3. EKSPERYMENTALNE METODY WYZNACZANIA MODELI MATEMATYCZNYCH Sposób wyznaczania charakterystyki czasowej

Transkrypt

1 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych 3. EKSPERYMENALNE MEODY WYZNACZANIA MODELI MAEMAYCZNYCH 3.. Sposób wyznaczania charaerysyi czasowej Charaerysyę czasową orzymuje się na wyjściu obieu, przez podanie na jego wejście w chwili wymuszenia sandardowego. Schema bloowy uładu pomiarowego słada się z generaora funcji wymuszającej, przeworniów pomiarowych wielości wejściowej i wyjściowej oraz rejesraora Y - f lub oscylosopu (rys 3.) [3]. eneraor funcji wymuszającej x*() Badany obie y*() Przeworni sygnałów wejściowych Przeworni sygnałów wyjściowych x() Rejesraor X- lub oscylosop Rys Oreślanie właściwości dynamicznych obieów na podsawie charaerysy czasowych a) Obie zerowego rzędu Obie zerowego rzędu (bezinercyjny, proporcjonalny) jes o obie idealny (nieznieszałcający). Równanie aiego obieu i jego ransmiancja mają posać: y() x() s b gdzie -współczynni wzmocnienia saycznego dla ogólnej posaci modelu obieu: a ( ) a y ( ) + a y ( ) + " + a!! y( ) + a y! ( ) + a y( ) b x( ) Charaerysyi dynamiczne obieu zerowego rzędu przedsawia rysune 3.. x() () (s).5 A(),5 () Rys. 3. 3

2 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych b) Obie pierwszego rzędu Obieem pierwszego rzędu (inercjalnym) nazywamy obie zawierający jeden elemen onserwaywny (jeden pierwiase rzeczywisy ujemny w równaniu charaerysycznym, jeden biegun ransmiancji). Równanie obieu oraz jego ransmiancja mają posać: y! + y x s + s a gdzie [] s - sała czasowa. a Charaerysyę soową oraz wyznaczenie sałej czasowej obieu pierwszego rzędu przedsawiono na rysunu () s 3 + s + 3,5s x() () Rys. 3.3 (s) Biegun s B ransmiancji ego obieu wyliczamy z równania: + s B sb,3 3,5 Charaerysya (odpowiedź) soowa na wymuszenie soowe x() A*() jes rzywą wyładniczą. Jes o rozwiązanie równania różniczowego. Charaerysya a dąży do sanu usalonego o warości A, a sała czasowa oreśla zdolność przenoszenia sygnałów szybozmiennych. Im sała a jes mniejsza, ym obie jes szybszy, doładniejszy, bardziej zbliżony do idealnego [6, 7, 3]. Charaerysyę impulsową obieu, oraz wyznaczenie ransmiancji w oparciu o nią przedsawiono na rysunu 3.4, gdzie czas rwania impulsu jednosowego a,. A y () s + s A e () a Rys

3 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych c) obie drugiego rzędu Obie drugiego rzędu jes o obie, óry posiada elemeny onserwaywne, magazynujące energie ineyczną i energię poencjalną oraz elemeny dyssypacyjne, powodujące sray energii. Należy u nadmienić, że może on posiadać ylo jeden rodzaj energii (co najmniej dwa elemeny). Obie drugiego rzędu opisuje nasępujące równanie różniczowe: a!! y + a y! + a y b x Wprowadzając nasępujące paramery: b - sosune sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego w sanie a usalonym, a pulsacja drgań swobodnych niełumionych, pulsacja nauralna, a a a q, ξ - łumienie względne (bezwymiarowe), aa a orzymuje się nasępujące równanie:!! y + ξ y! + y x ransmiancja ma posać: () s (*) s + ξ s + a oznaczając, orzymujemy: s (**) s + ξs + Posać ransmiancji (*) i (**) jes używana iedy O < ξ < l (dla pary pierwiasów zespolonych w równaniu charaerysycznym, czyli dla obieów oscylacyjnych). W odpowiedzi oscylacyjnej łumionej wysępują drgania o łumieniu wyładniczym exp( ξ ) i pulsacji łumionej (praycznie dla ξ >,7 oscylacje są prawie niezauważalne): ξ lub (***) ξ łumienie charaeryzuje przebieg przejściowy, a prędość odpowiedzi obieu zależy przede wszysim od warości. Rozparując graniczny przypade dla ξ l, ransmiancja (**) przyjmuje posać: s ( + s) Dlaego paramer jes sałą czasową dla przypadów odpowiedzi czasowej aperiodycznej. Równanie charaerysyczne posiada ylo pierwiasi rzeczywise, a więc odpowiedź soowa nie może mieć oscylacji. Charaerysyi soowe obieu drugiego rzędu dla różnych łumień przedsawiono na rysunu

4 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych ξ,5 y( ),5,,4,6 e -ξ Rys. 3.5 d) Obie nieoscylacyjny Rozparując przypade ξ> na wsępie należy ocenić, czy jes o obie pierwszego rzędu (prowadzimy syczną do charaerysyi soowej przechodzącą przez począe uładu współrzędnych), czy eż wyższego rzędu (wysępuje przegięcie). W ym drugim przypadu na charaerysyce soowej prowadzi się syczną przez pun przegięcia. Na osi czasu orzymuje się pun przecięcia się sycznej z osią czasu oraz pun przecięcia się sycznej z asympoą na wysoości warości usalonej odpowiedzi. Uproszczony i mało doładny sposób oreślenia ransmiancji obieu nieoscylacyjnego, dla órego ξ >, polega na przyjęciu, że obie jes ylo drugiego rzędu lub pierwszego z opóźnieniem (rys. 3.6). ransmiancja ma posać: s ( + z s)( + ms) lub, przyjmując sałą czasową m jao opóźnienie ms s e ( + z s) Ogólną i doładną meodę dla obieów nieoscylacyjnych n-ego rzędu zaproponował Srejc [5]. Aprosymuje on charaerysyę soową przy pomocy modelu sładającego się z n członów inercjalnych o jednaowych sałych czasowych i członu opóźniającego e τs,9, /,9 A -rząd n-y rząd x() A (), m z Rys

5 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych Posępowanie jes nasępujące: Na esperymenalnie wyznaczonej charaerysyce soowej nanosi się syczną przechodzącą przez pun przegięcia A, nasępnie wyznaczamy warości i, m i z m oraz wyliczamy sosune z odpowiedzi soowej obieu (rys. 3.7). z exp x() () 8 i A 6 m z Rys. 3.7 [s] n m z i,,4 3,8 4,39 3 5,4 4 6, ,57 6 8,64 7 9,79 8,773 9 Z ablicy oreślamy rząd n modelu na podsawie wyliczonego sosunu. Jeżeli m warość znajduje się między dwiema warościami w ablicy, należy przyjąć z exp mniejszy rząd obieu a m zmniejszyć o aą warość τ, aby nowy sosune odpowiadał doładnie modelowi n-ego rzędu. W lieraurze [5] można znaleźć więcej paramerów oreślanych z charaerysyi co zwięsza doładność meody. Sałą czasową obieu orzymujemy z rzeciej olumny abeli, po podsawieniu warości i dla wcześniej oreślonego rzędu obieu. Osaecznie orzymujemy nasępujący model τs s e n ( + s) Dla przyładu z rysunu 3.7. mamy: 8 dla x() m m ; z 6 ; i 5 ;, 333 z exp m Z abeli orzymujemy, 39 czyli rząd obieu jes 4 oraz i 3, sąd: z exp m m τ z,84 [] s z exp z ab i 7 [] s 3, Model ma nasępującą posać: 8,84s s e 4 +,7s ( ) 34

6 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych Praycznie sprowadza się o do ego, że sygnał wyjściowy do chwili i jes zerowy, a dopiero m od ego momenu sosune doładnie odpowiada modelowi n-ego rzędu. e) Obie oscylacyjny z Na podsawie charaerysyi soowej oreślamy: sosune przeregulowania ym do warości usalonej y i wyznaczamy łumienie y względne ξ z wyresu dla obliczonego sosunu m lub z zależności: y y m exp ξπ ξ [%] ores drgań łumionych, a z zależności (***) podsawiając wyznaczamy pulsację drgań niełumionych: π ξ Osaecznie orzymuje się nasępujący model obieu: s s + ξ s + f) Wsaźnii liczbowe π Nie zawsze podaje się pełną charaerysyę dynamiczną. Częso opisuje się właściwości dynamiczne obieów za pomocą wsaźniów liczbowych, óre charaeryzują pewne ich cechy i umożliwiają ich porównanie. Przy omawianiu charaerysy wysąpiły aie wsaźnii ja: sała czasowa, sała czasowa zasępcza z, czas opóźnienia (zwłoi) τ, czas opóźnienia zasępczy m, przeregulowanie Δy m, Δy m y Δy m 8 y y 6 ±5%y 4,5 r,,4,6,8 ρ Rys

7 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych Ponado sosuje się: czas regulacji r ; jes o czas, po upływie órego wielość wyjściowa nie odchyla się od warości usalonej więcej niż o ( 5)% (rys.3.8.). Dla obieów pierwszego rzędu czas en wynosi ooło 3 (rys. 3.3). W przybliżeniu czas en rozgranicza nam odpowiedź na zw. san przejściowy do chwili r oraz san usalony po chwili r. Charaerysya soowa jes graficznym rozwiązaniem równania różniczowego opisującego obie. W przybliżeniu do chwili r wysępuje sładowa swobodna i wymuszona, naomias po chwili r pozosaje ylo sładowa wymuszona rozwiązania. czas połówowy,5, po upływie órego odpowiedź soowa osiąga połowę swej warości usalonej, czas narasania odpowiedzi, /,9, czyli czas narasania odpowiedzi od % do 9% warości usalonej y Sposób wyznaczania charaerysyi częsoliwościowej Charaerysyę częsoliwościową orzymujemy wprowadzając na wejście obieu sygnał harmoniczny (sinusoidalny) o sałej ampliudzie, w olejnych przedziałach czasowych o różnej pulsacji (częsości). Podsawowym przyrządem jes generaor przebiegów sinusoidalnych, np.: generaor eleryczny, pneumayczny, eleryczny z wejściem pneumaycznym i inne. W prayce do pomiaru obieów wielości mechanicznych porzebny jes zares częsoliwości bardzo nisi od ooło, Hz do iludziesięciu Hz. Schema uładu pomiarowego jes idenyczny ja w pierwszym rozdziale (rys. 3..). eneraor funcji wymuszającej ma możliwość usawiania wybranej pulsacji. Po usawieniu wybranej pulsacji należy odczeać, aż san przejściowy praycznie zninie. Odpowiedź obieu na wymuszenie sinusoidalne x()x m sin jes (po zaniu sanu przejściowego) sinusoidą o ej samej częsoliwości, ale innej ampliudzie Y m i przesunięą w fazie o φ() względem sinusoidy wejściowej y X m j sin ϕ () ( ) [ ( )] gdzie (j) ransmiancjia widmowa, órą orzymuje się przez podsawienie do ransmiancji operaorowej j w miejsce s j s ( ) ( ) s j ransmiancja widmowa ma węższy sens fizyczny niż ransmiancja operaorowa, gdyż opisuje ylo odpowiedź wymuszoną, san usalony (idenycznie ja rachune symboliczny w eleroechnice). ransmiancja widmowa jes funcją zespoloną, więc: jϕ j P + jq j e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gdzie: P() część rzeczywisa ransmiancji widmowej, Q() - część urojona ransmiancji widmowej, ( j) P ( ) + Q ( ) - moduł ransmiancji widmowej, Q ( ) ( ) ϕ arcg - argumen ransmiancji widmowej. P( ) Praycznie moduł ransmiancji widmowej ( j) jes równy sosunowi ampliud sygnały wyjściowego i wejściowego. Ym ( j) X m 36

8 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych 3.4. Oreślanie właściwości dynamicznych obieów na podsawie charaerysy częsoliwościowych Na podsawie wyznaczonych charaerysy częsoliwościowych ampliudowej i fazowej można jedynie swierdzić, że obie jes nieoscylacyjny, bądź eż oscylacyjny z oreśloną pulsacją rezonansową. Celem oreślenia właściwości dynamicznych niezbędne jes przerysowanie wyznaczonych charaerysy w sali logarymicznej. Oś rzędnych oreśla się w decybelach [db], óre są miarą sosunu ampliud (łumienia, wzmocnienia) w/g zależności: L j db log j ( )[ ] ( ) dla [ db] log np.: - [db] o wzmocnienie, -3 [db] o wzmocnienie, 7 [db] o wzmocnienie, 4 [db] o wzmocnienie [db] o wzmocnienie 5 Oś odcięych jes w sali logarymicznej. Opisuje się ją w pulsacji lub log. Każda zmiana logarymu pulsacji o jeden nosi nazwę deady (dziesięciorona zmiana pulsacji). Na jedną deadę logarymiczną charaerysya ampliudowa może opadać ( - dla n członów całujących s + s ) lub wzrasać ( + dla członów różniczujących s n, +s) o n* db/de Logarymiczne charaerysyi dla pulsacji dążących do niesończoności przyjmują warości: a) ampliudowa lim L j n m db/de gdzie: b) fazowa lim ϕ ( ) ( ) m sopień licznia ransmiancji; n sopień mianownia ransmiancji; π ( ) ( n m) L[dB] dla członów całujących db de db de dla członów różniczujących 6 4 db de db de - db de db de - - log Rys. 3.9 Warości nachyleń w ramach jednej deady a) Obie zerowego rzędu 37

9 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych Jes o obie idealny, bezinercyjny. Charaerysya logarymiczna ma posać ja na rysunu 3.. L (j) φ log (j) (j) φ b) Obie pierwszego rzędu Rys. 3. Obie pierwszego rzędu (inercyjny) ma nasępującą ransmiancję widmową: ( j) sąd: + j ( j) + ( ) () arg ( j) arcg ϕ Logarymiczna charaerysya ampliudowa jes oreślona równaniem: L ( j ) log log log + ( ) + ( ) Charaerysyę ę można aprosymować dwiema półprosymi o równaniach: L ( j) log gdy << L ( j) log log gdy >> Sąd orzymamy charaerysyę ampliudową, przedsawioną na rysunu 3.. Z wyresu widać, że obie wiernie przenosi ylo e sygnały wejściowe, dla órych spełniony jes warune << l, czyli dla pulsacji << z /, gdzie z nosi nazwę pulsacji załamania. Masymalna różnica pomiędzy charaerysyą esperymenalną a złożoną z dwóch półprosych wynosi ooło 3 db. Meoda oreślania ransmiancji obieu jes nasępująca. Po wyznaczeniu charaerysyi ampliudowej i fazowej, wyreślamy je w sali logarymicznej i jeżeli charaerysya ampliudowa nie ma warości więszych niż log oraz asympoa dla opada db/de, o jes o obie pierwszego rzędu. Pun przecięcia asympoy dla oraz prosej dla warości log oreśla pulsację załamania z, a sąd wyznacza się sałą czasową oraz ransmiancję z s. + s 38

10 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych [db] 4 L (j) ( j) 3dB ( ) + π 4 π φ() - log, Rys. 3. log φ() - arc g c) Obie drugiego rzędu nieoscylacyjny Praycznie, gdy łumienie jes więsze od ooło,77, charaerysya logarymiczna nie ma więszych warości ampliudy niż log. Jes o więc obie nieoscylacyjny. Po wyznaczeniu charaerysy częsoliwościowych i narysowaniu ich w sali logarymicznej oreślamy nachylenie asympoy dla. Oreślamy rząd n obieu, przyjmując, że w liczniu wysępuje ylo współczynni wzmocnienia. Nasępnie rysujemy syczne do wyresu o odpowiednio mniejszych nachyleniach, będących wieloronościami nachylenia db/de, co odpowiada jednemu pierwiasowi, jednej sałej czasowej. Puny przecięcia się olejnych sycznych oraz sycznej o nachyleniu db/de z prosą dla warości log, oreślają poszczególne pulsację załamania. Ich odwroności pozwalają oreślić ransmiancję ypu () s ( + s)( + s) ( + s) " Dla przyładu, na rysunu 3. przedsawiono charaerysyę logarymiczną. ransmiancja ma posać: s + s + s ( )( ) n L (j) log db de

11 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych ( j) dzie: g ( + j )( + j ) d) Obie drugiego rzędu oscylacyjny Rys. 3. Paramery obieu oscylacyjnego drugiego rzędu można oreślić bezpośrednio z charaerysyi ampliudowej, ale doładniej oraz z możliwością ocenienia rzędu obieu z charaerysyi logarymicznej (rys 3.3). Najwięsza warość charaerysyi ampliudowej w sosunu do jej warości w zerze wynoszącej og, nosi nazwę ampliudy rezonansowego M r. M r ξ r ξ ξ Z powyższych zależności wyznacza się łumienie ξ, oraz pulsację nauralną (można ją również wyznaczyć bezpośrednio z charaerysyi logarymicznej). W en sposób orzymuje się ransmiancję: + ξ s + () s s e) wsaźnii liczbowe Najczęściej sosowanymi wsaźniami są: - pulsacja załamania, z - pulsacja rezonansowa r, - szczy rezonansowy M r, - pulsację graniczną rzydecybelowa. Jes o warość pulsacji, przy órej moduł ransmiancji zmniejsza się o warość 3 db, czemu odpowiada zmniejszenie wzmocnienia do, 77, zn. o ooło 3% (rys.3.3). ( ) ( 3% ) z g 3dB g g Sosowane są różne inne definicje pulsacji granicznej, np.: - g (6dB) zmniejszenie modułu ransmiancji o 6 db, - g (%) zmniejszenie ampliudy o %, - g (3 ) lub g (45 ) przesunięcie fazowe osiąga po raz pierwszy -3 lub -45. (j) ( R ) 4

12 3. Esperymenalne meody wyznaczania modeli maemaycznych Rys. 3.3 Przedsawione meody wyznaczania modeli maemaycznych obieów doyczą obieów jednowymiarowych zn. z jednym wejściem i jednym wyjściem. Jes o zw. idenyfiacja obieów jednowymiarowych przy użyciu esperymenu czynnego zn. przy użyciu sandardowych sygnałów wymuszających: sou jednosowego, impulsu jednosowego lub wymuszenia sinusoidalnego. 4