WSTĘP DO ELEKTRONIKI

Transkrypt

1 WSTĘP DO ELEKTONIKI Część II Podstawowe elementy elektroniczne dwójniki bierne LC Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie zmiennych w czasie impedancja Źródła napięcia i prądu Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami Janusz Brzychczyk IF UJ

2 Podstawowe elementy elektroniczne Dwójniki Dwójnikem nazywamy układ posiadający dwa zaciski elektryczne. i (t) dwójnik u (t) Parametrami elektrycznymi dwójnika są: prąd płynący przez dwójnik i (t) napięcie na jego zaciskach u (t)

3 Dwójniki W dwójniku wyróżnia się parametry wejściowe (wymuszenie, pobudzenie) i parametry wyjściowe (odpowiedź). Jeżeli np. napięcie U jest parametrem wyjściowym będącym reakcją na przepływający prąd I oraz określone wielkości P i (np. temperatura, natężenie światła...), to relację pomiędzy nimi można zapisać w postaci: U = T I, P i gdzie wielkość T jest funkcją lub operatorem. W ogólnym przypadku parametry dwójnika mogą zależeć od czasu t.

4 Dwójniki liniowe i stacjonarne Układ (dwójnik) jest liniowy gdy spełnia dwie własności: jednorodności, co oznacza, że jeżeli parametr (sygnał) wejściowy x(t) zostanie przeskalowany, to uzyskany parametr (sygnał) wyjściowy y(t) będzie przeskalowany z takim samym współczynnikiem: T [ a x t ] = a T [ x t ] = a y t addytywności odpowiedź układu na sumę wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie osobno: T [ x 1 t x 2 t ] = T [ x 1 t ]T [ x 2 t ] = y 1 t y 2 t Jeżeli y 1 (t) jest odpowiedzią na wymuszenie x 1 (t), natomiast y 2 (t) na x 2 (t), to y(t) = a 1 y 1 (t) a 2 y 2 (t) będzie odpowiedzią na wymuszenie x(t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) ( a 1, a 2 dowolne stałe)

5 Dwójniki liniowe i stacjonarne Układ stacjonarny (niezmienny w czasie) to układ w którym na przesunięte w czasie wymuszenie otrzymuje się przesuniętą w czasie odpowiedź o niezmienionym kształcie: Wymuszenie: x 1 (t) Wymuszenie: x 2 (t) = x 1 (t t 0 ) t t t 0 Odpowiedź: y 1 (t) Odpowiedź: y 2 (t) = y 1 (t t 0 ) t t t 0 t 0 dowolne przesunięcie w czasie

6 Dwójniki liniowe i stacjonarne Z założenia liniowości i stacjonarności wynika : Jeżeli wymuszenie ma postać : x t = A e pt gdzie p jest parametrem niezależnym od czasu, to odpowiedź ma postać : y t = C p e p t gdzie C(p) zależy tylko od p i od rodzaju elementu. Funkcja odpowiedzi : T p = y t x t = C p e pt A e p t = C p A

7 Dwójniki liniowe i stacjonarne Do opisu układów w przypadku gdy wymuszenie jest sygnałem sinusoidalnym, wygodnie jest stosować uogólniony formalizm wykorzystujący liczby zespolone. Możemy wówczas przedstawić wymuszenie sinusoidalne w postaci, przyjmując p = j ω, gdzie j jest jednostką urojoną, a ω = 2f ( f częstotliwość wymuszenia): x t = A e j t Odpowiedzią układu liniowego i stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne jest sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości: y t = T j A e j t x t = A e pt Funkcja odpowiedzi T zależy od częstotliwości i charakteryzuje rodzaj układu.

8 Dwójniki bierne Dwójnik, który nie posiada źródeł, nazywamy dwójnikiem biernym (pasywnym). W elektronice wyróżniamy trzy rodzaje podstawowych dwójników biernych (liniowych i stacjonarnych): rezystancję, pojemność i indukcyjność. Dla tych dwójników funkcja odpowiedzi T(p) określająca reakcję napięcia u (t) na przepływający przez dwójnik prąd i t = I 0 e pt ma postać zespoloną: T p = u t i t Z p W tym przypadku funkcję odpowiedzi nazywamy impedancją elementu i oznaczamy symbolem Z. W szczególnym przypadku impedancja może być rzeczywista. Tak jest dla rezystancji.

9 ezystancja (idealny opornik) Impedancja jest wielkością rzeczywistą, równą oporności : Z = j0 elacja pomiędzy prądem i napięciem: Symbol: U = I, u(t) = i(t) (Prawo Ohma) spełnione dla dowolnych przebiegów czasowych Jednostka rezystancji: Om (Ohm) [] u(t) i(t) t Dla przebiegów sinusoidalnych różnica faz pomiędzy napięciem a prądem wynosi 0.

10 Oporniki (rezystory) odzaje oporników: drutowe warstwowe objętościowe Opornik objętościowy (np. węglowy) W rzeczywistości oporniki oprócz rezystancji mają także pewną pojemność C oraz indukcyjność L. Te nieuknione dodatkowe wielkości (C, L) są na ogół pomijalnie małe, ale w pewnych warunkach, szczególnie przy wysokich częstotliwościach sygnałów, mogą odgrywać znaczącą rolę. L C

11 Parametry oporników ezystancja nominalna ezystancja podawana przez producenta na obudowie opornika. Wartość rzeczywista rezystancji może się różnić od wartości nominalnej w granicach podanej tolerancji. Tolerancja (klasa dokładności) Podawana w procentach możliwa odchyłka rzeczywistej wartości oporu od wartości nominalnej. Moc znamionowa Maksymalna moc jaką opornik może przez dłuższy czas wydzielać w postaci ciepła bez wpływu na jego parametry. Napięcie graniczne Maksymalne napięcie jakie można przyłożyć do opornika. Temperaturowy wpółczynnik rezystancji Współczynnik określający zmiany rezystancji pod wpływem zmian temperatury opornika.

12 Opornik kod paskowy 4 - paskowy 5 - paskowy 6 - paskowy Temperaturowy współczynnik rezystancji Kolory: BLK czarny BN brązowy ED czerwony ON pomarańczowy YEL żółty GN zielony BLU niebieski VIO fioletowy GY szary WHT biały SLV srebrny GLD - złoty Tolerancja Pierwsza cyfra Druga cyfra Trzecia cyfra Mnożnik Brak paska 20 %

13 Łączenie oporników Połączenie szeregowe: ezystancja zastępcza : 1 2 n n = k=1 k Połączenie równoległe: 1 2 n n 1 = k=1 1 k

14 Kondensator pojemność elektryczna Ładunek Q Q U U = Q C C pojemność kondensatora Jednostka pojemności: Farad [F] = [C/ V] Symbol: C Energia zgromadzona w kondensatorze (polu elektrycznym): i(t) C W = 1 2 CU 2 u(t) i t = d Q d t = C du t d t u t = 1 C i t d t Dla prądów sinusoidalnych Impedancja: Z C = 1 j C = j C

15 U Kondensatory Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego: Ładunek Q Ładunek Q Okładka (elektroda) odzaje kondensatorów (ze względu na rodzaj dielektryka): ceramiczne, szklane foliowe (polistyrenowe, poliestrowe, poliwęglanowe) elektrolityczne (aluminiowe, tantalowe) próżniowe, powietrzne (stałe, zmienne) C Spolaryzowane molekuły dielektryka Symbole kondensatorów elektrolitycznych, które wymagają właściwej polaryzacji napięcia: Pojemność kondensatora płaskiego: C = 0 r S d 0 przenikalność elektryczna próżni r względna przenikalność elektryczna dielektryka S powierzchnia okładek kondensatora d odległość między okładkami Symbol kondensatora o zmiennej pojemności:

16 Łączenie kondensatorów Połączenie szeregowe: Pojemność zastępcza C : n 1 C = k=1 1 C k C 1 C 2 C n Połączenie równoległe: C 1 C 2 C n n C = k=1 C k

17 Cewka idealna indukcyjność i(t) u(t) L Symbol: L u t = L di t dt L indukcyjność Energia zgromadzona w cewce (polu magnetycznym): W = 1 2 L i2 Jednostka indukcyjności: Henr [H] = [V s /A] Impedancja: Z L = j L

18 Cewki indukcyjne Cewka indukcyjna (solenoid, induktor, zwojnica) Indukcyjność cewki w kształcie walca (cylindrycznej): L = N 2 S l przenikalność magnetyczna rdzenia cewki N liczba zwojów S powierzchnia przekroju cewki l długość cewki Cewka rzeczywista: L odzaje cewek: ze względu na kształt: spiralne, cylindryczne, toroidalne ze względu na sposób nawinięcia: jednowarstwowe, wielowarstwowe ze względu na rdzeń: bezrdzeniowe (powietrzne), rdzeniowe stałe, zmienne

19 Łączenie cewek Połączenie szeregowe: Indukcyjność zastępcza L : n L = k=1 L k Połączenie równoległe: n 1 L = k=1 1 L k

20 Liczby zespolone Liczba zespolona z : z = x j y = z e j = z cos j sin x = e z część rzeczywista y = Im z część urojona j jednostka urojona, j 2 = 1 z moduł faza (argument, kąt skierowany) y Im z z z Liczba sprzężona do z : z = x j y = z e j x e z z = z z = x 2 y 2 tg = y x y z *

21 Impedancja zespolona dla prądów sinusoidalnych Impedancja: Z = j X = Z e j X Im Z Z rezystancja (oporność czynna) X reaktancja (oporność bierna) Z Z = 2 X 2 = arctg X e Z Admitancja: Y 1 Z = G j B G konduktancja B susceptancja 0 X 2 2

22 Dwójnik liniowy bierny prądy sinusoidalne Napięcie i prąd: u t = U m cos t u = e {U m e j t u } Im u t Wykres wskazowy i t = I m cost i = e {I m e j t i } U m t u Napięcie i prąd uogólnione: u t = U m e j t u i t = I m e j t i i t t i e i t = 1 Z u t Z = Z e j Uogólnione prawo Ohma:, gdzie (impedancja zespolona) i t = 1 Z e j U m e j t u = U m Z e j t u I m = U m Z, i = u u(t) i(t) t = t

23 Idealny opornik Im Z Impedancja u t = U m cos t u i t = I m cost i e Z Z = Z =, = 0 Im u t Wykres wskazowy napięcia i prądu I m = U m, i = u i t t u u(t), i(t) e t Przebieg czasowy napięcia i prądu

24 u t = U m cos t u i t = I m cost i Idealny kondensator Im Z Impedancja e Z Z C = j X C = I m = CU m, j C = 1 C C = 0, X C = 1 C, Z C = 1 C, C = 2 e j/2 i = u /2 X C = 1 C i t Im C = 2 = 2 Wykres wskazowy napięcia i prądu u t u(t), i(t) t = 2 = T 4 t u e t t Przebieg czasowy napięcia i prądu

25 Idealna cewka u t = U m cos t u Im Z Impedancja i t = I m cost i X L = L Z L = j X L = j L = L e j/2 L = 2 e Z L = 0, X L = L, Z L = L, L = 2 I m = 1 L U m, i = u /2 u t Im Wykres wskazowy napięcia i prądu = 2 i t u(t), i(t) t = 2 = T 4 t i e t Przebieg czasowy napięcia i prądu

26 Łączenie impedancji Połączenie szeregowe: Impedancja zastępcza Z : Z 1 Z 2 Z n n Z = k=1 Z k Połączenie równoległe: Z 1 Z 2 Z n n 1 Z = k=1 1 Z k

27 Dwójnik szeregowy C C Im Z Impedancja zastępcza: Z = Z Z C = j C 1 C e Z Z Z = 2 1 C 2 = arctg 1 C

28 Dwójnik szeregowy L C L C Im Z Impedancja zastępcza: L Z = Z Z L Z C = j L j C = = j L 1 C L 1 C Z e Z Z = 2 L 1 2 C 1 L C = arctg 1 C

29 Z = 2 L 1 2 C Dwójnik szeregowy L C L C = arctg ezonans napięć : Przy pewnej częstości prądu = 0 reaktancja układu X = 0, a zatem Z = 2 X 2 osiąga wartość minimalną równą. Dla napięcia o stałej amplitudzie U m, amplituda prądu I m osiąga przy tej częstości wartość maksymalną. Przesunięcie fazy pomiędzy napięciem a prądem = 0. Spadek napięcia na cewce jest przeciwny do spadku napęcia na kondensatorze, u L (t) u C (t) = 0 ; całkowite napięcie jest równe spadkowi napięcia na oporniku. Częstość rezonansowa 0 : 0 L 1 0 C = 0 = 1 0 LC

30 Dwójnik równoległy LC i L (t) L i(t) i(t) Z = 1 L C 1 C i C (t) 0 Impedancja zastępcza: 2 = Z = Z L Z C 1 1 j L jc = j 1 1 L C 2 ezonans prądów: Przy częstości = 0, nazywanej częstością rezonansową, Z. Całkowity prąd i(t) = i L (t) i C (t) = 0. Prądy przepływające przez cewkę i kondensator, i L (t) = i C (t), mogą osiągać znaczne wartości. 0 = 1 LC

31 Moc wydzielona na dwójniku biernym Prąd sinusoidalny: i t = I m cost u t = U m cost Moc średnia: Napięcie skuteczne: U sk = 1 T 0 Prąd skuteczny: I sk = 1 T 0 T u2 t dt = 1 T i2 t dt = 1 2 U m 2 I m P = 1 T 0 T u t i t dt = 1 P = 1 2 U I cos m m T U m I m 0 lub T cos t cos t dt = P = U sk I sk cos P = I 2 sk Z cos Opornik : P = I 2 sk Kondensator : P = 0 Cewka: P = 0

32 Dwójniki aktywne Dwójnik zawierający źródło energii elektrycznej nazywamy dwójnikiem aktywnym (czynnym). ozróżniamy dwa rodzaje źródeł elektrycznych, które może posiadać dwójnik aktywny: Źródła napięcia Źródła prądu

33 Źródła napięcia Idealnym źródłem napięcia nazywamy takie źródło, które wytwarza napięcie E równe napięciu na zaciskach elektrycznych dwójnika, niezależnie od pobieranego prądu. ezystancja wewnętrzna idelnego źródła napięcia W = 0. ezystancja wewnętrzna rzeczywistych źródeł W > 0. I W W Odbiornik U E E E Idealne źródło napięcia zeczywiste źródło napięcia U = E W I = W E

34 Źródła prądu Idealnym źródłem prądu jest dwójnik aktywny, którego prąd nie zależy od napięcia na jego zaciskach elektrycznych. Warunek ten jest spełniony dla nieskończenie dużej rezystancji wewnętrznej źródła. zeczywiste źródło prądu ma skończoną rezystancję W podłączoną równolegle do idealnego źródła prądu o nieskończonej rezystancji. I Odbiornik I 0 I 0 W I 0 W Idealne źródło prądu zeczywiste źródło prądu I = W W I 0

35 Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami I I = E W W Przekazywana moc do odbiornika (moc wydzielana na oporniku ) : E P = I 2 = W 2 E2 Przekazywana moc jest maksymalna gdy: Nadajnik Odbiornik = W i wynosi: P max = E2 4 W P = W

36 Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (sygnały sinusoidalne) Z W i(t) Średnia moc wydzielona na impedancji Z : P = 1 2 I 2 Z cos m P = 1 2 I 2 m X Z Z (t) Nadajnik Z W = W j X W t = E m cost Z Odbiornik Z = j X Wstawiając P = 1 2 Maksimum E m I m = ZZ W ZZ W E 2 = 1 2 m 2 P = 0 oraz P X = 0 Zachodzi to gdy: P, X otrzymujemy: W 2 X X W E 2 2 m znajdujemy z warunków: i t = I m cos t i E m I m = ZZ W = W oraz X = X W czyli Z = Z W P max = E m 2 8 W

37 Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (sygnały sinusoidalne) i(t) Przypadek gdy odbiornikiem jest rezystancja Średnia moc wydzielona na rezystancji : Z W P = 1 2 I 2 m (t) Wstawiając E m I m = Z W otrzymujemy: P = 1 2 Z W E 2 = 1 2 m 2 W 2 X W 2 E 2 m Nadajnik Z W = W j X W Odbiornik Maksimum P znajdujemy z warunku: P = 0 t = E m cos t i t = I m cos t i Zachodzi to gdy: = W 2 X W 2 = Z W E m I m = Z W