Wykład 1. Andrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH. Cele. Zaprezentowanie praktycznego podejścia do analizy danych (szczególnie danych środowiskowych)

Transkrypt

1 Analiza anych śroowiskowych III rok OŚ Wykła 1 Anrzej Leśniak KGIS, GGiOŚ AGH Cele Zaprezentowanie praktycznego poejścia o analizy anych (szczególnie anych śroowiskowych) Zaznajomienie z postawowymi (!!!) technikami analizy śroowiskowych anych pomiarowych Zaznajomienie ze strategią postępowania z własnymi zestawami anych

2 software MatLab SciLab available on-line Plan 1. Charakterystyka anych śroowiskowych- opis probabilistyczny. 2. Aproksymacja liniowa, metoa najmniejszych kwaratów. 3. Interpolacja anych (liniowa, kwaratowa). Korekta anych. 4. Baanie okresowości anych-analiza harmoniczna. Transformacja Fouriera. 5. Zastosowania analizy częstotliwościowej. 6. Funkcje korelacji i autokorelacji anych zastosowania. 7. Pochona i całka numeryczna. 8. Analizy chwilowe anych niestacjonarnych

3 Wykła 1 Dane i ich opis probabilistyczny Raa na obry początek ;-) Jeśli coś mierzysz lub poejmujesz się interpretacji pomiarów wykonanych przez inne osoby, owiez się jak najwięcej o charakterze anych wręcz spróbuj przewizieć jak powinny wygląać. Konfrontacja Twoich wyobrażeń z rzeczywistością może okazać się barzo cenna.

4 Przykła anych: Przepływ woy na rzece Huson (USA) Huson River Albany wooział: 36,26 km 2 źróło: Wikipeia

5 Przepływ - ilość woy przepływająca przez przekrój koryta rzeki w jenostce czasu. Mierzony jest w m 3 /s. Jakie własności powinien mieć przepływ? Woa płynie w jenym kierunku przepływ ma znak oatni Przepływ jest stosunkowo stabilny w perspektywie minut i gozin; znacznie mniej w perspektywie ni i tygoni Przepływ wzrasta w okresach opaów eszczu Jak mierzyć przepływ? h v w Przepływ przez przekrój poprzeczny o wymiarach w h v w jenostce czasu

6 Typowa wielkość przepływu? 1 m/s 1 m 1 m przepływ = w h v= 1 m 3 /s Jak powinny wygląać zmiany przepływu w czasie? Spróbujmy naszkicować, zakłaając kilkuniowy okres opaów w tym analizowanym okresie czasu. przepływ (m 3 /s) czas (ni)

7 Rzeczywisty przepływ w rzece Huson na wysokości Albany przepływ (m 3 /s) czas (ni) (czas w niach począwszy o Jan 1, 22) Jak można scharakteryzować własności opaów na anym terenie? Ich wielkość jest liczbą oatnią Skala czasu stosunkowo krótka goziny o ni potem ni bez opaów Opay maksymalnie o kilkunastu kilkuziesięciu centymetrów na obę

8 przepływ (m 3 /s) Przepływ Opay czas (ni) Okres opaów Opay (mm) czas (ni) Opay eszczu w Albany NY przepływ (m 3 /s) (A) Przepływ Największy przepływ Opay (mm) (B) Opay czas (ni) Największy opa czas (ni) Szeregi czasowe są poobne ale nie ientyczne nawet ich maksima są w różnych miejscach. Dlaczego?

9 Deszcz w Albany nie jest jeynym czynnikiem wpływającym na wielkość przepływu w tym mieście Opay eszczu w Albany NY przepływ (m 3 /s) (A) Przepływ Szeroki impuls szybki wzrost, wolniejszy spaek Opay (mm) (B) Opay czas (ni) Wąski impuls Dlaczego? czas (ni) Wielkość przepływu zależy nie tylko o wielkości opaów w Albany ale w całym orzeczu.

10 Jak przewizieć wielkość przepływu na postawie opaów? Potrzeba trochę czasu by woa z opaów spłynęła o rzeki ponosząc jej poziom Wzrost poziomu w niu zisiejszym został wywołany przez opay mające miejsce w czasie kilku poprzezających ni Iea : Przepływ w anym punkcie jest opóźniony w stosunku o opaów, z uwagi na czas spływu wó opaowych z ląu o koryta rzeki Sformułowanie matematyczne: przepływjest śrenią ruchomą z opaów p w ciągu kilku ostatnich ni

11 przepływ suma opay zisiaj zisiaj i poprzenie ni la anego nia p la anego nia wagi w śreniej ruchomej przepływ la nia i opa w przeszłości wagi przykła 5 = w 1 p 5 + w 2 p 4 + w 3 p 3...

12 Poumowując aekwatność moelu śreniej ruchomej jest ukryta we właściwym oborze wag w 1 w 2 w 3 w 4... Tylko najbliższe w czasie opay mają wpływ na wielkość przepływu. Wartość wag może spaać ekspotencjalnie wraz ze wzrostem oległości w czasie j = exp + j w j c exp T1 T2 Wagi są obierane metoą prób i błęów (lub w inny, barziej wyrafinowany sposób). w j j = exp j exp 3 Wynik preykcji

13 Prawopoobieństwo i błą pomiarowy Jak zastosować rachunek prawopoobieństwa i statystykę matematyczną o analizy anych śroowiskowych a w szczególności o ilościowego opisu błęów Błęy pomiarowe najłatwiej analizować (i zrozumieć) używając aparatu matematycznego. =? =1.4 =? =.98 nieokreślone nieokreślone Zmienne losowe mogą cechować się pewną systematycznością (tenencją) mogą przyjmować pewne wartości częściej niż inne. Przykła = liczba atomów euteru w cząsteczce metanu. jest zmienną losową. H H C H H D C H H D C D H D C D D D C D H H H D D = =1 =2 =3 =4 Systematyczność zmiennej losowej może być scharakteryzowana rozkłaem prawopoobieństwa P(). Wartości w % (% -1%) lub w ułamkach (.-1. )

14 Cztery różne sposoby wizualizacji prawopoobieństwa P P 1%.1 1 3% % % % 4.5 Prawopoobieństwa sumują się o 1% lub o P P Jeśli zmienna losowa jest ciągła może przyjmować wartości z zaanego przeziału (skończonego lub nieskończonego) w sposób ciągły. głębokość, 5 =2.37

15 p() area, A Szare pole powierzchni określa prawopoobieństwo, ze rybka znajuje się mięzy głębokościami 1 i Prawopoobieństwo, że znajuje się pomięzy 1 i 2 Oczywiście Jak scharakteryzować rozkła prawopoobieństwa? p() 5 p() 5 Wartość centralna (maksymalna), szerokość rozkłau??? Istnieje kilka propozycji sposobów charakteryzowania kształtu. Zacznijmy o sposobów określania wartości typowej rozkłau (wartości oczekiwanej).

16 p() p() p() moe 5 moe meian area= 5% 5 mean 1 1 meian 1 mean area=5% 15 Wartość maksymalna 15 meiana 15 Wartość śrenia step 1: sposób obliczania wartości śreniej step 2: jeśli zamiast anych posługujemy się histogramem ane s histogram step 3: jeśli zastąpimy histogram rozkłaem prawopoobieństwa N s s s Dla zmiennej ciągłej N s N p s P( s ) s Rozkła prawopoobieństwa

17 Obliczenie szerokości rozkłau q() = (- typical ) 2 użyj wartości śreniej la typical Pierwiastek z wariancji jest e facto miarą szerokości rozkłau tj. σ Więc funkcja q()p() ma: małą wartość jeśli większość jest skupiona blisko typical, czyli rozkłap()skupiony (wąski) użą wartość jeśli większość jest zlokalizowana aleko o typical, czyli rozkłap()jest szeroki Wielkość pola powierzchni q()p() ilościowo charakteryzuje szerokość rozkłau prawopoobieństwa Dwa typowe rozkłay prawopoobieństwa p() Jenorony: impuls prostokątny 1/( max- min ) σ min max Normalny: funkcja zwonowa (gaussowska) Wariancja równa 2 σ

18 Przykłay zróżnicowania la normalnego rozkłau prawopoobieństwa Ta sama wariancja różne wartości śrenie Ta sama wartość śrenia różne wariancje 4 = σ = Funkcje zmiennej losowej ane zawierające błą pomiarowy przetworzenie anych wnioskowanie w warunkach losowych wartość pomierzona jenorony p..f. <<1 m = 2 jeen wynik, wartość moelu, m

19 Funkcje zmiennej losowej ane:p() regułam= 2 p(m)? metoa: = wartość bezwzglęną oano by zabezpieczyć się prze przypakiem gy m 2 <m 1 gym= 2 wówczas=m 1/2 przeział:= correspons to m= =1 correspons to m=1 p..f.: p() = 1 więc p[(m)]=1 pochona: / m = (1/2)m -1/2 w rezultacie: p(m) = (1/2) m -1/2 w przeziale <m<1 p() p(m) Jeśli p() jest stałe to p(m) jest skoncentrowane wokół m= Śrenia, i wariancja σ 2 Jaka bęzie m oraz σ m 2 la liniowej zmiany m=c? Dla śreniejm=c, 1 1 m la wariancji σ m 2 = c 2 σ 2 Wyniki niezbyt realistyczne jeen pomiar, jena wartość.

20