ANALIZA WPŁYWU ZUŻYCIA NA RUCH DYNAMICZNEGO TŁUMIKA DRGAŃ Z TARCIEM SUCHYM

Transkrypt

1 ANALIZA WPŁYWU ZUŻYCIA NA RUCH DYNAMICZNEGO TŁUMIKA DRGAŃ Z TARCIEM SUCHYM JAN AWREJCEWICZ, YURIY PYRYEV Politechnika Łódzka, Katedra Automatyki i Biomechaniki, 9-94 Łódź, ul. Stefanoskiego /5, arejceicz@p.lodz.pl. jupyrje@p.lodz.pl STRESZCZENIE W pracy odróżnieniu od poszechnie stosoanych metod analizy modelu matematycznym tłumika z tarciem suchym uzględniono rónież zjaisko zużycia materiału trących się ciał. Dokonano rónież analizy płyu parametró zużycia na charakter ruchu okresoego badanego układu.. Wstęp Dynamiczne tłumiki drgań mają szerokie zastosoanie technice i mogą być ykorzystane przy tłumieniu różnego rodzaju drgań zdłużnych, skrętnych i poprzecznych. W tej pracy na przykładzie modelu drgań skrętnych ału tłumiku Lanchestera [, ] dokonano analizy płyu zużycia na ruch dynamicznego tłumika drgań z tarciem suchym. Model matematyczny tłumika Lanchestera uzględniający procesy tribologiczny został opisany pracach [, 3]. Analizy płyu arunkó ymiany cieplnej na taki ruch przeproadzono oparciu o pracę [4]. Zakładamy, że zgodnie z praem Amontonsa siła tarcia jest róna iloczynoi składoej normalnej reakcji i spółczynnika tarcia. Ponadto przyjmiemy, że praca sił tarcia przekształca się energię cieplną. Według reguły Archarda [3] założymy rónież, że szybkość zużycia jest prost proporcjonalna do penej potęgi siły tarcia.

2 . Schemat układu i rónania ruchu Rozpatrzmy tłumik drgań skrętnych układu Lanchestera opisany pracy []. Składa się on z dóch połączonych tarcz, pracujących jako koło zamachoe i sobodnie obracających się łożyskach ału. Pomiędzy nimi znajduje się sztyno połączona z ałem specjalnego kształtu piasta. Do tej piasty przymocoane są okładziny hamulcoe do których, za pomocą sprężyn, można dociskać tarcze. Przy słabo dokręconych śrubach siły tarcia są nieielkie i stąd tłumienie energii jest małe. Z drugiej strony przy mocno dokręconych śrubach poślizg może zanikać i óczas nie zachodzi tłumienie energii. L m X Z U F m Z k Rys. Model dynamicznego tłumika drgań. Na rysunku przedstaiono model dynamicznego tłumika drgań układu Lanchestera z tarciem suchym [, 3]. Ciało o masie m modeluje układ podstaoy (ał, łożyska). Drgania układu są ymuszone siłą ymuszającą F = F sin ω t. Wproadzamy następujące oznaczenia: m masa, k spółczynnik sprężystości ięzó układu głónego, F, ω amplituda i częstość siły ymuszającej. Do rozpatryanego układu dodano tłumik (die połączone tarcze) o masie m połączone z ciałem o masie m poprzez układ dociskający, yniku czego ystępuje siła tarcia suchego. Niech analizoanym elementem trącym będzie płyta kształcie prostopadłościanu ( L b b ), która może poruszać się kierunku Z zdłuż ścian układu głónego. Początkoa artość odległości pomiędzy ścianami jest róna grubości płyty L. Następne odległość ta zmniejsza się o artość U (po skręceniu śrub). W yniku tego procesu na ścianach prostopadłościanu X = ±L pojaia się tarcie suche określone funkcją F fr ( V r ), przy czym V r jest prędkością zględną płyty i ścian, tzn. V r = Z Z. Przyjmujemy rónież, że zgodnie z założeniami Amontonsa siła tarcia jest róna F = f ( V P, gdzie F fr fr r )

3 f ( V r ) oznacza spółczynnik tarcia kinetycznego. Zakładamy, że f ( Vr ) = fs sgn( Vr ). W yniku działania sił tarcia na poierzchni kontaktu X = ±L dochodzi do frykcyjnej generacji ciepła [5] i zużycia [6]. Praca sił tarcia przekształca się energię cieplną i dyssypację mechaniczną. Zakładamy, że pomiędzy płytą i ścianami zachodzi ymiana ciepła zgodnie z założeniami Netona. Poierzchnie płyty nie będące kontakcie ze ścianami są izoloane i posiadają ymiary L b <<, L b <<. Założenia te pozalają na przyjęciu modelu jednoymiaroego. Dynamiczne rónania ruchu dla układu pokazanego na rysunku mają postać [, 7]: Z kz + f ( Z Z) P( Z f ( Z Z ) P( = m + = F, () m. () Aby roziązać układ rónań (),() musimy dysponoać ciśnieniem kontaktoym P(. Dla tego przyjętym modelu jednoymiaroym roziązujemy rónania opisujące naprężenia cieplne [8] o postaci U ( X, + ν α T ( X, = X ν, (3) X T ( X, T ( X, =, X ( L, L) (4) X a t przy następujących mechanicznych arunkach brzegoych arunkach brzegoych cieplnych U ( L, = ± U h ( U (, (5) U T ( L, T λ + α T ( L, = ( η) f ( Vr ) Vr P( (6) X oraz zeroych arunkach początkoych. W dalszych rozażaniach przyjmujemy, że prędkość zużycia płyty jest prost proporcjonalna do penej potęgi siły tarcia. Zgodnie z założeniami Archarda [6] mamy U ( = K V P( (7) r Naprężenie normalne płycie można yznaczyć przy pomocy zależności E ν U ( X, σ XX ( X, = αt ( X, ν + ν X (8)

4 Poyżej przyjęto następujące oznaczenia: E moduł sprężystości płyty, ν, T λ, a, α, α spółczynniki Poissona, przeodnicta cieplnego, yrónyania temperatury (dyfuzyjność cieplna), linioej rozszerzalności cieplnej płyty i przejmoania ciepła od ściany do płyty, η część mocy sił tarcia traconej na zużycie η [, ], K - spółczynnik zużycia, P( = σ XX ( ± L, ciśnienie kontaktoe, U ( X, - przemieszczenie kierunku X, T ( X, - temperatura płyty. Wielkości m, m, k, P, F przypadają na jednostkę poierzchni kontaktu S = b b płyty i ściany. 3. Wyniki numeryczne Analiza numeryczna rozpatryanego zagadnienia została przeproadzona przy ykorzystaniu metody Rungego-Kutty i metody kadratur [6]. Dynamiczny tłumik drgań z tarciem suchym może nie spełniać sego przeznaczenia [,]. Jak doiedziono pracy [3], uzględnienie ytarzania ciepła na poierzchni kontaktu tłumika i ciała drgającego oraz rozszerzenie cieplne tłumika modelu matematycznym tłumika dynamicznego pooduje zniknięcie zjaiska rezonansu. Układ rzeczyisty podlega samoregulacji (dobiera optymalne ciśnienie kontaktoe). Rolą regulatora odgrya termosprężysta płyta, która rozszerza się odpoiednio do prędkości ślizgania i arunkó ymiany ciepła. W pracy dokonano analizy płyu artości spółczynnika zużycia k na ruch układu z dynamicznym tłumikiem drgań z tarciem suchym. Zostały proadzone następujące bezymiaroe parametry układu: μ = m m =.5, ε = N f s ( F S) =.5. Dla bezymiaroej częstotliości ω = ω ω ω = ( k m = ) układzie pojaia się rezonans [3]. Uzględnienie rozszerzalności cieplnej płyty ( Ω = γl =., t T = L a =., Bi = α L λ =, gdzie γ = E αaλ ( ν), l = L L ) proadzi do zniknięcia rezonansu. Wyniki obliczeń przedstaiono na rysunkach -3 dla różnych parametró zużycia k. Na rysunku a pokazano zależność bezymiaroej prędkości z ( ) i z ( ) ( z ( = Z L ) od bezymiaroego czasu = t t dla bezymiaroego n ) n parametru zużycia k =. ( k = K N L ( U S ) ). Zależności bezymiaroego ciśnienia kontaktoego p () ( p = P S N ) i temperatury poierzchni kontaktu θ () ( θ = T T ) od bezymiaroego czasu pokazane zostały na rysunkach b dla parametru zużycia k =.. Rónież dla k =. na rysunku c sporządzano ykres zależności bezymiaroego zużycia u () ( u = U U ) od bezymiaroego czasu. T

5 a) b) c) 4 z ().5 u ().5 p(). - z ().5 θ() Rys. Eolucja czasie bezymiaroej prędkości z ( ) i z ( ) (a) bezymiaroego ciśnienia kontaktoego p () i temperatury poierzchni kontaktu θ() (b) oraz zużycia u () (c) z uzględnieniem generacji cieplnej i zużycia ( k =. ) Dla parametru zużycia k =. odpoiednie zależności parametró kontaktoych od czasu przedstaiono na rysunku 3. W poyższych rónaniach ykorzystano następujące parametry: t = [s], ω F L = [m], k E( ν) US N = [N], ( + ν)( ν) L ( ν) U T = [ C] α( + ν) L a) b) c) 8 5 u () z () θ() 3 z () -4-8 p() Rys. 3 Eolucja czasie bezymiaroej prędkości z ( ) i z ( ) (a) bezymiaroego ciśnienia kontaktoego p () i temperatury poierzchni kontaktu θ() (b) oraz zużycia u () (c) z uzględnieniem generacji cieplnej i zużycia ( k =. ).

6 4. Wnioski W pracy ykazano, że uzględnienie rozszerzalności cieplnej rozpatryanym układzie tłumika dynamicznego proadzi do zniknięcia rezonansu (rys. ). Układ drga z częstotliością T = π ω = π. Zmiany czasie ciśnienia kontaktoego oraz temperatury na poierzchni kontaktu posiadają okres T = T = π (rys. b, 3b). W przypadku, gdy artość zużycia jest mniejsza od artości rozszerzenia cieplnego płyty czas przebyania układu kontakcie jest nieograniczony (rys. b), zużycie rośnie praie linioo (rys. c), temperatura zrasta i kompensuje zużycie (rys b). W przypadku, gdy artość zużycia płyty jest iększa od artości jej rozszerzenia cieplnego czas przebyania układu kontakcie jest ograniczony (rys. 3b), a następnie mamy do czynienia ze zjaiskiem rezonansu (rys. 3a). Bibliografia. Den Hartog J. P., Mechanical Vibrations, McGra-Hill, Ne York Giergiel J., Damping of Mechanical Vibrations, PWN, Warsa Arejceicz J., Pyryev Yu., Tribological dynamical damper of vibrations, Proceedings of the 8th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, Eds: J. Arejceicz, D. Sendkoski, J. Mrozoski, Łódź, Poland, December -5, 5, Arejceicz J., Pyryev Yu., On the heat transfer influence on dynamical damper selfvibrations, Proceedings of the nd International Conference on Vibrations in Physical Systems, Poznań-Będleo, Poland, April 8-, 6, Arejceicz J., Pyryev Yu., Contact phenomena during breaking and acceleration of a bush-shaft system, J. Thermal Stresses, 7, 4, Arejceicz J., Pyryev Yu., Thermoelastic contact of a rotating shaft ith a rigid bush in conditions of bush ear and stick-slip movements, Int. J. Eng. Sci., 4,, Arejceicz J., Pyryev Yu., Thermo-mechanical model of frictional self-excited vibrations, Int. J. Mech. Sci., 47, 5, Noacki W., Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford 96. Praca ta była ykonana ramach projektu naukoego finansoanego przez Ministersto Edukacji i Nauki latach 5-8 (grant 4 TO7C 44 9).