ROZDZIAŁ 7. Elektrotechnika podstawowa 131

Transkrypt

1 lektotechnika podstaoa ODŁ 7 oziązyanie obodó pądu s inusoidalnego - - N N N ϕ N N N b a Podobnie jak pzy pądzie stałym istotnych infomacji dostacza analiza postych układó utozonych z idealnych elementó kłady z cekami spzężonymi magnetycznie można zastępoać ónoażnymi układami bez tych spzężeń Obody ziązane ze sobą stuktualnie zaieające po jednym sinusoidalnym źódle napięcioym o tej samej częstotliości tozą obody ielofazoe ykle ozaża się obody tójfazoe ze źódłami symetycznymi (tzy obody napięcia źódłoe o tej samej amplitudzie i pzesunięciu fazoym ónym ±0 ) Stosonie do podanej definicji autonomiczne obody z jednym sinusoidalnym źódłem napięcioym okeśla się jako obody jednofazoe Jest egułą że oziązując obód jednofazoy lub tójfazoy najpie szkicuje się ykes skazoy a potem pzystępuje do obliczeń oziązyanie takich obodó tudno sobie yobazić bez ykesó skazoych Jeśli ykes skazoy stanoi podstaę pocesu obliczenioego to musi być ykonany ze szczególną staannością

2 lektotechnika podstaoa Oznaczenia ielkości ystępujących ozdziale 7 susceptancja C susceptancja pojemnościoa C susceptancja indukcyjna cos ϕ spółczynnik mocy C pojemność elektyczna e napięcie źódłoe atość skuteczna napięcia źódłoego f napięcie fazoe źódła tójfazoego (atość skuteczna) skaz i atość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia źódłoego f częstotliość G konduktancja i pąd atość skuteczna pądu; pąd linioy (atość skuteczna) skazanie ampeomieza f pąd fazoy źódła tójfazoego; pąd fazoy odbionika tójfazoego (atość skuteczna) m amplituda pądu sinusoidalnego skaz i atość symboliczna (skuteczna zespolona) pądu moduł (długość skazu óna ) N skaz i atość symboliczna pądu pzeodzie neutalnym o atość symboliczna pądu oczkoego ź skaz i atość symboliczna pądu źódłoego j liczba uojona; opeato obotu skazu L indukcyjność łasna indukcyjność zajemna P moc czynna P gen moc czynna geneatooa P odb moc czynna odbionikoa P W skazanie atomieza Q moc biena Q gen moc biena geneatooa Q odb moc biena odbionikoa ezystancja S moc pozona S moc zespolona S gen moc zespolona geneatooa moc zespolona odbionikoa S odb t czas u napięcie atość skuteczna napięcia; napięcie międzyfazoe linii tójfazoej; napięcie międzyfazoe odbionika tójfazoego (atość skuteczna) f napięcie fazoe linii tójfazoej; napięcie fazoe odbionika tójfazoego (atość skuteczna) V skazanie oltomieza m amplituda napięcia sinusoidalnego skaz i atość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia moduł (długość skazu óna ) N N skaz i atość symboliczna napięcia między punktami neutalnymi źódła i odbionika tójfazoego 0 skaz i atość symboliczna napięcia źódła zastępczego V atość skuteczna potencjału V atość symboliczna (skuteczna zespolona) potencjału V N skaz i atość symboliczna potencjału punkcie neutalnym źódła tójfazoego (zykle óne zeu) V N skaz i atość symboliczna potencjału punkcie neutalnym odbionika tójfazoego (zykle óne N N ) W atość yznacznika eaktancja C eaktancja pojemnościoa L eaktancja indukcyjna łasna eaktancja indukcyjna zajemna admitancja admitancja zespolona admitancja zespolona źódła impedancja impedancja zespolona impedancja zespolona źódła ϑ pzekładnia tansfomatoa ϕ kąt pzesunięcia fazoego ψ początkoy kąt fazoy (faza początkoa) pzebiegu sinusoidalnego ω pulsacja pzebiegu sinusoidalnego Liteatua do ozdziału 7 [] [] [4] [7] [8]

3 7 oziązyanie obodó pądu sinusoidalnego Wykład V WN KONFGCJ OWODÓW PĄD SNSODLNGO Pzekształcenie tójkąt-giazda i odotne pzy pądzie sinusoidalnym Wymuszeniem są pądy zaciskoe (taktuje się je jak źódłoe) a odpoiedzią napięcia międzyzaciskoe pzy czym i są niezależne a zależne: = ; = Potencjały ęzłó niezależnych (zaciskó i ) tójkąta yznacza się z ónania: + V = + V We zoach Camea pzedstaiających oziązanie tego ónania ystępują yznaczniki: W = W W + + = ( + + = ) = + ( + = ) ięc napięcia międzyzaciskoe tójkąta jako funkcje odpoiednich pądó yażają się zoami: W W = V V = = W W W W = V = = = V = = W W W W Napięcia międzyzaciskoe giazdy jako funkcje tychże pądó mają postaci: = = = = = = Poónując spółczynniki pzy tych samych pądach yażeniach na napięcia międzyzaciskoe giazdy i tójkąta otzymuje się = = = ; stąd fomuły: W W W = + + = + + = + + = + + V V V = 0 = + + = + + = + + = + + = + + ; (7) = ; (7) + + = + + ; (7) = (74) + +

4 4 Wykład V kłady dzielnikó napięcia i pądu sinusoidalnego Dzielniki napięcia i pądu sinusoidalnego óżnią się tym od dzielnikó napięcia i pądu stałego że miejsce ezystoó łączonych szeegoo bądź ónolegle zajmują dójniki (gałęzie) L C Oczyiście mogą to być szczególności same ezystoy jak dzielnikach stałopądoych achodzi tedy podział napięcia bądź pądu czystej postaci bez pzesunięć fazoych Ogólnie jednak układach dzielnikó napięcia sinusoidalnego ystępuje pzesunięcie fazoe napięć zaś układach dzielnikó pądu sinusoidalnego pzesunięcie fazoe pądó Są ięc te układy jednocześnie dzielnikami i pzesunikami fazoymi (napięcia bądź pądu) co pokazano na pzykładoych ykesach skazoych dla kątó pzesunięcia fazoego dójnikó ϕ = 0 i ϕ > 0 Dzielnik napięcia sinusoidalnego: ϕ ϕ = 0 = = (75a) + = = ; (75b) + = + = + (76) Dzielnik pądu sinusoidalnego: ϕ ϕ = 0 = = = (77a) + + = = = ; (77b) + + = + = + (78) poyższych zoó kozysta się często pzy oziązyaniu obodó metodą pzekształcania sieci (na etapie ozijania sieci zastępczej do sieci pieotnej) Chaakteystyki zenętzne sinusoidalnych źódeł napięcioych Chaakteystyką zenętzną sinusoidalnego źódła napięcioego nazya się ykes zależności napięcia yjścioego od pądu obciążenia pzy stałej atości kąta ϕ (agumentu ) a) b) c) j j( +) ϕ ϕ ϕ ( +) Na ysunku a pokazano układ sinusoidalnego źódła napięcioego z odbionikiem pasynym Szeegoe połączenie impedancji i tozy dzielnik napięcia Napięcie zależy tym układzie zaóno od jak i od toteż obie te impedancje mają pły na kształt chaakteystyki zenętznej źódła poj ez ind 0 /

5 7 oziązyanie obodó pądu sinusoidalnego 5 mpedancja enętzna źódła = + j ma zykle chaakte indukcyjny (opócz ezystancji zaiea eaktancję indukcyjną tzn > 0 ) natomiast impedancja odbionika = + j jest doolnego odzaju Na ysunku b pokazano ykes skazoy pądu i napięć pzy obciążeniu o + chaakteze indukcyjnym zaznaczając pzesunięcie fazoe ϕ = ag( + ) = ac tg + Chaakteystyki zenętzne źódła yznacza się obliczając atości skuteczne i dla kolejnych atości : od bliskich do 0 pzy ϕ = const g zoó: = cosϕ = sinϕ = = ( ) + ) + ( + Otzymane ten sposób pzykładoe chaakteystyki zenętzne źódła napięcioego z ezystancyjno-indukcyjną impedancją enętzną pacującego z obciążeniem óżnego typu pzedstaiono na ys c Wykesy dotyczą obciążeń o następujących (stałych) atościach kąta ϕ : 45 (poj) 0 (ez) + 45 (ind) óżnego chaakteu impedancji od i pzy obciążeniu typu pojemnościoego ynika ystępoanie penym zakesie atości napięcia iększych od oaz pądu iększych od / (pądu zacia) Pąd jest najiększy stanie ezonansu ( = ) Waunku na maksimum napięcia nie można yazić postej fomie; zależy on od modułu i agumentu oaz agumentu (kąta ϕ) ónoażność zeczyistych sinusoidalnych źódeł napięcioych i pądoych ónoażność źódeł dotyczy ich ielkości zaciskoych tj zgodności pądó i napięć co do modułó i faz (jednakoych atości symbolicznych) Źódło napięcioe: = Źódło pądoe: = czyli = ięc ź = Otzymuje się ź ź ź stąd aunki ónoażności układó: = czyli = (79a) ź = czyli ź = lub ź = (79b) Dopasoanie odbionika do źódła napięcioego ze zględu na moc czynną Dopasoanie odbionika (pasynego) do źódła ze zględu na moc czynną oznacza taki dobó obciążenia że moc czynna odbionika jest najiększa z możliych jϕ oc czynna odbionika o impedancji = + j = e zasilanego ze źódła o napięciu = e i impedancji enętznej jψe jϕ = + j = e yaża się następująco: cosϕ P = = = ( + ) + ( + ) + + cos( ϕ ϕ) ź

6 6 Wykład V Dopasoanie odbionika do źódła odbya się z założenia pzy = const i ma ziązek ze zmianami atości paametó odbionika: i albo i ϕ (impedancja to moduł impedancji ) P P P P aunkó na ekstema: = 0 = 0 = 0 = 0 otzymuje się yażenia: ϕ ( + ) = 0 ( + ) + ( + ) ( + ) = 0 ; (70a b) = 0 sin ϕ cos ( ) cos sin ( ) = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (70c d) W celu asoania odbionika do źódła można steoać jego mocą czynną na óżne sposoby = const; asoanie g (70a): = (ezonans) = const; asoanie g (70b): gdy = 0 (odbionik ezystancyjny) to + + = ( ) ; = + = ϕ = const; asoanie g (70c): = 4 i doolne óżne od 0; asoanie g (70a b): = i = ; g (70c d): = i ϕ ϕ = ; stąd ogólnie = (ezonans) W pieszym aiancie stan ezonansu jest ynikiem dobou samej eaktancji czatym ynikiem dobou impedancji zespolonej = + j = j = Watość mocy czynnej pzy asoaniu = jest najiększa i ynosi P = 4 zatem jeśli nie ma nazuconych oganiczeń co do chaakteu zmian obciążenia to asoanie odbionika do źódła ze zględu na moc czynną zachodzi pzy aunku = (7) kład źódło-odbionik pacuje tym ypadku ze spanością óną 05 Dopasoanie odbionika do źódła napięcioego ze zględu na moc pozoną Dopasoanie odbionika (pasynego) do źódła ze zględu na moc pozoną oznacza taki dobó obciążenia że moc pozona odbionika jest najiększa z możliych jϕ oc pozona odbionika o impedancji = + j = e zasilanego ze źódła o napięciu = e i impedancji enętznej jψe jϕ = + j = e yaża się następująco: + S = = = = + ( + ) + ( + ) + + cos( ϕ ϕ) Dopasoanie odbionika do źódła odbya się z założenia pzy = const i ma ziązek ze zmianami atości paametó odbionika: i albo i ϕ (impedancja to moduł impedancji ) S S S S aunkó na ekstema: = 0 = 0 = 0 = 0 otzymuje się yażenia: ϕ [( ) + ( + ) ] = ( + )( + ) [( ) + ( + ) ] = ( + )( ) + (7a) + ; (7b) +

7 7 oziązyanie obodó pądu sinusoidalnego 7 = 0 sin ( ϕ ϕ) = 0 (7c d) W celu asoania odbionika do źódła można steoać jego mocą pozoną na óżne sposoby = j (czyli = 0 0 stąd + ) = ( + ) g (7a): [ ] = + = + ( ) pzy czym i (ϕ i ϕ ) są pzecinych znakó; szczególności gdy = 0 to = i źódło jest zate (bezezystancyjny obód jest stanie ezonansu; moc i pąd odbionika są nieskończenie duże) = (czyli 0 = 0 stąd ) + = ( + ) g (7b): [ ] = + = ϕ = const; asoanie g (7c): = 4 = + j ( 0 0 ) g (7a b): aunek i = ; g (7c d): ( + ) = i ϕ = ϕ ; stąd ogólnie = = spełniony pzez ϕ = ϕ Łato zauażyć że dla każdego typu odbionika (asoania) ażny jest aunek = Pzy asoaniu odzaju kiedy to < 0 otzymuje się moc pozoną odbionika S ( ) = = = ( ) + j + j + ( + ) któa jest ona zdecydoanie iększa niż pzy asoaniu 4 odzaju kiedy to S ( 4) = 4 Jeśli nie ma nazuconych oganiczeń co do chaakteu obciążenia to asoanie odbionika do źódła ze zględu na moc pozoną zachodzi pzy odbioniku eaktancyjnym spełniającym aunki okeślone dla aiantu tj: pzecine znaki i (ϕ i ϕ ) i zależność yażona zoem = + = (7) aga Należy zaznaczyć że asoanie odbionika do źódła ze zględu na moc czynną bądź pozoną jest stanem szczególnym niekoniecznie pożądanym Dopasoanie impedancji odbionika do źódła popzez dołączenie eaktancji daza się że posiadany odbionik pasyny tzeba asoać do źódła nie ingeując stuktuę tego obiektu a tylko dołączając jakieś elementy W paktyce dotyczy to asoania ze zględu na moc czynną lementami dołączanymi do odbionika są tym ypadku eaktancje W efekcie mimo że atość impedancji zmodyfikoanego odbionika jest inna niż odbionika łaściego to moc czynna ydaana pzez źódło zeczyiste ydziela się niezmiennie ezystancji odbionika łaściego Opeację taką można nazać asoaniem impedancji odbionika do źódła boiem impedancja zespolona zmodyfikoanego odbionika staje się óna impedancji asoania Wyłączając szczególne pzypadki tzeba do odbionika dołączyć die eaktancje ónolegle oaz szeegoo jak na ysunku obok mpedancja zespolona enętzna źódła ynosi j s = + j Wobec tego impedancja zespolona zmodyfikoanego odbionika złożonego z j = + j = j i s = j s (odbionika j -j łaściego z dołączonymi doń eaktancjami) poinna być óna = j :

8 8 Wykład V ( + j ) j + j ( + + ) j s = j czyli + ( + ) = i + ( + + ( + ) ) + s = oziązaniem pieszego ónania są die atości : = m ( + z dugiego ónania dla dóch atości oblicza się die atości s : + ( + ) s = + + ( + ) ) ; (74a) (74b) postaci zou (74a) ynika że asoanie pzez dołączenie i s jest możlie gdy + = oaz Pzy odbioniku ezystancyjnym ( = 0) otzymuje się postsze zależności: = m ; s = m (75a b) W tym ypadku asoanie pzez dołączenie eaktancji jest możlie gdy < Pzykład Do odbionika o impedancji = (0 + j 0) Ω zasilanego ze źódła napięcioego o paametach: = 0 V = (0 + j 0) Ω dobieane są takie eaktancje i s (ys obok) aby ydzielała się nim najiększa moc czynna Obliczana jest ónież atość tej mocy Kozystając ze zoó (74a b) otzymuje się atości eaktancji: 464 Ω (pojemnościoa) Ω (indukcyjnościoa) 7 Ω (indukcyjnościoa) 7 Ω (pojemnościoa) s s 0 W stanie asoania pąd źódła = = = 6 a moc czynna odbionika óna mocy 0 ydzielanej ezystancji asoania P = = 0 6 = 60 W Popaność obliczeń można spadzić obliczając (z dzielnika pądu) odb = ; + j + j = 0 + (0 464) 07 Ω + j = 0 + ( ) 77 7 Ω ; dla obu atości ynikiem jest odb 44 ; = odb stąd moc czynna odbionika P = W j j s j odb j

9 7 oziązyanie obodó pądu sinusoidalnego 9 Dopasoanie impedancji odbionika do źódła za pomocą tansfomatoa Dopasoanie impedancji odbionika do źódła (ze ϑ : zględu na moc czynną) popzez dołączanie eaktancji jest kłopotlie i nie zasze możlie Post- j s szym sposobem asoania jest użycie tansfomatoa asoującego i eaktancji szeegoej Pzy j -j takim asoaniu można posłużyć się modelem tansfomatoa idealnego (ys obok) mpedancja zespolona enętzna źódła ynosi = + j Pzeniesienie i pzetansfomoanie (z obodu tónego do obodu pieotnego) impedancji zespolonych odbionika łaściego = + j i szeegoo dołączonego doń elementu eaktancyjnego s = j s poinno dać impedancję asoania = j : ϑ = ( + s ) = ϑ zatem ϑ = s = + (76a b) Na ogół pzekładnię tansfomatoa definiuje się jako iększą od jedności jeśli ięc z obliczenia g poyższego zou otzyma się ϑ < to tzeba dobać tansfomato o pzekładni ϑ = /ϑ i zamienić miejscami jego uzojenia (pzełożenie układoe : ϑ ) Dójnik z połączonymi szeegoo diema cekami spzężonymi magnetycznie kład zastępczy zeczyistej ceki składa się z indukcyjności i ezystancji Łącząc zaciski dóch ceek magnetycznie spzężonych można utozyć dójnik lub tójnik Dójnik jest ynikiem połączenia szeegoego lub ónoległego Na podstaie ónań iążących ielkości któe ystępują układzie szeegoym ceek spzężonych magnetycznie yznaczone zostaną paamety dójnika zastępczego Pzy połączeniu szeegoym ceek zależnie od zajemnego położenia końcó jednoimiennych napięcie pochodzące od pądu i indukcyjności zajemnej sumuje się ze znakiem + lub z napięciem pochodzącym od pądu i indukcyjności łasnej a) Pzy szeegoym zgodnym ze zględu na zot pądu zględem położenia końcó jednoimiennych połączeniu ceek spzężonych magnetycznie (ys a ) otzymuje się zależności: = = = + = ( + ) = = j + j = j( + ) = jω ( L + ) = j + j = j( + ) = jω ( L + ) = + = j( + + ) = jω ( L + L + ) = j = jω L L L gdzie: = ω L = ω L = ω = ω L ; L + L + zatem = + = + + L = L + L + (77a b c) L

10 40 Wykład V b) L L L L L Pzy szeegoym pzecisobnym ze zględu na zot pądu zględem położenia końcó jednoimiennych połączeniu ceek spzężonych magnetycznie (ys b ) otzymuje się zależności: = = = + = ( + ) = = j j = j( ) = jω ( L ) = j j = j( ) = jω ( L ) = + = j( + ) = jω ( L + L ) = j = jω L gdzie jak popzednio: = ω L = ω L = ω = ω L ; c) zatem = + = + L = L + L (78a b c) j ( L + ) j L j L d) j ( L ) j L j L Napięciu indukoanemu o znaku + pochodzącemu od spzężenia magnetycznego połączonych szeegoo ceek odpoiada element indukcyjny o impedancji + j (ys c ) napięciu ze znakiem odpoiada element pojemnościoy o impedancji j (ys d ) życie symbolu pojemności służy podkeśleniu pzecinych zotó skazó napięć ziązanych z L i czyniąc schematy zastępcze układó badziej czytelnymi Pzy połączeniu pzecisobnym ceek i odpoiednio silnym ich spzężeniu może się zdazyć że jedna z ceek pzedstaia sobą element pojemnościoy (duga indukcyjny) Tójnik z diema cekami spzężonymi magnetycznie Die ceki spzężone magnetycznie połączone ze sobą jednym ypoadzonym na zenątz spólnym końcu (tzecim zacisku) tozą tójnik a) L j L j j j L j L Dla tójnika o cekach spzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuoanymi jednakoo zględem spólnego końca (ys a ) otzymuje się zależności:

11 7 oziązyanie obodó pądu sinusoidalnego 4 + j L + j = + j + j = L któe po podstaieniu: = oaz = pzyjmują następujące postaci: = + j( L ) + j = + j( L ) + j pozalające pzedstaić układy ónoażne bez spzężeń magnetycznych z kondensatoami pzed oaz indukcyjnościami za noym spólnym ęzłem b) L j L j j j L j L Podobnie dla tójnika o cekach spzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuoanymi odmiennie zględem spólnego końca (ys b ) otzymuje się zależności: + j L j = + j j = L któe po podstaieniu: = oaz = pzyjmują następujące postaci: = + j( L + ) j = + j( L + ) j pozalające pzedstaić układy ónoażne bez spzężeń magnetycznych z indukcyjnościami pzed oaz kondensatoami za noym spólnym ęzłem Dójnik z połączonymi ónolegle diema cekami spzężonymi magnetycznie kłady ónoażne tójnikó z diema cekami spzężonymi magnetycznie można ykozystać do yznaczenia impedancji dójnika o dóch gałęziach z takimi cekami a) L L j L j j L j j b) L j L j j L j j L Pzy ónoległym zgodnym ze zględu na usytuoanie jednoimiennych końcó ceek zględem ęzłó połączeniu dóch ceek spzężonych magnetycznie (ys a ) impedancja zespolona dójnika ynosi [ + j( L )] [ + j( L )] ( + j L) ( + j L ) + = + j = + + j( L + L ) + + j( L + L ) a pzy ónoległym pzecisobnym połączeniu ceek (ys b ) [ + j( L + )] [ + j( L + )] ( + j L) ( + j L ) + = j = + + j( + + ) + + j( + + ) L L gdzie: = ω L = ω L = ω L L

12 4 Wykład V oziązyanie obodó ze spzężeniami magnetycznymi metodą oczkoą W metodzie oczkoej impedancjach zespolonych oczkoych (łasnych i zajemnych) ystępują dodatkoe yazy eaktancyjne epezentujące spzężenia magnetyczne Ważne by nie pominąć tych yazó ani nie pomylić ich znakó eaktancję indukcyjności zajemnej ceek oznaczono symbolem mpedancja łasna oczka z cekami spzężonymi ze sobą tym oczku zaiea yaz j ze znakiem + jeśli spzężenie ceek zględem pądu oczku jest dodatnie a ze znakiem jeśli ujemne (ys: odpoiedni znak pzy j ) mpedancja zajemna oczek z cekami spzężonymi ze sobą tych oczkach zaiea yaz j ze znakiem + jeśli pądy oczkach są jednakoo zócone zględem końcó jednoimiennych ceek a ze znakiem jeśli odotnie (ys: odpoiednie znaki pzy j i ) o j o j j o = + j + j + j = = j j j = j j = + j + j j o = j + j j j j = j o o = j + j Pzykład Dany obód ze spzężeniem magnetycznym został pzedstaiony ónoażnej postaci bez tego spzężenia Ω j Ω Ω j 4 Ω Ω j Ω j Ω j Ω Ω j 4 Ω V o j Ω j Ω Ω o j 6 V j Ω V j Ω j 6 V o Ω o mpedancje łasne i zajemne yznaczone tak dla jednego jak dla dugiego obodu ynoszą: = 4 + j6 j4 = (4 + ) Ω = ( + j) + j = ( ) Ω = (4 ) Ω j ónanie obodu jest następujące: j + j j j 4 j 4 o o = j6 oziązaniem tego ónania są atości symboliczne pądó oczkoych: o = ( j 0) o = ( j 4) oziązaniem obodu są atości symboliczne pądó gałęzioych: = o = ( j 0) = o = ( j 4) = o o = j 04 j