Teoria względności Szczególna teoria względności dr Mikołaj Szopa wykład

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria względności Szczególna teoria względności dr Mikołaj Szopa wykład"

Transkrypt

1 Teoria względnośi Szzególna teoria względnośi dr Mikołaj Szopa wykład 9.0.6

2 Teoria względnośi Transformaje Galileusza Przyspieszenie układu S : a = 0 S S y y t x = x - t y = y z = z t = t () x = x - t x x ()

3 Teoria względnośi Transformaja odwrotna x = x + t y = y z = z t = t () Spełniony jest warunek: x = x + t (3) Dodawanie prędkośi: u = u + We wszystkih rozpatrywanyh przypadkah mamy ruh w kierunku dodatnim osi x.

4 Szzególna teoria względnośi Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Kὂrper, Annalen der Physik 905, 7, s (O elektrodynamie iał w ruhu) Rewoluyjna zmiana poglądów na zas i przestrzeń Teoria względnośi

5 Teoria względnośi Einstein oparł swoją teorię na dwóh postulatah: ) zwany zasadą względnośi, ) dotyząy stałośi prędkośi światła we wszystkih układah inerjalnyh. Ad ) Od zasów Galileusza wiedziano, że prawa mehaniki (fizyki) są takie same we wszystkih układah inerjalnyh. Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar ałej fizyki, a w szzególnośi elektromagnetyzmu. Ad ) Drugi postulat natomiast oznazał, że hipotetyzny eter nie jest potrzebny do propagaji fal elektromagnetyznyh. Wszystkie wnioski dotyząe szzególnej teorii względnośi wynikają z tyh postulatów.

6 Szzególna zasada względnośi Einstein (905) Zasada względnośi Galileusza Postulat = onst. (w próżni, w każdym układzie odniesienia) Nieh A (Alija) obserwator w układzie poruszająym się (np. w poiągu) B (Bob) obserwator w układzie spozywająym Fakt stałośi prędkośi światła (tzn. że porusza się z prędkośią = 3 x 0 8 m/s względem każdego układu odniesienia) wydaje się niezgodny z naszą intuiją Teoria względnośi

7 Teoria względnośi Założenia przyjmowane przed powstaniem STW. Proedura, której używa Alija, synhronizują zegary w swoim układzie odniesienia, jest tego rodzaju, że Bob uznaje te zegary za zsynhronizowane, kiedy porównuje je z zegarami, które zsynhronizował, za pomoą takiej samej proedury, w swoim układzie odniesienia. ( Taka sama oznaza tutaj [ ], że to, o robi Bob, jest opisywane tak samo w jego układzie odniesienia, jak to, o robi Alija w swoim).

8 Teoria względnośi Założenia przyjmowane przed powstaniem STW. Tempo ruhu zegara, określone w układzie Boba, nie zależy od tego, z jaką prędkośią ten zegar się porusza względem Boba.

9 Teoria względnośi Założenia przyjmowane przed powstaniem STW 3. Długość przymiaru metrowego, wyznazona w układzie odniesienia Boba, nie zależy od tego, z jaką szybkośią ten przymiar się porusza względem Boba.

10 Okazuje się że wszystkie założenia są fałszywe! Należy zmienić zasadę składania prędkośi Jeśli przyjąć zasadę względnośi i postulat = onst., resztę można wydedukować Teoria względnośi

11 Teoria względnośi Relatywistyzne składanie Składanie prędkośi nierelatywistyzne () w u prędkośi Ponieważ = onst [w próżni, dla wszystkih inerjalnyh układów odniesienia] () nie może być słuszne relatywistyzne () u w u Dla małyh u i w () przehodzi w ().

12 Relatywistyzne prawo składania prędkośi jest bezpośrednią konsekwenją zasady względnośi i postulatu = onst. Szybkość jest zawarta w samej naturze zasu i przestrzeni Dlazego nierelatywistyzne prawo składania prędkośi nie jest śiśle poprawne? Teoria względnośi

13 Dlazego () jest błędne? Naturalnym sposobem wyznazenia szybkośi jakiegoś iała jest określenie zasu, jaki jest potrzebny, aby iało to przebyło jakąś znaną odległość. Wymaga to istnienia dwóh zegarów, jednego na pozątku, a drugiego na końu drogi, które określą dokładny zas rozpozęia i zakońzenia ruhu. Aby w ten sposób dotrzeć do nierelatywistyznego prawa dodawania prędkośi (4.), milząo zakładamy, że obserwatorzy praująy w układzie odniesienia poiągu i obserwatorzy w układzie odniesienia torów są w stanie uzgodnić między sobą fakt synhronizaji swoih zegarów. Przed Einsteinem nikt tego istotnego założenia nie dostrzegał. [Mernin 47-48] () można wyprowadzić tylko na podstawie znajomośi (i zasady względnośi) Teoria względnośi

14 Względność równozesnośi Fakt, że = onst. wydaje się dziwny z intuiyjnego punktu widzenia Dlazego? Okazuje się, że mamy fałszywe wyobrażenie o samej naturze zasu przekonanie o bezwzględnym harakterze równozesnośi zdarzeń Bezwzględna równozesność dwa zdarzenia, zahodząe w różnyh miejsah, zahodzą równoześnie niezależnie od układu odniesienia, w jakim je opisujemy Przed Einsteinem (905) powszehnie przyjmowano założenie o bezwzględnej równozesnośi zdarzeń Względny zależny od układu odniesienia Teoria względnośi

15 Zdarzenie Zdarzenie Z zjawisko, które zahodzi w określonym miejsu i w określonym zasie Z (x, y, z, t) Czasoprzestrzennne uogólnienie pojęia punktu geometryznego P (x, y, z) Punkt geometryzny, zdarzenie idealizaja: żadne iało nie ma zerowyh rozmiarów przestrzennyh, żaden realny proes nie ma zerowyh rozmiarów zasowyh i przestrzennyh Zjawisko może być traktowane jako zdarzenie w danym U, jeśli jego wymiary zasowe i przestrzenne są małe w porównaniu z rozmiarami zasowymi i przestrzennymi U (ang. pointlike) Np. jeśli skalą zasową są lata, a przestrzenną setki kilometrów, można wykład z filozofiznyh zagadnień teorii względnośi traktować jako zdarzenie Jeśli skalą zasową są sekundy, a przestrzenną metry wykład nie może być traktowany jako zdarzenie Idealizaja jest użytezna w zależnośi od rozpatrywanego problemu Teoria względnośi

16 Problem W jaki sposób stwierdzić, zy zdarzenia równozesne w układzie odniesienia A są równozesne w układzie odniesienia B? Np. w poruszająym się poiągu (układ A) robimy równoześnie z przodu i z tyłu poiągu znaki na torah Jak A może stwierdzić, że zdarzenia te są równozesne? Np. dwa zegary Z i Z z przodu i z tyłu poiągu skąd wiadomo, że Z i Z są zsynhronizowane (np. pokazują południe w tym samym zasie )? Próba sprawdzenia jednozesnośi zdarzeń za pomoą zegarów prowadzi [ ] donikąd, ponieważ wykazanie, że zegary są prawidłowo zsynhronizowane, wymaga dokładnie tego, o usiłujemy wymyślić: sposobu stwierdzenia, że dwa zdarzenia zahodząe w dwu różnyh miejsah [ ] zahodzą w tym samym zasie [Mernim, 63] Teoria względnośi

17 Inny sposób: A może umieśić zegary w jednym miejsu a następnie przenieść je w punkty i (na pozątek i na konie poiągu) Ale: skąd wiadomo, że podzas przenoszenia Z i Z hodzą tak samo? Np. trzeba porównać wskazania Z i Z ze wskazaniami nieruhomyh zegarów na końu i pozątku poiągu trzeba by wiedzieć, że nieruhome zegary są zsynhronizowane Jeszze inny sposób: w układzie A, jeśli nawet przenoszenie zegarów zaburza ih praę, to z uwagi na symetrię zaburzenie to będzie takie samo dla Z i Z ale w układzie B proes przenoszenia zegarów nie jest symetryzny (poiąg porusza się z prędkośią w prawo ) Teoria względnośi

18 Ominięie trudnośi związanyh z synhronizają zegarów Założenie: = m/s w każdym układzie odniesienia Jakie wnioski wynikają z tego założenia na temat równozesnośi zdarzeń? Teoria względnośi

19 W układzie odniesienia A l/ l/ E E W układzie odniesienia A (poiągu) zdarzenia E i E są równozesne Teoria względnośi

20 W układzie odniesienia B l/ l/ E E W układzie odniesienia B (torów) zdarzenie E następuje wześniej niż zdarzenie E Teoria względnośi

21 Teoria względnośi Względność równozesnośi Z punktu widzenia układu A (poiągu) foton doiera do obydwu końów wagonu równoześnie Z punktu widzenia układu B (torów) foton doiera najpierw do końa wagonu później do pozątku

22 Względność równozesnośi Twierdzenie, że dwa zdarzenia zahodząe w różnyh miejsah, zahodzą w tym samym zasie nie ma harakteru obiektywnej prawdy. Jego prawdziwość zależy od układu odniesienia, w którym te zdarzenia są opisywane [Mernim, 66] Symetria zasu i przestrzeni: zas przestrzeń [zamiana terminów] Twierdzenie, że dwa zdarzenia zahodząe w różnyh zasah, zahodzą w tym samym miejsu nie ma harakteru obiektywnej prawdy. Jego prawdziwość zależy od układu odniesienia, w którym te zdarzenia są opisywane [Mernim, 66] zasada względnośi Galileusza Dla obserwatora A E i E są równozesne (można zsynhronizować zegary) Dla obserwatora B E nastąpiło wześniej niż E według B zegar z przodu (Z) spóźnia się w stosunku do zegara z tyłu (Z) Teoria względnośi

23 Jeżeli zdarzenia E i E są równozesne w pewnym układzie odniesienia, to w innym układzie odniesienia, który porusza się w szybkośią w kierunku od zdarzenia E do E, zdarzenie E zajdzie w zasie o D/ wześniejszym od zdarzenia E, gdzie D oznaza odległość pomiędzy tymi zdarzeniami w tym drugim układzie odniesienia [Mermin, 68]. Teoria względnośi

24 Symetria zasu i przestrzeni Zał. = () Jeżeli dwa zdarzenia zahodzą w tym samym zasie w układzie odniesienia poiągu, to w układzie odniesienia torów różnia w zasie między tymi zdarzeniami [ ] jest równa odległośi pomiędzy nimi [ ] pomnożonej przez szybkość jazdy poiągu () Jeżeli dwa zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu w układzie odniesienia poiągu, to w układzie odniesienia torów różnia w odległośi między tymi zdarzeniami [ ] jest równa różniy zasów pomiędzy nimi [ ] pomnożonej przez szybkość jazdy poiągu () wyraża po prostu formułę droga = prędkość x zas (tzn. drogę jaką pokona dane miejse w poiągu względem układu torów [Mermin, 69] Teoria względnośi

25 Z punktu widzenia A Zegary Z i Z są zsynhronizowane w układzie B (torów) Z układu A (poiągu) E i E są równozesne, a wskazania w układzie B (torów) różnią się między sobą o D/ powodem, dla którego zegary w układzie torów pokazują, iż znakowanie z tyłu zostało wykonane o D/ wześniej niż znakowanie z przodu, jest fakt, że zegar rejestrująy zas znakowania z tyłu spóźnia się w porównaniu do zegara rejestrująego zas znakowania z przodu o dokładnie D/. Jeśli dwa zegary są zsynhronizowane i oddalone od siebie na odległość D we własnym układzie odniesienia, to w układzie, w którym zegary poruszają się wzdłuż łąząej linii z szybkośią, zegar rejestrująy z przodu spóźnia się w porównaniu z zegarem rejestrująym z tyłu o zas D/ [Mernim, 69] Teoria względnośi

26 Reguła T = D/ dla zdarzeń jednozesnyh i reguła T = D/ dla zsynhronizowanyh zegarów, łązą ze sobą zas T i odległość D w jednym i tym samym układzie odniesienia Dla zdarzeń jednozesnyh związek T = D/ dotyzy zasu T i odległośi D w układzie, w którym zdarzenia nie są równozesne Dla zsynhronizowanyh zegarów D oznaza ih odległość w U, w którym są zsynhronizowana, T różnię zasów w U, w którym nie są zsynhronizowane Teoria względnośi

27 Względność zasu i przestrzeni Jeżeli dwa zegary są zsynhronizowane i oddalone od siebie na odległość D, mierzoną w układzie, w którym obydwa zegary spozywają, to w układzie odniesienia, w którym zegary poruszają się w szybkośią wzdłuż łąząej je prostej zegary nie są zsynhronizowane: odzyt zegara z przodu spóźnia się w stosunku do zegara z tyłu o zas T = D/. Z zasady względnośi wynika, że reguła ta obowiązuje w dowolnym U Konsekwenje STW: Zegary będąe w ruhu hodzą wolniej (dylataja zasu) Poruszająe się iała ulegają skróeniu w kierunku ruhu (kontrakja Fitzgeralda-Lorentza) Teoria względnośi

28 Ziemia widziana z Księżya Teoria względnośi

29 Teoria względnośi. Zasada względnośi We wszystkih układah inerjalnyh prawa fizyki są jednakowe. Układ odniesienia, w którym iało nie poddane działaniu sił pozostaje w spozynku lub porusza się ruhem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inerjalnym. Każdy układ poruszająy się względem układu inerjalnego ruhem jednostajnym jest też układem inerjalnym.

30 Teoria względnośi. Postulat szzególnej teorii względnośi Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia. Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względnośi Mihelson i Morley wykonali pomiary prędkośi światła polegająe na porównaniu rozhodzenia się prędkośi dwóh wiązek świetlnyh w próżni, z któryh jedna poruszała się w kierunku półno - południe, druga w kierunku wshód-zahód. Należało ozekiwać, że prędkośi tyh wiązek będą różne. Doświadzenie pokazało, że w próżni światło porusza się z prędkośią, niezależnie od ruhu źródła lub obserwatora.

31 Teoria względnośi Transformaja relatywistyzna Dodawanie prędkośi: = + = - W przypadku kulistej fali światła w układzie S: x + y + z = t (4) w układzie S : x + y + z = t (5) W kinematye nierelatywistyznej obowiązywało: x = x - t t = t

32 Teoria względnośi R = t Z R Y x y X x + y + z = (t)

33 Natomiast w przypadku kinematyki relatywistyznej wprowadzono współzynnik x =(x - t) x = (x + t ) (6) Skoro nie istnieje wyróżniony układ współrzędnyh inerjalnyh, to = (6a) Szukamy transformaji zasu x = (x + t ) x - x = t ale x = (x - t) zyli t x x t x x t x x t ) ( ) ( t x t ) ( (7) t x x ' ' Teoria względnośi

34 Po uporządkowaniu ) ( t x z y t x Z () wynika, że y = y z = z (8) (9) (0) Szukamy takiego, aby (0) było identyzne z (4) x + y + z = t t z y xt x Teoria względnośi

35 Zatem musi być - = z tego warunku wynika, że γ () Teoria względnośi

36 Teoria względnośi Znają przekształamy (7) i otrzymujemy t' t x () Otrzymaliśmy transformaje relatywistyzne, zwane transformajami Lorentza, które w przypadku ruhu układu w dodatnim kierunku osi x, mają następująą postać: x = (x - t) y = y z = z t' t x (3) Transformuje się zas! Tego w fizye klasyznej nie było., bo

37 Teoria względnośi (4) Transformaje odwrotne mają postać następująą: x = (x + t ) y = y z = z (5) t t' x'

38 Teoria względnośi Równozesność zdarzeń A 0 B Punkt 0 leży w połowie odległośi między punktami A i B. Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna. Zdarzenia polegająe na tym, że do punktów A i B doiera światło jednoześnie są równozesne, ponieważ jest taka sama droga światła.

39 Teoria względnośi Skróenie odległośi S S O l 0 x x Pręt spozywa w układzie S, jego długość spozynkowa l 0 = x - x = x x x Obserwator O w układzie S mierzy jednoześnie położenie obu końów pręta.

40 Teoria względnośi x - x = (x - t) - (x - t) = (x - x ) x = x x < x Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie S. L l 0 l0 (6) Skróeniu ulegają tylko wymiary równoległe do wektora prędkośi.

41 Teoria względnośi Dylataja zasu. Paradoks bliźniąt. Zegar spozywa w pozątku układu S. Mierzy odstęp zasu t między zjawiskami, które zaszły w tym samym punkie układu S np. x, (t, t ). t x' t' t t' t x' t' t t (7) Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie S. t t'

42 ' po zasie ' t t t t t t x t x t t Dwa obiekty mijają się w hwili jednakowyh wskazań zegarów Teoria względnośi

43 Teoria względnośi Transformaje prędkośi u y u y S S u u y u x x u x x u z u z z z y Układ S porusza się z prędkośią wzdłuż osi x. Punkt materialny porusza się z prędkośią u w układzie S, a z prędkośią u w układzie S.

44 x = (x - t) y = y z = z t' t x dx = (dx dt) dy = dy dz = dz dt' ' dt dx Oblizamy składowe prędkośi w układzie S. u, x dx dt,, ( dx dt) dx dt dx dt dt dt dt dt dx dt u x ux (8) Teoria względnośi

45 Teoria względnośi u y ' dy' dt' dy dx ( dt ) u y u x (9) u z ' u z β u x (0) Składowe u y i u z zależą od składowej równoległej do osi x.

46 Przykład. Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeiwnyh kierunkah. Znaleźć ih prędkość względną. u x = - A Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym, u x = ( )( ) Foton spozywa w układzie poruszająym się z prędkośią światła. Teoria względnośi

47 Teoria względnośi Interwał zasoprzestrzenny S = (t - t ) - (x -x ) - (y - y ) -(z - z ) S = (t - t ) - (x -x ) - (y - y ) -(z - z ) () () S = S (3) Interwał między zdarzeniami i jest niezmiennizy względem transformaji Lorentza. W zakresie szzególnej teorii względnośi x = x i y = y, wię słuszny jest związek: (s) = (t) - (x) = (t ) - (x) (4)

48 Teoria względnośi Absolutna przyszłość x = -t t t> x x = t t< x x Absolutna przeszłość

49 Teoria względnośi t< x (s) <0 Interwał typu przestrzennego Nie ma związku przyzynowo -skutkowego między zdarzeniami t > x (s) > 0 Interwał typu zasowego Może być związek przyzynowo -skutkowy między zdarzeniami t = x (s) = 0 Interwał zerowy Zdarzenia mogą być połązone sygnałem świetlnym.

50 Teoria względnośi Dynamika relatywistyzna Pęd i energia p = M 0 (5) E = M 0 (6)

51 Teoria względnośi Zahowanie pędu y S u y u x = 0 p = mu y x Cząstka pada prostopadle na śianę i odbija się z tą samą prędkośią u y

52 Teoria względnośi u y = tg u x = Tak oeni obserwator w układzie S : y S x Obserwator w układzie S porusza się wraz z układem z prędkośią w wzdłuż osi x w prawo. Widzi on teraz ząstkę padająą pod kątem, jej składowa pozioma wynosi, a pionowa - tg.

53 Teoria względnośi u x ' u x u x u y ' u y ux Wstawiają u x = - u x = 0 otrzymujemy u y ' u y u y = tg p y = mu y Wartośi składowyh prędkośi w układah S i S nie są sobie równe, jak również nie są równe składowe pędu ząstki. Widzimy, że określenie pędu jako wielkośi proporjonalnej do prędkośi nie wystarza do utrzymania zasady zahowania pędu we wszystkih układah odniesienia.

54 Teoria względnośi Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyzny ząstki o masie spozynkowej M 0 jako p M 0 (5 a) to zasada zahowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inerjalnym, który różni się od układu pozostająego w spozynku stałą prędkośią V poruszania się w kierunku osi x. Na tej podstawie wyrażenie: M ( ) M 0 (7)

55 Teoria względnośi M( ) M 0 (7a) M() interpretujemy jako relatywistyzną masę Masa spozynkowa M 0 jest to masa M() dla 0. Gdy V M().

56 Teoria względnośi Relatywistyzna II zasada dynamiki Newtona Siłę F działająą na iało o masie spozynkowej M o oblizamy na podstawie pędu relatywistyznego, ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem o w mehanie klasyznej: d p F (8) dt Stąd dla przypadku ruhu w jednym kierunku d dt M 0 F (9)

57 Teoria względnośi d M 0 Fdt Przez różnizki wolno nam mnożyć równanie, dlatego mamy taką postać równania. Jeżeli ogranizymy się do przypadku stałej siły F = onst, to po sałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkośią i zasem. M 0 Ft C C jest stałą ałkowania. W szzególnym przypadku dla t = 0, C = 0

58 Teoria względnośi Klasyzny związek energii z pędem Pęd : p m gdzie: m masa, prędkość ząstki materialnej Energia kinetyzna: E m p Związek energii kinetyznej z pędem: E m

59 Energia relatywistyzna, związek energii z pędem Zgodnie z wzorem (5), kwadrat pędu można zapisać w postai: p 0 M (30) Tożsamość lub (3) (3a) jest niezmiennikiem Lorentza, bo jest stałą. Mnożą obie strony równania (3a) przez 4 M o Teoria względnośi

60 Teoria względnośi otrzymamy M 4 ( ) M (3) lub M p M (33) 4 M o Wyrażenie to jest stałe, ponieważ masa spozynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennize wobe transformaji Lorentza. Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii, stąd następująa definija ałkowitej energii ząstki E M 0 (6a)

61 Teoria względnośi Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyzny związek pędu z energią ałkowitą E i energią spozynkową M 0 o postai: 4 0 E p M (34) Wyrażenie E k = / M opisująe klasyzną energię kinetyzną jest niesłuszne w zakresie prędkośi bliskih prędkośi światła. Energię kinetyzną oblizamy teraz jako E k E E 0 E M 0 (35) gdzie E jest zdefiniowana przez (6).

62 Teoria względnośi Można jednak pokazać, że przy małyh wartośiah prędkośiah wzór relatywistyzny (33) jest zgodny z klasyznym wyrażeniem na energię kinetyzną E k = / M. W tym elu skorzystamy z rozwinięia w szereg dwumianu. ( x) n nx n( n ) x W naszym przypadku n = -/, x = -(/). Zatem 4 3 E k M Jeżeli <<, to można opuśić wyrazy o wyższyh potęgah i otrzymamy klasyzny wzór na energię kinetyzną.... E k M 0 M 0

63 Teoria względnośi Równoważność masy i energii Możliwość przemiany masy spozynkowej na energię i związek ilośiowy między tymi wielkośiami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względnośi. Z wzoru (6) wynika, że można napisać: E = M() (6b) oraz że zmiana energii E = M (36)

64 Teoria względnośi Reakja rozzepienia uranu 0 n 35 9 U 36 9 U 44 Ba 89 Kr n Q Uran bombardowany neutronami Izotop uranu Ubytek masy, przyrost energii Q

65 Teoria względnośi Przykład. Jakiej masie równoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o moy kw w iągu doby? doba = s E = J = J m 7 E 8,640 J 9 0,960 kg m 6 90 s g

66 Teoria względnośi Pęd kwantu Jeżeli do wzoru E p M 0 4 wstawimy M 0 = 0, otrzymamy E = p p pęd ząstki o zerowej masie spozynkowej (kwant) p E (37)

67 Teoria względnośi Foton ma zerową masę spozynkową, warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd. Dzięki równoważnośi masy i energii można mu przypisać masę relatywistyzną. Masa relatywistyzna oddziałuje grawitayjnie tak jak zwykła masa. Przykład 3. Znaleźć względną zmianę energii i zęstotliwośi fotonu wysłanego z Ziemi, który znalazł się na wysokośi H =00 m nad Ziemią. Energia kwantu E = h (38), porównujemy ją z równoważną energią relatywistyzną. h m (39) m h (40)

68 Teoria względnośi Różnia potenjałów Vg Różnia energii potenjalnej mv g = mgh = h gh - zęstotliwość kwantu na powierzhni Ziemi, - zęstotliwość na wysokośi H hgh h h' h Wyrażenie to dzielimy przez h ( h ) h gh Względna zmiana zęstotliwośi i energii kwantu

69 Teoria względnośi Dla różniy odległośi 00 m 0 4 Jest to efekt mierzalny (Paund, Rebke 960). Wykorzystano promieniowanie, emitowane przez Fe 57. Efekt ten, jak również ugięie promienia świetlnego w pobliżu Słońa o.75 potwierdzają ogólną teorię względnośi. stała Planka h = 6, J s

70 GPS a teoria względnośi Einsteina Teoria względnośi

71 Teoria względnośi Co oznazają te terminy, jeszze raz GPS (ang. Global Positioning System) system nawigaji satelitarnej (USA, 994) Teoria względnośi Einsteina: szzególna (905) efekty ruhu względnego ogólna (96) efekty pola grawitayjnego

72 Szzególna teoria względnośi Poruszająe się zegary hodzą wolniej Zegar porusza się szybiej niż zegar, dlatego zegar hodzi wolniej niż zegar, Teoria względnośi

73 Teoria względnośi Szzególna teoria względnośi - przykład m/s 70 m/s m/s Układ nieruhomej Ziemi 7 m/s Układ wirująej Ziemi Po 0 latah (0,3 Gs) poruszania się różnia między zegarami wyniesie mikrosekundę = 000 ns

74 Teoria względnośi Ogólna teoria względnośi Zegary w silniejszym polu grawitayjnym hodzą wolniej Pole grawitayjne w punkie jest słabsze niż w punkie Zegar hodzi wolniej niż zegar

75 Teoria względnośi Ogólna teoria względnośi - przykład Zegar znajduje się o h=30 m dalej od środka Ziemi niż zegar W iągu 00 lat (3 Gs) oba zegary będą różniły się o 3 mikrosekundy=3 000 ns

76 Teoria względnośi Teoria względnośi praktyzny wniosek dla nas Chesz wolniej się starzeć dużo biegaj na morskiej plaży. Będziesz żył o kilka mikrosekund dłużej niż nieruhliwy góral!

77 Teoria względnośi System GPS 3 satelitów na orbitah kołowyh o nahyleniu 55 lub 63 względem płaszzyzny równika na wysokośi 0 83 km. Obieg Ziemi przez satelitę trwa około h 8 satelitów jest stale zynnyh, a pozostałe są testowane bądź wyłązone z przyzyn tehniznyh.

78 Teoria względnośi Działanie systemu GPS Położenie obiektu na Ziemi jest wyznazane na podstawie znajomośi jego odległośi od ztereh satelitów. ODLEGŁOŚĆ = PRĘDKOŚĆ CZAS Koniezna jest dokładna znajomość położenia 4 satelitów.

79 Teoria względnośi GPS - dokładność zegarów Satelita ma 4 zegary atomowe: ezowe i rubidowe Zegary na GPS odmierzają zas z dokładnośią sekundy (4 ns) na dobę Doba ma = 8, ns Niepewność względna pomiaru wynosi 8, Oznaza to pomiar wielkośi 0 4 z dokładnośią do 5. Niepewność względna wyrażona w proentah wynosi (50 - )%

80 Teoria względnośi GPS - dokładność zegarów Po upływie jednej doby zegary atomowe na pokładah satelitów muszą być korygowane z dokładnośią do 4 ns! Efekty przewidziane szzególną i ogólną teorią względnośi są rzędu setek i tysięy ns! Nie uwzględnienie efektów relatywistyznyh uzyniłoby GPS bezużyteznym!

81 GPS - efekt pola grawitayjnego gdzie Z ( S ) to zas mierzony na Ziemi (sateliie), M Z masa Ziemi, G newtonowska stała grawitaji R Z (R S ) promienie orbit kołowyh zegara na powierzhni Ziemi (na orbiie) R S = 6 56 km; ( - x) / - x/; d Z = GM Z /(R Z ) = 6, i d s = GM Z /(R S ) =,67 0-0, d d S Z R GM R GM S Z Z Z 0 S Z 0 5,3 d d S Z S Z Z Z d d R GM R GM Teoria względnośi

82 Teoria względnośi GPS - efekt pola grawitayjnego Zegar na orbiie spieszy się względem zegara na powierzhni Ziemi (zegary na orbiie hodzą szybiej). W iągu doby różnia we wskazaniah obu zegarów osiąga t = ns W tym zasie światło przebywa odległość l = m 4 km.

83 GPS efekt ruhu zegarów Zegar na orbiie spóźnia się względem zegara na powierzhni Ziemi (idzie wolniej). W iągu doby różnia we wskazaniah obu zegarów osiąga t = 7 00 ns W tym zasie światło przebywa odległość l = 30 m km. V s = m/s, V Z = 465 m/s; ( - x) / x/, d d S Z S Z, 0 8, d d S Z Z S S Z Teoria względnośi

84 Teoria względnośi GPS - sumaryzny efekt relatywistyzny S Z d Z GM Z GM Z 450 d R R Z S S Wypadkowa różnia zasu na zegarze ziemskim i satelitarnym wynosi t = ns. W rezultaie zegar atomowy na orbiie spieszy się względem ziemskiego (idzie szybiej) o ns na dobę. W tym zasie światło przebywa odległość l = 60 m km.

85 GPS - sumaryzny efekt relatywistyzny Jak rozwiązano tehniznie ten problem w GPS? Nominalna zęstotliwość pray systemu wynosi 0,3 MHz. Zmniejszono wię zęstotliwość pray satelitów do wartośi 4, ,3 MHz 0, MHz. GPS funkjonuje wyłąznie dzięki temu, że super dokładne pomiary zasu na odległyh i ruhomyh zegarah atomowyh są w trybie iągłym korygowane z uwzględnieniem przewidywań teorii względnośi Alberta Einsteina! Teoria względnośi

86 Teoria względnośi Egzamin z Fizyki o 9:00 Konie Dziękuję za uwagę

ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich

ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI Postulaty Einsteina (95 r) I Zasada względnośi: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia lub : Równania wyrażająe prawa

Bardziej szczegółowo

Elementy mechaniki relatywistycznej

Elementy mechaniki relatywistycznej Podstawy Proesów i Konstrukji Inżynierskih Elementy mehaniki relatywistyznej 1 Czym zajmuje się teoria względnośi? Teoria względnośi to pomiary zdarzeń ustalenia, gdzie i kiedy one zahodzą, a także jaka

Bardziej szczegółowo

Elementy szczególnej teorii względności

Elementy szczególnej teorii względności Elementy szzególnej teorii względnośi Podstawowe założenia szzególnej teorii względnośi: Albert Einstein 195 Prawa fizyzne są takie same dla wszystkih obserwatorów któryh kłady odniesienia porszają się

Bardziej szczegółowo

teoria wzgl wzgl dności

teoria wzgl wzgl dności ver-8.6.7 teoria względnośi interferometr Mihelsona eter? Albert Mihelson 85 Strzelno, Kujawy 93 Pasadena, Kalifornia Nobel - 97 http://galileoandeinstein.physis.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

Bardziej szczegółowo

Wykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza

Wykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza Wykład Szzególne przekształenie Lorentza Szzególnym przekształeniem Lorentza (właśiwym, zahowująym kierunek zasu) nazywa się przekształenie między dwoma inerjalnymi układami odniesienia K i K w przypadku

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szzególna i ogólna teoria względnośi (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybyień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górnizo-Hutniza Wykład 1 M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi

Bardziej szczegółowo

Albert Einstein SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI. Szczególna Teoria Względności

Albert Einstein SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI. Szczególna Teoria Względności Szzególna Teoria Względnośi SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI Albert Einstein 1879 1955 1905 szzególna teoria względnośi 1915 ogólna teoria względnośi (teoria grawitaji) PRZESTRZEŃ CZAS ŚWIATŁO MASA

Bardziej szczegółowo

Mechanika relatywistyczna

Mechanika relatywistyczna Mehanika relatywistyzna Konepja eteru Eter kosmizny miał być speyfiznym ośrodkiem, wypełniająym ałą przestrzeń, który miał być nośnikiem fal świetlnyh (później w ogóle pola elektromagnetyznego). W XIX

Bardziej szczegółowo

Szczególna Teoria Względności

Szczególna Teoria Względności Szzególna Teoria Względnośi Prędkość światła klzowa dla fndamentalnyh pytań o natrę Wszehświata Starożytność bardzo dża lb prędkość dźwięk określona (IV w. B.C. Arystoteles = ) XI w. A.D. Arabowie (Awienna)

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA MCHANIKA RLATYWISTYCZNA MCHANIKA RLATYWISTYCZNA (SZCZGÓLNA TORIA WZGLĘDNOŚCI TRANSFORMACJA LORNTZA WSPÓŁRZĘDNYCH CZĄSTKI (93r. Rys.. S y y S z z z Układy S i S są inerjalnymi kładami odniesienia z ( m

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Wykład 9 Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę elu jest więej wart niż maraton dobryh hęi. H. J. Brown ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Szzególna teoria względnośi

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 10. Szczególna teoria względności. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II. 10. Szczególna teoria względności.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYK II 10. Szzególna teoria względnośi Dr hab. inż. Władysław rtur Woźniak Instytut Fizyki Politehniki Wroławskiej http://www.if.pwr.wro.pl/~wozniak/ MECHNIK RELTYWISTYCZN Mehanika newtonowska

Bardziej szczegółowo

U.1 Elementy szczególnej teorii względności

U.1 Elementy szczególnej teorii względności UZUPEŁNIENIE Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi U.1 Elementy szzególnej teorii względnośi Mehanika klasyzna oparta na zasadah dynamiki Newtona poprawnie opisuje zjawiska, w któryh prędkośi

Bardziej szczegółowo

Elementy dynamiki relatywistycznej r r

Elementy dynamiki relatywistycznej r r Elementy dynamiki relatywistyznej r r F ma - nieaktualne r r d p F - nadal aktualne dt ale pod warunkiem, że r r m r p γ m gdzie m - masa spozynkowa. Możliwa interpretaja: r r m p m gdzie masa zależy od

Bardziej szczegółowo

Fizyka cząstek elementarnych

Fizyka cząstek elementarnych Wykład II lementy szzególnej teorii względnośi W fizye ząstek elementarnyh mamy zwykle do zynienia z obiektami oruszająymi się z rędkośiami orównywalnymi z rędkośią światła o owoduje koniezność stosowania

Bardziej szczegółowo

Fizyka relatywistyczna

Fizyka relatywistyczna Fizyka relatywistyzna Zadania z rozwiązaniami Projekt współfinansowany przez Unię uropejską w ramah uropejskiego Funduszu Społeznego Zadanie Na spozywająą ząstkę zazyna działać stała siła. Jaką prędkość

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki relatywistycznej

Elementy fizyki relatywistycznej Elementy fizyki relatywistycznej Transformacje Galileusza i ich konsekwencje Transformacje Lorentz'a skracanie przedmiotów w kierunku ruchu dylatacja czasu nowe składanie prędkości Szczególna teoria względności

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 9

Podstawy fizyki wykład 9 D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 4, PWN, Warszawa 2003. H. D. Young, R. A. Freedman, Sear s & Zemansky s University Physics with Modern Physics, Addison-Wesley Publishing Company,

Bardziej szczegółowo

ANEMOMETRIA LASEROWA

ANEMOMETRIA LASEROWA 1 Wstęp ANEMOMETRIA LASEROWA Anemometria laserowa pozwala na bezdotykowy pomiar prędkośi zastezek (elementów) rozpraszajayh światło Źródłem światła jest laser, którego wiazka jest dzielona się nadwiewiazki

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie I (luty, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie I (luty, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie I (luty, 2013) u Wyprowadzenie transformacji Lorentza u Relatywistyczna transformacja prędkości u Dylatacja czasu u Skrócenie długości

Bardziej szczegółowo

Zrozumieć Einsteina, czyli jak uczę szczególnej teorii względności

Zrozumieć Einsteina, czyli jak uczę szczególnej teorii względności strona 1/17 Motto: Geniusz jest potrzebny do tworzenia dzieł, a nie do ih podziwiania. Zrozumieć Einsteina, zyli jak uzę szzególnej teorii względnośi Aleksander Nowik aleksander.nowik@neostrada.pl Szzególna

Bardziej szczegółowo

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski FIZYKA 2 wykład 9 Janusz Andrzejewski Albert Einstein ur. 14 marca 1879 w Ulm, Niemcy, zm. 18 kwietnia 1955 w Princeton, USA) niemiecki fizyk żydowskiego pochodzenia, jeden z największych fizyków-teoretyków

Bardziej szczegółowo

7. Szczególna teoria względności. Wybór i opracowanie zadań : Barbara Kościelska Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.

7. Szczególna teoria względności. Wybór i opracowanie zadań : Barbara Kościelska Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu. 7 Szzególna eoria względnośi Wybór i opraowanie zadań 7-79: Barbara Kośielska Więej zadań z ej emayki znajduje się w II zęśi skrypu 7 Czy można znaleźć aki układ odniesienia w kórym Chrzes Polski i Biwa

Bardziej szczegółowo

Postulaty szczególnej teorii względności

Postulaty szczególnej teorii względności Teoria Względności Pomiary co, gdzie, kiedy oraz w jakiej odległości w czasie i przestrzeni Transformowanie (przekształcanie) wyników pomiarów między poruszającymi się układami Szczególna teoria względności

Bardziej szczegółowo

Czy da się zastosować teorię względności do celów praktycznych?

Czy da się zastosować teorię względności do celów praktycznych? Czy da się zastosować teorię względności do celów praktycznych? Witold Chmielowiec Centrum Fizyki Teoretycznej PAN IX Festiwal Nauki 24 września 2005 Mapa Ogólna Teoria Względności Szczególna Teoria Względności

Bardziej szczegółowo

Definicja szybkości reakcji

Definicja szybkości reakcji Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany. v zas zmiana stężenia potrzebny do zajśia

Bardziej szczegółowo

Zasady względności w fizyce

Zasady względności w fizyce Zasady względności w fizyce Mechanika nierelatywistyczna: Transformacja Galileusza: Siły: Zasada względności Galileusza: Równania mechaniki Newtona, określające zmianę stanu ruchu układów mechanicznych,

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teoria względności

Czym zajmuje się teoria względności Teoria względności Czym zajmuje się teoria względności Głównym przedmiotem zainteresowania teorii względności są pomiary zdarzeń (czegoś, co się dzieje) ustalenia, gdzie i kiedy one zachodzą, a także jaka

Bardziej szczegółowo

Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności

Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności Fizyka wykład 2 dla studentów kierunku Informatyka Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechnika Śląska 15 października 2007r.

Bardziej szczegółowo

f s moŝna traktować jako pracę wykonaną przez siłę tarcia nad ślizgającym się klockiem. Porównując

f s moŝna traktować jako pracę wykonaną przez siłę tarcia nad ślizgającym się klockiem. Porównując Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewiz 63 s = ma s = m v f vi = mvi 7- f W równaniu powyŝszym zastosowano równanie Porównują równania 7-0 i 7- otrzymamy: i a s = v f v i v f = 0 ( Patrz równanie -). f s =

Bardziej szczegółowo

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA Wykład 4 2012/2013, zima 1 Założenia mechaniki klasycznej 1. Przestrzeń jest euklidesowa 2. Przestrzeń jest izotropowa 3. Prawa ruchu Newtona są słuszne w układzie inercjalnym

Bardziej szczegółowo

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności Szczególna teoria względności Rakieta zbliża się do Ziemi z prędkością v i wysyła sygnały świetlne (ogólnie w postaci fali EM). Z jaką prędkością sygnały te docierają do Ziemi? 1. Jeżeli światło porusza

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa dr Mikolaj Szopa 17.10.2015 Do 1600 r. uważano, że naturalną cechą materii jest pozostawanie w stanie spoczynku. Dopiero Galileusz zauważył, że to stan ruchu nie zmienia się, dopóki nie ingerujemy I prawo

Bardziej szczegółowo

Temat XXXIII. Szczególna Teoria Względności

Temat XXXIII. Szczególna Teoria Względności Temat XXXIII Szczególna Teoria Względności Metoda radiolokacyjna Niech w K znajduje się urządzenie nadawcze o okresie T, mierzonym w układzie K Niech K oddala się od K z prędkością v wzdłuż osi x i rejestruje

Bardziej szczegółowo

III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu.

III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu. III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu. Transformacja Lorentza Geometria czasoprzestrzeni interwał. Konsekwencje transformacji Lorentza: dylatacja czasu i skrócenie długości. Jan Królikowski Fizyka

Bardziej szczegółowo

Definicja szybkości reakcji. Szybkości reakcji. Równanie kinetyczne reakcji ...

Definicja szybkości reakcji. Szybkości reakcji. Równanie kinetyczne reakcji ... Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany v zmiana stężenia zas potrzebny do zajśia dx

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.

Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią. Krzywe stożkowe 1 Powinowatwo prostokątne Nieh l będzie ustaloną prostą i k ustaloną lizbą dodatnią. Definija 1.1. Powinowatwem prostokątnym o osi l i stosunku k nazywamy przekształenie płaszzyzny, które

Bardziej szczegółowo

Masa relatywistyczna niepotrzebny i szkodliwy relikt

Masa relatywistyczna niepotrzebny i szkodliwy relikt FOTON 14, Wiosna 014 1 Masa relatywistyzna niepotrzebny i szkodliwy relikt Aleksander Nowik Nauzyiel fizyki, matematyki i informatyki Siemianowie Śląskie Ouh! The onept of relatiisti mass is subjet to

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Kinematyka - względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 3: Kinematyka - względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 3: Kinemayka - względność ruhów dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl hp://layer.ui.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wzgledność ruhów Każdy ruh opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia W hwili

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna

Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Fizyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 4: Względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 4: Względność ruhów dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl hp://layer.ui.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wzgledność ruhów Każdy ruh opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia W hwili 0 rusza samohód

Bardziej szczegółowo

Zasady oceniania karta pracy

Zasady oceniania karta pracy Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 12

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 12 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 12 Jerzy Łusakowski 18.12.2017 Plan wykładu Doświadczenie Michelsona - Morley a Transformacja Lorentza Synchronizacja zegarów Wnioski z transformacji Lorentza Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Definicja szybkości reakcji

Definicja szybkości reakcji Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany. v zas zmiana stężenia potrzebny do zajśia

Bardziej szczegółowo

Kinematyka relatywistyczna

Kinematyka relatywistyczna Kinematyka relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład VI: Prędkość światła historia pomiarów doświadczenie Michelsona-Morleya prędkość graniczna Teoria względności Einsteina Dylatacja czasu Prędkość światła

Bardziej szczegółowo

Początki fizyki współczesnej

Początki fizyki współczesnej Pozątki fizyki współzesnej 1 Plan 1.1. Promieniowanie iała doskonale zarnego 1.. Foton 1.3. Efekt fotoelektryzny 1.4. Efekt Comptona 1 Trohę historii Gustav Kirhhoff (184-1887) W 1859 rozpozyna się droga

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l

Ćwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l Nazwisko Data Nr na liśie Imię Wydział Ćwizenie 36 Dzień tyg Godzina Wyznazanie ogniskowej sozewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomoą serometr I Wyznazanie ogniskowej sozewki skpiająej

Bardziej szczegółowo

Elementy optyki. Odbicie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferencja Dyfrakcja Siatka dyfrakcyjna

Elementy optyki. Odbicie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferencja Dyfrakcja Siatka dyfrakcyjna Elementy optyki Odbiie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferenja Dyfrakja Siatka dyfrakyjna 1 Odbiie i załamanie fal elektromagnetyznyh na graniah dwóh ośrodków Normalna do powierzhni

Bardziej szczegółowo

Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski

Zasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski Zasady dynamiki Newtona dr inż. Romuald Kędzierski Czy do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym potrzebna jest siła? Arystoteles 384-322 p.n.e. Do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Bardziej szczegółowo

ver teoria względności

ver teoria względności ver-7.11.11 teoria względności interferometr Michelsona eter? Albert Michelson 1852 Strzelno, Kujawy 1931 Pasadena, Kalifornia Nobel - 1907 http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

Bardziej szczegółowo

Kinematyka relatywistyczna

Kinematyka relatywistyczna Kinematyka relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład V: Prędkość światła historia pomiarów doświadczenie Michelsona-Morleya prędkość graniczna Teoria względności Einsteina Dylatacja czasu Prędkość światła

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej

Bardziej szczegółowo

Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości

Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości III.3 Transformacja Lorentza położenia i pędu cd. Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Geometria czasoprzestrzeni-

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wyjaśnienie wyników eksperymentu Michelsona-Morleyaa przy pomocy uniwersalnego układu odniesienia

Wyjaśnienie wyników eksperymentu Michelsona-Morleyaa przy pomocy uniwersalnego układu odniesienia Artykuł ukazał się w języku angielskim w otwartym dostępie w zasopiśmie Journal of Modern Physis Szostek Karol, Szostek Roman 07 The Explanation of the Mihelson-Morley Experiment Results by Means Uniersal

Bardziej szczegółowo

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności Szczególna teoria względności Wykład II: Transformacja Galileusza prof. dr hab. Aleksander Filip Żarnecki Zakład Czastek i Oddziaływań Fundamentalnych Instytut Fizyki Doświadczalnej Ogólna postać transformacji

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA (SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI)

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA (SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI) MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Wykład 9 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA (SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI) Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę celu jest więcej wart niż maraton dobrych chęci. H. J. Brown Rys. Albert

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA. Rys. Transformacja Galileusza

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA. Rys. Transformacja Galileusza MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Wykład 9 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę celu jest więcej wart niż maraton dobrych chęci. H. J. Brown Wstęp Jeden z twórców mechaniki (klasycznej).

Bardziej szczegółowo

Rys. 1.2 Transformacja Galileusza

Rys. 1.2 Transformacja Galileusza Wykład 9 Kinematyka relatywistyzna 1. Masa i pęd relatywistyzny Pierwsza zasada dynamiki o układah inerjalnyh. Na pomysł I zasady dynamiki wpadł Galileusz. Podobno stało się to podzas podróży. Obserwują

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał. ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru.

Pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru. Dywergenja i rotaja pola magnetyznego Linie wektora B nie mają pozątku, ani końa. tąd wynika twierdzenie Gaussa dla wektora B : Φ = B d = B trumień wektora indukji magnetyznej przez dowolną powierzhnię

Bardziej szczegółowo

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące: Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni Dla próżni równania Maxwella w tzw postaci różniczkowej są następujące:, gdzie E oznacza pole elektryczne, B indukcję pola magnetycznego a i

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności

Bardziej szczegółowo

Czy można zobaczyć skrócenie Lorentza?

Czy można zobaczyć skrócenie Lorentza? Czy można zobaczyć skrócenie Lorentza? Jacek Jasiak Festiwal Nauki wrzesień 2004 Postulaty Szczególnej Teorii Względności Wszystkie inercjalne układy odniesienia są sobie równoważne Prędkość światła w

Bardziej szczegółowo

Początki fizyki współczesnej

Początki fizyki współczesnej Pozątki fizyki współzesnej Plan.. Promieniowanie iała doskonale zarnego.. Foton.. Efekt fotoelektryzny.4. Efekt Comptona Trohę historii Gustav Kirhhoff (84-887) W 859 rozpozyna się droga do mehaniki kwantowej

Bardziej szczegółowo

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności 5.04.08 Szczególna teoria względności Gdzie o tym więcej poczytać? Katarzyna Sznajd Weron Dlaczego ta teoria jest szczególna? Albert Einstein (905) Dotyczy tylko inercjalnych układów odniesienia. Spełnione

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

Z przedstawionych poniżej stwierdzeń dotyczących wartości pędów wybierz poprawne. Otocz kółkiem jedną z odpowiedzi (A, B, C, D lub E).

Z przedstawionych poniżej stwierdzeń dotyczących wartości pędów wybierz poprawne. Otocz kółkiem jedną z odpowiedzi (A, B, C, D lub E). Zadanie 1. (0 3) Podczas gry w badmintona zawodniczka uderzyła lotkę na wysokości 2 m, nadając jej poziomą prędkość o wartości 5. Lotka upadła w pewnej odległości od zawodniczki. Jest to odległość o jedną

Bardziej szczegółowo

Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna

Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna G m m r F = r r F = F Schemat oddziaływania: m pole sił m Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna Masa M jest

Bardziej szczegółowo

III.1 Ruch względny. III.1 Obserwacja położenia z dwóch różnych układów odniesienia. Pchnięcia (boosts) i obroty.metoda radarowa. Wykres Minkowskiego

III.1 Ruch względny. III.1 Obserwacja położenia z dwóch różnych układów odniesienia. Pchnięcia (boosts) i obroty.metoda radarowa. Wykres Minkowskiego III.1 Ruch względny III.1 Obserwacja położenia z dwóch różnych układów odniesienia. Pchnięcia (boosts) i obroty.metoda radarowa. Wykres Minkowskiego Jan Królikowski Fizyka IBC 1 III.1 Obserwacja położenia

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

9.6. Promieniowanie rentgenowskie. Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga).

9.6. Promieniowanie rentgenowskie. Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga). 9. Optyka 9.6. Promieniowanie rentgenowskie. yfrakja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga). Shemat budowy lampy rentgenowskiej. Przyspieszone do dużej prędkośi elektrony uderzają w antykatodę zmniejszają

Bardziej szczegółowo

Transformacja Lorentza Wykład 14

Transformacja Lorentza Wykład 14 Transformacja Lorentza Wykład 14 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/43 Względność Galileusza Dotychczas

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7

NOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7 Geotehnizne zagadnienia realizaji budowli drogowyh projekt, dr inż. Ireneusz Dyka Kierunek studiów: Budownitwo, studia I stopnia Rok IV, sem.vii 19 NOŚNOŚĆ FUNDAMENTU BEZPOŚREDNIEGO WEDŁUG EUROKODU 7 Według

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU. Piotr Nieżurawski. Wydział Fizyki. Uniwersytet Warszawski

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU. Piotr Nieżurawski. Wydział Fizyki. Uniwersytet Warszawski PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU Piotr Nieżurawski pniez@fuw.edu.pl Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski http://www.fuw.edu.pl/~pniez/bioinformatyka/ 1 Co to jest praca? Dla punktu

Bardziej szczegółowo

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe

Bardziej szczegółowo

Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący:

Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący: Dynamika Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący: mamy ciało (zachowujące się jak punkt materialny) o znanych właściwościach (masa, ładunek itd.),

Bardziej szczegółowo

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16

Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII. 1 Grawitacja 3. 2 Geometria jako fizyka 14

Spis treści. Przedmowa PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII. 1 Grawitacja 3. 2 Geometria jako fizyka 14 Spis treści Przedmowa xi I PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI 1 1 Grawitacja 3 2 Geometria jako fizyka 14 2.1 Grawitacja to geometria 14 2.2 Geometria a doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Fizyka I (B+C) Wykład XIV: Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna Energia kinetyczna i zasada zachowania energii Zderzenia elastyczne dr P F n Θ F F t Praca i energia Praca

Bardziej szczegółowo

Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc.

Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc. Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc. ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA ROZGRZEWKA 1. Przypuśćmy, że wszyscy ludzie na świecie zgromadzili się w jednym miejscu na Ziemi i na daną komendę jednocześnie

Bardziej szczegółowo

Widmo fal elektromagnetycznych

Widmo fal elektromagnetycznych Czym są fale elektromagnetyczne? Widmo fal elektromagnetycznych dr inż. Romuald Kędzierski Podstawowe pojęcia związane z falami - przypomnienie pole falowe część przestrzeni objęta w danej chwili falą

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 2 DYNAMIKA: MASA PED SIŁA MOMENT PEDU ENERGIA MECHANICZNA. Piotr Nieżurawski.

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 2 DYNAMIKA: MASA PED SIŁA MOMENT PEDU ENERGIA MECHANICZNA. Piotr Nieżurawski. PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 2 DYNAMIKA: MASA PED SIŁA MOMENT PEDU ENERGIA MECHANICZNA Piotr Nieżurawski pniez@fuw.edu.pl Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski http://www.fuw.edu.pl/~pniez/bioinformatyka/

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Kinematyka relatywistyczna

Kinematyka relatywistyczna Kinematyka relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład VIII: Paradoks bliźniat Relatywistyczny efekt Dopplera Przypomnienie Transformacja Lorenza dla różnicy współrzędnych dwóch wybranych zdarzeń A i B: t x

Bardziej szczegółowo

Ziarnista budowa Natury

Ziarnista budowa Natury Ziarnista budowa Natury Autor: Czesław Rodziewiz Spis treśi 1. Geometria ząstki falowej, masa, energia i pole falowe.. Elektromagnetyzm 3. Grawitaja 4. Dualizm korpuskularno falowy 5. Splątanie kwantowe

Bardziej szczegółowo

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY Opracowanie: Agnieszka Janusz-Szczytyńska www.fraktaledu.mamfirme.pl TREŚCI MODUŁU: 1. Dodawanie sił o tych samych kierunkach 2. Dodawanie sił

Bardziej szczegółowo