Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Transkrypt

1 Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki

2 Harmonogram zajęć Układy przełączające: 1. Algebra logiki - Wprowadzenie 2. Funkcje logiczne - minimalizacja funkcji 3. Bramki logiczne - rysowanie układów 4. Sprawdzian Układy sterujące: 4. Elementy układów sterujących - Transformata Laplace a 5. Odwrotna transformata Laplace a 6. Transmitancja operatorowa 7. Sprawdzian

3 Przydatne linki do algebry logiki Literatura 1. Układy cyfrowe. Barry Wilkinson, Warszawa : Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2000 r. 2. Podstawy automatyki.

4 Zaliczenie przedmiotu 1. Średnia ocen z: - sprawdzianu z algebry logiki - sprawdzianu z układów sterujących 2. Aktywność na zajęciach. 3. Obecności.

5 Historia teorii mnogości Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich własnościach; Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów w starożytności; Rozwinięta w XIX w. przez niemieckiego matematyka Georga Cantora w 1874 r; Podstawowe działania na zbiorach to: SUMA ILOCZYN RÓŻNICA

6 SUMA Sumą dwóch zbiorów nazywamy zbiór wszystkich elementów ze zbioru A oraz wszystkich elementów ze zbioru B a zapisujemy to działanie w ten sposób:

7 ILOCZYN Iloczynem dwóch zbiorów nazywamy część wspólną zbioru A i zbioru B a zapisujemy to działanie w ten sposób:

8 RÓŻNICA Różnicą dwóch zbiorów nazywamy zbiór, którego elementy należą do zbioru A i nie należą do zbioru B a zapisujemy to działanie w ten sposób:

9 Związek teorii mnogości i algebry logiki Podstawy algebry logiki zapoczątkował George Boole Algebrę logiki nazywa się także algebrą Boole a Boole zauważył związek pomiędzy operacjami na zbiorach a logiką zdań, gdzie występowała prawda oraz fałsz. Boole przyjął, że odpowiedź w zdaniu logicznym prawda lub fałsz posiadać może tylko po jednej wartości (prawda = 1, fałsz = 0) więc za pomocą tylko tych dwóch wartości można wyrazić działania algebraiczne, które mają związek z teorią zbiorów i logiką.

10 Sposoby zapisu operacji algebry logiki SUMA to działanie, które można zastąpić słowem LUB (np. A LUB B) a ILOCZYN literą I (np. A I B) a różnica to nic innego jak iloczyn ze znakiem negacji. Znak negacji w algebrze logiki zapisujemy jako daszek nad literą: np. a lub A Czyli: SUMA = ALTERNATYWA = LUB = OR = = V = + ILOCZYN = KONIUNKCJA = I = AND = = = * = RÓŻNICA "=" ILOCZYN NEGACJI = ~ = = A = a

11 Algebra logiki w układach przełączających stykowych ILOCZYN / AND SUMA / OR a 1 a 1 a 2 a 2 x x

12 Podstawowe twierdzenia algebry logiki: a + 0 = a a + 1 = 1 a + a = a a + a = 1 a + a * b = a a + a b = a + b (a + b) (a + b) = a (a + b) = a b a * 0 = 0 a * 1 = a a * a = a a a = 0 a * (a + b) = a a a + b = a b a b + a b = a (a b) = a + b ogólne własności stałych Idempotentność komplementarność pochłanianie sklejanie prawa de Morgan'a a * b + a * c = a * (b + c) (a + b) * (a + c) = a + b * c prawa dystrybucji

13 Algebra logiki w układach bezstykowych AND, OR

14 Algebra logiki w układach bezstykowych NAND, NOR

15 Algebra logiki w układach bezstykowych XOR, NOT

16 Minimalizacja funkcji logicznych Ϝ = a(a + ab + bc)= = a a + a a b + a b c = = 0 + a b + a b c = a b c + 1 = a b

17 Zastosowanie minimalizacji funkcji logicznych Ϝ = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c Ϝ = c + a b

18 Zadania do wykonania 1. Zminimalizować funkcje logiczne za pomocą wzorów 1. Ϝ = abc + abc + abc + abc + abc + abc 2. Ϝ = a(abc + a + abc ) 3. Ϝ = abc + abc + abc + abc + abc

19 Dziękuję za uwagę Plik z prezentacją można pobrać ze strony: