów elerycznych zależnych liniowo od mierzonych wielości. Procesy obróbi surowego sygnału pomiarowego aie ja filracja, linearyzacja i sandaryzacja realizowane są przez miroprocesor wbudowany w elemen pomiarowy. Elemeny pomiarowe są przyładem jednej z wielu dziedzin szeroich zasosowań sysemów wbudowanych. Przyłady aich rozwiązań zosaną zaprezenowane w ramach ońcowych wyładów. Zadajnii są zwyle urządzeniami, najczęściej ypu poencjomerycznego, pozwalającymi na prose zadawanie warości wielości regulowanych dla uładu regulacji. W poprzednim wyładzie przedsawiono omówienie opisu dynamii obieów oraz podano główne wymagania jaościowe odnośnie do uładów regulacji. W ym wyładzie supimy się na regułach doboru regulaorów i przedsawimy zależności na sygnał serujący dla różnych ypów regulacji.

3 Charaerysyi dynamiczne obieów regulacji Obiey proporcjonalne: wzmacniający idealny (bezinercyjny) wzmacniający rzeczywisy (inercyjny I rzędu) inercyjny II rzędu inercyjny wyższych rzędów Obie oscylacyjny Obiey różniczujące: różniczujący idealny różniczujący rzeczywisy (różniczujący z inercją) Obiey całujące: całujący idealny całujący rzeczywisy (całujący z inercją) Obiey opóźniające Regulacja ciągła i dysrena (3) Przedsawimy sróową lasyfiację obieów regulacji ze względu na ich dynamię. Ogólnie można swierdzić, że mamy do czynienia z czerema podsawowymi rodzajami obieów. Pierwszy rodzaj dynamii, o obiey proporcjonalne, czyli aie dla órych sygnał wyjściowy jes proporcjonalny do sygnału wejściowego. Drugi rodzaj obejmuje obiey, órych sygnał wyjściowy jes pochodną sygnału wejściowego. Są o obiey różniczujące. rzeci rodzaj dynamii związany jes z przewarzaniem całowym, o znaczy, że wyjście obieu jes oreślone przez całę sygnału wejściowego. Czwary rodzaj o obiey opóźniające, órych wyjście jes powórzeniem sygnału wejściowego po czasie opóźnienia. Wymienione powyżej czery rodzaje obieów mają charaer idealny. W rzeczywisości zaem wszysie wspomniane obiey należy rozparywać również jao rzeczywise. Wyraża się o poprzez wprowadzenie inercyjnego charaeru obieów. Z ego powodu można uznać, że reprezenaywnym zesawem charaerysy dynamicznych jes zesaw 0 ypowych obieów (idealnych i rzeczywisych). Są o: Obiey proporcjonalne: wzmacniający idealny wzmacniający rzeczywisy (inercyjny I rzędu) inercyjny II rzędu inercyjny wyższych rzędów Obiey oscylacyjne Obiey różniczujące: różniczujący idealny różniczujący rzeczywisy (różniczujący z inercją) Obiey całujące: całujący idealny całujący rzeczywisy (całujący z inercją) Obiey opóźniające Przedsawimy opis poszczególnych zawierający nasępujące elemeny:. Równanie dynamii. ransmiancję operaorową 3. Charaerysyę soową 4. Charaerysyę ampliudowo-fazową 5. Przyład Uwaga: W celu uproszczenia opisu wzorów i rysunów na olejnych slajdach wyorzysano numeracje poszczególnych elemenów opisu bez powarzania ażdorazowo opisu słownego. 3

4 Obie wzmacniający idealny (bezinercyjny) y ( = x( Równanie ransmiancja operaorowa G(s) =, () liczba rzeczywisa zwana współczynniiem wzmocnienia 3 Charaerysya soowa 4 h( Charaerysya ampliudowo-fazowa Q(ω) P(ω) 5 Przyłady: wzmacniacz bezinercyjny Regulacja ciągła i dysrena (4) Równanie opisujące dynamię uładu wzmacniacza idealnego w dziedzinie zmiennej czasu opisuje proporcjonalną zależność sygnału wyjściowego y w funcji sygnału wejściowego x. Współczynniiem proporcjonalności jes liczba rzeczywisa zwana współczynniiem wzmocnienia. Odpowiednio przeszałcone równanie dynamii w zapisie operaorowym i wyrażone w formie ransmiancji operaorowej ma posać (). ransmiancja operaorowa obieu bezinercyjnego równa jes liczbie rzeczywisej oreślanej mianem współczynnia wzmocnienia. Charaerysya soowa (czyli odpowiedź uładu na wymuszenie w posaci sou jednosowego) ma posać prosej równoległej do osi czasu o warości rzędnej równej współczynniowi wzmocnienia. Charaerysya ampliudowo-fazowa wynia - ja wiadomo z zapisu ransmiancji widmowej w posaci algebraicznej formy liczby zespolonej G(j ω). Zapis en zawiera część rzeczywisą P(ω) = oraz Q(ω) = 0. Oznacza o, że charaerysya ampliudowo-fazowa reduuje się do punu na osi rzeczywisej. W rzeczywisości nie isnieją obiey idealne, można jedynie mówić o obieach, órych charaerysyi są blisie idealnym. Sa eż jao przyład idealnego członu wzmacniającego można wymienić wzmacniacz eleroniczny, ze względu na jego bardzo małą inercję i możliwość urzymania sałego wzmocnienia w czasie. 4

5 Obie wzmacniający rzeczywisy (z inercją) dy( + d y( = x( wsp. wzmocnienia sała czasowa inercji G( s) = + s () h( 3 4 ω= Q(ω) ω=0 P(ω) 5 wzmacniacz rzeczywisy, maszyny prose, zawór Regulacja ciągła i dysrena (5) Równanie dynamii obieu wzmacniającego z inercją uprości się i przyjmie posać aą samą ja w przypadu obieu idealnego, gdy y( = cons. Wówczas pierwszy człon równania będzie równy zero. Ja wspomniano, ażdy rzeczywisy wzmacniacz posiada inercję (bezwładność) dlaego opis en jes bliższy rzeczywisości. Charaerysya soowa poazuje, że warość wzmocnienia równą uzysuje wzmacniacz po pewnym czasie. Sała zwana sałą czasową inercji może być wyznaczona z charaerysyi soowej za pomocą prosej sycznej do odpowiedzi soowej w począu uładu współrzędnych. Zwróćmy również uwagę na fa, iż sałą inercji musi być dodania (ma wymiar czasu, óry jes salarem). Charaerysya ampliudowo-fazowa ma przebieg półoręgu, órego począe (ω=0) znajduje się w puncie na osi rzeczywisej, oniec (ω= ) w począu uładu współrzędnych płaszczyzny zmiennych zespolonych. Jeśli uwzględnić w opisie maszyn prosych pewne zjawisa nieorzysne, wówczas opis dynamii odpowiada obieom inercyjnym I rzędu. Na przyład w przypadu dźwigni jednosronnej lub dwusronnej będzie o ugięcie ramion dźwigni, w przypadu wielorąża będzie o rozciągliwość liny i arcie. Z podobnych powodów również zawór hydrauliczny można zaliczyć do obieów inercyjnych I rzędu. 5

6 Obie inercyjny II rzędu d y( dy( + ( + ) + y( = x( d dy G( s) = ( + s )( + s ) (3), sałe inercji 3 h( 4 ω= Q(ω) ω=0 P(ω) 5 maszyny prose, zawory z uwzględnieniem wielu zjawis nieorzysnych Regulacja ciągła i dysrena (6) Opis dynamii obieu inercyjnego II rzędu pozwala na uwzględnienie wielu innych zjawis wysępujących w obieach rzeczywisych wzmacniających. Zachowanie ych obieów opisane jes równaniem zawierającym oprócz współczynnia wzmocnienia dwie sałe czasowe inercji. Odpowiedź soowa uładu inercyjnego II rzędu zawiera charaerysyczny pun przegięcia, óry oddziela dwie fazy odpowiedzi. W pierwszej fazie uład reaguje nieznacznie na wymuszenie soowe, dopiero w drugiej fazie wysępuje wyraźne dochodzenie do warości wzmocnienia. Z wyresu można odczyać paramery uładu: wzmocnienie, oraz sałe inercji i. Kompliuje się również przebieg charaerysyi ampliudowo-fazowej. Jej wyres na płaszczyźnie Gaussa przebiega przez dwie ćwiari (w olejności czwarą i rzecią) i rozpoczyna się znów w puncie na osi rzeczywisej i ończy w począu uładu współrzędnych. Warości sałych czasowych inercji i mogą przyjmować jedynie warości dodanie, co jednoznacznie definiuje charaer równania w mianowniu ransmiancji operaorowej. Równanie charaerysyczne posaci M(s) = (+s )(+s ) musi mieć rozwiązanie w dziedzinie liczb rzeczywisych, ( s = -/ s = -/ ) co oznacza, że wyróżni równania II sopnia winien być dodani. Opisując możliwe przyłady obieów o charaerysyce inercyjnej II rzędu należy zwrócić uwagę na maszyny prose, órych opis będzie zawierał wiele złożonych zjawis nieorzysnych. Szczególne znaczenie mają w ym przypadu opisy uładów hydraulicznych, gdzie oprócz ściśliwości medium zachodzą również zjawisa lepości. Czwórni eleryczny złożony z rezysora, inducyjności i pojemności również jes opisany równaniem różniczowym II rzędu, może zaem być modelem członu inercyjnego II rzędu. 6

7 Obiey inercyjne wyższych rzędów n d y( dy(... n ( ) + y( = x( ) n d dy G( s) = ( + s )( + s )...( + s n h( 3 4 ω= ) Q(ω) (4) ω=0 P(ω) 5 złożone ułady hydrauliczne i mechaniczne, rozbudowane ułady eleryczne Regulacja ciągła i dysrena (7) Nauralnym rozszerzeniem opisu członów inercyjnych są człony z inercją wyższych rzędów. Opis ai uzysuje się analizując złożone ułady mechaniczne i hydrauliczne i uwzględniając w opisie szereg zjawis charaerysycznych dla ych obieów. Paramerów czasowych i... n nie udaje się wyznaczyć wpros z charaerysy ponieważ przebieg charaerysyi soowej nie zmienia swego charaeru (jes o charaerysyczna rzywa z jednym punem przegięcia). Na podsawie charaerysyi soowej nie można ocenić nawe rzędu inercji uładu. aą informacje można uzysać analizując przebieg charaerysyi ampliudowo-fazowej. Przebiega ona przez aą liczbę ćwiare płaszczyzny Gaussa jai jes rząd inercji uładu. Szczegółowy opis dynamii obieu nie zawsze jes onieczny do prawidłowego zaprojeowania uładu regulacji. W wielu praycznych syuacjach wysarcza opis masymalnie do II rzędu oraz niezwyle isona informacja o charaerze obieu (np.. że jes o obie inercyjny, całujący lub różniczujący). 7

8 3 d y( + ξ d G( s) = s h( Obie oscylacyjny 0 dy( + dy ω0 + ξω s + ω 0 y( = x( (5) 4 ω= ω 0 ω 0 pulsacja oscylacji własnych ξ względny współczynni łumienia (0< ξ<) Q(ω) P(ω) ω=0 5 ułady mechaniczne oscylujące (masa+sprężyna), eleryczny uład drgający, wahadło Regulacja ciągła i dysrena (8) Obie oscylacyjny należy do lasy obieów II rzędu a jego specyfia wynia z całowicie odmiennej reacji na wymuszenie soowe. Równanie różniczowe II rzędu ma inne rozwiązanie w przypadu, gdy wyróżni równania charaerysycznego obieu jes ujemny. Warune en jes równoznaczny z waruniem, że względny współczynni łumienia jes zawary w przedziale (0,), ( 0< ξ<). Oznacza o, że pierwiasi równania są urojone i sprzężone. Funcja, óra jes rozwiązaniem równania różniczowego ma charaer oscylacyjny sinusoidalnie zmienny. Charaerysya ampliudowo-fazowa ma przebieg idenyczny ja dla członu inercyjnego, z ym że pun jej przecięcia z osią urojoną oreśla warość częsości drgań własnych ω 0. W wielu przypadach praycznych uładów uzysanie charaerysyi inercyjnej czy oscylacyjnej zależy od doboru paramerów uładu. Im więsze łumienie (np.. poprzez zwięszenie arcia) ym więsza szansa na zachowanie inercyjne uładu. Odwronie, w przypadu eliminacji łumienia (np.. zmniejszenia rezysancji w obwodzie drgającym) ym więsze prawdopodobieńswo uzysania oscylacji. Klasycznym przyładem uładu oscylacyjnego jes wahadło fizyczne. łumienie ruchu wahadła wynia z oporu powierza, óry jes sosunowo mały i sąd uzysanie inercyjnego charaeru ruchu wahadła jes możliwe jedynie w ośrodu o więszym oporze (np.. w cieczy oleisej). Najczęściej oscylacje są niepożądanym zjawisiem w procesie regulacji. Wysiłe onsruorów sierowany jes zaem na urzymanie zachowania inercyjnego poprzez odpowiedni dobór paramerów łumienia uładu. Należy jedna pamięać, iż łumienie wiąże się z dodaowymi sraami energii, zaem pogarsza sprawność energeyczną uładu. W uładach, w órych dopuszcza się oscylacje należy zapewnić waruni ich szybiego wygaszania. 8

9 Obie różniczujący idealny dx( y( G(s) = s, d = (6) współczynni wzmocnienia Uład nie spełnia warunu realizowalności fizycznej s. licznia >s. mianownia 3 h( 4 Q(ω) ω= ω=0 P(ω) 5 bra Regulacja ciągła i dysrena (9) Zaprezenowany uład różniczujący idealny opisany jes ransmiancją (6), óra nie spełnia warunu realizowalności fizycznej. Zauważyliśmy przy oazji definicji ransmiancji operaorowej, że wszysie ułady fizyczne zachowują warune: sopień wielomianu licznia ransmiancji nie może być wyższy od sopnia wielomianu mianownia. W przypadu zależności (6) warune en nie zosał spełniony. Nie isnieje zaem obie fizyczny, óry mógłby być przyładem uładu różniczującego. Sygnał y( uładu różniczującego jes proporcjonalny do prędości zmian zmiennej wejściowej x(. Charaerysya soowa idealnego członu różniczującego ma posać impulsu Diraca (przypomnijmy: niesończona ampliuda w czasie równym zero), óry jes nierealizowalny fizycznie. Isnienie zaem idealnego członu różniczującego gwaranowało by możliwość uzysania impulsu Diraca. Wyjaśnimy nierealność idealnego działania różniczującego na przyładzie cewi inducyjnej. Z znanego w fizyce prawa Eulera wiadomo, że siłą eleromooryczna induowana w cewce inducyjnej pojawia się, gdy władamy magnes sały do wnęrza cewi. Zwoje cewi przecinane są przez linie sił pola magneycznego magnesu. Siła eleromooryczna jaa pojawia się na ońcówach cewi jes w przybliżeniu proporcjonalna do prędości poruszania się magnesu. Doładną zależność można by uzysać, gdyby udało się zbudować cewę z przewodu o zerowym oporze (nie dysponujemy aim przewodem). aa onsrucja jes po prosu niemożliwa. Prezenacja członu różniczującego (mimo powyższych wad) jes jedna sensowa co najmniej z dwóch powodów. Po pierwsze, ze względów na sysemayę opisu, rudno bowiem było by omawiać człon różniczujący rzeczywisy nie mając odniesienia do idealnego. Drugim powodem i o o wiele bardziej isonym jes możliwość wydzielenia w opisie złożonych sruur uładów członu różniczującego w celu oreślenia cech dynamii obieu (mimo iż fizyczne wydzielenie ego elemenu jes niemożliwe!). 9

10 3 / Obie różniczujący rzeczywisy dy( + d s G( s) = + s h( dx( y( = d (7) 4 Q(ω) wsp. wzmocnienia sała czasowa inercji ω=0 ω= P(ω) 5 cewa inducyjna, łumi hydrauliczny, arcie mechaniczne Regulacja ciągła i dysrena (0) Równanie dynamii i ransmiancja członu różniczującego rzeczywisego (różniczującego z inercją) spełnia warune realizowalności fizycznej. Sopień wielomianu licznia jes równy podobnie ja sopień wielomianu w mianowniu ransmiancji. Charaerysya soowa wsazuje wyraźnie na najsilniejsze oddziaływanie uładu różniczującego w pobliżu począu uładu współrzędnych. Działanie o zania dla dążącego do niesończoności. Szybość zaniu wsazuje sała czasowa inercji. Charaerysya ampliudowo-fazowa ma posać półoręgu leżącego w I ćwiarce płaszczyzny Gaussa. Jes o zgodne z zasadą, że charaerysya ampliudowo-fazowa przebiega prze aą liczbę ćwiare jai jes rząd równania charaerysycznego uładu. Mamy bowiem do czynienia z wielomianem charaerysycznym I rzędu. Przyład eleryczny członu różniczującego rzeczywisego wsazano już przy oazji wyjaśnienia niemożności uzysania idealnego członu różniczującego jes o cewa inducyjna. W uładach mechanicznych przyjmuje się zwyle, że siła arcia posuwisego jes proporcjonalna do prędości poruszającego się ciała. Doświadczenie jazdy samochodem powierdza en fa, gdyż można w przybliżeniu przyjąć, że zużycie paliwa jes proporcjonalne do prędości jazdy. Specyficznym i częso wyorzysywanym przyładem obieu różniczującego jes elemen mechanicznohydraulicznego zawieszenia samochodu. Zadanie uładu zawieszenia polega na niwelowaniu nagłych nierówności wysępujących na jezdni. Im więsza sromość nierówności, ym onieczna więsza siła wynosząca pojazd. Nagły spade oła pojazdu do nierówności wywołuje szybą i silną reację wynoszącą pojazd, zgodnie z charaerysyą soową. 0

11 3 y( = h( Obie całujący idealny 0 G ( s) = x( τ ) dτ s (8) wsp. wzmocnienia i =/ sała całowania 4 ω= Q(ω) P(ω) 5 i ondensaor idealny ω=0 Regulacja ciągła i dysrena () Wyjście idealnego członu całującego jes całą z warości wejściowej ze współczynniiem. Częso używa się parameru i, nazywanego sałą całowania, óra jes odwronością współczynnia wzmocnienia. Obrazem charaerysyi soowej członu całującego jes prosa przechodząca przez począe uładu współrzędnych o nachyleniu (oznacza o, że angens ąa nachylenia prosej wynosi / i ). Podanie na wejście sygnału o sałej warości powoduje liniowe narasanie sygnału wyjściowego. Bra endencji do sabilizacji sygnału wyjściowego swarza oreślone rudności w realizacji sabilnych uładów regulacji (obie całujący może być źródłem niesabilności uładu). Z echnicznego punu widzenia niezbędne jes wprowadzenie ograniczenia sygnału wyjściowego. Charaerysya ampliudowo-fazowa porywa się z ujemna częścią osi urojonej. Charaerysyi całujące posiada wiele obieów rzeczywisych pracujących na zasadzie sumowania wielości wejściowych. Są o przede wszysim ułady zbiorniowe, órym jedna daleo do idealnych. W uładach elerycznych elemenem całującym jes ondensaor (całuje ładune eleryczny), óry jes najbliższy charaerysyce idealnego członu całującego. Kondensaor idealny o ai, óry posiada idealny izolaor między oładami zaem nie ma upływności ładunu.

12 3 5 Obie całujący rzeczywisy (z inercją) dy( + y( = d G( s) = 0 x( τ ) dτ wsp. wzmocnienia i =/ sała całowania (9) s( + s ) 4 Q(ω) h( P(ω) ω= i ω=0 ondensaor, zbiorni cieczy Regulacja ciągła i dysrena () Obie całujący rzeczywisy jes częso spoyany w prayce. Oprócz wspomnianych już wcześniej obieów (ondensaor, zbiorni) jao obiey całujące można uznać silnii eleryczne i pompy mediów. Nie rudno zauważyć, że bardzo wiele obieów realizujących procesy sumowania (całowania) posiada charaerysyi zbliżone do charaerysy obieów całujących. Obie całujący rzeczywisy można raować jao łańcuchowe (szeregowe) połączenie idealnego obieu całującego i obieu inercyjnego I rzędu. W połączeniu łańcuchowym wyjście jednego obieu (np.. idealnego całującego) sanowi wejścia olejnego (np.. inercyjnego I rzędu). Zgodnie z regułami przeszałceń schemaów bloowych wypadowa ransmiancja aiego połączenia jes iloczynem ransmiancji poszczególnych bloów (zasady przeszałceń schemaów bloowych znajdują się w podręczniach z eorii serowania). Charaerysya soowa powierdza, że poza począową fazą, przebieg odpowiedzi na so jednosowy jes liniowo narasający. W począowej części przebiegu wysępuje charaerysyczna inercja oreślona warością sałej czasowej inercji. Charaerysya ampliudowo-fazowa przebiega w rzeciej ćwiarce płaszczyzny Gaussa zachowując charaer podobny do idealnego członu. W prayce można również spoać obiey całujące wyższych rzędów np.. n-ego rzędu. Wówczas we wzorze na ransmiancję pojawia się w mianowniu zmienna operaorowa s w poędze n-ej.

13 Obie opóźniający y( = x( ) - opóźnienie G( s) = e s (0) 3 4 h( Q(ω) ω=π/ ω=0 P(ω) 5 Przyłady: ransporer aśmowy Regulacja ciągła i dysrena (3) Obie opóźniający realizuje operację przesunięcia w czasie sygnału wyjściowego w sosunu do wejściowego. Charaerysya członu opóźniającego ma posać przesunięego sou jednosowego o warość sałej opóźnienia. Charaerysya ampliudowo-fazowa przyjmuje posać oręgu o promieniu. Poszczególne puny przecięcia z osiami uładu współrzędnych płaszczyzny Gaussa opisane są przez różne warości zmiennej częsoliwościowej. Ja poazują analizy idenyfiacyjne obieów rzeczywisych, ażdy z nich wyazuje pewne opóźnienie i sąd en człon sanowi sładni opisu ażdego rzeczywisego obieu regulacji. Pomija się go jedynie w szczególnych przypadach, gdy opóźnienie jes a małe w porównaniu do innych paramerów czasowych, że można je pominąć. Klasycznym przyładem obieu opóźniającego jes ransporer aśmowy. W uładach eleronicznych również onsruuje się specjalne bloi opóźniające niezbędne np.. w uładach wizyjnych zw. linie opóźniające. Podsumowując przedsawione powyżej charaerysyi dynamiczne członów w uładach serowania i regulacji należy swierdzić, że odnoszą się one do wszysich wysępujących w uładach regulacji elemenów. Swoja dynamię posiada obie, urządzenie pomiarowe, elemen wyonawczy czy regulaor. Razem worzą uład regulacji, óry jao całość ma swoją dynamię. Uzysanie opisu dynamii całego uładu regulacji pozwala na ocenę jego pracy. Różnorodne sruury powiązań między poszczególnymi elemenami wymagają umiejęności przeszałcania ych sruur oreślane częso mianem arymeyi schemaów bloowych. Również en zares maeriału sanowi inegralną część auomayi. Przedsawione powyżej opisy podsawowych członów dynamicznych sanowią elemeny opisu rzeczywisych obieów i wyorzysywane są na eapie analizy i synezy uładów regulacji. 3

14 Uproszczony opis dynamii obieów y Charaerysyi obieów saycznych (inercyjnych II rzędu i wyższych) y 0 G ob (s) = s e 0 + s Regulacja ciągła i dysrena (4) Zajmiemy się obecnie uładem regulacji od srony funcjonalnej, zn. zadania regulacji. Elemenem realizującym funcje regulacji jes regulaor. Przedsawione charaerysyi różnych obieów pozwalają na rafny dobór regulaorów. Nie zawsze jedna isnieje onieczność uzysania szczegółowych charaerysy, czasem wysarczą charaerysyi uproszczone. Obiey spoyane w prayce mają zwyle charaer sayczny bądź asayczny. W celu uproszczenia doboru regulaorów wyznacza się paramery zasępcze obieów według podanych niżej zasad. Na rysunu podano sposób wyznaczenia paramerów zasępczych na podsawie charaerysy soowych dla obieów saycznych. W prayce opisu dynamii obieów wprowadza się elemen opóźnienia, óry w odniesieniu do rzeczywisych obieów zawsze wysępuje. W przypadu obieów saycznych charaerysyi zasępuje się wypadowymi charaerysyami obieów inercyjnych I rzędu z opóźnieniem. ransmiancję zasępcza ych obieów zapisano obo rysunu. 4

15 Uproszczony opis dynamii obieów y i Charaerysyi obieów asaycznych (całujących) y 0 G ob (s) = e s s 0 Regulacja ciągła i dysrena (5) Dla obieów asaycznych również przyjmujemy zasępczą charaerysyę soową, órej onsrucję przedsawiono na rysunu. Opisuje ona idealny obie całujący z opóźnieniem (ransmiancja zasępcza podana jes obo rysunu). Uzysane z charaerysy zasępczych paramery 0 i sanowią podsawę doboru regulaorów. 5

16 Regulaory i ich dobór Pełny dobór regulaora wymaga: wyboru rodzaju regulaora wyboru ypu regulaora doboru nasaw. Wybór rodzaju regulaora (na podsawie sosunu 0 /) 0 / < 0, - regulaor dwupołożeniowy lub rójpołożeniowy 0, < 0 / < regulaor ciągły 0 / > regulaor impulsowy. Regulacja ciągła i dysrena (6) Regulaorem nazywamy urządzenie, órego zadaniem jes porównywanie sygnału pomiarowego z sygnałem zadanym i w zależności od powsałego uchybu wyworzenie sygnału serującego. Miejsce regulaora w uładzie regulacji przedsawiono na schemacie funcjonalnym uładu regulacji. W ym uładzie regulaor zachowuje się biernie w przypadu zerowego uchybu, naomias reaguje, gdy uchyb e jes różny od zera. Ogólnie regulaory można podzielić na dwie zasadnicze grupy: bezpośredniego działania, zn. nie orzysające z energii pomocniczej, pośredniego działania, wyorzysujące pomocnicze źródło energii. W zależności od rodzaju wyorzysywanej energii regulaory pośredniego działania dzieli się na eleryczne, pneumayczne lub hydrauliczne. Powyższy podział jes związany z budową regulaorów. Innym ryerium podziału regulaorów są ich własności dynamiczne. Możemy mówić o regulaorach przewarzających sygnał serujący w sposób ciągły lub nieciągły. Innymi słowy, podział regulaorów ze względu na własności dynamiczne odpowiada ogólnemu podziałowi uładów serowania. Wybór rodzaju regulaora zależy od sosunu sałej czasowej opóźnienia do sałej czasowej inercji. Przez opóźnienie należy rozumieć reację uładu po czasie 0. Sałą czasowa inercji wyraża bezwładność uładu. W przypadu, gdy inercja uładu znacznie przewyższa opóźnienie zasosowanie regulaorów dwu- lub rójpołożeniowych pozwala na długorwałe podawanie sygnału na obie (przyładem aiego obieu jes żelazo). W srajnie odwronym przypadu, gdy opóźnienie jes znacznie więsze od inercji oddziaływujemy na obie przez rói ores czasu (impuls), gdyż reacja na o oddziaływanie będzie znacznie spóźniona i podawanie sygnału serującego przez dłuższy czas mogłoby spowodować duże niepożądane zmiany na obiecie, po upływie znacznego czasu. Z punu widzenia procesu regulacji syuacja najrudniejsza jes, gdy wielości opóźnienia i inercji są porównywalne. Wówczas należy dobrać yp regulaora, czyli jego charaerysyę dynamiczną. Klasyczne rozwiązania dają możliwości zasosowania regulaorów zawierających człony proporcjonalne (ypu P), całujące (ypu I) oraz różniczujące (ypu D). W prayce możliwe są czery ombinacje regulaorów: ypu P, Pi, PD oraz PID. 6

17 ypy regulaorów ciągłych Regulaor proporcjonalny ypu P Regulaor proporcjonalno-całujący ypu PI Regulaor proporcjonalno-różniczujący ypu PD Regulaor proporcjonalno-całująco-różniczujący ypu PID Regulacja ciągła i dysrena (7) Podsawowe ypy regulaorów ciągłych liniowych obejmują wyorzysanie operacji mnożenia (yp proporcjonalny), całowania (yp całujący) oraz różniczowania (yp różniczujący). W rozwiązaniach regulaorów zawsze wysępuje człon proporcjonalny oraz opcjonalnie człony całujące i różniczujące. Nie można również uzysać idealnych charaerysy regulaorów. W prayce opisu dynamii regulaorów do idealnych zależności dodaje się elemen inercji wyrażony za pomocą członu inercyjnego I rzędu. W dalszej części wyładu przedsawimy podsawowe charaerysyi regulaorów idealnych i rzeczywisych. 7

18 Sygnał serujący u Regulaor proporcjonalny ypu P () = e( p p współczynni wzmocnienia regulaora ransmiancja operaorowa regulaora idealnego rzeczywisego G ( s) = r p p G r (s) = + s x p 00% = p współczynni proporcjonalności Regulacja ciągła i dysrena (8) Najprosszym regulaorem jes regulaor proporcjonalny, zwany inaczej regulaorem ypu P. Dynamia aiego regulaora ma charaer członu proporcjonalnego. Sąd eż opis sygnału wyjściowego regulaora wyraża się liniową zależnością od sygnału uchybu sanowiącego sygnał wejściowy. Współczynniiem ierunowym prosej opisującej ą zależność jes współczynni wzmocnienia regulaora p. 8

19 u Regulaor proporcjonalno-całujący - ypu PI Sygnał serujący = p i 0 () e() + e( τ ) dτ p współczynni wzmocnienia regulaora -sała zdwojenia i ransmiancja operaorowa regulaora idealnego rzeczywisego G r (s) = p(+ s i ) p G r (s) = (+ + s s i ) Regulacja ciągła i dysrena (9) Regulaor PI generuje sygnał serujący u(, óry wyraża sumaryczne działanie proporcjonalne i całujące. Współczynni wzmocnienia regulaora p,w wyrażeniu na sygnał serujący, wysępuje przed nawiasem co oznacza, że jego warość wpływa zarówno na sładową proporcjonalną oraz całującą. Wysępuje zaem zjawiso ineracji nasaw regulaora (zmiana p powoduje nie ylo zmianę sładowej proporcjonalnej ale również całującej). Odpowiednie zależności operaorowe wyrażone za pomocą ransmiancji regulaora idealnego (bez inercji) oraz rzeczywisego (z inercją I rzędu) podane zosały na slajdzie. 9

20 u Sygnał serujący () = e() + p d de( d p współczynni wzmocnienia regulaora -sała wyprzedzenia d ransmiancja operaorowa regulaora idealnego Regulaor proporcjonalnoróżniczujący ypu PD rzeczywisego G r (s) = p(+ ds) p G r (s) = (+ ds) + s Regulacja ciągła i dysrena (0) Kolejna sruura regulaora zawiera część proporcjonalną (P) i różniczującą (D). Wyrażenie opisujące sygnał z regulaora PD w swej sruurze jes podobne do wyrażenia opisującego sygnał z regulaora PI. Zawiera część odpowiadającą za sładową proporcjonalną i różniczującą. Również w ym przypadu warość współczynnia wzmocnienia regulaora wpływa na część różniczującą. Zmiana zaem warości współczynnia wzmocnienia zmienia warość mnożnia pochodnej (ineracja nasaw). Odpowiednie ransmiancje dla uładu idealnego i rzeczywisego podane zosały na slajdzie. Zwróćmy jeszcze uwagę na fa niemożności realizacji idealnego regulaora PI już z samego fau niespełnienia warunu fizycznej realizowalności uładu (sopień licznia ransmiancji regulaora idealnego jes wyższy od sopnia mianownia). 0

21 u Regulaor proporcjonalno-całującoróżniczujący ypu PID Sygnał serujący = p i 0 () e() + e( τ ) dτ + d de d ( ransmiancja operaorowa regulaora idealnego rzeczywisego p, i, D -j.w. G r (s) = p(+ + ds) s i G p r + (s) = + s (+ s i s) d Regulacja ciągła i dysrena () Najbardziej rozbudowana forma regulaora obejmuje sumaryczne działanie proporcjonalne, całujące i różniczujące. Uwagi poczynione w odniesieniu do poprzednich sruur PI oraz PD odnoszą się również do regulaora PID. Doyczy o przede wszysim ineracji nasaw oraz możliwości realizacyjnych regulaorów idealnych i rzeczywisych. Przemysłowe rozwiązania regulaorów zwyle mają sruurę PID. Wynia o zarówno z fau uniwersalności zasosowań ja również z ego, że w przypadu onieczności zasosowania wyłącznie regulaora PI lub PD czy nawe wyłącznie P można e sruury uzysać wpros z PID poprzez umiejęny dobór paramerów ego regulaora. Prosa analiza zależności na ransmiancję regulaora PID pozwala swierdzić, że działanie PD uzysamy usalając masymalną warość czasu zdwojenia i. Z drugiej srony liwidacja działania różniczującego ma miejsce dla sałej wyprzedzenia d =0.

22 Regulaory dobór ypu regulaora Ogólne zasady: działanie różniczujące D wprowadza dodanie przesunięcie fazowe i zwięsza pasmo przenoszenia uładu, działanie całujące I wprowadza ujemne przesunięcie fazowe i zmniejsza pasmo przenoszenia uładu, działanie całujące zwięsza rząd asayzmu uładu. Regulacja ciągła i dysrena () Dobór ypu regulaora Wybór ypu regulaora doyczy wyboru jego własności dynamicznych. Chodzi zaem o wybór charaeru oddziaływania regulaora: działanie proporcjonalne (P), całujące (I) lub różniczujące (D). Ogólne wsazówi są nasępujące: działanie różniczujące D wprowadza dodanie przesunięcie fazowe i zwięsza pasmo przenoszenia uładu, działanie całujące I wprowadza ujemne przesunięcie fazowe i zmniejsza pasmo przenoszenia uładu, działanie całujące zwięsza rząd asayzmu uładu. W zależności od wymagań regulacji doonuje się wyboru ypu regulaora spośród ypów P, PI, PD lub PID.

23 Regulaory dobór nasaw Przyład: Meoda Zieglera-Nicholsa Dla regulaora ypu P p = 0,5 r Dla regulaora ypu PI p = 0,45 r, i = 0,85 r Dla regulaora ypu PID p = 0,6 r, i = 0,5 r, d = 0, r Regulacja ciągła i dysrena (3) Dobór nasaw Isnieje wiele meod doboru nasaw regulaora. Podamy dla przyładu zasady doboru nasaw regulaorów meodą Zieglera-Nicholsa. W ym celu należy wyznaczyć dwa zasadnicze paramery uładu regulacji: wzmocnienie ryyczne r, ores drgań ryycznych r. Paramery e wyznaczamy doświadczalnie, włączając regulaor na działanie proporcjonalne P i zwięszając wzmocnienie aż do momenu, gdy uład osiągnie granicę sabilności (zn. w uładzie powsaną drgania o sałej ampliudzie i oresie r ). Warość wzmocnienia, przy órej wysępuje powyższe zjawiso, nazwiemy wzmocnieniem ryycznym r. Doboru nasaw doonujemy dla wybranego wcześniej ypu regulaora według zależności podanych poniżej. Dla regulaora ypu P p = 0,5 r Dla regulaora ypu PI p = 0,45 r, i = 0,85 r Dla regulaora ypu PID p = 0,6 r, i = 0,5 r, d = 0, r Doładniejszego doboru nasaw można doonać na podsawie znajomości przebiegów uchybu oraz charaerysy częsoliwościowych (ampliudowo- 3

24 Regulacja dysrena f Warune Shannona π ω p = ω g 3 n Oś czasu n- n n+ czas impulsowania Regulacja ciągła i dysrena (4) Doychczasowe rozważania ograniczone były do uładów liniowych ciągłych. Sanowią one powszechnie uznany anon problemayi serowania i regulacji i na ej podsawie przejdziemy do róiego omówienia regulacji dysrenej. W przypadu regulacji ciągłej wielości charaerysyczne mają posać funcji ciągłych (nieoniecznie w całym zaresie zmienności, ale przynajmniej w oreślonych przedziałach), órych warości są oreślone w ażdej chwili czasu (zmiennej niezależnej). Załóżmy, że znamy warości funcji ylo w ściśle oreślonych chwilach czasowych (najczęściej o sałej odległości) zwanych chwilami impulsowania. Na rysunu opisano oś czasu przyjmując ores impulsowania. Dla sałej warości czas można wedy wyrazić za pomocą olejnych liczb nauralnych oreślających daną chwilę impulsowania. W prayce częso mamy do czynienia z wysępowaniem obu rodzajów zależności: ciągłych i dysrenych. Wówczas sosuje się rozwiązanie będące pewnym ompromisem. Zwyle nie można uzysać warości funcji dysrenej między poszczególnymi chwilami impulsowania, zaem przyjmuje się rozwiązanie odwrone, doonuje się dysreyzacji funcji ciągłej. Dysreyzacja polega na odczyaniu warości funcji ciągłej w chwilach impulsowania. Proces en jedna nie powinien spowodować uray informacji jaą niesie funcja ciągła. Podsawowy warune poprawnej dysreyzacji funcji podaje wierdzenie Shannona- Koielniowa.. Mówi ono o ym, że ażdą funcję ciągłą f(, óra posiada ransformaę Fouriera i órej widmo jes ograniczone (zn. powyżej pulsacji ω g widmo jes równe zeru) można przedsawić w dysrenych chwilach odległych od siebie o czas zachowując informację o warości funcji w dowolnej chwili, o ile ylo zosało dobrane zgodnie z waruniem: < П/ ω g. Warune en jes równoważny swierdzeniu, że częsość próbowania ω p musi być nie mniejsza niż dwurona częsość graniczna ω g. ai sposób analizy sygnałów dysrenych jes charaerysyczny dla sysemów ompuerowych (miroprocesorowych) pracujących z oreślonym cylem zegarowym. W apliacjach miroprocesorowych sysemów serowania czas impulsowania jes wieloronością czasu zegara podsawowego procesora. Sprowadza się o do implemenacji programów regulacyjnych dla ypowego ompuera (miroompuera) zaoparzonego na wejściu i wyjściu odpowiednio w przewornii A/C i C/A. Sygnałami wejściowymi i wyjściowymi są więc sygnały analogowe, a ompuer wyonujący obliczenia worzy z przeworniami pewien uład dynamiczny, óry może spełniać rolę regulaora. Równanie regulaora i jego współczynnii mogą być ławo modyfiowane. 4

25 u Dysrene wersje regulaorów Sygnał serujący generowany przez regulaor ciągły PID (*) = p i 0 () e() + e( τ ) dτ + d de d ( Sładowa proporcjonalna - P u ( n) e(n) P = Sładowa różniczująca - D u D ( n) = p d p e( n) e( n ) Sładowa całująca - I u I n ( n) = p i j= 0 e( j) Regulacja ciągła i dysrena (5) Wyznaczmy zaem odpowiednie zależności na warości sygnałów serujących jao odpowiednii regulaorów ciągłych omówionych wcześniej. Weźmy do analizy zależność (*) na sygnał serujący regulaora proporcjonalno-całująco-różniczującego PID. Ogólnie można zapisać równanie (*) jao sumę oddziaływania proporcjonalnego u P, działania całującego u I oraz działania różniczującego u D. Sładowa proporcjonalna wyrażona jes przez iloczyn współczynnia wzmocnienia p i warości uchybu e(. Odpowiednia zależność dysrena przyjmie posać u P (n) = p e(n). Sładową całującą u I (n) wyznaczymy realizując dysreną operację całowania, czyli sumowanie poszczególnych sładniów funcji dysrenej e(j) w granicach od 0 do aualnej chwili n. Wyrażenie na sładową całującą przyjmie posać podana na slajdzie (gdzie jes oresem impulsowania). Sładowa różniczująca u D opisana jes wyrażeniem, óre podobnie ja w przypadu całowania ma swoje źródło w definicji pochodnej. 5

26 u u Regulaor PID wersja pozycyjna Dysrena wersja regulaora PID (**) n d ( n) e( n) + e( j) + [ e( n) e( n ) ] = p i j= 0 d ( n) = [ I e( n)] ud ( n) = P [ e( n) e( n ) ] I P n + u D 6 i d ( n) = [ e( n) e( n 3) + 3e( n ) 3e( n ) ] P Uśredniona warość pochodnej Regulacja ciągła i dysrena (6) Końcową posać zależności uzysanej przez prosą dysreyzację zależności ciągłej na sygnał serujący regulaora PID przedsawia wzór (**). Zależność a odnosi się do zw. wersji pozycyjnej regulaora dysrenego PID. Warość u(n) oreśla sygnał serujący, óry należy wysłać na obie regulacji i urzymać ją do nasępnej chwili impulsowania, iedy zosanie wyznaczony nowy sygnał serujący. W implemenacji ompuerowej ważny jes sposób wyliczania warości sygnału serującego. Doyczy o przede wszysim sładowej całującej i różniczującej. Wyrażenie na sładową całującą u I (n) liczone jes jao suma wszysich warości e(j) począwszy od chwili zerowej aż do aualnej n-ej. Oznaczając warość poprzednio wyliczonej sładowej przez I wysarczy w ażdym cylu dodawać aualną warość uchybu e(n). Wyrażenie na sładową całującą przyjmie zaem posać prosszą podaną na slajdzie. Wyznaczenie dysrenej sładowej różniczującej jes rudne, gdyż wyrażenie we wzorze (**) opisuje prosą łącząca dwa puny e(n) oraz e(n-). W syuacji szybich zmian warości uchybu warość sładowej różniczującej może być bardzo duża i może przyjmować srajnie różne warości. Może zaem zachodzić syuacja dominacji warości u D w wyrażeniu (**). Jednym ze sposobów ograniczenia warości sładowej różniczującej, a zarazem obliczenia wiarygodnej warości pochodnej, jes uśrednienie jej warości za ores 3 osanich pomiarów. Zależność na u D przyjmie wedy posać podaną na slajdzie. Podsumowując ą róą analizę zależności na sygnał serujący regulaora cyfrowego PID w wersji pozycyjnej należy swierdzić, że a posać wzoru ma zasosowanie wszędzie am, gdzie ważne jes wyznaczenie serowania na nowo w ażdej chwili impulsowania. Algorym wyznaczania sygnału serującego absrahuje od hisorii serowań w poprzednich chwilach impulsowania. 6

27 u p Regulaor PID wersja przyrosowa u ( n) = u ( n) + u ( n) + u ( n) ( n) = [ e( n) e( n ) ] = e( n) p u u = n n I p = i j= 0 j= 0 D p ( n) = e( j) e( j) e( n) D D ( n) = {[ e( n) e( n ) ] [ e( n ) e( n ) ]} D p [ e( n) e( n ) + e( n ) ] p I p i D (***) Regulacja ciągła i dysrena (7) Innym rozwiązaniem jes wersja przyrosowa lub inaczej zwana prędościową (***). W ym podejściu poszuuje się w ażdym cylu serowania warości u(n), czyli zmiany sygnału u(n) w sosunu do poprzedniego cylu. Sładowa proporcjonalna zależy wpros od przyrosu uchybu regulacji. Sładowa całująca wyliczana jes bardzo proso. Pod znaiem sumy znajduje się bowiem jeden sładni - aualna warość uchybu regulacji e(n). W przypadu sładowej różniczującej przyros u D (n) wyznaczony jes przez warości uchybów w chwili aualnej n-ej oraz chwilach poprzednich (n-) i (n-). Wyrażenie w nawiasie posiada w pewnym sensie charaer uśredniający, chociaż nie jes o wyrażenie opisujące wyznaczanie średniej. W wersji przyrosowej algorymu część różniczująca może również powodować duże wahania warość lecz nie będą one już a znaczące ja w przypadu algorymu pozycyjnego. Przedsawione powyżej zależności na warość sygnału serującego sanowią maemayczny zapis algorymów serowania w dysrenych uładach regulacji. Algorymy e zaimplemenowane w ompuerowych sysemach serujących pozwalają na realizacje serowania zarówno obieami dysrenymi ja i ciągłymi. Programowa realizacja algorymów serowania pozwala na dużą swobodę wyboru zależności opisujących sygnały serujące oraz paramery serowania. Przy doborze warości paramerów regulacji należy uwzględnić dodaowo ważny paramer jaim jes czas impulsowania. Warość czasu impulsowania winna być a dobrana, aby z jednej srony zapewnić właściwą reację na obie (zgodnie z jego dynamią), a z drugiej srony uwzględnić czas realizacji algorymu serowania (czas odczyania i wsępnego przeworzenia danych i wyliczania warości sygnału serującego zgodnie z odpowiednia zależnością). 7

28 Podsumowanie Omówiono: Podsawową sruurę funcjonalną uładu regulacji Charaerysyi dynamiczne ypowych obieów regulacji Dobór regulaorów do obieów regulacji Charaerysyi regulaorów ciągłych P, PI, PD, PID Dysrene wersje regulaorów Uwaga: W analizach pominięo wyprowadzanie zależności, ładąc nacis na ich inerpreację fizyczną Regulacja ciągła i dysrena (8) 8