Wykład 4: Względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 4: Względność ruhów dr inż. Zbigniew Szklarski hp://layer.ui.agh.edu.pl/z.szklarski/

2 Wzgledność ruhów Każdy ruh opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia W hwili 0 rusza samohód i zazyna ozyć się piłka - oba STOP A iała mają aką samą szybkość względem układu A. Piłka względem układu B jes nieruhoma! B Wydział Informayki, Elekroniki i

3 Transformaja Galileuszazałożenia Przesrzeń jes euklidesowa Przesrzeń jes izoropowa Rozparywane są układy inerjalne Prawa ruhu Newona są słuszne w układzie inerjalnym-na Ziemi Obowiązuje prawo powszehnego iążenia Wydział Informayki, Elekroniki i 3

4 Transformaja Galileusza ( ) Ciało jes nieruhome w układzie X Y Z, ma w nim współrzędną x Układ X Y Z porusza się względem układu XYZ wzdłuż osi OX. Czas w obu układah biegnie ak samo. Współrzędne iała widziane w układzie XYZ: x = x +v y = y z = z = Transformaja odwrona: x = x - v y = y z = z = Przy ruhu iała w X Y Z z szybkośią u jego szybkość w układzie XYZ: V xyz = v + u Y Z Y v Z V x u X X Wydział Informayki, Elekroniki i 4

5 Przykład Podzas ćwizeń raowniwa morskiego, jednym z zadań jakie miał wykonać samolo raownizy było zrzuenie małego pojemnika z rawą raunkową możliwie blisko wzywająego pomoy rozbika. W ym elu leąy z szybkośią V 0 = 180 km/h samolo zszedł do lou poziomego na wysokośi h =100 m nad poziomem morza. 1. Jakim ruhem porusza się po opuszzeniu samolou, pojemnik względem: piloa; rozbika?. Napisz równania (na x() i y() ) opisująe położenie pojemnika względem: piloa; rozbika; 3. Napisz równania opisująe prędkość ( Vx() i Vy() ) pojemnika względem: piloa; rozbika; 4. W jakiej odległośi od rozbika należy upuśić pojemnik z rawą? W rozważaniah należy pominąć opór powierza. 5. Obliz z jaką szybkośią pojemnik wpadnie do wody. 6. Obliz pod jakim kąem pojemnik uderzy w wodę Wydział Informayki, Elekroniki i 5

6 Transformaja Lorenza ( ) Posulay Einseina do szzególnej eorii względnośi: I. Prawa przyrody są idenyzne we wszyskih inerjalnyh układah odniesienia. II. Prędkość świała w próżni jes sała we wszyskih kierunkah i aka sama we wszyskih inerjalnyh układah odniesienia. Prędkość żadnego iała przenosząego energię lub informaję nie może przekrozyć prędkośi graniznej (niezależnie od zasu przyspieszania!). Eksperymen Berozziego (1964) przyspieszanie elekronów = m/s Wydział Informayki, Elekroniki i 6

7 1893 hipoeza Fizgeralda, że wszyskie poruszająe się względem eeru przedmioy ulegają skróeniu w ym samym kierunku, w kórym odbywa się ruh przedmiou Lorenz wzory ransformayjne dla poruszająego się układu Ciało o współrzędnyh x, y, z w układzie XYZ, ma w układzie X Y Z współrzędne: Z Z V X x' 1 1 v x v y = y z = z Y Y x X oraz: 1 v ' v 1 x Wydział Informayki, Elekroniki i 7

8 podsawiają 1 1 v orzymamy dla ransformaji odwronej: x = (x + v ) y = y z = z x' v ' ozywiśie dla v << orzymujemy: x = x +v y = y z = z = ransformaję Galileusza. Z posulaów Einseina wynika koniezność innego niż doyhzas sposobu opisywania zasu i przesrzeni Wydział Informayki, Elekroniki i 8

9 Konsekwenje: Obserwaor siedząy w rakieie oblizył prędkość impulsu świelnego mierzą w zasie przebyą przez impuls drogę s. Naomias dla obserwaora sojąego nieruhomo, impuls w zasie przebędzie odinek s. Ale: s' ' s wynika z ego, że s < s (droga przebya w układzie poruszająym się musi być krósza niż w układzie spozywająym) oraz < (zas płynąy w układzie poruszająym się musi płynąć wolniej niż w układzie spozywająym) Wydział Informayki, Elekroniki i 9

10 Kolejną ważną konsekwenją posulaów Einseina jes swierdzenie, że zdarzenia jednozesne w jednym układzie odniesienia nie muszą być jednozesne gdy obserwujemy je z innego układu! Świało z lampy umieszzonej w sufiie padają na zujniki owiera drzwi w obu końah wagonu. Dla obserwaora poruszająego się drzwi oworzą się jednoześnie, ale dla obserwaora nieruhomego najpierw oworzą się ylne drzwi (kóre doganiają impuls świelny). Kóry obserwaor ma raję? OBAJ!! Wydział Informayki, Elekroniki i 10

11 Konrakja długośi Prę jes nieruhomy względem układu O poruszająego się z szybkośią v względem spozywająego układu O. Z O O Z V x 1 x X X Długość odinka zmierzona w układzie O : l 0 = x x 1 = (x - v ) - (x 1 - v ) zyli l 0 = (x x 1 ) = l a wię l 1 l o Y Y Skoro γ >1 wię l < l 0! Wydział Informayki, Elekroniki i 11

12 Dylaaja zasu zyli wydłużenie odsępów zasu mierzonyh przez zegar będąy w ruhu. W układzie O mierzony jes zw. zas własny Δ 0. W układzie O mierzony jes zas Δ: 1 gdzie x' v ' x' v x' v ' ' 1 Z O Y ' ' 1 O Y Z V 0 X X Czyli = 0 > Wydział Informayki, Elekroniki i 1

13 Relaywisyzna względność prędkośi Względem układu O punk maerialny ma szybkość dx1 v1 d' względem układu O ma szybkość v dx d Y Z O O Y Z V x V 1 X X Skoro x = (x + v ) o dx = (dx + vd ) Naomias a zaem v x' v ' wię dx d dx' vd' dx' v d' dx' v d' dx' v 1 d' d d' dx' v v v1 v v1v Wydział Informayki, Elekroniki i 13

14 Przykłady Dwa akeleraory dają srumienie ząsek poruszająe się w przeiwne srony - każdy z szybkośią v 1 = v = 0,9. Oblizyć względną szybkość srumieni ząsek. Rozwiązanie: Klasyzna superpozyja: v wzgl = v 1 + v = 1,8 wynik zły!! v wzgl > Dodawanie relaywisyzne: v1 v 1,8 v 0, 9945 v1v 0, Wydział Informayki, Elekroniki i 14

15 W jaki sposób i z jaką szybkośią powinien poruszać się prosopadłośienny konener o wymiarah L 0 x L 0 x 1,5L 0 aby nieruhomy obserwaor widział go jako sześian? Rozwiązanie - po pierwsze: ruh wzdłuż najdłuższego wymiaru 1,5L 0 - widziana długość ma być L = L 0 a nie 1,5 L 0 a wię L 1,5 L 0 L 1 1,5 v v v ,5 - osaeznie v = 0, Wydział Informayki, Elekroniki i 15

16 Saek kosmizny porusza się z szybkośią 0,7. na saku usawiono sół konferenyjny wzdłuż osi saku. Długość sołu, jak zmierzył podzas lou asronaua wynosiła 5m. A. Jaka była długość sołu zmierzona przed odloem z Ziemi 46 la wześniej? Odp.: O ile sół się nie skurzył ze sarośi, o w każdym układzie względem kórego sół jes nieruhomy, jego długość wynosi 5 m. B. O ile krószy sół widzieliby podzas lou obserwaorzy z Ziemi? Odp.: Związek między długośią mierzoną na saku L S a na Ziemi L Z : LS 1 0,49 LZ 1 0, 714 sąd L Z = 3,57 m L = 1,43 m Wydział Informayki, Elekroniki i 16

17 C. Ile la wg zasu pokładowego minęło od saru? Odp.: Związek między przedziałem zasu mierzonym na saku Δ S a na Ziemi Δ Z (46 la): Z = S sąd S = 0, la = 3,84 roku Wydział Informayki, Elekroniki i 17

18 W wyniku oddziaływania promieniowania kosmiznego na górne warswy amosfery powsają ząsezki elemenarne mezony +, kóryh zas żyia lizony w układzie własnym (związanym z ząską) wynosi,610-8 s (0,94). Zakładają, że powsająe mezony mają prędkość V =, m/s, oblizyć: A. Czas żyia mezonu w układzie związanym z laboraorium na Ziemi. Odp.: Związek między przedziałem zasu mierzonym w laboraorium Δ L a zasem własnym Δ 0 : L = 0 8, L 6, ,94 s (ponad,5 razy dłuższy zas!!) B. Długość drogi przebyej przez powsały mezon do hwili jego rozpadu mierzonej w układzie laboraoryjnym oraz w układzie własnym mezonu. Odp.: S L = v L = 18,83 m naomias w układzie własnym mezonu: S 0 = v 0 = 7,19m Wydział Informayki, Elekroniki i 18

19 Długość nieruhomego poiągu jes aka sama jak długość unelu i wynosi L 0. Poiąg en jedzie z prędkośią V = 0,1. - Czy poząek i konie poiągu miną końe unelu w ym samym zasie dla obserwaorów w poiągu i unelu? - Jak długo rwał przejazd poiągu dla yh obserwaorów? Odp.: Dla obserwaora sojąego na ziemi długość poiągu: L Czas przejazdu ałego poiągu przez unel: v 0,1 Z 0, 0501 L L 1,995 L p Kolejność zdarzeń w unelu: L p L L p L 1 v L p L L p = L 1. Wjazd przodu. Wjazd yłu 3. Wyjazd przodu Wydział Informayki, Elekroniki i 19

20 Dla obserwaora w poiągu: L L p 1 v L p L L L p L p = 1,005 L Czas przejazdu ałego poiągu przez unel: v 0,1 p 0, 0499 L L,005L p L Dla obserwaora na zewnąrz en zas wynosił Kolejność zdarzeń w unelu: 0,0501 L 1. Wjazd przodu. Wyjazd przodu 3. Wjazd yłu Wydział Informayki, Elekroniki i 0

21 Podsumowanie Transformaja Galileusza opiera się na założeniu, że zas płynie jednakowo w inerjalnyh układah odniesienia i doyzy obieków poruszająyh się z prędkośiami dużo mniejszymi od prędkośi świała. Transformaja Lorenza zakłada, że prędkość świała jes aka sama we wszyskih inerjalnyh układah odniesienia. Konsekwenjami ransformaji Lorenza są między innymi: nowe spojrzenie na równozesność zjawisk, skróenie długośi, dylaaja zasu oraz inne zasady składania prędkośi. Transformaja Galileusza wynika z ransformaji Lorenza przy założeniu małej prędkośi Wydział Informayki, Elekroniki i 1