RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
|
|
- Wanda Muszyńska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RUCH DRGJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylaor harmoniczny Energia oscylaora harmonicznego Wahadło maemayczne i fizyczne Drgania łumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu
2 RUCH HRMONICZNY Ruch okresowy (periodyczny - ruch, kóry powarza się w regularnych odsępach czasu. Jeżeli punk maerialny porusza się am i z powroem (ruchem okresowym po ej samej drodze, o aki ruch nazywamy ruchem drgającym lub harmonicznym (wibracyjnym lub oscylacyjnym. Przemieszczenie w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą harmonicznych i ciągłych funkcji us lub inus. y = r y r r α (r.j.o y r
3 RODZJE DRGŃ y [m] T T [s] - y ( Wysępujące w przyrodzie drgania dzielimy na: swobodne, łumione (obecne są siły oporu ośrodka lub wymuszone (wywołane zewnęrzną, zmienną w czasie siłą.
4 OSCYLTOR HRMONICZNY Oscylaor harmoniczny (wyidealizowany układ fizyczny - punk maerialny (ciało o masie m, wykonujący ruch pod wpływem proporcjonalnej do chwilowego wychylenia z położenia równowagi siły sprężysej F. d d F ma II ZDN k m F s d d k d m d ( ozn. k k m W ruchu harmonicznym przyspieszenie ciała, podobnie jak działająca na nie siła, jes proporcjonalne i skierowane przeciwnie do wychylenia z położenia równowagi.
5 OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. równanie różniczkowe (II rzędu drgań swobodnych, gdzie niewiadomą jes funkcja ( położenia w funkcji czasu: d d d d d d d d d d ( ( ( ( ( UWG!!! w chwili = wszyskie e funkcje zależą ylko od fazy począkowej drgań φ, a ampliuda drgań swobodnych układu nie zależy od czasu i jes sała. (
6 OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. ( przemieszczenie V ( prędkość a ( przyspieszenie
7 OSCYLTOR HRMONICZNY (c.d. φ ( - ampliuda drgań (ma. wychylenie z położenia równowagi; φ - faza począkowa drgań; ω - częsość kołowa (kąowa drgań własnych układu; T T - okres drgań (czas jednego pełnego cyklu oscylacji; f T m k k m f - częsoliwość drgań (ilość oscylacji w jednosce czasu, wyrażana w [Hz] lub [/s].
8 ENERGI OSCYLTOR HRMONICZNEGO W U ( U V K E ( k ma k ( c Fd mv K U k ( k d k ( k E c = ( ( k U m ( k k ( Podczas drgań oscylaora harmonicznego energia kineyczna układu jes cyklicznie zamieniana w energię poencjalną. Suma ych energii E c (całkowia energia mechaniczna jes sała i nie zależy od czasu. φ ( K ma E c k ~
9 WHDŁ maemayczne fizyczne oś d l l l śm T l g punk maerialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l T I mgd bryła szywna o masie m wahająca się pod wpływem siły ciężkości dookoła osi nie przechodzącej przez środek masy ej bryły
10 WHDŁO MTEMTYCZNE Okres drgań wahadła maemaycznego (prose: 7 o ma s F n s mg mg g L 4 g T L T g ( L g, ( a n F s Przy dużych kąach wychylenia wahadła maemaycznego z położenia równowagi jego ruch nie będzie już ruchem harmonicznym prosym. L ma n
11 y [m] DRGNI TŁUMIONE y, T = e β T T [s] y, T T T,
12 DRGNI TŁUMIONE Podczas drgań łumionych działają siły niezachowawcze (np. siła arcia, siły oporu ośrodka, a energia mechaniczna układu maleje. Siła łumiąca jes proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie do niej skierowana. b - sała (współczynnik oporu F bv F kbv ma d d m b k d d e b m ( k m b m mpliuda drgań łumionych maleje wykładniczo w czasie ( = e -β
13 Pulsacja drgań łumionych ω jes mniejsza niż pulsacja drgań swobodnych: β - współczynnik łumienia ω - częsość drgań własnych (a drgania harmoniczne łumione (b łumienie kryyczne (ruch pełzający kryyczny (c aperiodyczny powró do sanu równowagi (ruch pełzający DRGNI TŁUMIONE (c.d. m b m b m k
14 F F F s kbv F F F ma d d m b k F d d ( Φ DRGNI WYMUSZONE Podczas drgań wymuszonych ubyek energii mechanicznej wskuek arcia jes kompensowany przez cykliczne dosarczanie energii przez zmienną siłę zewnęrzną. Siłę ę nazywamy siłą wymuszającą. m arc g F w w 4 F w rez F β = (Ω = ω, brak łumienia β małe łumienie β duże łumienie
15 REZONNS β 5 = β > β > β 3 > β 4 > β 5 β 4 rez β β 3 rez F m β (ω - β < Ω r Ω r Ω r Ω r = ω Ω [Hz]
16 ZJWISKO REZONNSU Rezonans - silny wzros ampliudy przy częsości nawe niewielkiej siły wymuszającej bliskiej częsości drgań własnych układu. Skuki rezonansu mogą być zarówno pozyywne (odbiorniki RTV jak i negaywne (źle wyważone wirujące części maszyn. Wiar wywołujący drgania o częsości zbliżonej do częsości własnej drgań mosu doprowadził do jego zniszczenia (Tacoma Narrows, US 94
17 DRGNI ZŁOŻONE Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o ej samej częsoliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych o różnych częsoliwościach naliza harmoniczna drgań Dudnienia i drgania modulowane Superpozycja drgań harmonicznych wzajemnie prosopadłych Krzywe Lissajous
18 Drgania są równoległe, gdy zachodzą wzdłuż ej samej prosej. Superpozycja (nakładanie się drgań równoległych - punk maerialny wykonuje jednocześnie dwa (lub więcej drgania harmoniczne równoległe (np. wzdłuż osi o ej samej częsoliwości kołowej (pulsacji, lecz różniące się fazą. Drganie wypadkowe rozważanego punku jes superpozycją jego drgań składowych, a wypadkowe wychylenie jes sumą jego wychyleń składowych. y SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości (, ( ( Δφ φ φ φ g (, p. fazowe
19 ., ( ( ( ( ( ( ( ( g fazowe p SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości
20 SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH o ej samej częsoliwości Superpozycja drgań harmonicznych równoległych, o jednakowych pulsacjach różniących się fazą, daje w wyniku drganie harmoniczne o ej samej pulsacji. mpliudy drgań składowych dodają się, gdy ich fazy są zgodne, a odejmują się, gdy fazy są przeciwne. y ( f. zgodne ma Δφ φ φ f. przeciwne min φ
21 SUPERPOZYCJ DRGŃ RÓWNOLEGŁYCH W przypadku superpozycji drgań harmonicznych równoległych o różnych częsoliwościach powsaje okresowe drganie wypadkowe, kóre na ogół nie jes harmoniczne. Dowolne drganie okresowe może powsać przez superpozycję skończonej lub nieskończonej liczby drgań harmonicznych o częsoliwościach będących całkowiymi wielokronościami częsoliwości podsawowej (pulsacje poszczególnych drgań worzą posęp arymeyczny: ω, ω, 3ω,, kω. o różnych częsoliwościach ( (... k ( k k k Drgania składowe nazywamy kolejno pierwszym, drugim, id. drganiem harmonicznym. Pierwsze drganie harmoniczne nazywa się akże drganiem podsawowym. Okres drgania wypadkowego jes równy okresowi drgania podsawowego.
22 NLIZ HRMONICZN DRGŃ Dowolne drganie okresowe (, o okresie T jes superpozycją drgań harmonicznych i można je wyrazić szeregiem Fouriera. k ( k k Bk k, k, B k - ampliudy poszczególnych składowych T ω ω 3ω 4ω 3 4 T T
23 przeciwfaza faza DUDNIENI Dudnienia - okresowe zmiany ampliudy drgań złożonych w wyniku nałożenia się (superpozycji drgań harmonicznych o niewiele różniących się pulsacjach (np. sruny insrumenu muzycznego nasrojone na niewiele różniące się ony, sacje radiowe pracujące na bliskich częsoliwościach. min T d ma
24 , ma ', ( ( (, ( ( ( (, ( ' DRGNI MODULOWNE dudnienia drgania modulowane (głębokość modulacji % (głębokość modulacji 5% dudnienie
25 SUPERPOZYCJ DRGŃ PROSTOPDŁYCH Drgania są prosopadłe, gdy odbywają się wzdłuż kierunków wzajemnie prosopadłych. Drganie powsałe w wyniku nałożenia się (superpozycji drgań wzajemnie prosopadłych jes drganiem złożonym zachodzącym w płaszczyźnie y o orze ruchu punku (przy założeniu, że ω = ω = ω. ( y, y y ( ( ( Jednosajny ruch po okręgu (drganie kołowe - rzu ruchu po okręgu na oś lub y daje ruch harmoniczny i odwronie złożenie drgań harmonicznych, zachodzących wzdłuż osi i y daje ruch po okręgu. Kiedy częsoliwości i ampliudy obydwu drgań są równe ruch wypadkowy zależnie od kszału krzywej nosi nazwę: drgań elipycznych (Δφ = ±/4 π lub ±3/4 π i kołowych (Δφ = ±/ π lub ±3/ π lewo lub prawoskręnych oraz liniowych (Δφ =, π,., r. faz
26 KRZYWE LISSJOUS Złożenie drgań harmonicznych prosopadłych, daje w wyniku mniej ( =, ω = ω, Δφ π lub bardziej (, ω ω, Δφ π skomplikowane krzywe, zwane krzywymi Lissajous. sosunek częsości ω / ω różnica faz Δφ
27 KRZYWE LISSJOUS Obrazy złożonych drgań harmonicznych najprościej można orzymać za pomocą oscyloskopu - wiązka elekronów w lampie oscyloskopowej jes odchylana przez dwie pary płyek prosopadłych względem siebie w zależności od przyłożonego napięcia o określonych pulsacjach, ampliudach i fazach.
RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowover b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Bardziej szczegółowodrgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny
Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Katedra Optki i Fotoniki Wdział Podstawowch Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html RUCH DRGJĄCY Drganie (ruch drgając)
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Insttut Fizki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html Dr hab.
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoProsty oscylator harmoniczny
Ruch drgający i falowy Siła harmoniczna, drgania swobodne Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić
Bardziej szczegółowoDrgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoTemat VIII. Drgania harmoniczne
Tema VIII Drgania harmoniczne Równanie ruchu F k Siła k m Równanie ruchu sin cos Położenie równowagi w ruchu drgającym Położenie równowagi o akie położenie, w kórym siły wymuszające ruch równoważą się
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoFala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu
Ruch falowy Fala jest zaburzeniem, rozchodzącym się w ośrodku, przy czym żadna część ośrodka nie wykonuje zbyt dużego ruchu Fala rozchodzi się w przestrzeni niosąc ze sobą energię, ale niekoniecznie musi
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
Bardziej szczegółowoI. KINEMATYKA I DYNAMIKA
piagoras.d.pl I. KINEMATYKA I DYNAMIKA KINEMATYKA: Położenie ciała w przesrzeni można określić jedynie względem jakiegoś innego ciała lub układu ciał zwanego układem odniesienia. Ruch i spoczynek są względne
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE W MEDYCYNIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Temat: Modulacja światła laserowego: efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą
Bardziej szczegółowoSiła sprężystości - przypomnienie
Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoDrgania i fale sprężyste. 1/24
Drgania i fale sprężyste. 1/24 Ruch drgający Każdy z tych ruchów: - Zachodzi tam i z powrotem po tym samym torze. - Powtarza się w równych odstępach czasu. 2/24 Ruch drgający W rzeczywistości: - Jest coraz
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R M-2
INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoDRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania
Bardziej szczegółowoWykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoDrgania. W Y K Ł A D X Ruch harmoniczny prosty. k m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 119 W Y K Ł A D X Drgania. Drgania pojawiają się wtedy, gdy układ zostanie wytrącony ze stanu równowagi stabilnej. MoŜna przytoczyć szereg znanych przykładów: kołysząca
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoCzłowiek najlepsza inwestycja FENIKS
Człowiek najlepsza inwestycja FENIKS - długofalowy program odbudowy, popularyzacji i wspomagania fizyki w szkołach w celu rozwijania podstawowych kompetencji naukowo-technicznych, matematycznych i informatycznych
Bardziej szczegółowoII. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Wykład 6 RUCH DRGAJĄCY Opowiem ci o wiedzy. Uznać to, co znane, za znane, a to co nieznane, za nieznane, to jest wiedza. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, 551 479 p.n.e.)
Bardziej szczegółowoSprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15
Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== =========================
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoDrgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyki Stosowanej
Fizyka dla Informayki Sosowanej Jacek Golak Semesr zimowy 018/019 Wykład nr 14 Równania Mawella w próżni E 0 B 0 B E B j 0 0 E Uwaga: To są równania w układzie SI! 8.85419 0 4 π 0 10 7 10 T m A 1 C N m
Bardziej szczegółowoWykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Bardziej szczegółowoSygnały zmienne w czasie
Sygnały zmienne w czasie a) b) c) A = A = a A = f(+) d) e) A d = A = A sinω / -A -A ys.. odzaje sygnałów: a)sały, b)zmienny, c)okresowy, d)przemienny, e)sinusoidalny Sygnały zmienne okresowe i ich charakerysyczne
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.
ĆWICZENIE BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH Wahadło sprzężone Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k Rys Na wahadło działa siła będąca składową
Bardziej szczegółowoDrgania wiadomości podstawowe
Drgania wiadomości podsawowe Drgania kameronu, silnika łokowego i przekładni zębaej. Drgania Drgania mechaniczne Proces, w kórym pewne wielkości charakerysyczne są funkcjami czasu, zazwyczaj na przemian
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 133. Interferencja fal akustycznych - dudnienia. Wyznaczanie częstotliwości dudnień. Teoretyczna częstotliwość dudnienia dla danego pomiaru
Kaedra Fizyki SGGW Nazwisko... Daa... Nr na liście... Imię... Wydział... Dzień yg.... Godzina... Ćwiczenie 33 Inererencja al akusycznych - dudnienia Tabela I. Wyznaczanie częsoliwości dudnień Pomiar Czas,
Bardziej szczegółowoFizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona,
Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 0, 1 i Przygotowanie: Grzegorz Brona, 0.1.008 Seria 0 Zadanie 1 Punkt Q porusza się w płaszczyźnie XOY po okręgu o promieniu A ze stałą prędkością kątową ω.
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoRys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoPOMIAR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONANSU I METODĄ SKŁADANIA DRGAŃ WZAJEMNIE PROSTOPADŁYCH
Ćwiczenie 5 POMIR PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU METODĄ REZONNSU I METODĄ SKŁDNI DRGŃ WZJEMNIE PROSTOPDŁYCH 5.. Wiadomości ogólne 5... Pomiar prędkości dźwięku metodą rezonansu Wyznaczanie prędkości dźwięku metodą
Bardziej szczegółowoWykład 3 Ruch drgający Ruch falowy
Wykład 3 Ruch drgający Ruch falowy Dr Henryk Jankowski 2010/2011 WIMIR_studia niestacjonarne Mechanika Analityczna Czasoprzestrzeń zasada składania ruchów Galileo Galilei (1564-1642) - "Dialogi" (Florencja,
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z FIZYKI w klasie II gimnazjum sr. 1 4. Jak opisujemy ruch? oblicza średnią
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Dynamika ruchu po okręgu siła dośrodkowa Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym siły bezwładności Prawa ruchu w układzie obracajacym się siła odśrodkowa siła
Bardziej szczegółowoDrania i fale. Przykład drgań. Drgająca linijka, ciało zawieszone na sprężynie, wahadło matematyczne.
Drania i fale 1. Drgania W ruchu drgającym ciało wychyla się okresowo w jedną i w drugą stronę od położenia równowagi (cykliczna zmiana). W położeniu równowagi siły działające na ciało równoważą się. Przykład
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoWykład 9: Fale cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 9: Fale cz. 1 dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Klasyfikacja fal fale mechaniczne zaburzenie przemieszczające się w ośrodku sprężystym, fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowogdzie x jest wychyleniem z położenia równowagi. Współczynnik k jest tutaj współczynnikiem proporcjonalności.
RUCH DRGJĄCY Ruche drgający (drganiai) nazywa się każdy ruch, który charakteryzuje powtarzalność w czasie wielkości fizycznych (np wychylenia) określających ten ruch Występujące w przyrodzie drgania ożna
Bardziej szczegółowoFIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY
FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY Każdy ruch jest zmienną położenia w czasie danego ciała lub układu ciał względem pewnego wybranego układu odniesienia. v= s/t RUCH
Bardziej szczegółowo2.6.3 Interferencja fal.
RUCH FALOWY 1.6.3 Interferencja fal. Pojęcie interferencja odnosi się do fizycznych efektów nie zakłóconego nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych. Doświadczenie uczy, że fale mogą przebiegać
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki. Wykład 2. Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
Podstawy fizyki Wykład 2 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Janusz Andrzejewski 2 Dynamika Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i nieinercjalne Siła Masa Przykłady sił Tarcie
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Bardziej szczegółowo4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)
Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2)185 4.3 Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą fali biegnącej(f2) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu
Bardziej szczegółowoBadania doświadczalne drgań własnych nietłumionych i tłumionych
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badania
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Teoria uderzenia
MECHANIKA 2 Wykład Nr 14 Teoria uderzenia Prowadzący: dr Krzysztof Polko DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami, nazywamy punktem nieswobodnym. Więzy oddziaływają
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Praca, moc, energia Energia Energia jest to wielkość skalarna, charakteryzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Energia jest miarą różnych
Bardziej szczegółowoWyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 10 015/016, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowocx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.
Drgania układu o jedny sopniu swobody Rozparzy układ składający się z ciała o asie połączonego z nierucoy podłoże za poocą eleenu sprężysego o współczynniku szywności k oraz eleenu łuiącego o współczynniku
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowoRys Ruch harmoniczny jako rzut ruchu po okręgu
3. DRGANIA I FALE 3.1. Ruch harmoniczny W szkole poznajemy ruch harmoniczny w trakcie analizy ruchu jednostajnego po okręgu jako rzut na prostą (rys. 3.1). Tak jest w istocie, poniewaŝ ruch po okręgu to
Bardziej szczegółowo, to: Energia całkowita w ruchu harmonicznym prostym jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 4 Podstawiając to do wzoru na energię kinetyczną: K = ma sin t + ( δ ) Podstawiając = k / m K = ka sin t ( + δ ) -5 Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym prostym Energia
Bardziej szczegółowoPrzenośnik wibracyjny. Przenośnik wibracyjny. Dr inż. Piotr Kulinowski. tel. (617) B-2 parter p.6
Przenośnik wibracyjny Katedra Maszyn Górniczych, Przeróbczych i Transportowych Przenośnik wibracyjny Dr inż. Piotr Kulinowski pk@imir.agh.edu.pl tel. (617) 30 74 B- parter p.6 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo