Analiza Szeregów Czasowych. Egzamin

Transkrypt

1 Analiza Szeregów Czasowych Egzamin Zadanie 1: Zadanie 2: Zadanie 3: Zadanie 4: / 12 pkt. / 12 pkt. / 12 pkt. / 14 pkt. Projekt zaliczeniowy: Razem: / 100 pkt. / 50 pkt. Regulamin egzaminu 1. Przed przystąpieniem do pisania egzaminu należy podpisać wszystkie kartki pracy (na dole strony). Złożenie podpisu pod regulaminem oznacza jego akceptację. Do egzaminu mogą przystąpić osoby, które akceptują regulamin. 2. Każda zauważona próba ściągania kończy się odebraniem pracy i oceną niedostateczną. 3. Podczas egzaminu można korzystać z jednej własnoręcznie przygotowanej kartki formatu A4. 4. Posiadanie przy sobie innych materiałów niż wymienione w pkt.3 Regulaminu Egzaminu zostanie uznane za ściąganie. 5. Podczas egzaminu obowiązuje bezwzględny zakaz korzystania z telefonów komórkowych. 6. Warunkiem uzyskania oceny pozytywnej jest osiągnięcie min.25 pkt. z egzaminu oraz min. 25 pkt. z pracy zaliczeniowej. Regulamin zrozumiałam(em) Warszawa, , podpis 1

2 Brudnopis 2

3 Zadanie 1 1. Badacz postanowił modelować tempo wzrostu PKB, zdefiniowane jako różnica logarytmów. Wykres 1. Logarytmiczna stopa wzrostu PKB Określić i uzasadnić czy w powyższym szeregu występuje trend i sezonowość (2 pkt.). Odpowiedź pkt.1: 3

4 2. Badacz przeprowadził następujące testy: dfuller wzrost, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = Interpolated Dickey-Fuller Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value Z(t) MacKinnon approximate p-value for Z(t) = D.wzrost Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wzrost L _cons reg d.wzrost l.wzrost Source SS df MS Number of obs = F( 1, 257) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.wzrost Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] wzrost L _cons bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation ---- lags(p) chi2 df Prob > chi

5 kpss wzrost, notrend KPSS test for wzrost Maxlag = 5 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: wzrost is level stationary 10%: % : %: % : Lag order Test statistic W jakim celu badacz przeprowadził powyższe testy? Zinterpretować uzyskane wyniki. Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić powołując się na odpowiednie nazwy testów i statystyki. Jako poziom istotności przyjąć 1 (3 pkt.). Odpowiedź pkt.2 : 5

6 3. Następnie badacz uzyskał oszacowanie testu Ljunga-Boxa i funkcji ACF oraz funkcji PACF. corrgram wzrost, lag(24) LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] Wykres 2. Funkcje ACF i PACF dla logarytmicznej stopy wzrostu PKB 6

7 W jakim celu badacz uzyskał oszacowanie testu Ljunga-Boxa i funkcji ACF oraz funkcji PACF? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić (2 pkt.). Odpowiedź pkt.3 : 7

8 4. Badacz oszacował następujące modele: Tabela 1. Oszacowanie modelu: model0 arima wzrost, arima(1,0, 2) Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(3) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons ARMA ar L ma L L /sigma est store model0 Tabela 2. Oszacowanie modelu: model1 arima wzrost, arima(1,0, 1) Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(2) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons ARMA ar L ma L /sigma est store model1 8

9 Tabela 3. Wynik testu LR lrtest model0 model1, stats Likelihood-ratio test LR chi2(1) = 3.65 (Assumption: model1 nested in model0) Prob > chi2 = Akaike's information criterion and Bayesian information criterion Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC model model Tabela 4. Oszacowanie modelu: model2 arima wzrost, arima(1,0, 0) ARIMA regression Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(1) = Log likelihood = Prob > chi2 = OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons ARMA ar L /sigma est store model2 Tabela 5. Wynik testu LR lrtest model0 model2, stats Likelihood-ratio test LR chi2(2) = 4.80 (Assumption: model2 nested in model0) Prob > chi2 = Akaike's information criterion and Bayesian information criterion Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC model model

10 Tabela 6. Oszacowanie modelu: model3 arima wzrost, arima(0,0, 0) ARIMA regression Sample: 1947:2-2012:1 Number of obs = 260 Wald chi2(.) =. Log likelihood = Prob > chi2 =. OPG wzrost Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] wzrost _cons /sigma est store model3 Tabela 7. Wynik testu LR lrtest model0 model3, stats Likelihood-ratio test LR chi2(3) = (Assumption: model3 nested in model0) Prob > chi2 = Akaike's information criterion and Bayesian information criterion Model Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC model model Czy słusznie badacz wybrał model ARIMA (1, 0, 0) na podstawie kryterium BIC i testu LR? Odpowiedź należy dokładnie uzasadnić (3 pkt.). Odpowiedź pkt.4 : 10

11 5. Następnie badacz uzyskał oszacowanie funkcji ACF, funkcji PACF i testu Ljunga-Boxa dla reszt. Wykres 3. Funkcje ACF i PACF dla reszt 11

12 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] Czy na podstawie przeprowadzonej diagnostyki można stwierdzić, że specyfikacja rzędów modelu ARIMA jest prawidłowa (2 pkt.)? Odpowiedź pkt.5 : 12

13 Zadanie 2 1. Dany jest proces: y y ( ) 0, ar( ) I. Zakładając, iż 1 lim y 0 udowodnić, że y jest procesem kowariancyjnie stacjonarnym (6 pkt.). Odpowiedź pkt. 1: 13

14 2. Dany jest proces: y y ( ) 0, ar( ) I. Udowodnić, że y jest procesem niestacjonarnym (6 pkt.). Odpowiedź pkt. 2: 14

15 Zadanie 3 1. Zdecydować na podstawie poniższych wykresów, które z przedstawionych szeregów czasowych są stacjonarne (według średniej i według wariancji), a które nie. Odpowiedź należy uzasadnić (4 pkt.). Szereg 1. Szereg 2. Szereg 3. Szereg 4. Odpowiedź pkt.1: Szereg 1: Szereg 2: Szereg 3: Szereg 4: 15

16 2. Na podstawie poniższych korelogramów (Wykres 1, Wykres 2, Wykres 3 i Wykres 4) dla 1000 obserwacji ocenić rząd sezonowego procesu AR/MA/ARMA dla modelu dla zmiennej i modelu dla zmiennej Z oraz rząd niesezonowego procesu AR/MA/ARMA dla modelu dla zmiennej W i modelu dla zmiennej. Odpowiedź uzasadnić (4 pkt.). Wykres 1. ACF i PACF dla zmiennej Odpowiedź Wykres 1: 16

17 Wykres 2. ACF i PACF dla zmiennej Z Odpowiedź Wykres 2: 17

18 Wykres 3. ACF i PACF dla zmiennej W Odpowiedź Wykres 3: 18

19 Wykres 4. ACF i PACF dla zmiennej Odpowiedź Wykres 4: 19

20 3. Na wykresie poniżej przedstawiono zmienną Total sales - miesięczne zużycie energii elektrycznej w Stanach Zjednoczonych, mierzone w milionach MWh, od stycznia 1990 do lipca 2005 roku. a. Określić i uzasadnić czy w powyższym szeregu występuje trend i sezonowość (2 pkt.). Odpowiedź pkt. 3a): 20

21 b. Czy wygładzenie wykładnicze jest odpowiednim narzędziem dla prognozowania tego szeregu? Odpowiedź uzasadnić (1 pkt.). Odpowiedź 3b): c. Czy i w jaki sposób średnia ruchoma pozwoli uzyskać składnik sezonowy dla tego szeregu? Odpowiedź uzasadnić (1 pkt.). Odpowiedź pkt. 3c): 21

22 22

23 Zadanie 4 Dysponujemy danymi rocznymi za okres dla Stanów Zjednoczonych. Opis zmiennych: g poziom konsumpcji benzyny wyrażony jako wydatki na benzynę (w milionach dolarów); pg cena benzyny w dolarach za 1 galon. Przeprowadzono następujące regresje: Następnie oszacowano regresje (1) (2) (3) (4) (5) i uzyskano z niej reszty oraz. W kolejnym kroku przeprowadzono regresje. Uzyskano następujące wyniki: reg d.g l.g, noconst Source SS df MS Number of obs = F(1, 34) = 8.36 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] g L bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi

24 reg d2.g l.d.g, noconst Source SS df MS Number of obs = F(1, 33) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D2.g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] g LD bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi reg d.pg l.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = F(1, 34) = 1.37 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg L bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi

25 reg d.pg l.pg l.d.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = F(2, 32) = 3.52 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg L LD bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi reg d2.pg l.d.pg, noconst Source SS df MS Number of obs = F(1, 33) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D2.pg Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg LD bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi

26 reg g pg Source SS df MS Number of obs = F( 1, 34) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = g Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] pg _cons predict e, r reg d.e l.e, noconst Source SS df MS Number of obs = F( 1, 34) = 3.72 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] e L bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation 26

27 reg d.e l.e l.d.e, noconst Source SS df MS Number of obs = F( 2, 32) = 6.86 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = D.e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] e L LD bgodfrey, lag(1) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi H0: no serial correlation Hipotezy testować na poziomie istotności 5. Wartości krytyczne dla testu integracji dla 40 obserwacji i poziomu istotności 5%: - bez wyrazu wolnego: -1,97; - z wyrazem wolnym: -2,96. Wartości krytyczne dla testu kointegracji dla 40 obserwacji i poziomu istotności 5%: - bez wyrazu wolnego w wektorze kointegrującym: -2,83; - z wyrazem wolnym w wektorze kointegrującym: -3,40. 27

28 Odpowiedzieć na następujące pytania: 1. Wyznaczyć rząd integracji dla zmiennych,. Czy w tym przypadku możliwa jest analiza kointegracji (5 pkt.)? Odpowiedź pkt.1: 2. Przeprowadzić test na kointegrację miedzy zmiennymi g i pg (4 pkt.). Odpowiedź pkt.2: 28

29 3. Na podstawie wyników uzyskanych w poprzednich podpunktach, jaki model mający rozwiązanie długookresowe można zastosować w tym przypadku? Zapisać postać tego modelu i zinterpretować jego elementy (3 pkt.). Odpowiedź pkt.3: 4. Zinterpretować wyniki regresji g na pg (2 pkt.). Odpowiedź pkt.4: 29

30 30