Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do szeregów czasowych i modelu ARIMA

2 Plan 1 Pojęcie szeregu czasowego 2 Stacjonarne szeregi czasowe 3 Model autoregresyjny - AR 4 Model średniej ruchomej - MA 5 Model ARMA 6 ARIMA - model ARMA z trendem

3 Co to rozumiemy przez szereg czasowy? Definicja 1 Szereg czasowy to ciąg danych liczbowych, w którym każda obserwacja związana jest z konkretnym momentem w czasie. Aby móc używać narzędzi statystycznych konieczne jest zbudowanie matematycznego modelu. Definicja 2 Szereg czasowy to realizacje pewnego procesu stochastycznego.

4 Przykłady szeregów czasowych Występowanie szeregów Dane giełdowe Dane dotyczące urządzeń fizycznych Dane dotyczące pogody Dane biologiczne Rodzaje danych Indywidualnie rozpatrywany szereg w oderwaniu od innych danych Analiza danych powiązanych ze sobą

5 Praca z szeregami czasowymi Cele analizy szeregów czasowych Przewidywanie przyszłych wartości Badanie dynamiki szeregów Proces analizy szeregów czasowych Analiza wykresu danych Zastosowanie wybranych metod statystycznych adekwatnych do wstępnej analizy wykresu Składowe szeregu Trend Sezonowość (cykliczność) Losowość

6 Przykłady szeregów czasowych 1 Biały szum: w t iid(0, σ 2 w ). Często w t Niid(0, σ 2 w ). Średnia ruchoma: v t = 1 3 (w t 2 + w t 1 + w t ) (model MA(2)). Rysunek: Gausowski biały szum i średnia ruchoma tego szumu.

7 Przykłady szeregów czasowych 2 Autoregresja: x t = x t 1 + 0, 9x t 2 + w t dla t = 0, 1, 2,... (model AR(2)). Rysunek: Autoregresja.

8 Przykłady szeregów czasowych 3 Błądzenie losowe z trendem (lub bez): x t = δ + x t 1 + w t = δt + t j=1 w j dla t = 1, 2,... oraz x 0 = 0 (model ARIMA(1,1,0)). Rysunek: Błądzenie losowe z trendem δ = 2 i bez trendu (δ = 0).

9 Przykłady szeregów czasowych 4 Sygnał w szumie: x t = 2 cos(2πt/50 + 0, 6π) + w t dla t = 1, 2,... (szereg cykliczny). Rysunek: Cosinus, cosinus z szumem σ w = 1 i cosinus z szumem σ w = 5.

10 Opis modelu Dla dowolnych momentów czasowych s, t możemy wyznaczyć funkcje: średniej: µ t = E(x t ) autokowariancji: γ(s, t) = E[(x s µ s )(x t µ t )] autokorelacji: ρ(s, t) = γ(s,t) γ(s,s)γ(t,t) kowariancji dwóch szeregów: γ xy (s, t) = E[(x s µ xs )(y t µ yt )] korelacji dwóch szeregów: ρ xy (s, t) = Zauważmy, że: γ(s, t) = γ(t, s) γ(t, t) = σ 2 t 1 ρ(s, t) 1 γ xy (s,t) γxy (s,s)γ xy (t,t) Jeśli γ(s, t) = 0 i x s, x t mają dwuwymiarowy rozkład normalny to są niezależne - dla dowolnych rozkładów niekoniecznie

11 Autokowariancja - przykład Rysunek: Autokowariancja średniej ruchomej x t = 1 (wt + wt 1 + wt 2). 3

12 Stacjonarność Problem: Chcemy estymować średnie i kowariancje z danych. Do dyspozycji mamy po jednej realizacji procesu, a nie cały proces, co utrudnia zadanie. Definicja - ścisła stacjonarność Szereg czasowy jest ściśle stacjonarny jeśli dla dowolnych dopuszczalnych danych t 1,..., t k i dowolnego h Z łączny rozkład kolekcji {x t1,..., x tk } jest identyczny z rozkładem {x t1+h,..., x tk +h}. Ze ścisłej stacjonarności wynika stałość średnich i wariancji w czasie. Definicja - słaba stacjonarność (stacjonarność) Szereg czasowy o skończonej wariancji jest słabo stacjonarny (stacjonarny) jeśli: 1 Średnia µ t jest stała w czasie. 2 Autokowariancja γ(s, t) zależy tylko od różnicy h = t s.

13 Przykłady Biały szum: γ(s, t) = E[(w t 0)(w s 0)] = { σ 2 w, s = t, 0, s t. Jest stacjonarny. Jeśli w t Niid(0, σ 2 w ), to jest nawet ściśle stacjonarny. Średnia ruchoma: v t = 1 3 (w t 1 + w t + w t+1 ) Jest stacjonarny. µ t = 0 3/9, s = t, 2/9, s t = 1, γ(s, t) = 1/9, s t = 2, 0, s t 3

14 Przykłady c.d. Błądzenie losowe z dryfem: x t = δt + t j=1 w j. µ t = δt. Zatem błądzenie losowe z dryfem nie jest szeregiem stacjonarnym. Bez dryfu również, ponieważ γ(s, t) = min{s, t}σ 2 w. Sygnał w szumie: x t = 2 cos(2πt/50 + 0, 6π) + w t. Nie jest stacjonarny. µ t = 2 cos(2πt/50 + 0, 6π),

15 Własności szeregów stacjonarnych Własności: Jeśli szereg jest ściśle stacjonarny, to jest stacjonarny. Jeśli szereg jest stacjonarny i każdy wielowymiarowy rozkład {x t1,..., x tn } jest gaussowski, to szereg jest ściśle stacjonarny. Oznaczenia: µ = µ t γ(h) = γ(t, t + h) ρ(h) = ρ(t, t + h) Analogiczne oznaczenia dla kowariancji i korelacji dwóch szeregów. Własności: γ(h) = γ( h) γ(0) = σ 2 - wariancja x t γ(h) γ(0)

16 Szereg stacjonarny Estymacja parametrów szeregu stacjonarnego: Średnia: ˆµ = 1 n n t=1 x t. Autokowariancja: ˆγ(h) = 1 n Autokorelacja: ˆρ(h) = ˆγ(h) Kowariancja: ˆγ xy (h) = 1 n Korelacja: ˆρ xy (h) = ˆγ(0) n h ˆγ xy (h) ˆγx (0)ˆγ y (0) n h t=1 (x t+h ˆµ)(x t ˆµ). t=1 (x t+h ˆµ x )(y t ˆµ y )

17 Rodzaje analiz szeregów czasowych Analiza czasowa Korelacja aktualnych danych z danymi poprzednimi Modelowanie przyszłych wartości na podstawie aktualnych i przeszłych Korzysta z regresji Modele ARIMA Analiza częstościowa Wpływ czynników cyklicznych (sezonowych) na wartości szeregu Główne narzędzie to analiza spektralna (gęstość spektralna)

18 Wprowadzenie do modelu ARIMA - pomocnicze operatory Oznaczenia: Operator przesunięcia Bx t = x t 1, B k x t = x t k. Operator różnicowy x t = x t x t 1, d x t = (1 B) d x t.

19 Model autoregresyny - AR Definicja modelu autoregresyjnego stopnia p - AR(p) Model postaci: x t = Φ 1 x t Φ p x t p + w t, gdzie x t to szereg stacjonarny, Φ i - stałe (Φ p 0), w t to biały szum (gaussowski). Jeśli µ = E(x t ) 0, to powyższy szereg zastępujemy przez: gdzie α = µ(1 Φ 1... Φ p ). x t = α + Φ 1 x t Φ p x t p + w t, Zapis operatorowy Φ(B)x t = w t, gdzie Φ(B) = 1 Φ 1 B... Φ p B p. Wielomianem AR(p) nazywamy wielomian zespolony: Φ(z) = 1 Φ 1 z... Φ p z p, Φ p 0 oraz z C.

20 Model AR(1) Własności procesu x t = Φx t 1 + w t dla Φ < 1 Średnia: E(x t ) = 0 Autokowariancja: γ(h) = σ2 w Φh 1 Φ 2, h 0 Autokorelacja: ρ(h) = Φ h, h 0 Własność autokorelacji: ρ(h) = Φρ(h 1) Zmienna x t jest skorelowana z wszystkimi poprzednimi zmiennymi x t k, k 1.

21 Proces: x t = Φx t 1 + w t Jeśli Φ < 1, to iterując wstecz otrzymujemy: x t = Φ j w t j. j=0 Szereg jest zbieżny (w sensie średniokwadratowym - przestrzeń L 2 ) i można sprawdzić, że jest stacjonarny. Nazywamy go szeregiem kazualnym. Jeśli Φ = 1, to dostajemy błądzenie losowe, o którym wiemy już, że nie jest stacjonarny. Jeśli Φ > 1, to powyższy szereg nie jest zbieżny, ale można iterować go wprzód: x t = Φ 1 x t+1 Φ 1 w t+1 =... = Φ j w t+j. j=1 Również jest zbieżny, choć ta forma jest bezużyteczna, gdyż teraźniejszość zależy od przyszłości - nazywamy go niekazualnym.

22 AR(p) W ogólności mamy model Φ(B)x t = w t i naszym celem jest znalezienie ciągu x t. Mnożąc obustronnie przez Φ 1 (B) otrzymujemy: x t = Φ 1 (B)w t, ale musimy mieć pewność, że Φ jest odwracalne. Odwracalność jest zdeterminowana przez odwracalność wielomianu zespolonego AR. Dla AR(1) wielomian AR i jego wielomian odwrotny to Φ(z) = 1 Φ 1 z Φ 1 (z) = j=0 Φ j 1 zj i odwracalność wielomianu jest równoważna zbieżności szeregu. Podobnie jest dla innych modeli AR - wielomianami odwrotnymi są szeregi zespolone.

23 Własność kazualności Definicja Proces AR(p) postaci Φ(B)x t = w t nazywamy kazualnym jeśli daje się zapisać jako: x t = Ψ(B)w t, gdzie Ψ(B) = j=0 Ψ jb j oraz j=0 Ψ j <. Twierdzenie Proces AR(p) jest kazualny jeśli Φ(z) 0 dla z 1.

24 Przykład - autokorelacja AR(2) Dany proces: x t = Φ 1 x t 1 + Φ 2 x t 2 + w t - kazualny. Bierzemy: E(x t x t h ) = Φ 1 E(x t 1 x t h ) + Φ 2 E(x t 2 x t h ) + E(w t x t h ). Ponieważ E(x t ) = 0 oraz dla h > 0 to E(w t x t h ) = E(w t Dzieląc przez ρ(0) dostajemy j=0 w t h j ) = 0, γ(h) = Φ 1 γ(h 1) + Φ 2 γ(h 2). ρ(h) Φ 1 ρ(h 1) Φ 2 ρ(h 2) = 0, z warunkami początkowymi ρ(0) = 1 i ρ( 1) = ρ(1) = Φ1 1 Φ 2.

25 C.d. - rozwiązania: Niech z 1, z 2 będą zerami wielomianu Φ(z) = 1 Φ 1 z + Φ 2 z 2. Oczywiście z 1 > 1 oraz z 2 > 1 - z kazualności. 1 Jeśli z 1 z 2 - rzeczywiste, to więc ρ(h) 0, gdy h. 2 Jeśli z 1 = z 2 - rzeczywiste, to więc ρ(h) 0, gdy h. ρ(h) = c 1 z h 1 + c 2 z h 2, ρ(h) = z h 1 (c 1 + c 2 h), 3 Jeśli z 1 = z 2, to c 1 = c 2 (ponieważ ρ(h) - rzeczywiste) oraz ρ(h) = c 1 z h 1 + c 1 z h 1 Upraszczając dostaniemy, że ρ(h) 0, gdy h sinusoidalnie.

26 Model MA Definicja modelu średniej ruchomej stopnia q - MA(q) Model postaci: x t = w t + Θ 1 w t Θ q w t q, gdzie w t -biały szum (gaussowski), Θ i -stałe (Θ q 0). Zapis operatorowy x t = Θ(B)w t, gdzie Θ(B) = 1 + Θ 1 B Θ q B q. Wielomianem MA(q) nazywamy wielomian zespolony: Θ(z) = 1 + Θ 1 z Θ p z p, Θ p 0 oraz z C. Proces jest stacjonarny dla wszystkich Θ i.

27 Model MA(1) Własności procesu x t = w t + Θw t 1 Średnia: E(x t ) = 0 Autokowariancja: Autokorelacja: (1 + Θ 2 )σw 2, h = 0, γ(h) = Θσw 2, h = 1, 0, h > 1 ρ(h) = { Θ 1+Θ 2, h = 1, 0, h > 1 Zmienna x t jest skorelowana jedynie ze zmienną w czasie poprzednim x t 1

28 Niejednoznaczność modelu MA(1) Rozważmy model x t = w t + Θw t 1. Jeśli zatem założymy, że Θ = 5 oraz σ 2 w = 1, to z funkcji autokowariancji widać, że otrzymujemy model o takim samym rozkładzie jak model z parametrami Θ = 1/5 oraz σ 2 w = 25. Wynika stąd, że ten sam model może być zapisany za pomocą dwóch różnych procesów, dlatego należy stworzyć kryterium dzięki któremu uzyskamy jednoznaczność.

29 Niejednoznaczność w MA(q) Rozważając model x t = Θ(B)w t, przedstawmy proces w t jako kombinację liniową procesu x t podobnie jak dla procesu AR(p). Mnożąc obustronnie przez Θ 1 (B) otrzymujemy: ale Θ musi być odwracalne. w t = Θ 1 (B)x t, Ponownie, odwracalność Θ(B) jest zdeterminowana odwracalnością wielomianu zespolonego Θ(z).

30 Własność odwracalności dla procesu MA(p) Definicja Proces MA(q) postaci x t = Θ(B)w t jest odwracalny jeśli można go zapisać jako: w t = π(b)x t, gdzie π(b) = j=0 π jb j oraz j=0 π j <. Twierdzenie Proces MA(q) jest odwracalny jeśli Θ(z) 0 dla z 1.

31 Przykład - autokorelacja MA(q) Dany jest proces x t = Θ(B)w t, gdzie Θ(B) = 1 + Θ 1 B +... Θ q B. Po pierwsze E(x t ) = 0 Po drugie Ostatecznie: q q γ(h) = E[( Θ j w t+h j )( Θ k w t k )] = j=0 k=0 { σ 2 w q h j=0 Θ jθ j+h, 0 h q, 0, h > q q h j=0 Θj Θ j+h ρ(h) =, 1 h q, 1+Θ Θ2 q 0, h > q Czyli x t jest tylko skorelowane z q poprzedzającymi wyrazami.

32 Model ARMA Definicja modelu autoregresyjnego ze średnią ruchomą ARMA(p,q) Model postaci: x t = Φ 1 x t Φ p x t p + w t + Θ 1 w t Θ q w t q, gdzie x t to szereg stacjonarny, Φ p 0, Θ q 0, w t to biały szum (gaussowski). Jeśli µ = E(x t ) 0, to powyższy szereg zastępujemy przez: x t = α + Φ 1 x t Φ p x t p + w t + Θ 1 w t Θ q w t q, gdzie α = µ(1 Φ 1... Φ p ). Zapis operatorowy Φ(B)x t = Θ(B)w t. Dla procesu ARMA(p,q) przenosimy definicję kazualności oraz odwracalności analogicznie jak dla procesów AR(p) i MA(q). Również w podobny sposób można liczyć korelację w tym modelu.

33 Redundancja parametrów modelu ARMA Procesy: x t = w t, opisują ten sam model. Odejmujc stronami 0, 5x t 1 = 0, 5w t 1 x t 0, 5x t 1 = w t 0, 5w t 1 nadal dostajemy ten sam model. Chcemy potrafić wykryć nadmiarowość parametrów i uprościć model. W tym celu stosujemy zapis operatorowy: i dostajemy: (1 0, 5B)x t = (1 0, 5B)w t x t = (1 0, 5B) 1 (1 0, 5B)w t = w t. Podobnie możemy rozwiązywać ten problem dla innych procesów ARMA porównując wielomiany AR i MA.

34 Modele ARMA z trendem Model ARMA zakłada stacjonarność procesu x t Jednym z czynników psującym stacjonarność jest trend Pewna klasa procesów z trendem może być sprowadzona do modelu ARMA przez usunięcie trndu. Metody usuwania trendu Regresja Różnicowanie

35 Usuwanie trendu za pomocą regresji Sytuacja x t = µ t + y t, gdzie µ t = k j=0 β jt j - trend wielomianowy, y t - szereg stacjonarny. Procedura usuwania trendu: Estymujemy trend za pomocą regresji wielomianowej - ˆµ t i tworzymy nowy szereg jako: ŷ t = x t ˆµ t. Dzięki estymacji znamy dokładną postać nowego szeregu ŷ t.

36 Usuwanie trendu za pomocą różnicowania Sytuacja 1 x t = µ t + y t, µ t = β 0 + β 1 t, gdzie y t - szereg stacjonarny, β j - stałe. Czyli przyjmujemy trend liniowy(szczególny przypadek poprzedniej sytuacji). Operacja: daje nam szereg stacjonarny. x t = x t x t 1 = β 1 + y t.

37 Usuwanie trendu za pomocą różnicowania Sytuacja 2 x t = µ t + y t, µ t = δ + µ t 1 + w t, gdzie w t - biały szum. Czyli przyjmujemy, że błądzenie losowe jest modelem trendu. Postępowanie: x t = (µ t + y t ) (µ t 1 + y t 1 ) = δ + w t + y t. - szereg stacjonarny. Dzięki różnicowaniu, nie musimy nic estymować, ale nie też nie poznajemy wprost szeregu y t.

38 Różnicowanie wyżej wymiarowe Sytuacja 3 x t = µ t + y t, µ t = gdzie y t - stacjonarny, β j - stałe. Wówczas k x t - stacjonarny. k β j t j, j=0

39 Usuwanie niestacjonarności za pomocą różnicowania Sytuacja 4 x t = µ t + y t, µ t = µ t 1 + v t, v t = v t 1 + w t, gdzie w t - biały szum, y t - stacjonarny. Niestacjonarność jest modelowana jako podwójne błądzenie losowe. Tym razem: 2 x t = 2 y t + w t - szereg stacjonarny. Dla k-krotnie złożonych procesów tego typu wykonujemy k-krotne różnicowanie w celu usunięcia niestacjonarności.

40 Proces ARIMA Defnicja Proces x t nazywamy procesem ARIMA(p,d,q) jeśli jest procesem ARMA(p,q). Ogólnie ten model zapisujemy jako: Jeśli E( d x t ) = µ, to piszemy gdzie α = µ(1 Φ 1... Φ p ). d x t = (1 B) d x t Φ(B)(1 B) d x t = Θ(B)w t. Φ(B)(1 B) d x t = α + Θ(B)w t,

41 Przykład Rysunek: Dane dotyczące temperatury i trend liniowy.

42 Przykład c.d. Rysunek: Szereg po usunięciu trendu za pomocą regresji (góra) i różnicowania (dół).

43 Przykład c.d. Rysunek: Autokorelacja oryginalnego szeregu(góra) oraz szeregów po usunięciu trendu za pomocą regresji (środek) i różnicowania (dół).

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych

Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Szeregi czasowe, analiza zależności krótkoi długozasięgowych Rafał Weron rweron@im.pwr.wroc.pl Definicje Mając dany proces {X t } autokowariancję definiujemy jako : γ(t, t ) = cov(x t, X t ) = = E[(X t

Bardziej szczegółowo

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu

3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 WYDZIAŁ MATEMATYKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Nazwa w języku angielskim ANALYSIS OF TIME SERIES Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych

wprowadzenie do analizy szeregów czasowych 19 stycznia 2016 Wprowadzenie Prezentacja danych Dekompozycja Preprocessing Model predykcji ARIMA Dobór parametrów modelu ARIMA Podsumowanie Definicje i przykłady Definicje Szeregiem czasowym nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne

Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne Analiza szeregów czasowych: 5. Liniowe modele stochastyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07 Dwa rodzaje modelowania 1. Modelowanie z pierwszych zasad. Znamy prawa

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe

Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. Niestacjonarne szeregi czasowe Prognozowanie i Symulacje. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Analiza stacjonarności szeregów czasowych 1 Analiza stacjonarności szeregów czasowych Modele niestacjonarne Szeregi TS i DS

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 5 & 6 Szaeregi czasowe 1

Bardziej szczegółowo

Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne

Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne Analiza szeregów czasowych: 6. Liniowe modele niestacjonarne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Warunki stacjonarności modelu AR(p) y n = β 1 y n 1 + β 2 y n 2 + + β

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 15-16 Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 15-16 1 1. Sezonowość 2. Zmienne stacjonarne 3. Zmienne zintegrowane 4. Test Dickey-Fullera 5. Rozszerzony test Dickey-Fullera 6. Test KPSS 7. Regresja pozorna

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Analiza autokorelacji

Analiza autokorelacji Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34 Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe?

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe? Prognozowanie Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA Marta Płonka Predictive Solutions W trzecim już artykule dotyczącym szeregów czasowych przyjrzymy się modelom ARIMA. Dzisiaj skupimy się na metodzie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA

Wprowadzenie Model ARMA Sezonowość Prognozowanie Model regresji z błędami ARMA. Modele ARMA Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią modele ARMA(p, q) Modele tej klasy są modelami ateoretycznymi Ważną klasę modeli dynamicznych stanowią

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE

Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria Wykład 5. Procesy stochastyczne, stacjonarność, integracja Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE Ekonometria szeregów czasowych Procesy stochastyczne Stacjonarność i biały szum Niestacjonarność:

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu

Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Ekonometria dynamiczna i finansowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiED-EDF-W-S14_pNadGenMOT56 Wydział Kierunek Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Metody Prognozowania

Metody Prognozowania Wprowadzenie Ewa Bielińska 3 października 2007 Plan 1 Wprowadzenie Czym jest prognozowanie Historia 2 Ciągi czasowe Postępowanie prognostyczne i prognozowanie Predykcja długo- i krótko-terminowa Rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym korelacja a związek o charakterze przyczynowo-skutkowym Przyczynowość w sensie Grangera Zmienna x jest przyczyną w sensie Grangera zmiennej y jeżeli

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13 Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych

Bardziej szczegółowo

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych)

Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) Materiał dla studentów Wprowadzenie do modeli ARMA/ARIMA (na przykładzie zwrotów z instrumentów finansowych) (studium przypadku) Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE

MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XI/2, 2010, str. 254 263 MODELE AUTOREGRESYJNE W PROGNOZOWANIU CEN ZBÓŻ W POLSCE Agnieszka Tłuczak Zakład Ekonometrii i Metod Ilościowych, Wydział Ekonomiczny

Bardziej szczegółowo

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego Ćwiczenie Badanie unkcji korelacji w przebiegach elektrycznych. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zbadanie unkcji korelacji w okresowych sygnałach

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi. Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31 Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie cen surowców w rolnych na podstawie szeregów w czasowych - uwarunkowania i metody. Sylwia Grudkowska NBP Mariusz Hamulczuk IERIGś-PIB

Prognozowanie cen surowców w rolnych na podstawie szeregów w czasowych - uwarunkowania i metody. Sylwia Grudkowska NBP Mariusz Hamulczuk IERIGś-PIB Prognozowanie cen surowców w rolnych na podstawie szeregów w czasowych - uwarunkowania i metody Sylwia Grudkowska NBP Mariusz Hamulczuk IERIGś-PIB Plan prezentacji Wprowadzenie do prognozowania Metody

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Katedra Metrologii i Systemów Diagnostycznych CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Analiza korelacyjna sygnałów dr hab. inż.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Estymacja w regresji nieparametrycznej

Estymacja w regresji nieparametrycznej Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

2.6 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33. RYSUNEK 2.6: PKB w wyrażeniu realnym

2.6 Zmienne stacjonarne i niestacjonarne 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33. RYSUNEK 2.6: PKB w wyrażeniu realnym 2.6. ZMIENNE STACJONARNE I NIESTACJONARNE 33 tale. Rysunek 2.6 ilustruje sezonowość w logarytmie PKB w wyrażeniu realnym. Realny PKB został uzyskany poprzez zdeflowanie nominalnego PKB przez indeks cen

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Miernictwo Wibroakustyczne Literatura. Wykład 1 Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe

Miernictwo Wibroakustyczne Literatura. Wykład 1 Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe Wykład Wprowadzenie. Sygnały pomiarowe Dr inż.adeusz Wszołek Miernictwo Wibroakustyczne - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki D-, p.6, konsultacje-poniedziałek,

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Matematyka (Zao EA EiT stopień) Nazwa w języku angielskim: Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry

Wprowadzenie. Spis treści. Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry Spis treści 1 Wprowadzenie 2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu 2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu 2.2 Nazewnictwo 2.3 Przejście do dziedziny częstości 2.3.1 Działanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Ekonometria / G. S. Maddala ; red. nauk. przekł. Marek Gruszczyński. wyd. 2, dodr. 1. Warszawa, Spis treści

Ekonometria / G. S. Maddala ; red. nauk. przekł. Marek Gruszczyński. wyd. 2, dodr. 1. Warszawa, Spis treści Ekonometria / G. S. Maddala ; red. nauk. przekł. Marek Gruszczyński. wyd. 2, dodr. 1. Warszawa, 2013 Spis treści Przedsłowie 15 Przedmowa do drugiego wydania 17 Przedmowa do trzeciego wydania 21 Nekrolog

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo