Modele warunkowej heteroscedastyczności

Transkrypt

1

2 Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne

3 Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1)

4 Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Jeżeli równość (1) jest spełniona to nie ma możliwości arbitrażu

5 Teoria Przykład - zwroty z WIG Niskie koszty transakcyjne Racjonalne oczekiwania inwestorów P t = E(P t+1 I t ) 1 + R (1) Jeżeli równość (1) jest spełniona to nie ma możliwości arbitrażu Równanie (1) nazywane jest hipotezą rynku efektywnego

6 Teoria Przykład - zwroty z WIG Jeżeli I t zawiera jedynie ceny z przeszłości, to E(P t P t 1, P t 2,...) = P t 1 (1 + R)

7 Teoria Przykład - zwroty z WIG Jeżeli I t zawiera jedynie ceny z przeszłości, to E(P t P t 1, P t 2,...) = P t 1 (1 + R) Dzieląc obie strony przez P t 1 i logarytmując E( ln P t P t 1, P t 2,...) = ln(1 + R)

8 Teoria Przykład - zwroty z WIG Jeżeli I t zawiera jedynie ceny z przeszłości, to E(P t P t 1, P t 2,...) = P t 1 (1 + R) Dzieląc obie strony przez P t 1 i logarytmując E( ln P t P t 1, P t 2,...) = ln(1 + R) Oznaczając p t = ln(p t ) oraz r = ln(1 + R) oraz definiując ε t = p t r uzyskujemy p t = r + ε t gdzie E(ε t P t, P t 1,...) = 0 E(ε t ε t, ε t 1,...) = 0

9 Teoria Przykład - zwroty z WIG Przyrost ceny ma warunkową wartość oczekiwaną r

10 Teoria Przykład - zwroty z WIG Przyrost ceny ma warunkową wartość oczekiwaną r Nie jest możliwe przewidzenie przyszłych cen

11 Teoria Przykład - zwroty z WIG Przyrost ceny ma warunkową wartość oczekiwaną r Nie jest możliwe przewidzenie przyszłych cen Logarytmy cen zachowują się zgodnie z procesem błądzenia przypadkowego

12 Teoria Przykład - zwroty z WIG Indeks WIG t

13 Teoria Przykład - zwroty z WIG Logartym indeksu WIG t

14 Stacjonarność logarytmu WIG Teoria Przykład - zwroty z WIG. dfuller lnwig, lags(20) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) =

15 Stacjonarność logarytmu WIG Teoria Przykład - zwroty z WIG. dfuller lnwig, lags(20) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Zatem logarytm WIG jest niestacjonarny

16 Teoria Przykład - zwroty z WIG Logarytm stopy zwrotu t

17 Stacjonarność zwrotów z WIG Teoria Przykład - zwroty z WIG. dfuller dlnwig, lags(20) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) =

18 Stacjonarność zwrotów z WIG Teoria Przykład - zwroty z WIG. dfuller dlnwig, lags(20) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = Zatem logarytmiczna stopa zwrotu z WIG jest stacjonarna

19 Teoria Przykład - zwroty z WIG Czy zwrot z WIG jest białym szumem test Ljunga-Boxa dla WIG Portmanteau test for white noise Portmanteau (Q) statistic = Prob > chi2(40) =

20 Teoria Przykład - zwroty z WIG Czy zwrot z WIG jest białym szumem test Ljunga-Boxa dla WIG Portmanteau test for white noise Portmanteau (Q) statistic = Prob > chi2(40) = Na podstawie wartości statystyki testowej wnioskujemy, że WIG nie zachowuje się jak biały szum

21 Teoria Przykład - zwroty z WIG Autocorrelations of dlnwig Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands

22 Teoria Przykład - zwroty z WIG Partial autocorrelations of dlnwig Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]

23 Teoria Przykład - zwroty z WIG Density 0 5.0e stopa zwrotu Density Logarytm stopy zwrotu

24 Teoria Przykład - zwroty z WIG stopa zwrotu logarytm stopy zwrotu Obs Mean Std. Dev Variance Skewness Kurtosis Zatem rozkład zwroty charakteryzuje się grubymi ogonami

25 W sposób ogólny warunkową heteroscedastyczność definiuje się nastepująco σ 2 t = E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) E(ε 2 t )

26 W sposób ogólny warunkową heteroscedastyczność definiuje się nastepująco σ 2 t = E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) E(ε 2 t ) Najprostszym wariantem jest proces AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity σ 2 t = E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) = α 0 + α 1 ε 2 t α k ε 2 t k

27 Kwadrat logarytmicznej stopy zwrotu t

28 Występowanie zjawiska warunkowej heteroscedastyczności reszt bada się testem ARCHLM H 0 : E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) = E(ε 2 ) H 1 : E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) E(ε 2 )

29 Występowanie zjawiska warunkowej heteroscedastyczności reszt bada się testem ARCHLM H 0 : E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) = E(ε 2 ) H 1 : E(ε 2 t ε t 1, ε t 2,... ε t k ) E(ε 2 ) statystyka testowa ma rozkład χ 2 (k)

30 Procedura testowa przebiega następująco

31 Procedura testowa przebiega następująco 1 Szacujemy parametry modelu i reszty

32 Procedura testowa przebiega następująco 1 Szacujemy parametry modelu i reszty 2 Reszty e podnosimy do kwadratu

33 Procedura testowa przebiega następująco 1 Szacujemy parametry modelu i reszty 2 Reszty e podnosimy do kwadratu 3 Szacujemy model autoregresyjny dla kwadratów reszt zapamiętując R 2 0 e 2 t = α 0 + α 1 e 2 t α q e 2 t q

34 Procedura testowa przebiega następująco 1 Szacujemy parametry modelu i reszty 2 Reszty e podnosimy do kwadratu 3 Szacujemy model autoregresyjny dla kwadratów reszt zapamiętując R 2 0 e 2 t = α 0 + α 1 e 2 t α q e 2 t q 4 Testujemy łączną nieistotność parametrów α 1,... α q

35 Procedura testowa przebiega następująco 1 Szacujemy parametry modelu i reszty 2 Reszty e podnosimy do kwadratu 3 Szacujemy model autoregresyjny dla kwadratów reszt zapamiętując R 2 0 e 2 t = α 0 + α 1 e 2 t α q e 2 t q 4 Testujemy łączną nieistotność parametrów α 1,... α q 5 W tym celu budujemy statystykę ARCHLM = TR 2 0 a χ 2 (q)

36 . reg lnwig L.lnwig Source SS df MS Number of obs = F( 1, 3616) =. Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = lnwig Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] lnwig L _cons estat archlm LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance

37 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Podstawowym modelem jest model ARCH(q). y t = X t β + ε t E(ε t X t ) = 0 ε t = u t θ 0 + θ 1 ε 2 t θ qε 2 t q u t IID N (0, 1)

38 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Podstawowym modelem jest model ARCH(q). y t = X t β + ε t E(ε t X t ) = 0 ε t = u t θ 0 + θ 1 ε 2 t θ qε 2 t q u t IID N (0, 1) Pierwsze równanie opisuje średnią, drugie wariancję.

39 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Równoważnym sposobem zapisu modelu jest y t = X t β + ε t E(ε t X t ) = 0 ε t = u t σ t σt 2 = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q

40 ARCH Modelowanie stóp zwrotu W modelu ARCH(q) warunkowa wariancja nie jest stała, ponieważ σ 2 t = var(ε t ε t 1,... ε t q ) = (θ 0 +θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)var(u t )

41 ARCH Modelowanie stóp zwrotu W modelu ARCH(q) warunkowa wariancja nie jest stała, ponieważ σ 2 t = var(ε t ε t 1,... ε t q ) = (θ 0 +θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)var(u t ) σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q

42 ARCH Modelowanie stóp zwrotu W modelu ARCH(q) warunkowa wariancja nie jest stała, ponieważ σ 2 t = var(ε t ε t 1,... ε t q ) = (θ 0 +θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)var(u t ) σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q Pomimo tego wariancja bezwarunkowa jest stała, jeśli ε t jest stacjonarnym procesem stochastycznym, ponieważ var(ε t ) = var(ε t 1 ) =... = var(ε t q )

43 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Przekształcając równanie warunkowej wariancji uzyskujemy var(ε t ) = E(ε 2 t ) = E(θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)e(u 2 t ) =

44 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Przekształcając równanie warunkowej wariancji uzyskujemy var(ε t ) = E(ε 2 t ) = E(θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)e(u 2 t ) = var(ε t ) = θ 0 + θ 1 var(ε 2 t 1) θ q var(ε 2 t q)

45 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Przekształcając równanie warunkowej wariancji uzyskujemy var(ε t ) = E(ε 2 t ) = E(θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)e(u 2 t ) = var(ε t ) = θ 0 + θ 1 var(ε 2 t 1) θ q var(ε 2 t q) wobec tego var(ε t ) = θ 0 1 θ 1... θ q = σ 2

46 ARCH Modelowanie stóp zwrotu Przekształcając równanie warunkowej wariancji uzyskujemy var(ε t ) = E(ε 2 t ) = E(θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q)e(u 2 t ) = var(ε t ) = θ 0 + θ 1 var(ε 2 t 1) θ q var(ε 2 t q) wobec tego var(ε t ) = θ 0 1 θ 1... θ q = σ 2 gdzie σ 2 jest bezwarunkową wariancją

47 Szacowanie modelu ARCH MNK do równania średniej

48 Szacowanie modelu ARCH MNK do równania średniej MNK dla modelu autoregresyjnego dla reszt

49 Szacowanie modelu ARCH MNK do równania średniej MNK dla modelu autoregresyjnego dla reszt Dzięki temu uzyskuje się zgodne estymatory

50 Szacowanie modelu ARCH MNK do równania średniej MNK dla modelu autoregresyjnego dla reszt Dzięki temu uzyskuje się zgodne estymatory Estymatory efektywne otrzymuje się wykorzystując MNW

51 Najważniejsza różnica między modelem regresji a ARCH polega na innym sposobie szacowania błędu prognozy

52 Najważniejsza różnica między modelem regresji a ARCH polega na innym sposobie szacowania błędu prognozy Nieobciażoną prognozą dla y t+1 jest X t+1 ˆβ

53 Najważniejsza różnica między modelem regresji a ARCH polega na innym sposobie szacowania błędu prognozy Nieobciażoną prognozą dla y t+1 jest X t+1 ˆβ Jej wariancja jest równa var(x T +1 b) = σ 2 x T +1 (X X ) 1 x T +1 + σ 2

54 Najważniejsza różnica między modelem regresji a ARCH polega na innym sposobie szacowania błędu prognozy Nieobciażoną prognozą dla y t+1 jest X t+1 ˆβ Jej wariancja jest równa var(x T +1 b) = σ 2 x T +1 (X X ) 1 x T +1 + σ 2 dla składnika losowego zawierającego proces warunkowej heteroscedastyczności var(x T +1 b ε t 1,..., ε t q ) = x T +1 σ2 T +1 (X X ) 1 x T +1 + σ 2 gdzie σ 2 T +1 = ˆθ 0 + ˆθ 1 e 2 T ˆθ q e 2 T q+1

55 ARCH family regression -- AR disturbances Sample: Number of obs = 3618 Distribution: Gaussian Wald chi2(1) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] dlnwig _cons ARMA ar L ARCH arch L _cons e

56 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Rozszerzenia podstawowego modelu

57 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Rozszerzenia podstawowego modelu Specyfikacja ARCH wymaga nieujemności parametrów

58 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Rozszerzenia podstawowego modelu Specyfikacja ARCH wymaga nieujemności parametrów Bardziej ogólną formą jest model GARCH(p,q) y t = X t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = α 1 σ 2 t α p σ 2 t p + θ 0 + θ 1 ε 2 t θ q ε 2 t q

59 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Równanie wariancji składa się z części autoregresyjnej i części opisującej warunkową wariancję

60 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Równanie wariancji składa się z części autoregresyjnej i części opisującej warunkową wariancję Model jest szacowany MNW

61 GARCH Modelowanie stóp zwrotu Równanie wariancji składa się z części autoregresyjnej i części opisującej warunkową wariancję Model jest szacowany MNW W praktyce ma on mniejszą liczbę parametrów niż model ARCH

62 ARCH family regression -- AR disturbances Sample: Number of obs = 3618 Distribution: Gaussian Wald chi2(1) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] dlnwig _cons ARMA ar L ARCH arch L garch L _cons 4.62e e e e

63 TARCH Modelowanie stóp zwrotu Asymetryczność zmian cen

64 TARCH Modelowanie stóp zwrotu Asymetryczność zmian cen Modelem uwzględniającym ten efekt jest TARCH y t = X t β + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = { θ0 + θ 1 ε t θ q ε t q θ 0 + θ 1 ε t θ qε t q

65 ARCH family regression -- AR disturbances Sample: Number of obs = 3618 Distribution: Gaussian Wald chi2(1) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] dlnwig _cons ARMA ar L ARCH tarch L garch L _cons 1.35e e e e

66 ARCH-in-Mean Pozwala on uwzględnić wpływ wariancji na wartość oczekiwaną y t = X t β + δσ 2 t + ε t ε t = u t σ t σ 2 t = θ 0 + θ 1 ε t θ q ε t q

67 Diagnostyka Diagnostyka nie odbiega od standardowej diagnostyki modelu regresji

68 Diagnostyka Diagnostyka nie odbiega od standardowej diagnostyki modelu regresji Równanie średniej polega standardowej procedurze diagnostycznej

69 Diagnostyka Diagnostyka nie odbiega od standardowej diagnostyki modelu regresji Równanie średniej polega standardowej procedurze diagnostycznej Testem poprawności specyfikacji modelu jest test normalności reszt oraz zbadanie występowania efektów ARCH w resztach

70 Prawdopodobieństwo poniesienia wysokiej straty

71 Prawdopodobieństwo poniesienia wysokiej straty Dla danego poziomu prawdopodobieństwa α jest to strata jaka może się zdażyć z prawdopodobieństwem α Pr(L j > J t ) = 1 Pr(L j < J t ) = 1 F (J t ) = α J t jest wartością narażoną na ryzyko.

72 VaR dla WIG Stopa zwrotu jest dana przez r t = ln(p t ) ln(p t 1 )

73 VaR dla WIG Stopa zwrotu jest dana przez Bank inwestuje Q jednostek r t = ln(p t ) ln(p t 1 )

74 VaR dla WIG Stopa zwrotu jest dana przez r t = ln(p t ) ln(p t 1 ) Bank inwestuje Q jednostek Zmiana ceny funduszu wynosi P t P t 1 = P t 1 [exp(r t ) 1]

75 VaR dla WIG Stopa zwrotu jest dana przez r t = ln(p t ) ln(p t 1 ) Bank inwestuje Q jednostek Zmiana ceny funduszu wynosi P t P t 1 = P t 1 [exp(r t ) 1] Zatem wynik inwestycji netto jest równy L t = Q P t = QP t 1 [exp(r t ) 1]

76 VaR dla WIG VaR wynosi Pr(L j < J t ) = Pr(QP t 1 [exp(r t ) 1] < J t ) Pr(L j < J t ) = Pr(r t < ln(1 + )) QP }{{ t 1 } k t J t

77 VaR dla WIG VaR wynosi Pr(L j < J t ) = Pr(QP t 1 [exp(r t ) 1] < J t ) Wystarczy znaleźć k t Pr(L j < J t ) = Pr(r t < ln(1 + )) QP }{{ t 1 } k t J t Pr(r t < k t ) = Pr( r t µ t σ t < k t µ t ) = Pr(u t < k t µ t ) σ t σ t Pr(r t < k t ) = Pr(u t < k t µ t σ t ) = F ( k t µ t ) = 1 α σ t

78 VaR dla WIG VaR wynosi Pr(L j < J t ) = Pr(QP t 1 [exp(r t ) 1] < J t ) Wystarczy znaleźć k t Pr(L j < J t ) = Pr(r t < ln(1 + )) QP }{{ t 1 } k t J t Pr(r t < k t ) = Pr( r t µ t σ t < k t µ t ) = Pr(u t < k t µ t ) σ t σ t Zatem Pr(r t < k t ) = Pr(u t < k t µ t σ t k t = µ t + F 1 (1 α)σ t ) = F ( k t µ t ) = 1 α σ t