Pływanie ciał w wirującej cieczy akcelerometr

Transkrypt

1 48 Płyanie ciał iującej cieczy akceleomet Bogdan Bogacz, Renata Gagula, Andzej Fudyma Paconia Technicznych Śodkó Nauczania Zakład Metodyki Nauczania i Metodologii Fizyki, Instytut Fizyki UJ I. Uogólnione pao Achimedesa Zachoanie ciał zanuzonych iującym płynie może być zaskakujące. Aby pzygotoać się do zozumienia takich zachoań uogólnimy pao Achimedesa [1]. Rozpatzymy siły działające na ciało o objętości V i gęstości ρ zanuzone płynie o gęstości ρ 0, pouszającym się az z tym ciałem z pzyspieszeniem a. Rozażania będziemy poadzić z punku idzenia nieinecjalnego układu odniesienia pouszającego się az z płynem. W takim układzie odniesienia na ciało, opócz siły ciężkości Fg Vg (1) ( g jest pzyspieszeniem ziemskim), działa siła bezładności Fb Va (2) i siła F będąca konsekencją działania płynu, któym ciało jest zanuzone, na poiezchnię ciała, nazyana siłą ypou. Siła ta nie zmieni się, jeżeli zanuzone ciało zamienimy na inne o tym samym kształcie i objętości, umieszczone tym samym miejscu. Kozystając z tego, że dla całkoicie zanuzonego ciała, zbudoanego z mateiału takiego samego jak otaczający ośodek, czyli płynu o gęstości ρ 0, układ pozostaje ónoadze F F F Vg Va F (3) g b możemy obliczyć siłę ypou F [1]. Siła ta ma atość i kieunek sumy siły ciężkości i siły bezładności, działających na płyn o objętości zanuzonego nim ciała, ale ma pzeciny zot. F 0 V ( g a) (4) Siła ypadkoa działająca na ciało o gęstości ρ, całkoicie zanuzone płynie o gęstości ρ 0, opisana jest zoem F ( ) V( g a) (5) 0

2 49 II. Zachoanie ciał zanuzonych iującym płynie Aby spadzić ekspeymentalnie, jak zachoują się ciała zanuzone płynie podczas ioania [1, 2], ykozystana została V-uka zamontoana na ionicy (ys. 1). W jednym z jej ypełnionych odą i szczelnie zamkniętych amion umieszczono kulkę ze styopianu (o gęstości mniejszej niż Rys. 1. V-uka zamontoana na ionicy gęstość ody), a dugim kulkę ze sztucznego tozya (o gęstości iększej niż gęstość ody). Rukę paiono uch obotoy stopnioo ziększając pędkość ioania i obseując zachoanie kulek. Zaobseoano, że: gdy pędkość ioania osiąga peną atość, styopianoa kulka (biała) zaczyna pzesuać się kieunku osi obotu, pzesunięcie tej kulki, a ięc ónież jej głębokość zanuzenia, ośnie, gdy ośnie pędkość kątoa ioania, gdy biała, lekka kulka dotze do samego dna, tedy zaczyna ypłyać ciężka kulka (ze sztucznego tozya) i szybko pzesua się do góy, aż do koka, bez konieczności dalszego ziększania pędkości ioania. W celu opisania i zozumienia zachoania kulki ozpatzymy siły działające na nią nieinecjalnym układzie odniesienia ziązanym z tą kulką. Kulka o objętości V i gęstości ρ umieszczona jest uce z odą (o gęstości ρ 0 ) obacającą się z częstością, odległości od śodka układu (ys. 2). Ruka jest nachylona pod kątem α zględem poziomu. Na kulkę działają: siła gaitacji Fg Vg, siła bezładności (tutaj jest nią siła odśodkoa) F Va ( a pzyspieszenie dośodkoe), pozioma, o zocie skieoanym na zenątz od osi obotu i o atości F 2 m cos, gdzie cos jest odległością kulki od osi obotu, siła ypou F 0 V ( g a ) Rys. 2. Siły działające na kulkę zanuzoną cieczy iującej uce Zgodnie z uogólnionym paem Achimedesa [1] kieunek siły ypou jest okeślony pzez ypadkoe pzyspieszenie ( g a ), a ięc ónież pzez

3 50 ypadkoą siły ciężkości F g i siły odśodkoej F (ys. 2). W konsekencji jest to ónież kieunek siły ypadkoej F Fg F F szystkich tzech ozażanych sił. F Fg F siła ypadkoa F ma zot siły ypou F. Wtedy pzy maa) b) c) Rys. 3. Biała kulka a) ypłya, b) jest pozycji ónoagi, c) tonie Ustaienie uki pod penym kątem zględem poziomu umożliia obseację konkuencji między siłą ciężkości i siłą odśodkoą działającą na kulkę. Waz ze zostem pędkości kątoej (częstości) ioania ośnie siła odśodkoa F. W konsekencji kieunek siły ypou F (i siły ypadkoej F ) odchyla się od kieunku pionoego (dla 0) i dąży do kieunku poziomego dla badzo dużych częstości (ys. 3). Ustaienie tego kieunku zględem nomalnej do uki decyduje o zachoaniu się kulki. Od tego ustaienia zależy zot składoej siły ypadkoej działającej zdłuż uki. Dla kulki lekkiej

4 51 łych pędkościach obotu składoa siły ypadkoej działającej zdłuż uki ma zot na zenątz (kulka ypłya, ośnie), pzy penej częstości obotó siła ypou jest postopadła do uki kulka znajduje się położeniu ónoagi, a pzy dużych częstościach ma zot do enątz (kulka tonie, maleje). III. Matematyczny opis zjaiska Matematycznego opisu zjaiska dokonamy yznaczając siłę ypadkoą działającą na kulkę zdłuż osi uki (ys. 4, oś z). Składoe sił postopadłe do osi uki są ónoażone popzez oddziałyanie ze ściankami. Będziemy sumoali składoe ónoległe do osi z dla tzech sił działających na kulkę: siły gaitacji F Vg Vg sin, (6) gz z siły odśodkoej Fz F cos Vaz V cos (7) i siły ypou Rys. 4. Składoe sił zdłuż osi z Fz 0V gz az 0V g sin cos. (8) Działająca na kulkę siła ypou zależy od jej odległości od początku układu (ys. 4) i od pędkości kątoej ionicy. Jeżeli gsin cos óczas zot siły ypou skieoany jest zgodnie z osią z (ys. 3a), natomiast, gdy gsin cos óczas zot siły ypou jest skieoany do śodka układu (ys. 3c). Wypadkoa siła działająca na kulkę zdłuż osi z jest óna 1. Analiza zachoania kulki lekkiej z 0 sin cos F V g. (9) Z yażenia na siłę ypadkoą (zó 9) ynika, że jeżeli 0 (gęstość cieczy jest iększa od gęstości piłeczki) to atość yażenia pieszym naiasie jest dodatnia i: a. jeżeli gsin cos (częstość ioania jest odpoiednio mała), to atość yażenia dugim naiasie jest dodatnia i óczas ypadkoa siła działająca na kulkę ma atość dodatnią, a ięc zócona jest na zenątz, zgodnie ze zotem osi z. Kulka pzesua się na ze-

5 52 nątz aż do znalezienia położenia ónoagi lub dotacia do końca uki (ys. 3b lub 3a). b. jeżeli gsin cos (częstość ioania jest duża), to atość yażenia dugim naiasie jest ujemna i ypadkoa siła działająca na kulkę jest zócona do śodka układu. W tym pzypadku kulka pousza się kieunku śodka układu (ys. 3c). c. aby kulka była ónoadze siła ypadkoa musi być óna zeo F = 0 (ys. 3b), czyli ( gsin cos ) 0. Wzó 9 okeśla ónież odzaj ónoagi, czy jest ona tała czy nietała. Dla danej atości, jeżeli kulka ychyli się z położenia ónoagi (ziększy ), to yażenie dugim naiasie będzie miało atość ujemną, a to oznacza, że postała ypadkoa siła będzie miała zot skieoany do położenia ónoagi i spooduje, że kulka óci do tego położenia. Jeżeli kulka ychyli się z położenia ónoagi pzecinym kieunku, zmniejszy, to yażenie naiasie będzie miało atość dodatnią, a to oznacza, że postała ypadkoa siła będzie miała ónież zot skieoany do położenia ónoagi i spooduje, że kulka óci do niego. Zatem kulka znajduje się położeniu ónoagi tałej. Dla doolnej atości istnieje taka atość, dla któej kulka będzie ónoadze tałej. 2. Analiza zachoania kulki ciężkiej Z yażenia na siłę ypadkoą (zó 9) ynika, że jeżeli 0 (gęstość cieczy jest mniejsza od gęstości piłeczki), to atość yażenia pieszym naiasie ma atość ujemną. W ziązku z tym kulka ciężka zachouje się pzecinie niż kulka lekka (pieszy pzypadek); dla małych częstości obotó pzesua się do śodka układu ( maleje), a dla dużych na zenątz ( ośnie). Położenia ónoagi są takie same jak dla kulki lekkiej (ten sam aunek ónoagi) jednak dla kulki ciężkiej są to położenia ónoagi nietałej. Na kulkę ychyloną z położenia ónoagi działa siła o pzecinym niż pieszym pzypadku zocie, czyli skieoana od położenia ónoagi. Kulka ychylona z położenia ónoagi już do niego nie aca. Omóione zjaisko pozala zozumieć, dlaczego płyające obiekty (np. człoiek) są ciągane do śodka iu (ys. 5). Rys. 5. Deniany płyak ciągany do śodka iu

6 53 IV. Akceleomet Podczas stopnioego ziększania częstości ioania ω, od penego momentu, lekka, styopianoa kulka zaczyna pzemieszczać się kieunku śodka układu ( maleje). Jej położenie okeślone jest aunkiem ónoagi ( gsin cos ) 0 (10) a ięc atość pzyspieszenia dośodkoego, jakiemu podlega kulka położeniu ónoagi okeślone jest zoem a 2 cos g tg (11) Nie zależy ono od, a ięc każdym położeniu ónoagi pzyspieszenie działające na kulkę jest takie samo. Za to położenie kulki jednoznaczny sposób yznacza częstość ioania 2 g cos tg, (12) a tym samym pzyspieszenie, jakiemu podlega koniec uki. Pzyspieszenie działające na końcu uki odległości R od śodka układu, ma atość: 2 ar Rcos i kieunek poziomy. Kozystając z yznaczonej pzez aunek ónoagi częstości ioania ω (zó 12) otzymujemy a g R tg (13) Jeżeli piłeczka znajduje położenie ónoagi pozycji to dla: = R, a g tg, R R 1 R, ar 2g tg, 2 1 R, ar 4g tg itd. 4 W ten sposób możemy yskaloać nasz pzyząd akceleomet. Odległość kulki od początku układu okeśla atość pzyspieszenia dośodkoego końca uki. V. Zjaisko histeezy Waz ze ziększaniem częstości ioania ω lekka, styopianoa kulka pzemieszcza się kieunku śodka układu ( maleje) ys. 6. Gdy dotze do dna uki, ciężka kulka szybko pzesua się do samej góy uki. Jeżeli następnie częstość ioania maleje to lekka kulka pzesua się stopnioo do góy.

7 54 Ciężka kulka pozostaje położeniu gónym, aż do osiągnięcia tego położenia pzez kulkę lekką. Wtedy ciężka kulka pzemieszcza się szybko do położenia dolnego. Pezentoany układ może ięc być ykozystany ónież do pokazania makoskopoego zjaiska histeezy, co zaznaczono linią ciągłą i stzałkami na ys. 6. Rys. 6. Zależności położenia kulek od częstości ioania: lekka kulka linia pzeyana, ciężka kulka linia ciągła Liteatua [1] Johannes A. Van den Akke, Genealized Achimedes pinciple, Am. J. Phys. 58(1990) [2] C. Pontiggia, A. Maciano and E. Piano, Gavitational field and acceleated fame: A simple appaatus, Am. J. Phys. 53(1985)