MODEL MATEMATYCZNY OBRACAJĄCYCH SIĘ TŁUMIONYCH BELEK PODATNYCH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MODEL MATEMATYCZNY OBRACAJĄCYCH SIĘ TŁUMIONYCH BELEK PODATNYCH"

Anna Mróz
5 lat temu
Przeglądów:

1 ODELOWANIE INśNIERSKIE ISSN Gliice 8 ODEL ATEATCZN OBRACAJĄCCH SIĘ TŁUIONCH BELEK PODATNCH SŁAWOIR śółkiewski Inyu Auomayzacji Proceó Technologicznych i Zinegroanych Syemó Wyarzania Poliechnika Śląka laomirzolkieki@pollpl Srezczenie W lieraurze znane ą pozycje opiujące poó modeloania układó echnicznych znajdujących ię rakcie ykonyania ruchu orooego [-8] Niniejza praca je rozzerzeniem emayki ziązanej z analizą płyu ruchu układu na model drgań o uzględnienie modelu maemaycznym elemenó ziązanych z łumieniem Przedaiony opracoaniu model je yproadzeniem rónań ruchu łumionych elek podanych a dodakoe uzględnienie łumienia je krokiem dzięki kóremu moŝlie ędzie zliŝenie proponoanego modelu do aplikacji rzeczyiych WSTĘP Sounkoo noym podejściem do analizy dynamicznej oracających ię układó elkoych je jednoczene uzględnienie modelu maemaycznym efeku ruchu unozenia oraz łumienia i elemenó z nim ziązanych Opracoania przedaione reści niniejzego arykułu doyczą dynamiki układó elkoych znajdujących ię ruchu orooym Przeieg charakeryyk dynamicznych iony poó zaleŝy od prędkości z jaką poruza ię rozaŝany układ Okazuje ię Ŝe ruch głóny układu ma pły na jego lokalne drgania co z kolei ma pły na zmianę charakeryyki dynamicznej Celem pracy je analiza dynamiczna układó ruchu unozenia raz z uzględnieniem yproadzonym modelu maemaycznym ił łumiących Rozprozenie energii mechanicznej poaci łumienia je nierozłącznie ziązane z ruchem analizoanych układó Doychczaoe modeloanie układó pręoych ruchu unozenia z jednej rony częo je opare na uprozczeniu i załoŝeniu Ŝe łumienie układzie je pomijalne naomia z drugiej rony rozaŝania rzadko doyczą układó kórych uzględnia ię efek ruchu unozenia ODELOWANE BELKI odel elki oodnej ZałoŜono Ŝe na jeden z końcó elki przedaionej na ry działa harmoniczna iła poprzeczna o jednokoej ampliudzie ziązku z definicją podaności dynamicznej

38 S śółkiewski Drugiemu końcoi elki przypiano zeroy momen zginający oraz zeroą iłę poprzeczną Układ rónań opiujących arunki rzegoe zapiano

łumieniem odel elki uierdzonej na orooym ole Na oodny koniec elki (ry ) działa iła o jednokoej ampliudzie naomia przemiezczenie miejcu

2 38 S śółkiewski Drugiemu końcoi elki przypiano zeroy momen zginający oraz zeroą iłę poprzeczną Układ rónań opiujących arunki rzegoe zapiano naępującej poaci: ( ) ( ) E Iz x ( l ) E Iz x l ( l ) jω jω E Iz F δ( x l) e dx e x x kaŝdej chili > () Ry odel rozaŝanej elki oodnej z łumieniem odel elki uierdzonej na orooym ole Na oodny koniec elki (ry ) działa iła o jednokoej ampliudzie naomia przemiezczenie miejcu zamocoania je róne zeru z kolei momeny zginające zaróno punkcie podparcia jak i na oodnym końcu elki ą eŝ róne zeru Ry odel analizoanej elki uierdzonej z łumieniem

3 ODEL ATEATCZN OBRACAJĄCCH SIĘ TŁUIONCH BELEK PODATNCH 39 Warunki rzegoe cechuje ięc naępujący układ rónań: ( ) EIz x ( ) EIz x x ( l ) EIz x l ( l ) jω jω EIz F ( ) δ x l e dx e x x kaŝdej chili > () 3 Zagadnienie łane Pozukuje ię roziązania poaci iloczynu funkcji łanych zmiennej przemiezczenia oraz funkcji łanych zmiennej czau jako: ( x ) ( x) W( ) (3) gdzie: x - funkcja łana przemiezczenia ( ) W( ) - funkcja łana czau Uzględniając harmoniczny przeieg funkcji łanej zmiennej czau przyjęo co naępuje: jω ( x ) ( x) e (4) gdzie: Ω - częość iły poprzecznej j - jednoka urojona Ciąg arości łanych elki oodnej moŝna przyliŝyć yraŝeniem: n k π n k l (5) Funkcja łana przemiezczenia elki oodnej je róna: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kl h kl kl h kl ( x) ( kx) ( kx) h( kx) h ( kx) (6) kl h kl kl h kl

4 33 S śółkiewski Ciąg funkcji łanych elki uierdzonej moŝna przyliŝyć naępującą zaleŝnością: π k ( n ) n 3 l (7) A dalej po przyliŝeniu orzymanych ynikó opiano funkcję łaną przemiezczenia elki uierdzonej poprzez formułę: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kl h kl kl h kl ( x) ( kx) ( kx) h( kx) h ( kx) kl h kl kl h kl (8) 3 ODEL ATEATCZN RÓWNANIA RUCHU W rozdziale przedaiono yproadzenie rónań ruchu oracających ię elek z uzględnieniem łumienia Rónania ruchu yproadzono za pomocą meod klaycznych zakładając półrzędne uogólnione jako pozczególne półrzędne opiujące połoŝenie i orienację analizoanego przekroju oraz prędkości uogólnione jako odpoiednie pochodne zględem czau z ych półrzędnych: dq q r q r v d dq q r q r v d (9) Siły uogólnione zapiano zaleŝności od elemenó macierzy roacji kórej uŝyo jako meody do ranformacji pozczególnych arości z lokalnego układu półrzędnych do gloalnego układu półrzędnych i ak zględem oi iła ma poać: FgQ F () x Siły uogólnione zględem oi gloalnego układu półrzędnych ą naępujące: FgQ F () x Zgodnie z praem Koeniga zapiano energię kineyczną ruchu płakim funkcji odpoiednich prędkości uogólnionych jako: T [ Q( S ) ] ( Q ) [ Q ( S ) ] ( ir ) ( jr ) r r Q 3 ()

5 ODEL ATEATCZN OBRACAJĄCCH SIĘ TŁUIONCH BELEK PODATNCH 33 Dyypację (moc ra ynikającą z łumienia) układu określono zaleŝności od prędkości uogólnionych naępujący poó: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) r r r r D j i Q S Q (3) W dalzych rozaŝaniach przyjęo naępującą rónoaŝność zapiu: [ ] ( ) ( ) ( ) r r j i j i (4) Po proych przekzałceniach maemaycznych rónania ruchu przedaiono poaci macierzoej jako: x F g (5) Siłę poprzeczną działającą na elkę z uzględnieniem jej pręŝyości przedaiono zaleŝności od odkzałcenia kóre je funkcją Przemiezczenia Ziązek en zgodny je z uogólnionym praem Hooke`a; ąd eŝ zaleŝność między napręŝeniami a odkzałceniami opiana je naępującej poaci: j Z j g q E I q F (6) gdzie:

6 33 S śółkiewski E moduł ounga Z I momen ezładności przekroju poprzecznego elki Po przyjęciu Ŝe oś elki pokrya ię z oią x lokalnego układu półrzędnych załoŝono Ŝe zykie iły poprzeczne kóre zrócone ą przecinie do zrou oi y lokalnego układu półrzędnych yołują momeny ujemne naomia iły zrócone zgodne ze zroami oi y lokalnego układu półrzędnych yołują dodanie momeny (iły i momeny poodujące ugięcie elki ypukłością dół przyjęo jako dodanie) Po uzględnieniu zaleŝności ynikających z (6) orzymano rónania ruchu poaci macierzoej: 4 4 x A E Iz ρ (7) Przyjęo naępujące oznaczenia: π π (8) ąd ekor przemiezczenia linioego przekroju poprzecznego elki proopadły do jej oi oraz rónoległy do oi y lokalnego układy półrzędnych yznaczony zględem gloalnego układu odnieienia odróŝnieniu od kóre odpoiada ekoroi przemiezczenia układzie lokalnym j i (9) Oaecznie uzględniając zaleŝności (9) orzymano rónania ruchu łumionej elki drgającej gięnie ruchu unozenia zrzuoane na oie i gloalnego układu półrzędnych: Rzu na oś :

7 ODEL ATEATCZN OBRACAJĄCCH SIĘ TŁUIONCH BELEK PODATNCH E Iz 4 ( ) ( ) ρ A x () Rzu na oś : E Iz 4 4 ( ) ( ) ρ A x () 4 PODSUOWANIE W pracy przedaiono model maemayczny oracających ię łumionych elek podanych Zamodeloano elki oodne oraz elki uierdzone orooym ruchu unozenia W pracy załoŝono ępną znajomość poaci drgań elek poługując ię modelem elek acjonarnych Roziązanie o je penym uprozczeniem jednak przedaionym przykładzie nie ma płyu na końcoą poać yproadzonego modelu maemaycznego Wyproadzone rónania ruchu ą ępem do dalzej analizy dynamicznej zaróno poaci charakeryyk ampliudoo-częoliościoych jak i ępem do analizy układó ieloognioych Praca ykonana ramach granu N 5 7 3/379 finanoanego przez iniero Nauki i Informayzacji laach 6-9 Thi ork ha een conduced a a par of reearch projec N 5 7 3/379 uppored y he iniry of Science and Higher Educaion in 6-9 LITERATURA Buchacz A śółkieki S: Tranvere viraion of he elaic mulielemen manipulaor in erm of plane moion and aking ino conideraion he ranporaion effec W: 8 h Conference on Dynamical Syem Theory and Applicaion Łódź Proceeding Vol p Buchacz A śółkieki S: Equaion of moion of he o-link yem viraing ranverally and longiudinally in ranporaion Inernaional Conference of achine- Building and Technophere of he I Cenury Sevaopol 6 Vol 4 p Buchacz A śółkieki S: Dynamic analyi of he mechanical yem viraing ranverally in ranporaion Journal of Achievemen in aerial and anufacuring Engineering 7 Vol iue - 7 p Gena G: Dynamic of roaing yem Ne ork : Springer 5 5 Szefer G: Dynamic of elaic odie in erm of plane fricional moion Journal of Theoreical and Applied echanic 39 6 Vance J : Roordynamic of uromachinery Wiley śółkieki S: ahemaical model of roaing damped flexile eam yem W: LVII Sympozjon PTTS odeloanie echanice Wiła 8 p 3-3

8 334 S śółkiewski 8 śółkieki S: Analyi and modelling of roaional yem ih he modyfi applicaion Journal of Achievemen in aerial and anufacuring Engineering 8 Vol 3 i p ATHEATICAL ODEL OF ROTATING DAPED FLEIBLE BEA SSTES Summary In he lieraure here are knon poiion decried he ay of modelling of echnical yem in roaional moion [-8] Thi hei i a developmen of ujec maer conneced ih he analyi of effec of yem moion on he model of viraion Thi developmen i conneced ih aking ino accoun elemen of damping in he mahemaical model Preened model in hi aricle i a derivaion of equaion of moion of damped flexile eam yem Addiionally aking ino conideraion he damping of yem i a ep o ringing cloer ogeher of he propoed model and acual applicaion

Podobne dokumenty

x k3 y k3 x k1 y k1 x 2

x k3 y k3 x k1 y k1 x 2 A. RANFORMACJA RZEMEZCZEŃ obrębie bryły ztynej Andrzej Wite odtay ontrcji mazyn y x - - y x - C x - O x x - x y - - Ry.. chemat tranformacji przemiezczeń Znany jet mały rch bryły ztynej (ry.) pncie O opiany