Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Transkrypt

1 Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015

2 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym i dwustanowych sygnałach wejściowych, których działanie (zależność wartości sygnału wyjściowego od stanu sygnałów wejściowych) opisuje określona funkcja logiczna. Elementy logiczne są realizowane w różnych technikach, np. elementy elektryczne, pneumatyczne, hydrauliczne, o różnych parametrach sygnałów odpowiadających wartościom 0 i 1. Podstawowym działaniem projektowania układów z elementów logicznych jest tworzenie tzw. schematów strukturalnych, złożonych z symboli elementów logicznych informujących jedynie o rodzaju realizowanej funkcji logicznej (a nie o technice realizacji elementu). Do realizacji dowolnie złożonych układów logicznych niezbędny jest zestaw elementów realizujących funkcje logiczne tworzące system funkcjonalnie pełny.

3 Układy z elementów logicznych Do tworzenia algebraicznego zapisu dowolnie złożonych funkcji logicznych niezbędny jest odpowiedni zestaw elementarnych operacji logicznych, tzw. system funkcjonalnie pełny. taki zestaw tworzą funkcje alternatywa, koniunkcja i negacja, zwany podstawowym systemem funkcjonalnie pełnym. W praktyce większe znaczenie mają jednak systemy jednoelementowe. Dowolnie złożone układy zbudować można wykorzystując tylko elementy realizujące funkcję NOR albo wykorzystując tylko elementy realizujące funkcję NAND. NOR NAND y = a + b (1) y = a b (2)

4 Układy z elementów logicznych 1. Wg PN-78/M Automatyka przemysłowa. Pneumatyczne elementy i układy dyskretne. Symbole graficzne i zasady przetwarzania schematów funkcjonalnych 2. Wg normy IEEE Standard Graphic Symbols for Logic Diagrams IEEE Std Wg normy branżowej BN-71/ Binarne elementy cyfrowe. Symbole graficzne

5 Układy z elementów alternatywy, koniunkcji i negacji Przykład 1: Zrealizować alternatywną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha. y = x 1 x 3 + x 1 x 2 + x 2 x 4 (3)

6 Układy z elementów alternatywy, koniunkcji i negacji Przykład 1: Zrealizować alternatywną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha. y = x 1 x 3 + x 1 x 2 + x 2 x 4 (4)

7 Układy z elementów alternatywy, koniunkcji i negacji Przykład 2: Zrealizować koniunkcyjną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha. y = (x 1 + x 2 ) (x 1 + x 4 ) (x 2 + x 3 ) (5)

8 Układy z elementów alternatywy, koniunkcji i negacji Przykład 2: Zrealizować koniunkcyjną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha. y = (x 1 + x 2 ) (x 1 + x 4 ) (x 2 + x 3 ) (6)

9 Układy z elementów logicznych Do tworzenia algebraicznego zapisu dowolnie złożonych funkcji logicznych niezbędny jest odpowiedni zestaw elementarnych operacji logicznych, tzw. system funkcjonalnie pełny. taki zestaw tworzą funkcje alternatywa, koniunkcja i negacja, zwany podstawowym systemem funkcjonalnie pełnym. W praktyce większe znaczenie mają jednak systemy jednoelementowe. Dowolnie złożone układy zbudować można wykorzystując tylko elementy realizujące funkcję NOR albo wykorzystując tylko elementy realizujące funkcję NAND. NOR NAND y = a + b (7) y = a b (8)

10 Algebra Boole a - przypomnienie Aksjomaty algebry Boole a koniunkcja 0 = 1 (9) alternatywa 1 = 0 (14) x 0 = 0 (10) x 1 = x (11) x x = x (12) x + 0 = x (15) x + 1 = 1 (16) x + x = x (17) x x = 0 (13) x + x = 1 (18) Prawo przemienności x 1 x 2 = x 2 x 1 (19) x 1 + x 2 = x 2 + x 1 (20) Prawo łączności x 1 (x 2 x 3 ) = (x 2 x 1 ) x 3 (21) x 1 + (x 2 + x 3 ) = (x 2 + x 1 ) + x 3 (22)

11 Algebra Boole a - przypomnienie Prawo rozdzielności mnożenia logicznego względem dodawania logicznego (x 1 + x 2 ) x 3 = x 1 x 3 + x 2 x 3 (23) Prawo rozdzielności dodawania logicznego względem mnożenia logicznego Prawa de Morgana (x 1 x 2 ) + x 3 = (x 1 + x 3 ) (x 2 + x 3 ) (24) Prawo podwójnej negacji (podwójnego przeczenia) x 1 x 2 = x 1 + x 2 (25) x 1 + x 2 = x 1 x 2 (26) x = x (27) Na podstawie powyższych twierdzeń można tworzyć szereg innych zależności przydatnych przy przekształcaniu funkcji logicznych. Symbole x, x 1, x 2, x 3 w tych twierdzeniach mogą reprezentować zarówno pojedynczy argument jak i dowolnie złożoną funkcję logiczną.

12 Układy z elementów NOR, NAND Budowa układów zastępujących elementy alternatywy, koniunkcji i negacji z elementów NOR lub NAND.

13 Układy z elementów NOR, NAND Przykład 3: Zrealizować alternatywną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha, wykorzystując elementy NAND. Eliminacja koniunkcji lub alternatywy, poprzez podwójne zanegowanie i wykorzystanie prawa de Morgana. y = x 1 x 3 + x 1 x 2 + x 2 x 4 = = x 1 x 3 + x 1 x 2 + x 2 x 4 = = x 1 x 3 x 1 x 2 x 2 x 4 (28)

14 Układy z elementów NOR, NAND Przykład 3: Zrealizować alternatywną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha, wykorzystując elementy NAND. y = x 1 x 3 x 1 x 2 x 2 x 4 (29)

15 Układy z elementów NOR, NAND Przykład 4: Zrealizować koniunkcyjną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha, wykorzystując elementy NAND. Eliminacja koniunkcji lub alternatywy, poprzez podwójne zanegowanie i wykorzystanie prawa de Morgana. y = (x 1 + x 2 ) (x 1 + x 4 ) (x 2 + x 3 ) = = x 1 x 2 (x 1 + x 4 ) x 2 x 3 = = x 1 x 2 (x 1 x 4 ) x 2 x 3 (30)

16 Układy z elementów NOR, NAND Przykład 4: Zrealizować koniunkcyjną postać funkcji zdefiniowanej w postaci tablicy Karnaugha, wykorzystując elementy NAND. y = x 1 x 2 (x 1 x 4 ) x 2 x 3 (31)

17 Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015