Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na podstawie prawa Ohma, dysponując wymuszeniem (zasilaczem) o znanej wartości skutecznej napięcia i częstotliwości. Symulacje cyfrowe obwodów szeregowych, równoległych i rozgałęzionych. Sprawdzanie praw Kirchhoffa. Sprawdzanie prawa Ohma. Sporządzenie bilansu mocy, obliczanie współczynnika mocy. Wykreślanie wykresów wektorowych oraz przebiegów czasowych, sprawdzanie przesunięć fazowych Wprowadzenie teoretyczne Rezystor (opornik) Rezystor o rezystancji R 0 jest dwójnikiem pasywnym rozpraszającym, w którym zachodzi proces zmiany energii elektrycznej na energię cieplną (tak zwane ciepło Joule a).rezystor nie gromadzi energii, jest wiec elementem bezinercyjnym. Rezystancje oznaczamy literą R, a jej odwrotność zwaną kondunktancją literą G = 1/ R. Zależność między prądem a napięciem w rezystorze określa prawo Ohma u = Ri, gdzie R mierzone w omach, Ω, jej odwrotność kondunktancja jest mierzona w simensach, S. Rezystor, w którym R jest wartością niezależną od i oraz u, nazywamy rezystorem liniowym. Charakterystyka rezystora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Rezystor nie spełniający tych warunków jest rezystorem nieliniowym. Na rys. 1 przedstawiono symbol rezystora liniowego i jego charakterystykę. Rys. Rezystor liniowy oraz przykładowa charakterystyka Rezystancja połączenia szeregowego rezystancji R R,..., R 1, 2 N jest równa sumie rezystancji

2 R = R1 + R2 + + R N Rezystancja połączona równolegle spełnia równanie = R R1 R2 R N W szczególności dla dwóch rezystorów połączonych równolegle mamy R1 R2 R = R1 + R2 Moc chwilowa pobierana przez rezystor 2 2 p = ui = Ri = Gu jest zawsze nieujemna. Energia pobrana przez rezystor w przedziale czasu ( t 0, t) w = R jest niemalejąca w funkcji czasu. t 2 i ( τ ) dτ = G t0 t0 t 2 u ( τ ) dτ Szczególne wartości rezystancji nazywamy: R = 0 zwarciem R = rozwarciem Wyłącznik realizuje dwa możliwe stany: zwarcie (rys.2a) i rozwarcie (rys.2b). Charakterystykę prądowo-napięciową wyłącznika idealnego pokazano na (rys.2c). Rys. Wyłącznik idealny oraz jego charakterystyka Jeżeli rezystor znajduje się w obwodzie prądu sinusoidalnego pobudzanego przez źródła sinusoidalne o pulsacji ω, to jego prąd i napięcie jest sinusoidalne i ma tą samą pulsacje ω. Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego na podstawie równania różniczkowego niejednorodnego jest trudne, ale szczególnie ważne, w tym celu została opracowana bardzo skuteczna metoda wykorzystująca liczby zespolone, zwana metodą symboliczną. Równanie rezystora liniowego ma postać u = Ri. Równanie rezystora dla wartości skutecznych zespolonych wyraża się następująco U = RI Równaniu temu odpowiada obwód pokazany na rys. Z równania tego wynikają związki dla amplitud i faz początkowych.

3 U m = RI m ϕ = 0 a) b) i R U u Rys. Rezystor i wykres wektorowy prądu i napięcia rezystora jψ j( ψ ϕ ) Liczby zespolone U = U e oraz I = I e można narysować na płaszczyźnie zmiennej zespolonej w postaci odcinków zakończonych strzałkami, które nazywane są wektorami lub wskazami. Układ takich wektorów odpowiadający jednemu obwodowi nazywamy wykresem wektorowym. Na rys. pokazano wykres wektorowy rezystora. Wykres ten ilustruje zależność między amplitudami i fazami napięcia i prądu. Nie zawiera informacji o fazach początkowych, gdyż nie jest zlokalizowany względem układu współrzędnych płaszczyzny zespolonej. Wprowadzony kąt ϕ przesunięcia fazowego między napięciem i prądem jest różnicą faz początkowych napięcia i prądu. ϕ = ψ u ψ i Kąt ten dla rezystora jest równy zero. Mówimy, że napięcie i prąd rezystora są w fazie. Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu rezystora pokazano na rys. I Rys. Przykładowe przebiegi czasowe prądu i napięcia rezystora Kondensator (pojemność) Równanie opisujące kondensator wiąże napięcie i prąd z ładunkiem q.

4 dq q = Cu, i =, dt gdzie C pojemność mierzona w faradach [F]. Po wyeliminowaniu ładunku q otrzymujemy du i = C dt Kondensator, w którym pojemność C nie zależy od u oraz i, jest kondensatorem liniowym. Kondensator nie spełniający tego warunku jest kondensatorem nieliniowym. Na rys. 5 przedstawiono symbol kondensatora liniowego i jego charakterystykę. Rys. 5. Kondensator liniowy oraz przykładowa charakterystyka Pojemność połączenia równoległego pojemności C C,..., C 1, 2 N jest równa sumie pojemności = C1 + C2 + C N. C + Pojemność połączenia szeregowego spełnia równanie = C C1 C2 C N W szczególności dla dwóch kondensatorów połączonych szeregowo mamy C1 C2 C =. C1 + C2 Moc chwilowa pobierana przez kondensator du p = ui = Cu dt Energia pobrana przez kondensator w przedziale ( t 0, t) t du( τ ( ) w( t) = C u( τ ) dτ = C [ ( ) ( 0)]. dτ u t u du = C u t u t u( t 0 ) 2 t 0 ) Obliczymy moc średnią (czynną) pobieraną przez kondensator, przy napięciu okresowym u ( t + T ) = u( t) 1 t0 + T 1 u( t0 + T ) P = p( t) = C u du = 0 T t0 T u( t0 ) Moc czynna pobierana przez kondensator jest równa zeru, co oznacza, ze kondensator jest elementem bezstratnym. Energia w (t) pobrana przez kondensator jest gromadzona w postaci pola elektrycznego.

5 Energia ta w całości może być oddana do obwodu dołączonego do jego zacisków. Ponieważ kondensator może gromadzić energie, jest więc elementem inercyjnym. Równanie kondensatora liniowego ma postać du i = C dt Równanie kondensatora dla wartości skutecznych zespolonych wyraża się następująco: 1 U = j I. ωc Równaniu temu odpowiada obwód pokazany na rys Z równania tego wynikają związki dla amplitud i faz początkowych. 1 U m = I m ωc π ϕ = 2 Rys. 6. Kondensator i wykres wektorowy prądu i napięcia kondensatora Faza początkowa prądu jest większa od fazy początkowej napięcia o π / Mówimy, żę prąd kondensatora wyprzedza napięcie o kąt π / 2 lub że opóźnia się względem prądu o π / 2. Wykres wektorowy ilustrujący równanie kondensatora oraz sinusoidalne przebiegi prądu i napięcia pokazano na rys. 6. Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu kondensatora pokazano na rys. 7.

6 Rys. 7. Przykładowe przebiegi czasowe prądu i napięcia kondensatora Cewka indukcyjna (indukcyjność) Równanie opisujące cewkę indukcyjną, wiąże prąd i napięcie ze strumieniem magnetycznym skojarzonym ψ dψ ψ = Li, u = dt gdzie L indukcyjność mierzona w henrach, H. po wyeliminowaniu strumienia ψ otrzymujemy di u = L dt Cewka indukcyjna, w której L nie zależy od i oraz u, jest cewka liniową. Cewka nie spełniająca tego warunku jest cewka nieliniową. Na rys. 8 przedstawiono symbol cewki indukcyjnej liniowej i jej charakterystykę. ψ i L u 0 α tg α= L i cewka indukcyjna liniowa

7 Rys. 8. Cewka liniowa oraz przykładowa charakterystyka Indukcyjność szeregowego połączenia indukcyjności L 1, L2,..., LN nie sprzężonych ze sobą magnetycznie jest równa sumie indukcyjności L = L1 + L2 + + L N. Indukcyjność połączenia równoległego cewek nie sprzężonych magnetycznie spełnia równanie = L L1 L2 L N W szczególności dla dwóch cewek połączonych równolegle, nie sprzężonych magnetycznie między sobą. Mamy L1 L2 L = L1 + L2 Moc chwilowa pobierana przez cewkę di p = ui = Li dt Energia pobrana przez cewkę w przedziale ( t 0, t) t di( τ ( ) w( t) = L i( τ ) dτ = L [ ( ) ( 0)]. dτ u t i di = L i t i t u( t 0 ) 2 t 0 ) Obliczymy moc średnią (czynną) pobieraną przez cewkę, przy napięciu okresowym u ( t + T ) = u( t) 1 t0 + T 1 u( t0 + T ) P = p( t) = L i di = 0 T t0 T u( t0 ) Moc czynna pobierana przez cewkę jest równa zeru, co oznacza, że cewka indukcyjna jest elementem bezstratnym. Energia w (t) pobrana przez cewkę jest gromadzona w postaci pola magnetycznego. Energia ta w całości może być oddana do obwodu dołączonego do jego zacisków. Ponieważ cewka może gromadzić energie, jest więc elementem inercyjnym. Równanie cewki liniowej ma postać di u = L dt Równanie cewki dla wartości skutecznych zespolonych wyraża się następująco: U = jωli. Równaniu temu odpowiada obwód pokazany na rys. 9. Z równania tego wynikają związki dla amplitud i faz początkowych. U = ω m LI m

8 π ϕ = 2 Rys. 9. Cewka i wykres wektorowy prądu i napięcia cewki Mówimy, że prąd opóźnia się względem napięcia o kąt π / 2 lub, że napięcie wyprzedza prąd o π / 2. Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu cewki pokazano na rys. 10. Rys. 10. Przykładowe przebiegi czasowe prądu i napięcia cewki Program komputerowy do symulacji obwodów jednofazowych Do badań symulacyjnych obwodów jednofazowych użyty będzie program komputerowy dostępny na stronie WWW Laboratorium:

9 Jest to program napisany w Javie, uruchamiany bezpośrednio z przeglądarki internetowej bez potrzeby instalacji w komputerze studenta. Do działania wymagana jest jedynie obecność darmowej maszyny wirtualnej Javy (jre). W razie braku maszyny wirtualnej na komputerze zostanie wyświetlony odpowiedni komunikat z propozycją jej pobrania i zainstalowania. Rysunek 11 przedstawia główne okno programu do symulacji obwodów jednofazowych przy wymuszeniu sinusoidalnym Rys. 1 Główne okno programu do symulacji obwodów jednofazowych Na głównym oknie programu wyróżnić można: Schemat badanego obwodu, uaktualniany po każdej zmianie parametrów programu wpływającej na strukturę obwodu. Panel z polami edycyjnymi pozwalającymi na wprowadzenie parametrów zasilania: amplitudy, częstotliwości i kąta fazowego. Panel z przełącznikami i polami edycyjnymi pozwalającymi na wprowadzenie wartości elementów obwodu. Przełączniki służą do włączenia lub wyłączenia elementu z obwodu.

10 Panel z polami do wyświetlania obliczeń: napięć i prądów poszczególnych elementów oraz mocy tych elementów. 5. Panel wyświetlający może źródła zasilającego obwód oraz sumę mocy wszystkich elementów w obwodzie. Zadaniem studenta realizującego program badań jest taka konfiguracja ustawień programu komputerowego aby uzyskać zadaną strukturę obwodu. Rysunek 12 przedstawia przykładowe obwody elektryczne wraz ze stanami przełączników definiujących strukturę obwodu. a) b) c) d) Rys. 1 Przykładowe połączenia elementów obwodu: a) rezystor, b) obwód szeregowy RLC, c) obwód równoległy RLC, d) cewka rzeczywista

11 Program badań Przy użyciu omówionego w instrukcji programu komputerowego należy przeprowadzić symulację kolejnych obwodów jednofazowych dla parametrów określonych przez prowadzącego. Wyniki pomiarów i obliczeń należy wpisać w tabele. Rezystor R. Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] P [W] R [Ω] Kondensator C. Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] P [W] Z [Ω] C [F]

12 Dwójnik szeregowy RC Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] U 1 [V] U 2 [V] P [W] Z [Ω] C [F] R[Ω] cos ϕ Dwójnik równoległy RC Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] I 1 [A] I 2 [A] P [W] Z [Ω] C [F] R[Ω] cos ϕ 5. Indukcyjność rzeczywista.

13 Indukcyjności idealnej nie można wykonać fizycznie, ponieważ cewka nawinięta jest z przewodu, który ma określoną rezystancje. Nie można jak w przypadku kondensatora tej wielkości pominąć. Wartość rezystancji cewki oznaczymy R. L Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] P [W] Z [Ω] L [H] R L [Ω] cos ϕ 6. Dwójnik równoległy RL (rezystor z cewką rzeczywistą) Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] I 1 [A] I 2 [A] P [W] Z [Ω] L [H] R [Ω] R L [Ω] cos ϕ

14 6a. inny wariant RL Pomiary Obliczenia LP. I [A] U [V] I 1 [A] I 2 [A] P [W] Z [Ω] L [H] R [Ω] R L [Ω] cos ϕ 7. Obwód szeregowy RLC. LP. I [A] U [V] P [W] U 12 [V] U 23 [V] U 34 [V] Z [Ω] R [Ω] C [F] L [H] R L [Ω] cos ϕ

15 8. Obwód równoległy RLC. LP. I [A] U [V] P [W] I 1 [A] I 2 [A] I 3 [A] Z [Ω] R [Ω] C [F] L [H] R L [Ω] cos ϕ 5. Opracowanie wyników Na podstawie pomiarów i obliczeń dla poszczególnych przypadków odbiorników jednofazowych przy zasilaniu sinusoidalnym należy wykonać wykresy wektorowe wszystkich prądów i napięć, wykresy czasowe oraz dokonać bilansu mocy. W sprawozdaniu należy zamieścić własne wnioski i spostrzeżenia. 6. Literatura S. Bolkowski, Teoria obwodów, WNT S. Osowski, K. Siwek, M. Śmiałek, Teoria obwodów, OWPW, Warszawa, 2006

16 K. Mikołajuk, Podstawy analizy obwodów energoelektronicznych, PWN, Warszawa, 1998