Fizyka relatywistyczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Fizyka relatywistyczna"

Transkrypt

1 Fizyka relatywistyzna Zadania z rozwiązaniami Projekt współfinansowany przez Unię uropejską w ramah uropejskiego Funduszu Społeznego

2 Zadanie Na spozywająą ząstkę zazyna działać stała siła. Jaką prędkość uzyska ząstka, gdy siła wykona praę W? Porównaj rozwiązanie klasyzne i relatywistyzne. Rozwiązanie klasyzne: nergię kinetyzną przyrównujemy do wykonanej pray Rozwiązanie relatywistyzne: nergia kinetyzna wynosi : m m, zyli: m mv klas W W v klas m m W W m W m W m W v relat. v klas v m W W m m m Z porównania rozwiązań wynika, że wzór relatywistyzny przehodzi we wzór klasyzny, gdy spełniony jest warunek W m, a zatem gdy praa wykonywana przez siłę przyspieszająą jest znaznie mniejsza od energii spozynkowej przyspieszanej ząstki. Wynika stąd, że obok znanego kryterium stosowania mehaniki relatywistyznej, gdy prędkość iała jest bliska prędkośi światła w próżni, można sformułować drugie kryterium, które mówi, że mehanikę relatywistyzną stosujemy wtedy, gdy energia dostarzona iału jest, o najmniej bliska jego energii spozynkowej.

3 , 3 9 Przykład: Weźmy jako ząstkę elektron o masie spozynkowej m 9, kg i ładunku e 6, C przyspieszany w polu elektryznym (stałą siłą). nergię spozynkową elektronu można oblizyć ze wzoru: m 9, kg 9 m s 8 9, J 5, ev 5, MeV Przypomnijmy, że używana w fizye atomowej, relatywistyznej i jądrowej wygodna jednostka energii elektronowolt [ev] jest 9 zdefiniowana jako energia, którą uzyskuje ładunek elementarny e 6, C przebywają różnię potenjałów U = V, 9 zyli ev 6, J. Wskutek przebyia drogi, dla której różnia potenjałów wynosi U elektron uzyskuje energię kinetyzną równą pray wykonanej przez pole elektryzne W = eu. Rozważmy dwa przypadki:.lektron przyspieszany w lampie kineskopowej w różniy potenjałów U = 5 kv uzyskuje energię W eu 5, W 5, 5 zatem v v klas v klas 96, m 5,, kev gdzie v klas 3, Różnia między wartośią prędkośi końowej oblizoną klasyznie i relatywistyznie jest niewielka..lektron przyspieszany w akeleratorze van de Graaffa w różniy potenjałów U = 5 MV uzyskuje energię W 5 eu MeV, wię 5 W m gdzie v klas 9 9, stąd: v 5 5 v klas v klas, W tym przypadku wartość prędkośi końowej oblizona ze wzoru klasyznego jest ozywiśie nonsensowna.

4 Zadanie Cząstka o masie spozynkowej m porusza się z taką prędkośią, że jej zas żyia obserwowany w układzie laboratorium jest trzy razy dłuższy niż średni zas żyia tej ząstki zmierzony wtedy, gdy ząstka jest w spozynku. Obliz energię kinetyzną i prędkość tej ząstki oraz jej pęd. Rozwiązanie Zależność między zasem własnym a zasem mierzonym w laboratorium t: t v t 3 3 k m m m nergia kinetyzna wynosi: m by oblizyć prędkość skorzystamy ze wzoru: 3 v v 3 Pęd można oblizyć na dwa sposoby. z zależnośi między energią ałkowitą, pędem i energią spozynkową: p 4 m 4 4 m m m p m p m. Z definiji pędu: p mv mv m

5 Zadanie 3 Obserwator O widzi dwa identyzne statki kosmizne zbliżająe się do niego z dwóh stron z prędkośią v 8,. Długość własna statku wynosi d = m. Jaką długość jednego z pojazdów obserwuje pilot drugiego pojazdu? Rozwiązanie Trzeba oblizyć prędkość jednego ze statków względem drugiego. v v 6, v' 976, v v 64, Długość jednego pojazdu w układzie drugiego: v' 976, d' d d, d, m Odp.: Pilot widzi drugi pojazd o długośi, m.

6 Zadanie 4 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Czy może istnieć związek przyzynowy między tymi zdarzeniami? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) Kwadrat interwału zasoprzestrzennego między zdarzeniami i w układzie O wynosi: S t x t t x x Interwał zasoprzestrzenny jest urojony: t x Oznaza to, że między zdarzeniami nie może być związku przyzynowego zdarzenia są tak daleko od siebie (duże x), że światło nie zdąży dotrzeć od zdarzenia do w zasie t Rozwiązanie b) Kwadrat interwału zasoprzestrzennego między zdarzeniami i w układzie O wynosi: S t x t t x x Interwał zasoprzestrzenny jest rzezywisty: t x Oznaza to, że zdarzenia mogą być powiązane przyzynowo zdarzenia są na tyle bliskie przestrzennie (małe ), że światło zdąży dotrzeć od zdarzenia do w zasie t x

7 Zadanie 5 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Jaka jest ih kolejność zasowa w układzie współrzędnyh O poruszająym się wzdłuż osi x z prędkośią v =,8? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 t by zbadać, jaka jest ih kolejność zasowa w układzie O, należy znaleźć t współrzędne zasowe zdarzeń w tym układzie (wykonać transformaję Lorentza) O O v x x x' x t t x t' gdzie v Rozwiązanie a) t' 8, 8,, 6, t' 5 8, 5 8, 6, 6667, O ile w układzie O najpierw zaszło zdarzenie, a potem (t < t ), to w układzie O kolejność zdarzeń jest odwrotna (t > t ).

8 Rozwiązanie b) Współrzędne zdarzeń w układzie O wynoszą: t' 8, 8, 6, 6, 667, t' 6 8, 3 8, 3 6, 6, 6 Kolejność zdarzeń w układzie O i w układzie O jest jednakowa: najpierw zaszło zdarzenie, a potem (t < t ) i (t < t ).

9 Zadanie 6 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą jednoześnie? Jaki warunek musi spełniać prędkość układu O, aby kolejność zdarzeń była odwróona? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) by znaleźć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia są równozesne, należy przyrównać wyrażenia na współrzędne zasowe w układzie poruszająym się z szukaną prędkośią u. t x t x t t x x t' t' t t x x gdzie u 3 75, 4 zyli u =,75 (dodatni znak prędkośi oznaza, prędkość u skierowana jest zgodnie z osią x) Kolejność zdarzeń będzie odwróona w układzie poruszająym się z prędkośią u, w którym zahodzi nierówność: t x t' t' t x t t x x wstawiamy dane lizbowe i otrzymujemy: , Odp.: Układ, w którym zdarzenia i są równozesne porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkośią u =,75, jeśli prędkość układu będzie większa niż,75, to kolejność zdarzeń będzie odwróona.

10 Rozwiązanie b) Czy istnieje układ, w którym zdarzenia są równozesne? Spróbujmy znaleźć prędkość takiego układu u. t t x x t x t x 6 6 Kolejność zdarzeń byłaby odwróona w układzie poruszająym się z prędkośią u, w którym zahodzi nierówność: t' Prowadzi to to nierównośi: 6 t' Otrzymaliśmy absurdalny wynik, ponieważ prędkość układu nie może być większa od prędkośi światła. Musi być spełniona nierówność: Odp.: Nie ma takiego układu, w którym zdarzenia są równozesne, jak również w żadnym układzie nie zahodzą w odwrotnej kolejnośi. Jest to słuszne dla każdyh dwóh zdarzeń, które mogą być powiązane przyzynowo Uwalnia nas to od dylematów filozofiznyh, gdybyśmy mogli w jakimś układzie obserwować najpierw skutek (np. narodziny syna), a potem przyzynę (narodziny jego oja).

11 Zadanie 7 Zdarzenie ma w układzie O współrzędne zasoprzestrzenne x, t, zdarzenie - współrzędne zasoprzestrzenne x, t. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejsu? Wartośi współrzędnyh: a) x =, t =, x = 5, t = 5, b) x =, t =, x = 3, t = 6 Rozwiązanie a) by znaleźć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejsu, należy przyrównać wyrażenia na współrzędne przestrzenne w układzie poruszająym się z szukaną prędkośią u. x' x' x x t x t x t t x x t t gdzie u , Nie istnieje układ, w którym zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu, nie mogą wię byd powiązane przyzynowo. Żaden układ nie może poruszać się z prędkośią większą od prędkośi światła. Wynika z tego, że nie ma takiego układu, w którym zdarzenia i zajdą w tym samym miejsu. Rozwiązanie b) x x t t x' x' x x t t 6 667, Istnieje układ, w którym zdarzenia zahodzą w tym samym miejsu, mogą wię byd powiązane przyzynowo. Odp.: Układ, w którym zdarzenia i zajdą w tym samym miejsu porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkośią u =,667.

12 Zadanie 8 Na nieruhomą ząstkę o masie spozynkowej m zazyna działać stała siła F. Po jakim zasie energia kinetyzna ząstki w laboratoryjnym układzie odniesienia stanie się k razy większa od energii spozynkowej ząstki. Ile razy wzrośnie w tym zasie masa ząstki? Jaką drogę przebędzie ząstka w tym zasie w układzie laboratoryjnym? Rozwiązanie nergia pozątkowa: m m km k m nergia końowa: m k m m Z wyrażenia na masę końową m oblizamy prędkość końową v: m v k m v k k k

13 Z II zasady dynamiki: dp F dt dp Fdt p t p dp Fdt p Ft p m v k m k k k k k k k m F m Ft t k k szukany zas by oblizyć drogę przebytą x L przez ząstkę w układzie laboratoryjnym, przyrównujemy praę wykonaną przez siłę do nabytej przez ząstkę energii kinetyznej. Fx L km x L km F Odp.: masa ząstki wzrośnie k+ razy w zasie drogę km F x L m t k k F, w układzie laboratoryjnym ząstka przebędzie

14 Zadanie 9 km p m p Cząstka o masie spozynkowej m i pędzie zderza się z identyzną ząstką o pędzie. Obie ząstki poruszają się wzdłuż jednej prostej. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki złożonej. Rozwiązanie Z prawa zahowania pędu: km m M u u plus prędkośi ząstek mają jednakowe zwroty, minus - prędkośi ząstek mają przeiwne zwroty Z prawa zahowania energii: m v m v M u m v v km v k k m v m v v

15 k m v m m v m u M u k m u M k m Dzielimy równania stronami k k u u k m M k k m M

16 m p p Zadanie Spozywająa ząstka o masie spozynkowej M rozpada się na dwie ząstki o masah spozynkowyh m i m. Wyznazyć energie kinetyzne powstałyh ząstek i. Rozwiązanie prawo zahowania energii: p p prawo zahowania pędu: M m m m M p p Pęd ząstki należy wyrazić przez jego energię kinetyzną m p 4 4 m m m p k m p k k równanie () i () tworzą układ równań z niewiadomymi m m M m m M m M m m M M m M m m M

17 Zadanie Wyprowadzić wzór na dylataję zasu: Rozwiązanie: Na pozątku trzeba zdeydować, zy zostanie użyta prosta zy odwrotna transformaja Lorentza. Oba podejśia nie są w tym przypadku symetryzne i tylko jedno z nih umożliwia uzyskanie prostego wyniku. Chodzi mianowiie o to, żeby końowy rezultat zawierał tylko interwały zasowe oraz relatywistyzny zynnik zawarty pod pierwiastkiem. W tym przypadku skorzystamy z transformaji odwrotnej, wiążąej współrzędne układu spozywająego ze współrzędnymi układu poruszająego się: 7

18 Jeśli teraz hemy oblizyć zas, jaki upłynął w układzie spozywająym, pomiędzy hwilami t i t, to otrzymamy: W tym momenie trzeba pozynić ważną uwagę: x oraz x odpowiadają pomiarowi przeprowadzonemu przez obserwatora poruszająego się. Jeżeli hemy, aby mierzył on swój zas własny, jaki mu upłynął, to musi on dokonać pomiaru jednym i tym samym zegarem (zarówno t jak i t ). Zegar ten spozywa w jego własnym układzie, stąd wniosek, że x = x. Jeśli różnię t i t oznazymy jako Δt, to otrzymamy: 8

19 Zadanie Wyprowadzić wzór na relatywistyzne dodawanie prędkośi, przyjmują, że prędkość układu poruszająego się względem układu spozywająego wynosi u. Rozwiązanie: Jeśli w układzie będąym w ruhu, iało ma prędkość v, to jego prędkość w układzie spozywająym będzie wynosić: Następnie trzeba skorzystać z odwrotnej transformaji Lorentza, żeby wyrazić współrzędne w układzie spozywająym, przez współrzędne w układzie poruszająym się: Dokonują kolejnyh przekształeń oraz pamiętają, że otrzymujemy: 9

20 Zadanie 3 Rozwiązać paradoks bliźniąt. yło dwóh bliźniaków: Piotr i Paweł. Zaraz po urodzeniu Paweł wybrał się w długą podróż kosmizną rakietą, poruszająą się z prędkośią bliską prędkośi światła. Zgodnie z wnioskami płynąymi ze szzególnej teorii względnośi, Pawłowi zas powinien płynąć wolniej, zatem po powroie na Ziemię będzie on młodszy od swojego brata. Jednak z punktu widzenia Pawła, siedząego w rakieie, to on spozywa, zaś jego brat Piotr, porusza się względem niego z prędkośią bliską prędkośi światła, zatem to Piotrowi powinien wolniej płynąć zas i to on podzas spotkania powinien być młodszy. Jak rozwikłać ten paradoks? Rozwiązanie: Cały paradoks daje się rozwiązać, jeśli się narysuje odpowiednie układy odniesienia. Jak wiadomo, osie układu poruszająego się są pohylone względem osi układu spozywająego pod kątem proporjonalnym do prędkośi układu będąego w ruhu. Dla układu poruszająego się z prędkośią niewielką w porównaniu z prędkośią światła, osie tego układu z punktu widzenia obserwatora spozywająego, będą wyglądały następująo:

21 Układem poruszająym się jest tu ozywiśie układ primowany (patrz wykres na kolejnej stronie). Im większa prędkość tego układu, tym bardziej osie x oraz t będą się do siebie zbliżały. Jak wiadomo Paweł porusza się z prędkośią bliską prędkośi światła, a zatem jego odpowiednie osie będą nahylone pod bardzo dużym kątem, bliskim 45 do osi układu Piotra. Oś x, jest zarazem osią równozesnośi dla Pawła, zaś jego oś t, jest linią świata jego ruhu, widzianego z punktu widzenia Piotra. W momenie, gdy Piotr ma 5 lat, Paweł postanawia zawróić w kierunku Ziemi. Zmienia wtedy układ odniesienia na układ bis. Jego osie, a zatem i linia równozesnośi oraz linia świata w układzie Piotra, będą nahylone pod ujemnymi kątami. Na poglądowym rysunku kolorem zielonym zostały zaznazone linie równozesnośi spozywająego Piotra i przy każdej z tyh linii zaznazono, ile miał on lat w hwili tego zdarzenia. Kolorem niebieskim zaznazone są linie świata poruszająego się Pawła, z punktu widzenia Piotra (są to odpowiednio osie t i t ). Kolorem zerwonym zaś zaznazone są linie równozesnośi Pawła. Jak widać prawa szzególnej teorii względnośi nie zostały złamane. Pawłowi rzezywiśie zas płynie zdeydowanie wolniej aż do momentu deyzji o powroie. Piotr widzi, że podzas gdy on sam postarzał się o 5 lat, jego brat postarzał się powiedzmy o ok. 7 lat. Obserwaje Pawła będą również zgodne z teorią względnośi. Widzi on, że w momenie deyzji o powroie, zdążył postarzeć się o 7 lat, podzas gdy Piotr od hwili rozstania postarzał się zaledwie o lata (zerwona linia równozesnośi). Zatem z jego punktu widzenia, to Piotrowi na Ziemi zas płynie wolniej, bo to on porusza się względem Pawła. nalogiznie sytuaja przebiega w zasie powrotu na Ziemię. Znów każdy z nih prowadzi swoje własne obserwaje, sprzezne z obserwajami brata. Kluzowy dla rozwiązania tego paradoksu jest punkt, w którym Paweł zawraa swoją rakietę. Momentalnie zmienia on układ odniesienia, zmienia linię równozesnośi z linii odpowiadająej latom Piotra na linię odpowiadająą 48 latom Piotra. zatem momentalnie Piotr z punktu widzenia Pawła postarzał się o 46 lat! Paweł popełnił bardzo gruby błąd, pomijają w swoih obserwajah obszar na wykresie, leżąy pomiędzy liniami równozesnośi odpowiadająymi latom i 48 latom. Uwzględniają zatem ten efekt, rzezywiśie Paweł postarzeje się o 7 lat, podróżują w jedną stronę, o kolejne 7, podróżują w drugą stronę, zyli w sumie w trakie spotkania będzie on 4-letnim hłopem, podzas gdy Piotr będzie 5-letnim mężzyzną.

22 powrót linie równozesnośi Piotra podróż tam linie świata poruszająego się Pawła linie równozesnośi Pawła x

23 Zadanie 4 Rozwiązać paradoks tyzki i stodoły. Są dwie tyzkarki: Monika i nia. Monika postanowiła pobić rekord świata w skoku o tyze, ale potrzebuje do tego bardzo długiego rozbiegu, który biegnie przez stodołę. Stodoła posiada automatyznie zamykane drzwi na pozątku i na końu. nia postanowiła, że za wszelką enę uniemożliwi Monie pobiie rekordu i zamknie równoześnie przednie i tylne drzwi od stodoły w momenie, gdy Monika będzie przez tą stodołę przebiegać. Jednak z punktu widzenia ni tyzka ulegnie skróeniu, gdy Monika będzie biegła z bardzo dużą prędkośią i może się zdarzyć, że tyzka skrói się na tyle, że przednie i tylne drzwi stodoły zamkną się równoześnie, a po hwili otworzą się równoześnie, nie uszkadzają tyzki. Z kolei z punktu widzenia biegnąej Moniki, to stodoła przybliża się ku niej, a zatem ulegnie skróeniu i może stać się krótsza od tyzki. Zatem zamykająe się drzwi (nawet na bardzo krótką hwilę) mogą uszkodzić tyzkę. Jak zatem pogodzić to, o będzie widzieć Monika z tym, o będzie widzieć nia? Rozwiązanie: Pozorny spór obu tyzkarek wynika z braku zrozumienia krahu równozesnośi w szzególnej teorii względnośi. Trzeba narysować diagram zasoprzestrzenny (patrz kolejna strona) spozywająej ni, z jej liniami równozesnośi (oś x oraz linia zielona) oraz z liniami równozesnośi biegnąej Moniki (zerwone linie). Na diagramie tym odpowiednie zdarzenia oznazone są następująo: zamknięie pierwszyh drzwi stodoły, zamknięie drugih drzwi, otwarie pierwszyh drzwi, otwarie drugih drzwi. Zatem z punktu widzenia spozywająej ni drzwi pierwsze i drugie zamkną się w tej samej hwili, a po pewnej hwili również równoześnie się otworzą. Jeśli tyzka jest odpowiednio krótka, w wyniku relatywistyznego skróenia, to hwilowe zamknięie obu par drzwi nie spowoduje uszkodzenia tyzki w momenie, gdy ta znajduje się wewnątrz stodoły. nia słusznie będzie twierdzić, że wbrew swoim ozekiwaniom, nie udało jej się uszkodzić tyzki Moniki. 3

24 otwarie pierwszyh drzwi linie równozesnośi Moniki otwarie drugih drzwi zamknięie pierwszyh drzwi linie równozesnośi ni zamknięie drugih drzwi 4

25 Z punktu widzenia Moniki, to rzezywiśie stodoła ulegnie relatywistyznemu skróeniu i stanie się krótsza od tyzki, jednak zdarzenia nie będą już równozesne, jeśli przyjrzymy się zerwonym liniom równozesnośi Moniki, narysowanym na diagramie zasoprzestrzennym. Pierwsza linia równozesnośi Moniki przebiega przez zdarzenie, a wię zamknięie drugih drzwi stodoły. Następnie mamy zdarzenie, zyli otwarie drugih drzwi stodoły. W międzyzasie Monika wbiega do środka ze swoją długą (w porównaniu ze stodołą) tyzką. Kolejna linia równozesnośi przebiega przez, zyli zamknięie pierwszyh drzwi (ale Monika zdążyła już dawno je minąć) i wreszie następuje, zyli otwarie pierwszyh drzwi. ardzo duża prędkość Moniki spowodowała, że jej linie równozesnośi są nahylone pod takimi kątami, że możliwe jest dla niej minięie stodoły bez ryzyka uszkodzenia tyzki. Każda z obu tyzkarek zaobserwuje te same zdarzenia w innyh momentah i to, o dla ni było równozesne (zamknięie obu par drzwi a następnie otwarie obu par drzwi), dla Moniki nie będzie już równozesne. Zahodzi tu krah równozesnośi, spowodowany transformają współrzędnyh zasowyh z jednego układu, do drugiego układu. Zatem obie panie zgodzą się o do wyniku obserwaji, że tyzka nie została w żaden sposób uszkodzona. 5

26 Zadania do samodzielnego rozwiązania

27 Zadanie 4 Cząstka o masie spozynkowej m i prędkośi v dogania identyzną ząstką poruszająą się z 3 5 prędkośią v. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki 5 złożonej Odp: u M m 4, m 7 6 Zadanie Cząstka o masie spozynkowej m i energii kinetyznej zderza się z nieruhomą ząstką o tej samej masie spozynkowej. Oblizyć masę spozynkową M i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia ząstki złożonej. Odp: u m M m m Zadanie 3 Na poruszająą się ząstkę o masie spozynkowej m zazyna działać stała siła F. Po jakim zasie masa ząstki wzrośnie od m do 4m Ile razy wzrośnie w tym zasie masa ząstki? Jaką drogę przebędzie ząstka w tym zasie w układzie laboratoryjnym? m Odp: t 5 3 F m F S

28 Zadanie 4 Znaleźć własny zas żyia ząstki, jeśli porusza się ona z prędkośią v 97, i do momentu rozpadu przebyła odległość km. Zadanie 5 Odp: 8,35 6 s Znaleźć układ odniesienia, w którym hrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem odbyły się a) w tym samym miejsu, b) w tym samym zasie. ) Czy te zdarzenia mogą być w związku przyzynowo-skutkowym? Przyjąć, że w układzie Ziemi odległość między Gnieznem a Grunwaldem wynosi km, a zas między tymi wydarzeniami wynosi 4 lat. Odp: a) układ poruszająy się od Gniezna do Grunwaldu z prędkośią b) taki układ nie istnieje ) tak Zadanie 6 v,59 Sprawdzić, zy zdarzenia i mogą być powiązane przyzynowo. Z jaką prędkośią porusza się układ O, w którym zdarzenia zajdą jednoześnie? Jaki warunek musi spełniać prędkość układu O, aby kolejność zdarzeń była odwróona? Wartośi współrzędnyh: a) x = 4, t =, x = 6, t = 3, b) x = 5, t = 3, x =, t = Odp: a) zdarzenia zajdą jednoześnie w układzie poruszająym z prędkośią, v 5,, kolejność zdarzeń będzie odwróona w układzie poruszająym z prędkośią, v 5, b) taki układ nie istnieje 5 m s

29 Zadanie 7 Pręt o masie spozynkowej m porusza się z taką prędkośią, że jego długość obserwowana w układzie laboratorium jest dwa razy krótsza niż zmierzona wtedy, gdy pręt jest w spozynku. Obliz energię kinetyzną i prędkość pręta oraz jego pęd. Odp: v 3 k m 3m p Zadanie 8 Mezon porusza się z energią ałkowitą Gev. Jego energia spozynkowa wynosi m MeV, a własny zas żyia równy jest 6 s a) Czas żyia w laboratorium b) Pęd ) nergię kinetyzną Obliz: Odp: t 4 s GeV p , k 9 8, GeV Zadanie 9 Ze statku kosmiznego poruszająego się względem Ziemi z prędkośią v 6, wystrzelono w kierunku ruhu poisk z prędkośią v 8,. Z jaką prędkośią u porusza się poisk względem Ziemi? Jakie wymiary poisku widzi obserwator na Ziemi, jeśli w układzie własnym poisk jest kulą o średniy d = m? Odp: u 946, Poisk ma kształt spłaszzonej kuli o grubośi 3, m.

30 Zadanie W układzie współrzędnyh x - t zdarzenia mają współrzędne (,), (7,), C (6,7), D (,7). Na diagramie Minkowskiego zakreślić obszary, któryh przyzyną może być: a) zdarzenie, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie, b) zdarzenie lub, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie C, ) zdarzenie, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie C i D, d) zdarzenie D i, przy zym przyzyną nie może być zdarzenie. Zadanie Wyprowadzić wzór na skróenie Lorentza: przy zym l jest długośią własną pręta spozywająego w układzie poruszająym się z prędkośią v, zaś l jest długośią mierzoną przez obserwatora spozywająego na Ziemi. Wskazówka: W tym przypadku trzeba skorzystać z prostej transformaji Lorentza, tak aby wyrazić współrzędne położenia pręta w układzie poruszająym się poprzez współrzędne zasowe i przestrzenne pręta w układzie spozywająym. Jeśli się zauważy, że pomiar długośi pręta (zyli jego pozątku i końa) w układzie spozywająym musi odbywać się w tym samym momenie, to podobnie jak w zadaniu z dylatają zasu, współrzędne zasowe ulegną skróeniu. 3

31 Zadanie Długość pręta spozywająego w samoloie leąym z prędkośią wynosi l. Korzystają ze wzoru na kontrakję długośi znaleźć jego długość z punktu obserwatora spozywająego na ziemi. Odp. Zadanie 3 Względem układu O porusza się ze stałą prędkośią v wzdłuż osi x układ O. W układzie O znajduje się pręt o długośi l, tworząy kąt φ z osią x. Jaką długość pręta i jaki kąt zmierzy obserwator O? Odp. 3

32 Zadanie 4 Pręt o długośi l spozywa w układzie O. Układ O porusza się z pewną prędkośią względem układu O, w którym zmierzona długość pręta wynosi l. Układ O porusza się także z pewną prędkośią względem układu O (większą niż względna prędkość O i O ), w którym zmierzona długość pręta wynosi l. Oblizyć względną prędkość układów O i O. Układy O i O poruszają się w tym samym kierunku. Odp. v prędkość względna O i O, w prędkość względna układów O i O, u prędkość względna układów O i O Zadanie 5 kelerator liniowy przyspiesza elektrony do takih prędkośi, dla któryh Kanał akeleratora ma długość 3 m. Oblizyć, jaką długość kanału przyspieszająego zmierzy obserwator związany z pędząymi elektronami, gdy zakońzył się już proes przyspieszania. Odp. 3

33 Zadanie 6 Dwie wiązki elektronów wylatują z akeleratora z prędkośią,9. Wiązki te skierowano przeiwbieżnie. Oblizyć prędkość względną elektronów z punktu odniesienia jednej z wiązek. Odp. 33

ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich

ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI. I. Zasada względności: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI Postulaty Einsteina (95 r) I Zasada względnośi: Wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkih inerjalnyh układah odniesienia lub : Równania wyrażająe prawa

Bardziej szczegółowo

Elementy szczególnej teorii względności

Elementy szczególnej teorii względności Elementy szzególnej teorii względnośi Podstawowe założenia szzególnej teorii względnośi: Albert Einstein 195 Prawa fizyzne są takie same dla wszystkih obserwatorów któryh kłady odniesienia porszają się

Bardziej szczegółowo

Elementy mechaniki relatywistycznej

Elementy mechaniki relatywistycznej Podstawy Proesów i Konstrukji Inżynierskih Elementy mehaniki relatywistyznej 1 Czym zajmuje się teoria względnośi? Teoria względnośi to pomiary zdarzeń ustalenia, gdzie i kiedy one zahodzą, a także jaka

Bardziej szczegółowo

teoria wzgl wzgl dności

teoria wzgl wzgl dności ver-8.6.7 teoria względnośi interferometr Mihelsona eter? Albert Mihelson 85 Strzelno, Kujawy 93 Pasadena, Kalifornia Nobel - 97 http://galileoandeinstein.physis.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 10. Szczególna teoria względności. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II. 10. Szczególna teoria względności.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYK II 10. Szzególna teoria względnośi Dr hab. inż. Władysław rtur Woźniak Instytut Fizyki Politehniki Wroławskiej http://www.if.pwr.wro.pl/~wozniak/ MECHNIK RELTYWISTYCZN Mehanika newtonowska

Bardziej szczegółowo

7. Szczególna teoria względności. Wybór i opracowanie zadań : Barbara Kościelska Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu.

7. Szczególna teoria względności. Wybór i opracowanie zadań : Barbara Kościelska Więcej zadań z tej tematyki znajduje się w II części skryptu. 7 Szzególna eoria względnośi Wybór i opraowanie zadań 7-79: Barbara Kośielska Więej zadań z ej emayki znajduje się w II zęśi skrypu 7 Czy można znaleźć aki układ odniesienia w kórym Chrzes Polski i Biwa

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA

MECHANIKA RELATYWISTYCZNA MCHANIKA RLATYWISTYCZNA MCHANIKA RLATYWISTYCZNA (SZCZGÓLNA TORIA WZGLĘDNOŚCI TRANSFORMACJA LORNTZA WSPÓŁRZĘDNYCH CZĄSTKI (93r. Rys.. S y y S z z z Układy S i S są inerjalnymi kładami odniesienia z ( m

Bardziej szczegółowo

Mechanika relatywistyczna

Mechanika relatywistyczna Mehanika relatywistyzna Konepja eteru Eter kosmizny miał być speyfiznym ośrodkiem, wypełniająym ałą przestrzeń, który miał być nośnikiem fal świetlnyh (później w ogóle pola elektromagnetyznego). W XIX

Bardziej szczegółowo

Elementy dynamiki relatywistycznej r r

Elementy dynamiki relatywistycznej r r Elementy dynamiki relatywistyznej r r F ma - nieaktualne r r d p F - nadal aktualne dt ale pod warunkiem, że r r m r p γ m gdzie m - masa spozynkowa. Możliwa interpretaja: r r m p m gdzie masa zależy od

Bardziej szczegółowo

Wykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza

Wykład 30 Szczególne przekształcenie Lorentza Wykład Szzególne przekształenie Lorentza Szzególnym przekształeniem Lorentza (właśiwym, zahowująym kierunek zasu) nazywa się przekształenie między dwoma inerjalnymi układami odniesienia K i K w przypadku

Bardziej szczegółowo

U.1 Elementy szczególnej teorii względności

U.1 Elementy szczególnej teorii względności UZUPEŁNIENIE Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi U.1 Elementy szzególnej teorii względnośi Mehanika klasyzna oparta na zasadah dynamiki Newtona poprawnie opisuje zjawiska, w któryh prędkośi

Bardziej szczegółowo

f s moŝna traktować jako pracę wykonaną przez siłę tarcia nad ślizgającym się klockiem. Porównując

f s moŝna traktować jako pracę wykonaną przez siłę tarcia nad ślizgającym się klockiem. Porównując Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewiz 63 s = ma s = m v f vi = mvi 7- f W równaniu powyŝszym zastosowano równanie Porównują równania 7-0 i 7- otrzymamy: i a s = v f v i v f = 0 ( Patrz równanie -). f s =

Bardziej szczegółowo

Fizyka cząstek elementarnych

Fizyka cząstek elementarnych Wykład II lementy szzególnej teorii względnośi W fizye ząstek elementarnyh mamy zwykle do zynienia z obiektami oruszająymi się z rędkośiami orównywalnymi z rędkośią światła o owoduje koniezność stosowania

Bardziej szczegółowo

Albert Einstein SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI. Szczególna Teoria Względności

Albert Einstein SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI. Szczególna Teoria Względności Szzególna Teoria Względnośi SZCZEGÓLNA I OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI Albert Einstein 1879 1955 1905 szzególna teoria względnośi 1915 ogólna teoria względnośi (teoria grawitaji) PRZESTRZEŃ CZAS ŚWIATŁO MASA

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Wykład 9 Pamiętaj, że najmniejszy krok w stronę elu jest więej wart niż maraton dobryh hęi. H. J. Brown ELEMENTY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ Szzególna teoria względnośi

Bardziej szczegółowo

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności Szczególna teoria względności Rakieta zbliża się do Ziemi z prędkością v i wysyła sygnały świetlne (ogólnie w postaci fali EM). Z jaką prędkością sygnały te docierają do Ziemi? 1. Jeżeli światło porusza

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią.

Krzywe stożkowe. 1 Powinowactwo prostokątne. 2 Elipsa. Niech l będzie ustaloną prostą i k ustaloną liczbą dodatnią. Krzywe stożkowe 1 Powinowatwo prostokątne Nieh l będzie ustaloną prostą i k ustaloną lizbą dodatnią. Definija 1.1. Powinowatwem prostokątnym o osi l i stosunku k nazywamy przekształenie płaszzyzny, które

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szzególna i ogólna teoria względnośi (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybyień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górnizo-Hutniza Wykład 1 M. Przybyień (WFiIS AGH) Szzególna Teoria Względnośi

Bardziej szczegółowo

Szczególna Teoria Względności

Szczególna Teoria Względności Szzególna Teoria Względnośi Prędkość światła klzowa dla fndamentalnyh pytań o natrę Wszehświata Starożytność bardzo dża lb prędkość dźwięk określona (IV w. B.C. Arystoteles = ) XI w. A.D. Arabowie (Awienna)

Bardziej szczegółowo

Teoria względności Szczególna teoria względności dr Mikołaj Szopa wykład

Teoria względności Szczególna teoria względności dr Mikołaj Szopa wykład Teoria względnośi Szzególna teoria względnośi dr Mikołaj Szopa wykład 9.0.6 Teoria względnośi Transformaje Galileusza Przyspieszenie układu S : a = 0 S S y y t x = x - t y = y z = z t = t () x = x - t

Bardziej szczegółowo

ANEMOMETRIA LASEROWA

ANEMOMETRIA LASEROWA 1 Wstęp ANEMOMETRIA LASEROWA Anemometria laserowa pozwala na bezdotykowy pomiar prędkośi zastezek (elementów) rozpraszajayh światło Źródłem światła jest laser, którego wiazka jest dzielona się nadwiewiazki

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

Początki fizyki współczesnej

Początki fizyki współczesnej Pozątki fizyki współzesnej 1 Plan 1.1. Promieniowanie iała doskonale zarnego 1.. Foton 1.3. Efekt fotoelektryzny 1.4. Efekt Comptona 1 Trohę historii Gustav Kirhhoff (184-1887) W 1859 rozpozyna się droga

Bardziej szczegółowo

Wykład 3: Kinematyka - względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 3: Kinematyka - względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 3: Kinemayka - względność ruhów dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl hp://layer.ui.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wzgledność ruhów Każdy ruh opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia W hwili

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 4: Względność ruchów. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 4: Względność ruhów dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl hp://layer.ui.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wzgledność ruhów Każdy ruh opisujemy względem jakiegoś układu odniesienia W hwili 0 rusza samohód

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki relatywistycznej

Elementy fizyki relatywistycznej Elementy fizyki relatywistycznej Transformacje Galileusza i ich konsekwencje Transformacje Lorentz'a skracanie przedmiotów w kierunku ruchu dylatacja czasu nowe składanie prędkości Szczególna teoria względności

Bardziej szczegółowo

Theory Polish (Poland)

Theory Polish (Poland) Q3-1 Wielki Zderzacz Hadronów (10 points) Przeczytaj Ogólne instrukcje znajdujące się w osobnej kopercie zanim zaczniesz rozwiązywać to zadanie. W tym zadaniu będą rozpatrywane zagadnienia fizyczne zachodzące

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy

FUNKCJA KWADRATOWA. Poziom podstawowy FUNKCJA KWADRATOWA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Wykres funkji y = ax + bx+ przehodzi przez punkty: A = (, ), B= (, ), C = (,) a) Wyznaz współzynniki a, b, (6 pkt) b) Zapisz wzór funkji w postai kanoniznej

Bardziej szczegółowo

Początki fizyki współczesnej

Początki fizyki współczesnej Pozątki fizyki współzesnej Plan.. Promieniowanie iała doskonale zarnego.. Foton.. Efekt fotoelektryzny.4. Efekt Comptona Trohę historii Gustav Kirhhoff (84-887) W 859 rozpozyna się droga do mehaniki kwantowej

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 9

Podstawy fizyki wykład 9 D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 4, PWN, Warszawa 2003. H. D. Young, R. A. Freedman, Sear s & Zemansky s University Physics with Modern Physics, Addison-Wesley Publishing Company,

Bardziej szczegółowo

Zasady względności w fizyce

Zasady względności w fizyce Zasady względności w fizyce Mechanika nierelatywistyczna: Transformacja Galileusza: Siły: Zasada względności Galileusza: Równania mechaniki Newtona, określające zmianę stanu ruchu układów mechanicznych,

Bardziej szczegółowo

Masa relatywistyczna niepotrzebny i szkodliwy relikt

Masa relatywistyczna niepotrzebny i szkodliwy relikt FOTON 14, Wiosna 014 1 Masa relatywistyzna niepotrzebny i szkodliwy relikt Aleksander Nowik Nauzyiel fizyki, matematyki i informatyki Siemianowie Śląskie Ouh! The onept of relatiisti mass is subjet to

Bardziej szczegółowo

Zrozumieć Einsteina, czyli jak uczę szczególnej teorii względności

Zrozumieć Einsteina, czyli jak uczę szczególnej teorii względności strona 1/17 Motto: Geniusz jest potrzebny do tworzenia dzieł, a nie do ih podziwiania. Zrozumieć Einsteina, zyli jak uzę szzególnej teorii względnośi Aleksander Nowik aleksander.nowik@neostrada.pl Szzególna

Bardziej szczegółowo

Kinematyka relatywistyczna

Kinematyka relatywistyczna Kinematyka relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład VIII: Paradoks bliźniat Relatywistyczny efekt Dopplera Przypomnienie Transformacja Lorenza dla różnicy współrzędnych dwóch wybranych zdarzeń A i B: t x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Temat XXXIII. Szczególna Teoria Względności

Temat XXXIII. Szczególna Teoria Względności Temat XXXIII Szczególna Teoria Względności Metoda radiolokacyjna Niech w K znajduje się urządzenie nadawcze o okresie T, mierzonym w układzie K Niech K oddala się od K z prędkością v wzdłuż osi x i rejestruje

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie I (luty, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie I (luty, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie I (luty, 2013) u Wyprowadzenie transformacji Lorentza u Relatywistyczna transformacja prędkości u Dylatacja czasu u Skrócenie długości

Bardziej szczegółowo

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA

TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA TRANFORMACJA GALILEUSZA I LORENTZA Wykład 4 2012/2013, zima 1 Założenia mechaniki klasycznej 1. Przestrzeń jest euklidesowa 2. Przestrzeń jest izotropowa 3. Prawa ruchu Newtona są słuszne w układzie inercjalnym

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

Skrypt 18. Trygonometria

Skrypt 18. Trygonometria Projekt Innowayjny program nauzania matematyki dla lieów ogólnokształąyh współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego Skrypt 18 Trygonometria 1. Definije i wartośi

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru.

Pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru. Dywergenja i rotaja pola magnetyznego Linie wektora B nie mają pozątku, ani końa. tąd wynika twierdzenie Gaussa dla wektora B : Φ = B d = B trumień wektora indukji magnetyznej przez dowolną powierzhnię

Bardziej szczegółowo

14. Teoria względności

14. Teoria względności . Teoria wzglęnośi.. Prękość w ukłaah inerjalnyh. Y Z Z Y V V V X X Wzglęe ukłau O unkt aterialny a szybkość x t' Natoiast wzglęe ukłau O a szybkość x t. Skoro x γ (x t ) to x γ (x t ) Natoiast x' x' t

Bardziej szczegółowo

Postulaty szczególnej teorii względności

Postulaty szczególnej teorii względności Teoria Względności Pomiary co, gdzie, kiedy oraz w jakiej odległości w czasie i przestrzeni Transformowanie (przekształcanie) wyników pomiarów między poruszającymi się układami Szczególna teoria względności

Bardziej szczegółowo

cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski

cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 14: Pole magnetyczne cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza v F L Jeżeli na dodatni ładunek

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stosunku e/m elektronu

Wyznaczanie stosunku e/m elektronu Ćwiczenie 27 Wyznaczanie stosunku e/m elektronu 27.1. Zasada ćwiczenia Elektrony przyspieszane w polu elektrycznym wpadają w pole magnetyczne, skierowane prostopadle do kierunku ich ruchu. Wyznacza się

Bardziej szczegółowo

Czym zajmuje się teoria względności

Czym zajmuje się teoria względności Teoria względności Czym zajmuje się teoria względności Głównym przedmiotem zainteresowania teorii względności są pomiary zdarzeń (czegoś, co się dzieje) ustalenia, gdzie i kiedy one zachodzą, a także jaka

Bardziej szczegółowo

Odp.: F e /F g = 1 2,

Odp.: F e /F g = 1 2, Segment B.IX Pole elektrostatyczne Przygotował: mgr Adam Urbanowicz Zad. 1 W atomie wodoru odległość między elektronem i protonem wynosi około r = 5,3 10 11 m. Obliczyć siłę przyciągania elektrostatycznego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 3 dr M.Gzik-Szumiata

Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 3 dr M.Gzik-Szumiata Prjekt Inżynier mehanik zawód z przyszłśią współfinanswany ze śrdków Unii Eurpejskiej w ramah Eurpejskieg Funduszu Spłezneg Zajęia wyrównawze z fizyki -Zestaw 3 dr M.Gzik-Szumiata Kinematyka,z.. Ruhy dwuwymiarwe:

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 4 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności

Bardziej szczegółowo

Lista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4.

Lista 3 Funkcje. Środkowa częśd podanej funkcji, to funkcja stała. Jej wykresem będzie poziomy odcinek na wysokości 4. Lista 3 Funkcje. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Zacznijmy od sporządzenia tabelki dla każdej części podanej funkcji, uwzględniając podany zakres argumentów (dziedzinę): Weźmy na początek funkcję,

Bardziej szczegółowo

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 13: Pole magnetyczne dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ Wektor indukcji pola magnetycznego, siła Lorentza v v L Jeżeli na dodatni ładunek q poruszający

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, część pierwsza

Elektrostatyka, część pierwsza Elektrostatyka, część pierwsza ZADANIA DO PRZEROBIENIA NA LEKJI 1. Dwie kulki naładowano ładunkiem q 1 = 1 i q 2 = 3 i umieszczono w odległości r = 1m od siebie. Oblicz siłę ich wzajemnego oddziaływania.

Bardziej szczegółowo

Rys. 1.2 Transformacja Galileusza

Rys. 1.2 Transformacja Galileusza Wykład 9 Kinematyka relatywistyzna 1. Masa i pęd relatywistyzny Pierwsza zasada dynamiki o układah inerjalnyh. Na pomysł I zasady dynamiki wpadł Galileusz. Podobno stało się to podzas podróży. Obserwują

Bardziej szczegółowo

Transformacja Galileusza ( )

Transformacja Galileusza ( ) Tansfomaja Galileusza (564-64) z z y y Zasada względnośi Galileusza: pawa mehaniki są jednakowe we wszyskih inejalnyh układah odniesienia. F F a a Uwaga: newonowskie dodawanie pędkośi: u u S S, S S Poblem

Bardziej szczegółowo

Dynamika relatywistyczna, czasoprzestrzeń

Dynamika relatywistyczna, czasoprzestrzeń Kuala Lupur, Malesia, Febuary 4 W-8 (Jarszewiz) 3 slajdów Na pdstawie prezentaji prf. J. Rutkwskieg Dynaika relatywistyzna, zasprzestrzeń Siła relatywistyzna Pęd relatywistyzny Energia relatywistyzna:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l

Ćwiczenie 362. Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomocą sferometru. Odległość przedmiotu od ekranu, [m] l Nazwisko Data Nr na liśie Imię Wydział Ćwizenie 36 Dzień tyg Godzina Wyznazanie ogniskowej sozewek metodą Bessela i pomiar promieni krzywizny za pomoą serometr I Wyznazanie ogniskowej sozewki skpiająej

Bardziej szczegółowo

Własności falowe cząstek. Zasada nieoznaczoności Heisenberga.

Własności falowe cząstek. Zasada nieoznaczoności Heisenberga. Własnośi falowe ząstek. Zasada nieoznazonośi Heisenberga. Dlazego ząstka o określonej masie nie moŝe oruszać się z rędkośią równą rędkośi światła? Relatywistyzne równanie określająe energię oruszająego

Bardziej szczegółowo

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski FIZYKA 2 wykład 9 Janusz Andrzejewski Albert Einstein ur. 14 marca 1879 w Ulm, Niemcy, zm. 18 kwietnia 1955 w Princeton, USA) niemiecki fizyk żydowskiego pochodzenia, jeden z największych fizyków-teoretyków

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

f (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno

f (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno Zadanie 1 x 2 2mx+4m 3=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ; 1) (3 ; ) Zadanie 2 mx 2 +(2m 2) x+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ;0) (0; 1 3 ) Zadanie 3 ma jeden pierwiastek? Odp: m = -2, m =

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - - zadania z fizyki, wzory fizyczne, fizyka matura

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego -  - zadania z fizyki, wzory fizyczne, fizyka matura B C D D B C C B B B B B A Zadanie 5 (1 pkt) Astronauta podczas zbierania próbek skał z powierzchni Księżyca upuścił szczypce z wysokości 1m. Przyspieszenie grawitacyjne przy powierzchni Księżyca ma wartość

Bardziej szczegółowo

'b oraz b. Istnienie tych cząstek,

'b oraz b. Istnienie tych cząstek, 4 FOTON 127, Zima 2014 Ciężkie bariony Mihał Praszałowiz Instytut Fizyki UJ 1. Wstęp W dniu 19 listopada 2014 roku jedna z grup doświadzalnyh (tzw. LHCb) działająa w ośrodku badań jądrowyh CERN pod Genewą

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia

Bardziej szczegółowo

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności 5.04.08 Szczególna teoria względności Gdzie o tym więcej poczytać? Katarzyna Sznajd Weron Dlaczego ta teoria jest szczególna? Albert Einstein (905) Dotyczy tylko inercjalnych układów odniesienia. Spełnione

Bardziej szczegółowo

Niższy wiersz tabeli służy do wpisywania odpowiedzi poprawionych; odpowiedź błędną należy skreślić. a b c d a b c d a b c d a b c d

Niższy wiersz tabeli służy do wpisywania odpowiedzi poprawionych; odpowiedź błędną należy skreślić. a b c d a b c d a b c d a b c d Jak rozwiązać test? Każde pytanie ma podane cztery możliwe odpowiedzi oznaczone jako a, b, c, d. Należy wskazać czy dana odpowiedź, w świetle zadanego pytania, jest prawdziwa czy fałszywa, lub zrezygnować

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Zasada zachowania pędu Układ izolowany Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z innymi elementami układu, ale brak jest oddziaływań

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Fizyka I. Kolokwium

Fizyka I. Kolokwium Fizyka I. Kolokwium 13.01.2014 Wersja A UWAGA: rozwiązania zadań powinny być czytelne, uporządkowane i opatrzone takimi komentarzami, by tok rozumowania był jasny dla sprawdzającego. Wynik należy przedstawić

Bardziej szczegółowo

Definicja szybkości reakcji

Definicja szybkości reakcji Definija szybkośi reakji Szybkość reakji definiuje się jako stosunek zmiany stężenia substratów lub produktów reakji do zasu potrzebnego do zajśia tej zmiany. v zas zmiana stężenia potrzebny do zajśia

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy

FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia: a+ a) + ; ( pkt.) a+ a a b) + + ; ( pkt.) + m m m c) :. ( pkt.) m m+ Zadanie ( pkt.) Oblicz wartość liczbową wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc.

Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc. Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc. ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA ROZGRZEWKA 1. Przypuśćmy, że wszyscy ludzie na świecie zgromadzili się w jednym miejscu na Ziemi i na daną komendę jednocześnie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 8

Podstawy fizyki wykład 8 Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Ładunek elektryczny Grecy ok. 600 r p.n.e. odkryli, że bursztyn potarty o wełnę przyciąga inne (drobne) przedmioty. słowo

Bardziej szczegółowo

Ruch ładunków w polu magnetycznym

Ruch ładunków w polu magnetycznym Ruch ładunków w polu magnetycznym Ryszard J. Barczyński, 2016 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Ruch ładunków w polu magnetycznym

Bardziej szczegółowo

9.6. Promieniowanie rentgenowskie. Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga).

9.6. Promieniowanie rentgenowskie. Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga). 9. Optyka 9.6. Promieniowanie rentgenowskie. yfrakja promieniowania rentgenowskiego (prawo Bragga). Shemat budowy lampy rentgenowskiej. Przyspieszone do dużej prędkośi elektrony uderzają w antykatodę zmniejszają

Bardziej szczegółowo

III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu.

III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu. III.2 Transformacja Lorentza położenia i czasu. Transformacja Lorentza Geometria czasoprzestrzeni interwał. Konsekwencje transformacji Lorentza: dylatacja czasu i skrócenie długości. Jan Królikowski Fizyka

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna

Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna Podstawy fizyki sezon 1 XI. Mechanika relatywistyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Fizyka

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie temperatury i ciśnienia gazu z oddziaływaniem Lennarda Jonesa metodami dynamiki molekularnej

Wyznaczanie temperatury i ciśnienia gazu z oddziaływaniem Lennarda Jonesa metodami dynamiki molekularnej Pojekt n C.4. Wyznazanie tempeatuy i iśnienia gazu z oddziaływaniem Lennada Jonesa metodami dynamiki molekulanej Wpowadzenie Fizyka Rozważamy model gazu zezywistego zyli zbió atomów oddziaływująyh z sobą

Bardziej szczegółowo

IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne

IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne r. akad. 005/ 006 IV.4.4 Ruch w polach elektrycznym i magnetycznym. Siła Lorentza. Spektrometry magnetyczne Jan Królikowski Fizyka IBC 1 r. akad. 005/ 006 Pole elektryczne i magnetyczne Pole elektryczne

Bardziej szczegółowo

41P6 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V POZIOM PODSTAWOWY

41P6 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V POZIOM PODSTAWOWY 41P6 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - V Optyka fizyczna POZIOM PODSTAWOWY Dualizm korpuskularno-falowy Atom wodoru. Widma Fizyka jądrowa Teoria względności Rozwiązanie zadań należy

Bardziej szczegółowo

Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości

Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości III.3 Transformacja Lorentza położenia i pędu cd. Interwał, geometria czasoprzestrzeni Konsekwencje tr. Lorentza: dylatacja czasu i kontrakcja długości Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Geometria czasoprzestrzeni-

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

Wyjaśnienie wyników eksperymentu Michelsona-Morleyaa przy pomocy uniwersalnego układu odniesienia

Wyjaśnienie wyników eksperymentu Michelsona-Morleyaa przy pomocy uniwersalnego układu odniesienia Artykuł ukazał się w języku angielskim w otwartym dostępie w zasopiśmie Journal of Modern Physis Szostek Karol, Szostek Roman 07 The Explanation of the Mihelson-Morley Experiment Results by Means Uniersal

Bardziej szczegółowo

Efekt Halla. Cel ćwiczenia. Wstęp. Celem ćwiczenia jest zbadanie efektu Halla. Siła Loretza

Efekt Halla. Cel ćwiczenia. Wstęp. Celem ćwiczenia jest zbadanie efektu Halla. Siła Loretza Efekt Halla Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zbadanie efektu Halla. Wstęp Siła Loretza Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym w kierunku prostopadłym do linii pola magnetycznego działa

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad Poprawna odpowiedź i zasady przyznawania punktów

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad Poprawna odpowiedź i zasady przyznawania punktów GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidualny klucz do wiedzy! *Kod na końcu klucza odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony Vademecum i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa dr Mikolaj Szopa 17.10.2015 Do 1600 r. uważano, że naturalną cechą materii jest pozostawanie w stanie spoczynku. Dopiero Galileusz zauważył, że to stan ruchu nie zmienia się, dopóki nie ingerujemy I prawo

Bardziej szczegółowo