Szczególna teoria względności

Transkrypt

1 Szczególna teoria względności Rakieta zbliża się do Ziemi z prędkością v i wysyła sygnały świetlne (ogólnie w postaci fali EM). Z jaką prędkością sygnały te docierają do Ziemi? 1. Jeżeli światło porusza się tak jak dźwięk w ośrodku (hipotetyczny eter ), a Ziemia spoczywa względem eteru to prędkość ta wynosi c.. Jeżeli światło składa się z cząstek takich jak je sobie wyobrażamy z życia codziennego to sygnały te docierają do Ziemi z prędkością c+v.

2 Zadanie 1. Dwóch pływaków A i B skacze jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c (c > v) każdego pływaka względem wody jest taka sama. Pływak A przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu. Pływak B płynie prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na odległość L, po czym zawraca do punktu startu. a) Który z nich wróci pierwszy? b) Gdyby okazało się, że czasy ruchu obu pływaków są takie same, to jak skomentował(a)byś otrzymany wynik? Rozwiązanie Pływak A przepływając z prądem odległość L porusza się względem brzegu z prędkością L L cl c + v a z powrotem c v. Łączny czas płynięcia to: ta c v c v c v Pływak B płynąc prostopadle do brzegów rzeki kieruje swoją prędkość lekko pod prąd, L a wartość prędkości jest taka sama i wynosi c v. Stąd: tb. c v Stosunek czasów wynosi: tb L( c v ) c v 1 t A Lc c v c

3 W 1887 r Michelson i Morley zastosowali interferometr Michelsona w celu przeprowadzenia doświadczenia Michelsona-Morleya które wykazało, że prędkość światła nie zależy od ruchu źródła i obserwatora. Wynik tego doświadczenia stanowi podstawę szczególnej teorii względności.

4 Transformacje Galileusza Jest to przekształcenia współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. x = x'+v 0 t x' = x -v 0 t v =v' +v 0 v x =v' x -v 0 x x Milcząco założyliśmy, że oczywistym jest, że czas biegnie jednakowo w obydwu układach Niech v x = c wtedy v x > c sprzeczność z doświadczeniem!

5 Postulaty Einsteina 1. Zjawiska fizyczne przebiegają tak samo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia (zasada względności Galileusza).. Prędkość światła w próżni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Konsekwencją. postulatu jest, że: Długość l mierzona w układzie K jest inna niż długość l mierzona w układzie K. Czas t między dwoma zdarzeniami mierzony w układzie K jest inny niż czas t mierzony w układzie K.

6 Jednoczesność zdarzeń. Załóżmy, że w układzie K dwa zdarzenia dotarcie wysłanych wiązek światła (z prędkością c) do ścian wagonu, zdarzenia zachodzą jednocześnie. v K K ' Czy zdarzenia te zachodzą jednocześnie również w układzie K? Nie, gdyż w układzie K wagon porusza się (z prędkością v).

7 Dylatacja czasu Astronauta mierzy czas Δτ dla światła pokonującego odległość D w kajucie. Naukowiec z NASA na Ziemi widzi, że światło porusza się wzdłuż dłuższej drogi s co daje dłuższy czas Δt.

8 Dylatacja czasu Po przekształceniu: Ostatecznie t= Δτ v 1- c.

9 Zadanie Mion (nietrwała cząstka podobna do elektronu, ok. 00 razy od niego cięższa) utworzony w górnych warstwach atmosfery przebywa do chwili rozpadu odległość 4,7 km z prędkością o wartości v = 0,99c. Mion utworzony w laboratorium, gdzie jego prędkość << c żyje średnio, 10-6 s. a) Jak długi jest czas życia mionu, mierzony w jego własnym układzie odniesienia, a jaki czas życia mierzony przez nas? b) Jaka jest grubość atmosfery przebyta przez mion, zmierzona w jego własnym układzie odniesienia?

10 Zadania 1. Starszy typ ekranu telewizyjnego działa poprzez przyspieszanie elektronów przez krótki czas odległość do relatywistycznej prędkości, a następnie wykorzystuje pola elektromagnetyczne do kontrolowania miejsca, w którym wiązka elektronów uderza w warstwę fluorescencyjną ekranu. Załóżmy, że elektrony poruszają się z prędkością w odległości 6, m/s przebywając odległość 0,00 m od początku wiązki do ekranu. (a) Jaki jest czas przelotu elektronu względem telewizora? (b) Jaki jest czas przelotu elektronów we własnym (spoczywającym) układzie odniesienia?. Zastanów się, czy jest możliwe aby załoga statku kosmicznego w ciągu swego życia doleciała do innej galaktyki, np. do galaktyki Andromedy, która znajduje się w odległości. mln lat świetlnych (1 rok świetlny równy jest odległości jaką światło przebywa w ciągu jednego roku) i wróciła z powrotem na Ziemię? Jeśli tak to ile czasu upłynie na Ziemi, gdy dla pasażerów statku kosmicznego podróżującego do galaktyki Andromedy i z powrotem na Ziemię upłynie 40 lat?

11 Paradoks bliźniąt (bliźniaczek) Paradoks bliźniąt polega na dwóch sprzecznych wnioskach dotyczących tego, która z dwóch bliźniaczek powinna być starsza po podróży kosmicznej z prędkością bliską prędkości światła.

12 Skrócenie długości Obserwator naziemny widzi mion poruszający się z prędkością 0,95 c przebywający odległość,0 km. Ta sama droga ma długość 0,63 km jeżeli jest widziana z układu odniesienia mionu. Ziemia, powietrze i chmury poruszają się w stosunku do mionu i mają mniejsze długości wzdłuż kierunku podróży. Prawdziwa długość L 0 jest odległością między dwoma punktami zmierzoną przez obserwatora, który jest w spoczynku względem obu punktów.

13 W przykładzie z mionem aby powiązać odległości zmierzone przez dwóch różnych obserwatorów, zwróćmy uwagę, że prędkość dla obserwatora na Ziemi wynosi: L 0 v t Czas przelotu w stosunku do obserwatora na Ziemi wynosi Δt, ponieważ obiekt będący w czasie porusza się względem tego obserwatora. Prędkość dla poruszającego się obserwatora dana jest przez: L v Porównując prawe strony mamy L L 0, t a stąd: v L L0 L0 1. t c

14 a) Obserwator naziemny mierzy prawidłową odległość między Ziemią a Alpha Centauri. (b) Astronautka obserwuje skrócenie długości, ponieważ Ziemia i Alpha Centauri przemieszczają się względem jej statku. Astronautka może pokonać krótszą odległość w krótszym czasie (jej właściwy czas) bez przekraczania prędkości światła.

15 Transformacje Lorentza Transformacje Galileusza należy zastąpić takimi, z których będzie wynikała stała prędkość światła w różnych układach. Transformacji podlega zarówno położenie ciała jak czas, w którym jest ono zmierzone Transformacje położenia: x= x'+v t' 0 v 1- c 0 x' = x -v t 0 v 1- c 0 Transformacje czasu: t= v t'+ c 0 v 1- c 0 v0 t - x x' t' = c v0 1- c

16 Skąd wiemy, że te transformacje są prawdziwe? Sprawdźmy to. Z powyższych wynikają transformacje prędkości:, x x'+v t' x'+v t' v x +v v = = = = t v v 0 0 vv t' + x' t'+ x' 0 1+ c c c x, x Jeżeli prędkość jest wzdłuż osi OX: v' +v0 v= v0v' 1+ c Niech w układzie K porusza się wiązka światła z prędkością c. W układzie K: c +v0 c +v0 v = = =c v0c c +v0 1+ c c Również prędkość wynosi c!

17 Zadanie Dwa pojazdy kosmiczne oddalają się do siebie z prędkościami względem Ziemi równymi v1 v 0.9 c. Ile wynosi prędkość jednego pojazdu kosmicznego względem drugiego? Wskazówka! Przyjmij, że z lewą rakietą związany jest układ spoczywający, a układem poruszającym się jest Ziemia.

18 Konsekwencje transformacji Lorentza Skrócenie długości: Długość czyli różnica położenia początku i końca rakiety w układzie poruszającym się Długość w układzie spoczywającym l = x - x 1 l = x - x - x - v ( t,, x1 = v 1- c 0 - t ) Pomiaru położenia początku i końca rakiety w układzie spoczywającym dokonujemy w tym samym czasie t - t 1 =0 Długość l 0 ciała, mierzona w układzie, w którym ciało spoczywa jest najdłuższa v l = l0 1- c 0

19 Dylatacja czasu obserwator w rakiecie Dla obserwatora w rakiecie (układ K ) tyknięcie zegara trwa t = t -t 1 Zegar się nie porusza, czyli obserwator spoczywający x - x =0 Ile trwa tyknięcie zegara t dla obserwator spoczywającego (w układzie K)? ' ' v0 t - t + x - x c ( ' ' 1 1) t =t- t 1= v0 1- c Czas t życia cząstki w układzie, w którym cząstka spoczywa, tzw. czas własny jest najkrótszy. t= t' v 1- c 0

20 Interwał czasoprzestrzenny Zarówno przedział czasowy między zdarzeniami t 1 = t - t 1 jak i przestrzenna odległość między nimi l 1 są różne w różnych inercjalnych układach odniesienia. Niezmiennicza jest natomiast wielkość nazywana interwałem czasoprzestrzennym (interwałem). S 1 = S 1

21 Czasoprzestrzeń Współrzędne przestrzenne (x, y, z) i współrzędne czasowe t wszystkich możliwych zdarzeń rozpatrywanych w określonym inercjalnym układzie odniesienia tworzą czterowymiarową przestrzeń zdarzeń (czasoprzestrzeń, przestrzeń Minkowskiego) o współrzędnych (x,y,z,ct). Typ interwału czasoprzestrzennego: - interwał typu czasowego S > 0, - interwał typu przestrzennego S < 0.

22 Zadanie Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem zaszłyby: a) w tym samym miejscu? b) w tym samym czasie? Wskazówka. Posłuż się pojęciem interwału czasoprzestrzennego. Rozwiązanie Chrzest Polski odbył się w Gnieźnie w 966 roku, a i bitwa pod Grunwaldem miała miejsce 15 lipca 1410 roku na polach pod Grunwaldem. Odstęp czasowy między tymi zdarzeniami wynosi więc 444 lata a odległość przestrzenna to około 500 km. Kwadrat interwału czasoprzestrzennego jest równy: S c t l S ,76 10,5 10 m 0. Jest to interwał typu czasowego, czyli można znaleźć układ odniesienia, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu, natomiast nie w tym samym czasie.