Analiza instrumentów pochodnych

Transkrypt

1 Analiza inrumenów pochonych Dr Wiolea owak Wykła 7

2 Wycena opcji na akcję bez ywieny moel Blacka-cholea z prawami o ywieny moel Merona

3 Założenia moelu Blacka-cholea. Ceny akcji zachowują logarymiczno-normalnym. ię zgonie z moelem. W okreie ważności opcji akcje bazowe la konraku nie przynozą ywien. 3. ie inieją możliwości pozbawionego ryzyka arbirażu. 4. Wzykie kozy ranakcyjne oraz poaki ą pomijane, a papiery warościowe ą okonale pozielne. 5. Obró papierami warościowymi je ciągły. 6. Uczenicy rynku mogą pożyczać i inweować śroki weług ej amej wolnej o ryzyka opy procenowej. 7. Krókoerminowa wolna o ryzyka opa procenowa je ała.

4 Wzór na wycenę europejkiej opcji kupna i przeaży w moelu Blacka-cholea P C r, K e r, K e ln K r cza wygaśnięcia opcji, r opa procenowa wolna o ryzyka, wpółczynnik zmienności ceny akcji, K cena wykonania opcji, () cena akcji w chwili, () yrybuana anaryzowanego rozkłau normalnego.

5 Warość yrybuany rozkłau normalnego wyznaczona w poób przybliżony 0 ), ( 0, ) ( ) ( k a k a k a k a a k ) ( e k a a a a a 5.

6 Przykła oując wzór na wycenę opcji w moelu Blacka-cholea oblicz warość europejkiej opcji kupna i przeaży akcji (bez wypłay ywieny), kórej bieżąca cena wynoi 50 zł, przy zmienności na poziomie 0% rocznie. Cena wykonania je równa 48 zł, opa procenowa 0%, ługość erminu o wygaśnięcia 5 mieięcy.

7 Przykła 50 K r 0. 5 ln K r ln

8 Przykła P C C r, K e 0., e r, K e

9 Przykła Moel Blacka- cholea Moel wumianowy (kapializacja ciągła) Europejka opcja kupna Europejka opcja przeaży

10 Wzór na wycenę europejkiej opcji kupna i przeaży na akcję z prawami o ywieny w moelu Merona cza wygaśnięcia opcji, r opa procenowa wolna o ryzyka, wpółczynnik zmienności ceny akcji, K cena wykonania opcji, () cena akcji w chwili, () yrybuana anaryzowanego rozkłau normalnego, ała opa ywieny. e K e, C r e K e, P r r K ln

11 Przykła oując wzór na wycenę opcji w moelu Merona oblicz warość europejkiej opcji kupna i przeaży akcji (z wypłaą ywieny), kórej bieżąca cena wynoi 90 zł, przy zmienności na poziomie 0% rocznie, cena wykonania je równa 00 zł, opa procenowa 0%, ługość erminu o wygaśnięcia 3 mieiące. Wyrażona w ounku rocznym śrenia opa ywieny la akcji w okreie ważności opcji wynoi 3%. 90 K r 0. 3 C, P,

12 Wzór na wycenę europejkiej opcji kupna i przeaży na obcą waluę w moelu Garmana-Kohlhagena C Q, Q e r r K e P Q, Q e r r K e ln Q K r r cza wygaśnięcia opcji, r opa procenowa wolna o ryzyka w anym kraju, ochylenie anarowe goówkowego kuru wymiany, K cena wykonania opcji, Q() rynkowy kur waluowy w chwili, () yrybuana anaryzowanego rozkłau normalnego, r opa procenowa wolna o ryzyka w kraju waluy obcej, na kórą wyawiono opcję.

13 Wzór na wycenę europejkiej opcji kupna i przeaży na konraky uure F() bieżąca cena konraku erminowego uure, zmienność ceny erminowej, pozoałe oznaczenia, jak wcześniej. ) (, K F e F C r K F ln ) (, K F e F P r K F ln

14 Wzór na wycenę europejkiej inekowej opcji kupna i przeaży () bieżąca warość ineku, q wyrażona w ounku rocznym śrenia opa ywieny la ineku w okreie ważności opcji, zmienność ineku, pozoałe oznaczenia, jak wcześniej. ) (, e K e C r q q r K ln q r K F ln ) (, e K e P r q

15 Czynniki wpływające na warość opcji Bieżąca cena inrumenu bazowego Cena wykonania opcji K opa procenowa r Cza pozoający o wygaśnięcia opcji Zmienność ceny inrumenu bazowego Oczekiwana w okreie ważności opcji ywiena

16 Wpółczynnik ela (D) Jak zmieni ię cena opcji, gy cena inrumenu bazowego zmieni ię o jenokę D C, P, D [0,] D [,0] D P C r, K e r, K e

17 Wpółczynnik ela (D) Warość wpółczynnika (D) w zależności o rozaju opcji Rozaj opcji In-he-money A-he-money Ou-o-hemoney Opcja call o 0.5 o 0.5 o 0 o 0.5 Opcja pu o - o o -0.5 o 0

18 Wpółczynnik gamma (G) Określa zmianę wpółczynnika ela po wpływem zmiany ceny inrumenu bazowego D C(, ) P(, ) G G empo zmian warości opcji przy jenokowej zmianie inrumenu bazowego. ajwiękza warość, gy opcja je w pozycji a-hemoney. W pozoałych pozycjach warość blika 0. Dla nabywców (wyawiających) inereujące ą opcje o wyokich (nikich) warościach G.

19 Wpółczynnik omega ( ) Jak zmieni ię cena opcji, gy cena wykonania zmieni ię o jenokę C, K Im niżza cena wykonania opcji, ym wyżza cena opcji kupna P C P, K r, K e r, K e

20 Wpółczynnik rho (r) Rho pokazuje jak zmieni ię cena opcji (w ujęciu bezwzglęnym) po wpływem zmiany opy procenowej o jeen punk procenowy. r C, r r Wzro opy procenowej zwiękza cenę opcji kupna i zmniejza cenę opcji przeaży. P C P, r r, K e r, K e

21 Wpółczynnik hea ( ) Inormuje jak zmienia ię cena opcji po wpływem zbliżania ię erminu wygaśnięcia opcji o jenokę czau. C, P, Je prawie zawze ujemna, bo w miarę zbliżania ię erminu wygaśnięcia warość opcji z reguły maleje.

22 Wpółczynnik vega (V) (kappa, epilon, lamba) Inormuje o ile wzrośnie cena opcji, gy ochylenie anarowe zmieni ię o jenokę (punk procenowy). V C, P, V Wyokie V uży wpływ wahań zmienności inrumenu bazowego na cenę opcji.

23 Doaek Procey ochayczne w moelach inanowych - błązenie loowe - proce Wienera (ruchy Browna) - uogólnienia proceu Wienera proce Iô Wyprowazenie równania Blacka-cholea

24 Błązenie loowe z z D k k k k,,, k k D z 0 0 k - rozkła normalny o śreniej równej 0 i wariancji (rozkła normalny anaryzowany) E 0 j k j k

25 Błązenie loowe Warość różnicy je zmienną loową o rozkłazie normalnym (uma zmiennych loowych o rozkłazie normalnym) k j z z k j i k j k D 0 j k z z E D D k j i i k j i i j k E E z z var j k j k j k z z var D

26 Proce Wienera Proce z je proceem Wienera, jeśli pełnia jenocześnie naępujące warunki:. różnica z z je zmienną loową mającą rozkła normalny o śreniej 0 i wariancji równej. Jeżeli 0 o zmienne loowe 3 4 z i z z ą niekorelowane z z 0 z prawopoobieńwem równym

27 Proce Wienera granica proceu błązenia loowego, gy D 0 z Proce Wienera nie je różniczkowalny wzglęem czau. z różniczka ochayczna biały zum z z 0 0 E z 0 E z Ez 0

28 Uogólniony proce Wienera a bz zmienna loowa a, b ałe Arymeyczny ruch Browna z wpółczynnik przeunięcia (ry) wpółczynnik zmienności 0 z

29 Uogólniony proce Wienera a bz zmienna loowa a, b ałe Geomeryczny ruch Browna proce Iô a a, b,z, b, z

30 Proce cen akcji z z 0 e z

31 Lema Io iech proce ochayczny je proceem Io. gzie z je zwykłym proceem Wienera iech proce y ma poać y F, wey y a, b,z mui pełniać równanie y F a F F b F bz

32 z? ln b a F ln, F F z b F b F F a F y z b b a ln z ln z ln z e 0

33 z e 0 z ln ln 0 ln y z y y e z e e e y y y z z

34 Równanie Blacka-cholea Proce Iô opiujący zachowanie ceny inrumenu pochonego cena zmienia ię loowo wraz z ceną akcji i ruchami Browna z. z z

35 Równanie Blacka-cholea W celu wyznaczenia ceny opcji na akcję bez ywieny buuje ię porel kłaający ię z akcji o cenie i obligacji B, kóry ozwierciela zachowanie inrumenu pochonego. W chwili w porelu je zuk akcji i y zuk obligacji. Warość porela G y B ależy obrać i y ak, by warość porela opowiaała warości inrumenu pochonego G,

36 Równanie Blacka-cholea Chwilowy przyro warości ego porela uzykany w wyniku zmiany cen akywów go worzących je any równaniem G G G y B z y B B r B z y r B G y r B z

37 Zyk z porela mui być równy zykowi z inrumenu pochonego z z B r y G

38 B y G G B y, G, B y z B r y G

39 z r, G z r, r, r

40 Rozwiązanie równania Blacka-cholea e K, C r e K, P r r K ln