Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Transkrypt

1 Szzególna i ogólna teoria względnośi (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybyień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górnizo-Hutniza Wykład 1 M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 1 / 20

2 Literatura Mehanika,L.D. Landau, J.M. Lifszy, PWN, Mehanika Klasyzna, tom 1 i 2,J.R. Taylor, PWN, Classial Dynamis of Partiles and Systems,S.T. Thornton, J.B. Marion, Brooks Cole, Classial Mehanis: Point Partiles and Relatiity,W. Greiner, Springer, Introdution to Classial Mehanis,D. Morin, Cambridge, Relatiity, Graitation and Cosmology, Ta-Pei Gheng, Oxford, Relatiity: Speial, General and Cosmologial, W. Rindler, Oxford, An Ilustrated Guide to Relatiity, T. Takeuhi, Cambridge, Exploring Blak Holes, E.F. Taylor, Addison Wesley, Spaetime and Geometry, S. Carroll, Benjumin Cummings, An Introdution to Relatiity, J.V. Narlikar, Cambridge, Tensors, Relatiity and Cosmology, M. Dalarsson, N. Dalarsson, AP, Introdution to General Relatiity, L. Ryder, Cambridge, Problems and Solutions on Mehanis, Lim Yung-kuo, World Sientifi, M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 2 / 20

3 Zasada względnośi w mehanie klasyznej Zasada względnośi: Prawa fizyki nie zależą od układu (inerjalnego) obserwatora. lub Równania opisująe teorię fizyzną zahowują swoją postać przy przejśiu pomiędzy inerjalnymi układami odniesienia. Transformaje Galileusza: t = t x(t) = x (t) + OO (t) = x (t) + V t Wnioski: (t) = (t) + V a(t) = a (t) Niezmiennizość długośi jest konsekwenją niezmiennizośi odstępów zasu: x A (t A ) = x A + V t A, x B (t B ) = x B + V t B, y A (t A ) = 0, y B (t B ) = 0, z A (t A ) = 0, z B (t B ) = 0. Pomiar w S dokonujemy w hwili t = t A = t B : L x B x A = (x B (t B ) V t B ) (x A (t A ) V t A ) = x B (t) x A (t) L M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 3 / 20

4 Niezmiennizość względem transformaji Galileusza Ponieważ y = y oraz z = z, wię względne położenie dowolnyh dwóh punktów (niekonieznie leżąyh na osi x) jest niezmiennize względem transformaji Galileusza: x(t) x B x A = ( x B + V t) ( x A + V t) = x B x A = x W najbardziej ogólnej postai transformaje Galileusza przyjmują postać: x = R x + b V t t = t + β gdzie R oznaza maierz obrotu lub odbiia, b przesunięie w przestrzeni, β przesunięie w zasie. Niezmiennizość prawa Newtona F = m a względem transformaji Galileusza wynika z niezmiennizośi masy, m = m, przyspieszenia a = a oraz siły w mehanie klasyznej, ponieważ zgodnie z II zasadą dynamiki: F = F ( x ) x x Uwaga: Prawo Newtona nie tylko jest niezmiennize względem transformaji Galileusza, ale także wszystkie wielkośi w nim występująe zahowują swoje wartośi. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 4 / 20

5 Niezmiennizość względem transformaji Galileusza Niezmiennizość zasady zahowania pędu względem transformaji Galileusza: rozważamy rozpraszanie ząstek o masah m 1 i m 2 w którym produkowane są ząstki o masah µ 1 i µ 2 : p 1 + p 2 = q 1 + q 2 m m 2 2 = µ 1 u 1 + µ 2 u 2 m 1 ( 1 + V ) + m 2 ( 2 + V ) = µ 1 ( u 1 + V ) + µ 2 ( u 2 + V ) zyli p 1 + p 2 = q 1 + q 2 + (µ 1 + µ 2 m 1 m 2 ) V Oznaza to, że zasada zahowania pędu jest niezmienniza względem transformaji Galileusza, jeśli ałkowita masa jest zahowana: m 1 + m 2 = µ 1 + µ 2 Uwaga: Śisle mówią zasada zahowania pędu jest kowariantna względem transformaji Galileusza, natomiast nie jest niezmienniza, ponieważ wielkośi w niej występująe zmieniają swoje wartośi przy przejśiu pomiędzy układami. Uwaga: Zasada względnośi oznaza, że te same prawa obowiązują we wszystkih układah inerjalnyh, ale nie oznaza to, że opis ruhu jest taki sam w różnyh układah (np. rzut pionowy w poruszająym się wagonie). M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 5 / 20

6 Rozhodzenie się fal Fale mehanizne rozhodzą się w jednorodnym i izotropowym ośrodku we wszystkih kierunkah ze stałą prędkośią względem tego ośrodka. Przykład: Rozhodzenie się dźwięku w kierunku prostopadłym do kierunku wzajemnego ruhu układów. s = s V = ( V, s, 0) W układzie S kierunek propagaji fali dźwiękowej dany jest przez: tg α = V s a wartość prędkośi wynosi s = ( s 2 + V 2 s V 2 ) 2 s 2 > s Wniosek: Fale mehanizne rozhodzą się izotropowo tylko w układzie spozywająym względem ośrodka który przenosi fale. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 6 / 20

7 Prędkość światła i fale elektromagnetyzne J.C.Maxwell (1861) światło to fale elektromagnetyzne. Istnieje możliwość przewidzenia prędkośi światła na podstawie własnośi elektryznyh i magnetyznyh ośrodka (w szzególnośi w próżni = 1/ ɛ 0 µ 0 ). Prędkość światła (jak każdej fali) powinna być stała względem ośrodka w którym się rozhodzi i nie zależeć od ruhu źródła. Konepja eteru wydaje sie być naturalna i nieodzowna. Próba wykryia ruhu Ziemi względem eteru (hipotetyznego ośrodka w którym prędkość światła jest równa ). t 1 = l 1 + l 1 + = 2l = 2l 1/ 1 2 / 2 = 2l 1/ 1 β 2 2l 2 t 2 = 2 = 2l 2 / / = 2l 2/ 2 1 β 2 ( 2 t = t 1 t 2 = 1 β 2 2l 1 ( 1 + β 2 ) 2l 2 l 1 1 β 2 l 2 (1 + β2 2 ) ) = 2(l 1 l 2 ) zrodlo swiatla + (2l 1 l 2 ) Z 2 L 2 P β 2 T teleskop 2 2 Z Z 1 Z L 1 + Z V Z predkos Ziemi wzgledem eteru M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 7 / 20

8 Eksperyment Mihelsona-Morleya Po obróeniu układu o 90 różnia zasów wynosi: ( ) t = t 1 t 2 2 = l l 1 2 2(l 1 l 2 ) 1 β 2 1 β 2 Spodziewane przesunięie prążków interferenyjnyh: + (l 1 2l 2 ) β 2 δ = t t T = l 1 + l 2 β 2 λ Mihelson (1881): δ al = 0.04, δ meas = 0.02 Mihelson-Morley (1887): δ al = 0.40, δ meas = 0.01 Wniosek: brak przesunieia prążków, tzn. prędkość światła nie zależy od ruhu obserwatora i jest taka sama we wszystkih układah inerjalnyh. Inne możliwe wyjaśnienia: eter w pobliżu Ziemi porusza się wraz z nią, skróenie długośi i dylataja zasu w ruhu względem eteru. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 8 / 20

9 Rozwiązanie Einsteina - teoria względnośi Koniezność wyboru pomiędzy: słusznośią praw Newtona i transformaji Galileusza słusznośią równań Maxwella i transformaji Lorentza Odpowiedź Einsteina: (Postulat I) wszystkie prawa fizyki są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia. (postulat II) prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia. Oznaza to, że żaden inerjalny układ odniesienia nie jest wyróżniony, a sens ma jedynie określanie ruhu względem wybranego układu odniesienia. Konsekwenje: zas nie jest uniwersalny - względność równozesnośi, dylataja zasu, skróenie długośi, równoważność masy i energii. Szzególna Teoria Względnośi (STW): kinematyka + dynamika ząstek. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 9 / 20

10 Pojęie obserwatora w STW Koniezność synhronizaji zegarów - motoda Einsteina: wybieramy zegar referenyjny, na każdym zegarze ustawiamy zas równy odległośi tego zegara od zegara referenyjnego, od zegara referenyjnego wysyłamy sferyzny błysk światła, zegary uruhamiamy w momenie kiedy dotrze do nih fala świetlna. Uwaga: zas obserwaji zdarzenia to nie to samo o zas zauważenia zdarzenia. Jednostki służąe do pomiaru zasu i przestrzeni: sekunda zas równy okresów promieniowania przejśia pomiędzy dwoma poziomami struktury nadsubtelnej stanu podstawowego atomu ezu 133 Cs, metr (1983 r.) dystans pokonywany przez światło w próżni w zasie 1/ sekundy (a wię = m/s). Odległośi do gwiazd mierzymy w latah świetlnyh: 1 rok świetlny to odległość jaką pokonuje światło w iągu jednego roku ( m). Odległość do najbliższej gwiazdy, Proxima Centauri, wynosi 4.28 lat świetlnyh. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 10 / 20

11 Względność równozesnośi A: sygnał świetlny doiera do odbiorników jednoześnie (l /), B: odbiorniki poruszają się z prędkośią, sygnał świetlny porusza się z prędkośią, względne prędkośi sygnału i odbiorników to + oraz A l' B l' zasy dotaria sygnałów do odbiorników: t l = l + oraz t r = l t l = t r tylko wtedy gdy = 0 lub l = 0. Uwaga: gdyby to były piłki a nie światło, to wówzas w układzie B względne prędkośi byłyby takie same ( p ) + = p oraz ( p + ) = p i piłki dotarłyby do obu końów jednoześnie. A l B l M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 11 / 20

12 Dylataja zasu Poiąg porusza się z prędkośią względem ziemi. Wewnątrz poiągu wysyłamy sygnał świetlny od podłogi do sufitu i z powrotem. A: poiąg jest w spozynku, zas podróży światła tam i z A mirror h powrotem wynosi t A = 2h B: poiąg porusza się z prędkośią, składowa pionowa prędkośi sygnału 2 2, zas podróży światła tam i z powrotem wynosi: 2h t B = 2 2 A wię: t B = γt A gdzie γ / 2 Powyższy wynik jest słuszny jedynie wtedy gdy oba zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu w A. mirror B 2-2 Z punktu widzenia obserwatora A słuszna jest relaja t A = γt B, I postulat STW wymaga aby obserwator A widział B dokładnie w taki sam sposób jak B widzi A. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 12 / 20

13 Skróenie długośi Chemy wyznazyć długość poiągu poruszająego się z prędkośią względem obserwatora B. A: poiąg jest w spozynku, zas podróży światła tam i z powrotem wynosi t A = 2l 0 wielkość l 0 to długość własna mierzona w układzie w którym obiekt spozywa. B: poiąg porusza się z prędkośią, zas podróży światła tam i z powrotem wynosi: t B = l + l + = 2l γ2 Ponieważ t B = γt A wię l = l 0 γ dylataja zasu i skróenie długośi są ze sobą śiśle związane. l (start) (later) A (finish) l' A's frame skróenie długośi następuje tylko w kierunku wzajemnej prędkośi, nie ma skróenia w kierunku poprzeznym. B's frame M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 13 / 20

14 Efekty relatywistyzne - przykłady Przykład: Dwa zegary umieszzone sa na końah poiągu o długośi L (w jego układzie spozynkowym). Zegary te zsynhronizowano w układzie A związanym z poiągiem. Poiąg porusza się względem ziemi z prędkośią. Jaka jest różnia wskazań zegarów w układzie B związanym z ziemią? B: Umieszzamy zródło światła w takim miejsu aby dotarło ono do obu końów w tej samej hwili w układzie B. A: W układzie A światło aby dotrzeć do tylnego zegara przebywa dodatkowy dystans L( + )/2 L( )/2 = L/ a wie tylny zegar wskazuje w hwili dotaria światła upływ zasu o L/ 2 większy niż przedni zegar. L(+) 2 L L(-) 2 Przykład: Mion powstały 50 km nad powierzhnią Ziemi porusza się pionowo w dół z prędkośią = i rozpada sie po zasie T = s nie zderzają sie z nizym po drodze. Czy mion dotrze do powierzhni Ziemi? klasyznie: d = T = ( m/s) ( s) = 600m źle! ale jest dylataja zasu: γ 160 d = (γt ) 100 km lub skróenie długośi: d = d 0 /γ = (50 km)/ m M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 14 / 20

15 Transformaje Lorentza Wykorzystamy omówione wzesniej zjawiska do znalezienia transformaji pomiędzy dwoma inerjalnymi układami odniesienia S i S : x = Ax + Bt oraz t = Ct + Dx zjawisko warunek rezultat wniosek dylataja zasu x = 0 t = γt C = γ skróenie długośi t = 0 x = x/γ A = γ względna prędkość x = 0 x = t B/A = B = γ względność t = 0 t = x / 2 D/C = / 2 D = γ/ 2 równozesnośi z y S x z' y' S' x' A wię: t = γ ( t + x / 2) t = γ ( t x/ 2) x = γ (x + t ) x = γ (x t) y = y y = y z = z z = z M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 15 / 20

16 Transformaje Lorentza - zastosowania Transformaje Lorentza: t = γ ( t + x / 2) t = γ ( t x/ 2) x = γ (x + t ) x = γ (x t) y = y y = y z = z z = z Względność równozesnośi: równozesne w S : (x, t ) = (x, 0) transformaja do S daje t = γx / 2 brak równozesnośi w S. Dylataja zasu: rozważmy zdarzenia zahodząe w tym samym miejsu w S : (x, t ) = (0, t ) transforamja do S daje t = γt Skróenie długośi: rozważamy pręt o długośi l spozywająy w S, w elu pomiaru długośi należy wykonać równoześnie pomiary położenia konów odinka, (x, t) = (x, 0) transformaja do S daje x = γx, a wię l = l /γ M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 16 / 20

17 Dodawanie prędkośi Rozważmy obiekt poruszająy się w układzie S z prędkośią u względem tego układu. Natomiast układ S nieh porusza się z prędkosię względem układu S w kierunku osi x. S : u = ( u x, u y, u ) z gdzie u x = dx dt, u y = dy dt, u z = dz dt S: u = (u x, u y, u z ) gdzie u x = dx dt, u y = dy dt, u z = dz dt Transformaje prędkośi: u x = dx dt = dx + dt dt + dx / 2 = u x u x/ 2 u y = dy dt = dy γ (dt + dx / 2 ) = u y γ (1 + u x/ 2 ) u z = dz dt = dz γ (dt + dx / 2 ) = u z γ (1 + u x/ 2 ) Dla u x, dostajemy klasyzne prawo dodawania prędkośi u x u x +. Jeśli u x = lub = w wynku dodawania zawsze dostajemy u x =. Dodawanie do siebie prędkośi mniejszyh od daje w wyniku zawsze prędkość mniejszą od (nie można przyspieszyć ząstki do ). M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 17 / 20

18 Dodawanie prędkośi - przykłady Przykład: Kiedy stosujemy wzór na relatywistyzne dodawanie prędkośi? Nieh 1 = 2 = 0.9. prędkość A względem C: = (1.8/1.81) = względna prędkość A i C w układzie B: = = 1.8 Przykład: Jak długo, z punktu widzenia każdego z obserwatorów A, B i C, trwa wyprzedzanie poiągu B przez poiąg A? Długośi spozynkowe A i B są jednakowe. Obserwator C mierzy względną prędkość oraz długośi A i B, a stąd zas wyprzedzania t C : A A 1 1 A D C B 4/5 B B 2 C 2 3/5 rel = 4/5 3/5 = /5, C L A = L/γ A = 3L/5, L B = L/γ B = 4L/5 t C = L A + L B Obserwator B mierzy prędkość oraz długość A: u = rel 4/5 3/5 1 (4/5)(3/5) = 5 13 γ(u) = L A = L = 7L M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 18 / 20

19 Dodawanie prędkośi - przykłady Czas wyprzedzania zmierzone przez obserwatora B: t B = L + L A = 5L u Taki sam zas zostanie zmierzony przez obserwatora A. Przykład: Jak długo trwa wyprzedzanie z punktu widzenia obserwatora D poruszająego się ze stałą prędkosią pomiędzy końem i pozątkiem poiagu B, jeśli zdarzenia E 1 zrównanie sie pozątku A z końem B oraz E 2 zrównanie się końa A z pozątkiem B zahodzą dla tego obserwatora w tym samym miejsu? A Z punktu widzenia obserwatora D oba poiągi poruszają się z równymi i przeiwnie skierowanymi prędkośiami. D B start Wartość prędkośi wyznazamy z warunku: / 2 = 5 13 = 5 γ() = Długośi obu poiągów w układzie D są równe: L A = L B = L/γ() = L. Ponieważ E 1 i E 2 zahodzą w tym samym miejsu (D) dlatego podzas wyprzedzania każdy z poiągów musi przebyć odległość równą swojej długośi, a wię zas wyprzedzania w układzie D wynosi: t D = 2 6L/5 /5 end B D A = 2 6L. M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 19 / 20

20 Aberraja światła gwiazd Nieh S będzie układem związanym ze Słońem i gwiazdami stałymi, natomiast S układem związanym z Ziemią. Nieh θ 0 będzie kątem pod jakim widać gwiazdę w układzie S, wówzas: u x = os θ 0 u x = u x 1 u x / 2 = os θ β os θ 0 u y = sin θ 0 u u y y = 1 u x / 2 = sin θ 0 γ(1 + β os θ 0 ) W układzie związanym z Ziemią, teleskop należy ustawić pod kątem θ, takim że: } u x = os θ u y = sin θ Ponieważ β 10 4, wię: os θ = u x tg θ = tg θ 0 γ(os θ 0 + β) = os θ 0 + β 1 + β os θ 0 (os θ 0 + β)(1 β os θ 0 ) os θ 0 + β sin 2 θ 0 M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi Wykład 1 20 / 20