Transformacja Lorentza Wykład 14

Transkrypt

1 Transformacja Lorentza Wykład 14 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/43

2 Względność Galileusza Dotychczas rozpatrywaliśmy ruch ciał, które w wybranych układach odniesienia, poruszały się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni V c = m s m s km s. Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, są niezmiennicze względem transformacji Galileusza: t t = t +a r r = A r + Vt + b. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/43

3 Względność Galileusza Dotychczas rozpatrywaliśmy ruch ciał, które w wybranych układach odniesienia, poruszały się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni V c = m s m s km s. Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, są niezmiennicze względem transformacji Galileusza: t t = t +a r r = A r + Vt + b. W ramach Wykładu 7 pokazaliśmy, że transformacje Galileusza tworzą 10-cio parametrową grupę przekształceń. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/43

4 Względność Galileusza Dotychczas rozpatrywaliśmy ruch ciał, które w wybranych układach odniesienia, poruszały się z prędkościami znacznie mniejszymi od prędkości światła w próżni V c = m s m s km s. Prawa Newtona, również w ujęciu lagranżowskim lub hamiltonowskim, są niezmiennicze względem transformacji Galileusza: t t = t +a r r = A r + Vt + b. W ramach Wykładu 7 pokazaliśmy, że transformacje Galileusza tworzą 10-cio parametrową grupę przekształceń. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/43

5 Transformacja Galileusza 10-cio parametrowa grupa przekształceń obejmująca: translacje w czasie(1 parametr a) zasada zachowania energii translacjewprzestrzeni(3parametry b) zasada zachowania pędu(3 składowe) obroty w przestrzeni(3 parametry macierzy ortogonalnej A) zasada zachowania momentu pędu(3 składowe) transformacje do innego, inercjalnego układu odniesienia(3 parametry V) środek masy odosobnionego układu ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym(3 składowe pewnej wielkości opisującej ruch środka masy) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/43

6 Transformacja Galileusza Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóchróżnych,inercjalnychukładachodniesieniasis.s poruszasięwszestałąprędkością V = (V,0,0),aprzy t =t =0początkiobuukładówpokrywałysię. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/43

7 Transformacja Galileusza Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóchróżnych,inercjalnychukładachodniesieniasis.s poruszasięwszestałąprędkością V = (V,0,0),aprzy t =t =0początkiobuukładówpokrywałysię. y S y S x V t O O V x y = y x WspółrzędnetegozdarzeniawSiwS powiązanesąwzorami t =t, x =x Vt, y =y, z =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/43

8 Transformacja Galileusza Rozważmy zdarzenie, np. wystrzał kapiszona, które obserwujemy w dwóchróżnych,inercjalnychukładachodniesieniasis.s poruszasięwszestałąprędkością V = (V,0,0),aprzy t =t =0początkiobuukładówpokrywałysię. y S y S x V t O O V x y = y x WspółrzędnetegozdarzeniawSiwS powiązanesąwzorami t =t, x =x Vt, y =y, z =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/43

9 Transformacja Galileusza Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia. Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać t =t, r = r Vt. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/43

10 Transformacja Galileusza Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia. Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać t =t, r = r Vt. Zauważmy, że poprzednio rozpatrywaliśmy transformację Galileusza punktu materialnego lub układu punktów, a teraz rozpatrujemy transformację układu współrzędnych. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/43

11 Transformacja Galileusza Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia. Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać t =t, r = r Vt. Zauważmy, że poprzednio rozpatrywaliśmy transformację Galileusza punktu materialnego lub układu punktów, a teraz rozpatrujemy transformację układu współrzędnych. Transformacje te są wzajemnie odwrotne, stąd przeciwny znak przy wektorze prędkości względnej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/43

12 Transformacja Galileusza Czas w mechanice newtonowskiej ma charakter uniwersalny płynie tak samo we wszystkich układach odniesienia. Jeśli prędkość względna obu układów jest skierowana w dowolnym kierunku, to wzory transformacyjne mają postać t =t, r = r Vt. Zauważmy, że poprzednio rozpatrywaliśmy transformację Galileusza punktu materialnego lub układu punktów, a teraz rozpatrujemy transformację układu współrzędnych. Transformacje te są wzajemnie odwrotne, stąd przeciwny znak przy wektorze prędkości względnej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/43

13 Transformacja Galileusza Różniczkując obustronnie względem czasu wzór r = r Vt. iuwzględniającrównośćt =totrzymujemy v = v V. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/43

14 Transformacja Galileusza Różniczkując obustronnie względem czasu wzór r = r Vt. iuwzględniającrównośćt =totrzymujemy v = v V. Jest to znana reguła dodawania prędkości v = V + v. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/43

15 Transformacja Galileusza Różniczkując obustronnie względem czasu wzór r = r Vt. iuwzględniającrównośćt =totrzymujemy v = v V. Jest to znana reguła dodawania prędkości v = V + v. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/43

16 Względność Galileusza a prędkość światła Z równań Maxwella wynika, że fale elektromagnetyczne w próżni rozchodzą się we wszystkich kierunkach z taką samą prędkością c. Zastosowanie wzorów transformacyjnych v = c V. zmienia postać równań Maxwella. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/43

17 Względność Galileusza a prędkość światła Z równań Maxwella wynika, że fale elektromagnetyczne w próżni rozchodzą się we wszystkich kierunkach z taką samą prędkością c. Zastosowanie wzorów transformacyjnych v = c V. zmienia postać równań Maxwella. W 1880 r. Albert Michelson i Edward Morley skonstruowali interferometr, który umożliwił pomiar zmiany prędkości światła w zależności od kierunku w układzie związanym z Ziemią. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/43

18 Względność Galileusza a prędkość światła Z równań Maxwella wynika, że fale elektromagnetyczne w próżni rozchodzą się we wszystkich kierunkach z taką samą prędkością c. Zastosowanie wzorów transformacyjnych v = c V. zmienia postać równań Maxwella. W 1880 r. Albert Michelson i Edward Morley skonstruowali interferometr, który umożliwił pomiar zmiany prędkości światła w zależności od kierunku w układzie związanym z Ziemią. Niezależnie od kierunku propagacji światła otrzymali taki sam wynik c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/43

19 Względność Galileusza a prędkość światła Z równań Maxwella wynika, że fale elektromagnetyczne w próżni rozchodzą się we wszystkich kierunkach z taką samą prędkością c. Zastosowanie wzorów transformacyjnych v = c V. zmienia postać równań Maxwella. W 1880 r. Albert Michelson i Edward Morley skonstruowali interferometr, który umożliwił pomiar zmiany prędkości światła w zależności od kierunku w układzie związanym z Ziemią. Niezależnie od kierunku propagacji światła otrzymali taki sam wynik c. Mimo, że Ziemia ciągle zmienia kierunek swojej prędkości w ruchu dookoła Słońca, to wynik nie zależał od pory roku. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/43

20 Względność Galileusza a prędkość światła Z równań Maxwella wynika, że fale elektromagnetyczne w próżni rozchodzą się we wszystkich kierunkach z taką samą prędkością c. Zastosowanie wzorów transformacyjnych v = c V. zmienia postać równań Maxwella. W 1880 r. Albert Michelson i Edward Morley skonstruowali interferometr, który umożliwił pomiar zmiany prędkości światła w zależności od kierunku w układzie związanym z Ziemią. Niezależnie od kierunku propagacji światła otrzymali taki sam wynik c. Mimo, że Ziemia ciągle zmienia kierunek swojej prędkości w ruchu dookoła Słońca, to wynik nie zależał od pory roku. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/43

21 Postulaty szczególnej teorii względności Przypomnijmy, że inercjalny układ odniesienia, to układ, w którym obowiązuje I zasada dynamiki Newtona. Ipostulat.JeśliSjestukłademinercjalnym,aS poruszasię względemsruchemjednostajnymprostoliniowym,tos również jest układem inercjalnym. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/43

22 Postulaty szczególnej teorii względności Przypomnijmy, że inercjalny układ odniesienia, to układ, w którym obowiązuje I zasada dynamiki Newtona. Ipostulat.JeśliSjestukłademinercjalnym,aS poruszasię względemsruchemjednostajnymprostoliniowym,tos również jest układem inercjalnym. IIpostulat.Prędkośćświatławpróżnimatąsamąwartośćcwe wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od kierunku propagacji. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/43

23 Postulaty szczególnej teorii względności Przypomnijmy, że inercjalny układ odniesienia, to układ, w którym obowiązuje I zasada dynamiki Newtona. Ipostulat.JeśliSjestukłademinercjalnym,aS poruszasię względemsruchemjednostajnymprostoliniowym,tos również jest układem inercjalnym. IIpostulat.Prędkośćświatławpróżnimatąsamąwartośćcwe wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od kierunku propagacji. Postulat ten, chociaż wydaje się nielogiczny w zestawieniu z naszym codziennym doświadczeniem, to jest bardzo dobrze potwierdzony doświadczalnie. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/43

24 Postulaty szczególnej teorii względności Przypomnijmy, że inercjalny układ odniesienia, to układ, w którym obowiązuje I zasada dynamiki Newtona. Ipostulat.JeśliSjestukłademinercjalnym,aS poruszasię względemsruchemjednostajnymprostoliniowym,tos również jest układem inercjalnym. IIpostulat.Prędkośćświatławpróżnimatąsamąwartośćcwe wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od kierunku propagacji. Postulat ten, chociaż wydaje się nielogiczny w zestawieniu z naszym codziennym doświadczeniem, to jest bardzo dobrze potwierdzony doświadczalnie. Ma on daleko idące konsekwencje. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/43

25 Postulaty szczególnej teorii względności Przypomnijmy, że inercjalny układ odniesienia, to układ, w którym obowiązuje I zasada dynamiki Newtona. Ipostulat.JeśliSjestukłademinercjalnym,aS poruszasię względemsruchemjednostajnymprostoliniowym,tos również jest układem inercjalnym. IIpostulat.Prędkośćświatławpróżnimatąsamąwartośćcwe wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od kierunku propagacji. Postulat ten, chociaż wydaje się nielogiczny w zestawieniu z naszym codziennym doświadczeniem, to jest bardzo dobrze potwierdzony doświadczalnie. Ma on daleko idące konsekwencje. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/43

26 Dylatacja czasu W każdym inercjalnym układzie odniesienia wybieramy układ kartezjański i rozmieszczamy obserwatorów, na tyle gęsto, żeby mogli bez opóźnienia mierzyć czas zajścia dowolnego zdarzenia. Zakładamy, że zegary obserwatorów są zsynchronizowane. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/43

27 Dylatacja czasu W każdym inercjalnym układzie odniesienia wybieramy układ kartezjański i rozmieszczamy obserwatorów, na tyle gęsto, żeby mogli bez opóźnienia mierzyć czas zajścia dowolnego zdarzenia. Zakładamy, że zegary obserwatorów są zsynchronizowane. Eksperyment myślowy. Na podłodze wagonu rozbłyskuje światło, odbija się od sufitu i dociera do podłogi powodując bip. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/43

28 Dylatacja czasu W każdym inercjalnym układzie odniesienia wybieramy układ kartezjański i rozmieszczamy obserwatorów, na tyle gęsto, żeby mogli bez opóźnienia mierzyć czas zajścia dowolnego zdarzenia. Zakładamy, że zegary obserwatorów są zsynchronizowane. Eksperyment myślowy. Na podłodze wagonu rozbłyskuje światło, odbija się od sufitu i dociera do podłogi powodując bip. y S y S V h b lysk bip WukładzieS związanymzwagonembłyskibippojawiająsięw tymsamymmiejscupoczasie t =2h/c. x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/43

29 Dylatacja czasu W każdym inercjalnym układzie odniesienia wybieramy układ kartezjański i rozmieszczamy obserwatorów, na tyle gęsto, żeby mogli bez opóźnienia mierzyć czas zajścia dowolnego zdarzenia. Zakładamy, że zegary obserwatorów są zsynchronizowane. Eksperyment myślowy. Na podłodze wagonu rozbłyskuje światło, odbija się od sufitu i dociera do podłogi powodując bip. y S y S V h b lysk bip WukładzieS związanymzwagonembłyskibippojawiająsięw tymsamymmiejscupoczasie t =2h/c. x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/43

30 Dylatacja czasu WukładzieSzwiązanymzZiemiąbłyskibippojawiąsięw różnych miejscach. y S y S V B h b lysk A D bip C x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/43

31 Dylatacja czasu WukładzieSzwiązanymzZiemiąbłyskibippojawiąsięw różnych miejscach. y S y S V B h b lysk A D bip C x Rozważmy ADB : (c t/2) 2 =h 2 +(V t/2) 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/43

32 Dylatacja czasu WukładzieSzwiązanymzZiemiąbłyskibippojawiąsięw różnych miejscach. y S y S V B h b lysk A D bip C x Rozważmy ADB : (c t/2) 2 =h 2 +(V t/2) 2 (c 2 V 2) ( t) 2 4 =h 2 t = 2h c 2 V = 2h 2 }{{} c t 1 1 V 2 /c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/43

33 Dylatacja czasu WukładzieSzwiązanymzZiemiąbłyskibippojawiąsięw różnych miejscach. y S y S V B h b lysk A D bip C x Rozważmy ADB : (c t/2) 2 =h 2 +(V t/2) 2 (c 2 V 2) ( t) 2 4 =h 2 t = t = t γ, gdzie γ = 2h c 2 V = 2h 2 }{{} c t 1 1 V 2 /c 2 = 1 1 V 2 /c β 2, β =V/c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/43

34 Dylatacja czasu WukładzieSzwiązanymzZiemiąbłyskibippojawiąsięw różnych miejscach. y S y S V B h b lysk A D bip C x Rozważmy ADB : (c t/2) 2 =h 2 +(V t/2) 2 (c 2 V 2) ( t) 2 4 =h 2 t = t = t γ, gdzie γ = 2h c 2 V = 2h 2 }{{} c t 1 1 V 2 /c 2 = 1 1 V 2 /c β 2, β =V/c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/43

35 Dylatacja czasu Ponieważ β<1 γ >1 czasprzebieguzjawiska fizycznego mierzony w układzie poruszającym się ( t) ulega wydłużeniu w stosunku do czasu przebiegu tego zjawiska w układziespoczynkowym ( t 0 t ),tzw.czasuwłasnego t =γ t 0 t 0. Przykład 1. Czas życia mionu mierzony w układzie, w którym mion spoczywa, wynosi τ µ = ( ± ) 10 6 s s. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/43

36 Dylatacja czasu Ponieważ β<1 γ >1 czasprzebieguzjawiska fizycznego mierzony w układzie poruszającym się ( t) ulega wydłużeniu w stosunku do czasu przebiegu tego zjawiska w układziespoczynkowym ( t 0 t ),tzw.czasuwłasnego t =γ t 0 t 0. Przykład 1. Czas życia mionu mierzony w układzie, w którym mion spoczywa, wynosi τ µ = ( ± ) 10 6 s s.miony powstające w górnych warstwach atmosfery mają prędkość v 0.9c Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/43

37 Dylatacja czasu Ponieważ β<1 γ >1 czasprzebieguzjawiska fizycznego mierzony w układzie poruszającym się ( t) ulega wydłużeniu w stosunku do czasu przebiegu tego zjawiska w układziespoczynkowym ( t 0 t ),tzw.czasuwłasnego t =γ t 0 t 0. Przykład 1. Czas życia mionu mierzony w układzie, w którym mion spoczywa, wynosi τ µ = ( ± ) 10 6 s s.miony powstające w górnych warstwach atmosfery mają prędkość v 0.9c czasżyciawukładziezwiązanymzziemią τ 1/ τ µ 2.3τ µ s. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/43

38 Dylatacja czasu Ponieważ β<1 γ >1 czasprzebieguzjawiska fizycznego mierzony w układzie poruszającym się ( t) ulega wydłużeniu w stosunku do czasu przebiegu tego zjawiska w układziespoczynkowym ( t 0 t ),tzw.czasuwłasnego t =γ t 0 t 0. Przykład 1. Czas życia mionu mierzony w układzie, w którym mion spoczywa, wynosi τ µ = ( ± ) 10 6 s s.miony powstające w górnych warstwach atmosfery mają prędkość v 0.9c czasżyciawukładziezwiązanymzziemią τ 1/ τ µ 2.3τ µ s. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/43

39 Dylatacja czasu Ten efekt jest doskonale potwierdzony doświadczalnie. Gdyby go nie było, do powierzchni Ziemi docierałoby znacznie mniej mionów niż się ich obserwuje. Dylatacja czasu jest rzeczywistym zjawiskiem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/43

40 Dylatacja czasu Ten efekt jest doskonale potwierdzony doświadczalnie. Gdyby go nie było, do powierzchni Ziemi docierałoby znacznie mniej mionów niż się ich obserwuje. Dylatacja czasu jest rzeczywistym zjawiskiem, potwierdzanym na co dzień, np. w urządzeniu zwanym GPS(Global Positioning System). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/43

41 Dylatacja czasu Ten efekt jest doskonale potwierdzony doświadczalnie. Gdyby go nie było, do powierzchni Ziemi docierałoby znacznie mniej mionów niż się ich obserwuje. Dylatacja czasu jest rzeczywistym zjawiskiem, potwierdzanym na co dzień, np. w urządzeniu zwanym GPS(Global Positioning System). Aby określić położenie ciała na Ziemi z dokładnością do kilku metrów, trzeba zmierzyć czas z dokładnością do kilku nanosekund ( 10 9 s ),cowymagauwzględnieniaróżnicyczasumierzonegow układzie satelity i układzie Ziemi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/43

42 Dylatacja czasu Ten efekt jest doskonale potwierdzony doświadczalnie. Gdyby go nie było, do powierzchni Ziemi docierałoby znacznie mniej mionów niż się ich obserwuje. Dylatacja czasu jest rzeczywistym zjawiskiem, potwierdzanym na co dzień, np. w urządzeniu zwanym GPS(Global Positioning System). Aby określić położenie ciała na Ziemi z dokładnością do kilku metrów, trzeba zmierzyć czas z dokładnością do kilku nanosekund ( 10 9 s ),cowymagauwzględnieniaróżnicyczasumierzonegow układzie satelity i układzie Ziemi. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/43

43 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Wyprowadzając wzór opisujący dylatację czasu założyliśmy, że poprzeczne rozmiary ciał w ruchu(wysokość wagonu h) nie ulegają zmianie. Inaczej jest z podłużnymi rozmiarami ciał. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/43

44 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Wyprowadzając wzór opisujący dylatację czasu założyliśmy, że poprzeczne rozmiary ciał w ruchu(wysokość wagonu h) nie ulegają zmianie. Inaczej jest z podłużnymi rozmiarami ciał. Rozważmywagonporuszającysięzprędkością Vwkierunkuosi Ox. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/43

45 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Wyprowadzając wzór opisujący dylatację czasu założyliśmy, że poprzeczne rozmiary ciał w ruchu(wysokość wagonu h) nie ulegają zmianie. Inaczej jest z podłużnymi rozmiarami ciał. Rozważmywagonporuszającysięzprędkością Vwkierunkuosi Ox. W układzie S związanym z Ziemią umieszczamy obserwatora mierzącego czas, w którym mija go początek i koniec wagonu. Otrzymuje on różnicę t, a następnie oblicza długość wagonu ze wzoru L =V t. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/43

46 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Wyprowadzając wzór opisujący dylatację czasu założyliśmy, że poprzeczne rozmiary ciał w ruchu(wysokość wagonu h) nie ulegają zmianie. Inaczej jest z podłużnymi rozmiarami ciał. Rozważmywagonporuszającysięzprędkością Vwkierunkuosi Ox. W układzie S związanym z Ziemią umieszczamy obserwatora mierzącego czas, w którym mija go początek i koniec wagonu. Otrzymuje on różnicę t, a następnie oblicza długość wagonu ze wzoru L =V t. Obserwatorwwagonie(układS )możezmierzyćjegodługośćl 0, tzw. długość własną, np. taśmą mierniczą, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/43

47 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Wyprowadzając wzór opisujący dylatację czasu założyliśmy, że poprzeczne rozmiary ciał w ruchu(wysokość wagonu h) nie ulegają zmianie. Inaczej jest z podłużnymi rozmiarami ciał. Rozważmywagonporuszającysięzprędkością Vwkierunkuosi Ox. W układzie S związanym z Ziemią umieszczamy obserwatora mierzącego czas, w którym mija go początek i koniec wagonu. Otrzymuje on różnicę t, a następnie oblicza długość wagonu ze wzoru L =V t. Obserwatorwwagonie(układS )możezmierzyćjegodługośćl 0, tzw. długość własną, np. taśmą mierniczą, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/43

48 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał ale możemy postąpić inaczej. Na początku i na końcu wagonu umieszczamy obserwatorów, którzy mierzą czas w momencie, gdy mijają obserwatora O znajdującegosięwukładziesiotrzymująróżnicę t. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/43

49 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał ale możemy postąpić inaczej. Na początku i na końcu wagonu umieszczamy obserwatorów, którzy mierzą czas w momencie, gdy mijają obserwatora O znajdującegosięwukładziesiotrzymująróżnicę t. Długość wagonu w jego układzie spoczynkowym dana jest wzorem L 0 =V t. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/43

50 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał ale możemy postąpić inaczej. Na początku i na końcu wagonu umieszczamy obserwatorów, którzy mierzą czas w momencie, gdy mijają obserwatora O znajdującegosięwukładziesiotrzymująróżnicę t. Długość wagonu w jego układzie spoczynkowym dana jest wzorem L 0 =V t. Korzystajączezwiązku t =γ t( tjestmierzonewtym samym miejscu, dlatego jest czasem własnym) dostajemy L 0 =V t =Vγ t =γl L = L 0 γ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/43

51 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał ale możemy postąpić inaczej. Na początku i na końcu wagonu umieszczamy obserwatorów, którzy mierzą czas w momencie, gdy mijają obserwatora O znajdującegosięwukładziesiotrzymująróżnicę t. Długość wagonu w jego układzie spoczynkowym dana jest wzorem L 0 =V t. Korzystajączezwiązku t =γ t( tjestmierzonewtym samym miejscu, dlatego jest czasem własnym) dostajemy L 0 =V t =Vγ t =γl L = L 0 γ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/43

52 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Zatem podłużne rozmiary ciał w kierunku równoległym do wektora prędkości względnej ulegają skróceniu wg wzoru L = L 0 γ L 0. Jest to tzw. skrócenie Fitzgeralda Lorentza. Skróceniu nie ulegają natomiast rozmiary poprzeczne. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/43

53 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Zatem podłużne rozmiary ciał w kierunku równoległym do wektora prędkości względnej ulegają skróceniu wg wzoru L = L 0 γ L 0. Jest to tzw. skrócenie Fitzgeralda Lorentza. Skróceniu nie ulegają natomiast rozmiary poprzeczne. Ichpomiarwobuukładach,SiS,możnawykonaćwsymetryczny sposób, różniący się jedynie zwrotem prędkości ( Vzamieniamyna V). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/43

54 Skrócenie podłużnych rozmiarów ciał Zatem podłużne rozmiary ciał w kierunku równoległym do wektora prędkości względnej ulegają skróceniu wg wzoru L = L 0 γ L 0. Jest to tzw. skrócenie Fitzgeralda Lorentza. Skróceniu nie ulegają natomiast rozmiary poprzeczne. Ichpomiarwobuukładach,SiS,możnawykonaćwsymetryczny sposób, różniący się jedynie zwrotem prędkości ( Vzamieniamyna V). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/43

55 Transformacja Lorentza Rozważmy ponownie zdarzenie, które obserwujemy w dwóch różnych,inercjalnychukładachodniesieniasis. y S y S O V t x O x y = y V Znajdźmy związek pomiędzy współrzędnymi tego zdarzenia (t,x,y,z)wsi (t,x,y,z )ws. x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/43

56 Transformacja Lorentza Rozważmy ponownie zdarzenie, które obserwujemy w dwóch różnych,inercjalnychukładachodniesieniasis. y S y S O V t x O x y = y V Znajdźmy związek pomiędzy współrzędnymi tego zdarzenia (t,x,y,z)wsi (t,x,y,z )ws. Ze wzoru na skrócenie długości x x Vt =x /γ x =γ(x Vt). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/43

57 Transformacja Lorentza Rozważmy ponownie zdarzenie, które obserwujemy w dwóch różnych,inercjalnychukładachodniesieniasis. y S y S O V t x O x y = y V Znajdźmy związek pomiędzy współrzędnymi tego zdarzenia (t,x,y,z)wsi (t,x,y,z )ws. Ze wzoru na skrócenie długości x x Vt =x /γ x =γ(x Vt). Poprzecznerozmiarynieulegajązmianie,więcy =yiz =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/43

58 Transformacja Lorentza Rozważmy ponownie zdarzenie, które obserwujemy w dwóch różnych,inercjalnychukładachodniesieniasis. y S y S O V t x O x y = y V Znajdźmy związek pomiędzy współrzędnymi tego zdarzenia (t,x,y,z)wsi (t,x,y,z )ws. Ze wzoru na skrócenie długości x x Vt =x /γ x =γ(x Vt). Poprzecznerozmiarynieulegajązmianie,więcy =yiz =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/43

59 Transformacja Lorentza Związekodwrotnydox =γ(x Vt)otrzymamyzamieniającV na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie x =γ ( x +Vt ). Ztegorównaniamożemywyznaczyćx x =x/γ Vt. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/43

60 Transformacja Lorentza Związekodwrotnydox =γ(x Vt)otrzymamyzamieniającV na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie x =γ ( x +Vt ). Ztegorównaniamożemywyznaczyćx x =x/γ Vt. Porównującobawzorynax otrzymamyrównanie x/γ Vt =γ(x Vt), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/43

61 Transformacja Lorentza Związekodwrotnydox =γ(x Vt)otrzymamyzamieniającV na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie x =γ ( x +Vt ). Ztegorównaniamożemywyznaczyćx x =x/γ Vt. Porównującobawzorynax otrzymamyrównanie x/γ Vt =γ(x Vt), zktóregomożemywyznaczyćt t = 1 V [x/γ γ(x Vt)] =γ [ t 1 V ( 1 1/γ 2) ] x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/43

62 Transformacja Lorentza Związekodwrotnydox =γ(x Vt)otrzymamyzamieniającV na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie x =γ ( x +Vt ). Ztegorównaniamożemywyznaczyćx x =x/γ Vt. Porównującobawzorynax otrzymamyrównanie x/γ Vt =γ(x Vt), zktóregomożemywyznaczyćt t = 1 V [x/γ γ(x Vt)] =γ [ t 1 V ( 1 1/γ 2) ] x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/43

63 Transformacja Lorentza Rozważmy współczynnik stojący przy x we wzorze [ t =γ t 1 V ( 1 1/γ 2) ] x, 1 V ( 1 1/γ 2) = 1 V [ 1 ( 1 V2 c 2 )] = 1 V V 2 c 2 =V c 2, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/43

64 Transformacja Lorentza Rozważmy współczynnik stojący przy x we wzorze [ t =γ t 1 V ( 1 1/γ 2) ] x, 1 V ( 1 1/γ 2) = 1 V [ 1 ( 1 V2 c 2 )] = 1 V V 2 c 2 =V c 2, awięc t =γ (t V ) c 2x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/43

65 Transformacja Lorentza Rozważmy współczynnik stojący przy x we wzorze [ t =γ t 1 V ( 1 1/γ 2) ] x, 1 V ( 1 1/γ 2) = 1 V [ 1 ( 1 V2 c 2 )] = 1 V V 2 c 2 =V c 2, awięc t =γ (t V ) c 2x. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/43

66 Transformacja Lorentza Podsumowując ( ) t =γ t V x, x =γ(x Vt), y =y, z =z. c 2 Zauważmy,żedlaV c γ 1, V/c 0,otrzymamy t t, x x Vt, y =y, z =z, czyli wzory transformacyjne Galileusza. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/43

67 Transformacja Lorentza Podsumowując ( ) t =γ t V x, x =γ(x Vt), y =y, z =z. c 2 Zauważmy,żedlaV c γ 1, V/c 0,otrzymamy t t, x x Vt, y =y, z =z, czyli wzory transformacyjne Galileusza. Związki na odwrotną transformację Lorentza otrzymamy zamieniając V na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie t =γ (t + V ) c 2x, x =γ ( x +Vt ), y =y, z =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/43

68 Transformacja Lorentza Podsumowując ( ) t =γ t V x, x =γ(x Vt), y =y, z =z. c 2 Zauważmy,żedlaV c γ 1, V/c 0,otrzymamy t t, x x Vt, y =y, z =z, czyli wzory transformacyjne Galileusza. Związki na odwrotną transformację Lorentza otrzymamy zamieniając V na V oraz zmienne primowane na nieprimowane i odwrotnie t =γ (t + V ) c 2x, x =γ ( x +Vt ), y =y, z =z. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/43

69 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Zróżniczkujmy wzory transformacyjne Lorentza dt =γ (dt V ) c 2dx, dx =γ(dx Vdt), dy =dy, dz =dz. SkładowaxprędkościciaławukładzieS v x = dx dt = γ(dx Vdt) ( ) = γ dt V dx c 2 dx dt V 1 V c 2 dx dt = v x V, 1 Vvx c 2 gdzie ostatnią równość uzyskaliśmy dzieląc licznik i mianownik przez γdt. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/43

70 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Zróżniczkujmy wzory transformacyjne Lorentza dt =γ (dt V ) c 2dx, dx =γ(dx Vdt), dy =dy, dz =dz. SkładowaxprędkościciaławukładzieS v x = dx dt = γ(dx Vdt) ( ) = γ dt V dx c 2 dx dt V 1 V c 2 dx dt = v x V, 1 Vvx c 2 gdzie ostatnią równość uzyskaliśmy dzieląc licznik i mianownik przezγdt.składowayprędkościciaławukładzies v y = dy dt = dy ( γ dt V dx c 2 ) = ( γ dy dt 1 V c 2 dx dt ) = v y ( ). γ 1 Vvx c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/43

71 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Zróżniczkujmy wzory transformacyjne Lorentza dt =γ (dt V ) c 2dx, dx =γ(dx Vdt), dy =dy, dz =dz. SkładowaxprędkościciaławukładzieS v x = dx dt = γ(dx Vdt) ( ) = γ dt V dx c 2 dx dt V 1 V c 2 dx dt = v x V, 1 Vvx c 2 gdzie ostatnią równość uzyskaliśmy dzieląc licznik i mianownik przezγdt.składowayprędkościciaławukładzies v y = dy dt = dy ( γ dt V dx c 2 ) = ( γ dy dt 1 V c 2 dx dt ) = v y ( ). γ 1 Vvx c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/43

72 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Podobnie, dla składowej z uzyskujemy v z = dz dt = Podsumowując dz ( γ dt V dx c 2 ) = ( γ dz dt 1 V c 2 dx dt ) = v z ( ). γ 1 Vvx c 2 v x = v x V 1 Vvx c 2, v y = v y ( ), v γ 1 Vvx z = c 2 v z ( ). γ 1 Vvx c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/43

73 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Podobnie, dla składowej z uzyskujemy v z = dz dt = Podsumowując dz ( γ dt V dx c 2 ) = ( γ dz dt 1 V c 2 dx dt ) = v z ( ). γ 1 Vvx c 2 v x = v x V 1 Vvx c 2, v y = v y ( ), v γ 1 Vvx z = c 2 v z ( ). γ 1 Vvx c 2 Asymetriatychwzorówwynikazfaktu,żeukładS poruszasięw SzprędkościąskierowanąwkierunkuosiOx, V = (V,0,0). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/43

74 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Podobnie, dla składowej z uzyskujemy v z = dz dt = Podsumowując dz ( γ dt V dx c 2 ) = ( γ dz dt 1 V c 2 dx dt ) = v z ( ). γ 1 Vvx c 2 v x = v x V 1 Vvx c 2, v y = v y ( ), v γ 1 Vvx z = c 2 v z ( ). γ 1 Vvx c 2 Asymetriatychwzorówwynikazfaktu,żeukładS poruszasięw SzprędkościąskierowanąwkierunkuosiOx, V = (V,0,0). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/43

75 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Przykład 2. Rakieta poruszająca się względem Ziemi z prędkością 0.8c wystrzeliwuje w kierunku swego ruchu 1 pocisk z prędkością 0.6c, 2 wiązkę światła laserowego z prędkością c względem rakiety. Jaka jest prędkość pocisku i wiązki światła lasera względem Ziemi? Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/43

76 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Przykład 2. Rakieta poruszająca się względem Ziemi z prędkością 0.8c wystrzeliwuje w kierunku swego ruchu 1 pocisk z prędkością 0.6c, 2 wiązkę światła laserowego z prędkością c względem rakiety. Jaka jest prędkość pocisku i wiązki światła lasera względem Ziemi? Rozwiązanie. Wybieramy oś Ox układu kartezjańskiego związanego z Ziemią w kierunku ruchu rakiety i pocisku. Prędkość układu inercjalnego związanego z rakietą V = 0.8c, a prędkość w układzie rakiety 1 pociskuv x =0.6c, 2 wiązkilaserav x =c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/43

77 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Przykład 2. Rakieta poruszająca się względem Ziemi z prędkością 0.8c wystrzeliwuje w kierunku swego ruchu 1 pocisk z prędkością 0.6c, 2 wiązkę światła laserowego z prędkością c względem rakiety. Jaka jest prędkość pocisku i wiązki światła lasera względem Ziemi? Rozwiązanie. Wybieramy oś Ox układu kartezjańskiego związanego z Ziemią w kierunku ruchu rakiety i pocisku. Prędkość układu inercjalnego związanego z rakietą V = 0.8c, a prędkość w układzie rakiety 1 pociskuv x =0.6c, 2 wiązkilaserav x =c. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/43

78 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje 1 dla pocisku: v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

79 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

80 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c 1.48 v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

81 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

82 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, 2 dlaświatłalasera:v x = c+0.8c 1+0.8cc/c 2 v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

83 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, 2 dlaświatłalasera:v x = c+0.8c = 1.8c 1+0.8cc/c v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

84 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, 2 dlaświatłalasera:v x = c+0.8c 1+0.8cc/c 2 = 1.8c 1.8 =c. v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

85 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 2 dlaświatłalasera:v x = c+0.8c 1+0.8cc/c 2 = 1.8c 1.8 =c. Zauważmy,żev y =v z =0,bowobuprzypadkachv y =v z =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

86 Transformacja Lorentza dodawanie prędkości Korzystamy z odwróconej transformacji prędkości v x = v x +V 1+ Vv x c 2, v y = co daje v y ( ), v z = γ 1+ Vv x c 2 1 dlapocisku:v x = 0.6c+0.8c 1+0.8c0.6c/c 2 = 1.4c c, v z ( ), γ 1+ Vv x c 2 2 dlaświatłalasera:v x = c+0.8c 1+0.8cc/c 2 = 1.8c 1.8 =c. Zauważmy,żev y =v z =0,bowobuprzypadkachv y =v z =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/43

87 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Szczególną teorię względności wygodnie jest sformułować w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Zdefiniujmy kontrawariantny(z indeksami pisanymi u góry) czterowektor opisujący położenie punktu zdarzenia w czasoprzestrzeni ( x µ = (ct, x) = x 0,x 1,x 2,x 3). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/43

88 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Szczególną teorię względności wygodnie jest sformułować w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Zdefiniujmy kontrawariantny(z indeksami pisanymi u góry) czterowektor opisujący położenie punktu zdarzenia w czasoprzestrzeni ( x µ = (ct, x) = x 0,x 1,x 2,x 3). Umowa. Wskaźniki greckie przebiegają wartości: a wskaźniki łacińskie wartości: µ,ν,ρ,σ,... =0,1,2,3, i,j,k,l,... =1,2,3. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/43

89 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Szczególną teorię względności wygodnie jest sformułować w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Zdefiniujmy kontrawariantny(z indeksami pisanymi u góry) czterowektor opisujący położenie punktu zdarzenia w czasoprzestrzeni ( x µ = (ct, x) = x 0,x 1,x 2,x 3). Umowa. Wskaźniki greckie przebiegają wartości: a wskaźniki łacińskie wartości: µ,ν,ρ,σ,... =0,1,2,3, i,j,k,l,... =1,2,3. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/43

90 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy kowariantny(z indeksami pisanymi na dole) tensor metryczny g µν = Definiujemy kowariantny czterowektor położenia x µ =g µν x ν, gdzie sumujemy po powtarzających się indeksach greckich na różnych poziomach. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/43

91 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy kowariantny(z indeksami pisanymi na dole) tensor metryczny g µν = Definiujemy kowariantny czterowektor położenia x µ =g µν x ν, gdzie sumujemy po powtarzających się indeksach greckich na różnych poziomach. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/43

92 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

93 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

94 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

95 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

96 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

97 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

98 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

99 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

100 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν =g i0 x 0 +g ij x j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

101 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν =g i0 x 0 +g ij x j =0 x 0 δ ij x j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

102 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν =g i0 x 0 +g ij x j =0 x 0 δ ij x j = x i, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

103 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν =g i0 x 0 +g ij x j =0 x 0 δ ij x j = x i, awięc x µ = ( x 0, x 1, x 2, x 3) = (ct, x). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

104 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Umowa. Po powtarzających się indeksach łacińskich sumujemy również, gdy są na tym samym poziomie. Zauważmy, że tensor metryczny jest symetryczny g µν =g νµ. Znajdźmyzwiązekpomiędzyskładowymikowariantnymix µ i kontrawariantnymix µ czterowektorapołożenia. x 0 = g 0ν x ν =g 00 x 0 +g 0j x j =1 x 0 +0 x j =x 0, x i = g iν x ν =g i0 x 0 +g ij x j =0 x 0 δ ij x j = x i, awięc x µ = ( x 0, x 1, x 2, x 3) = (ct, x). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/43

105 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemykontrawariantnytensormetrycznyg µν poprzezrelację g µρ g ρν =δ µ ν, przy czym delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco { δ ν µ 1, dla µ =ν = 0, dla µ ν. Zadanie1.Pokazać,żeg µν =g µν. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/43

106 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemykontrawariantnytensormetrycznyg µν poprzezrelację g µρ g ρν =δ µ ν, przy czym delta Kroneckera zdefiniowana jest następująco { δ ν µ 1, dla µ =ν = 0, dla µ ν. Zadanie1.Pokazać,żeg µν =g µν. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/43

107 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

108 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν =x µ y µ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

109 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν =x µ y µ. Skorzystajmyzsymetriitensorag µν x y =g νµ x µ y ν Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

110 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν =x µ y µ. Skorzystajmyzsymetriitensorag µν x y =g νµ x µ y ν =x ν y ν, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

111 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν =x µ y µ. Skorzystajmyzsymetriitensorag µν x y =g νµ x µ y ν =x ν y ν, azatem x y =x µ y µ =x µ y µ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

112 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Definiujemy iloczyn skalarny czterowektorów x y =g µν x µ y ν. Wykorzystujączwiązeky µ =g µν y ν możemyzapisać x y =x µ g µν y ν =x µ y µ. Skorzystajmyzsymetriitensorag µν x y =g νµ x µ y ν =x ν y ν, azatem x y =x µ y µ =x µ y µ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/43

113 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Rozpiszmy sumę x µ y µ =x 0 y 0 +x i y i iskorzystajmyzezwiązków:x 0 =x 0 ix i = x i,wtedyotrzymamy x µ y µ =x 0 y 0 x i y i Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/43

114 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Rozpiszmy sumę x µ y µ =x 0 y 0 +x i y i iskorzystajmyzezwiązków:x 0 =x 0 ix i = x i,wtedyotrzymamy x µ y µ =x 0 y 0 x i y i =x 0 y 0 x y. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/43

115 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Rozpiszmy sumę x µ y µ =x 0 y 0 +x i y i iskorzystajmyzezwiązków:x 0 =x 0 ix i = x i,wtedyotrzymamy x µ y µ =x 0 y 0 x i y i =x 0 y 0 x y. W takim razie iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego wyraża się wzorem: x y =x 0 y 0 x y. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/43

116 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Rozpiszmy sumę x µ y µ =x 0 y 0 +x i y i iskorzystajmyzezwiązków:x 0 =x 0 ix i = x i,wtedyotrzymamy x µ y µ =x 0 y 0 x i y i =x 0 y 0 x y. W takim razie iloczyn skalarny czterowektorów w czasoprzestrzeni Minkowskiego wyraża się wzorem: x y =x 0 y 0 x y. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/43

117 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Zdefiniujmy kwadrat normy czterowektora x 2 =x x = ( x 0) 2 x 2 i interwał kwadrat odległości czasoprzestrzennej pomiędzy zdarzeniamixiy x y 2 = (x y) (x y) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/43

118 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Zdefiniujmy kwadrat normy czterowektora x 2 =x x = ( x 0) 2 x 2 i interwał kwadrat odległości czasoprzestrzennej pomiędzy zdarzeniamixiy x y 2 = (x y) (x y) = ( x 0 y 0) 2 ( x y) 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/43

119 Czasoprzestrzeń Minkowskiego Zdefiniujmy kwadrat normy czterowektora x 2 =x x = ( x 0) 2 x 2 i interwał kwadrat odległości czasoprzestrzennej pomiędzy zdarzeniamixiy x y 2 = (x y) (x y) = ( x 0 y 0) 2 ( x y) 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 30/43

120 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkością V = (V,0,0) x 0 = ct Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

121 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) c 2x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

122 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

123 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), x 1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

124 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), x 1 = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

125 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), x 1 = x =γ(x Vt) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

126 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

127 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

128 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

129 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = y =y = Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

130 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = y =y =x 2, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

131 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = y =y =x 2, x 3 = z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

132 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = y =y =x 2, x 3 = z =z =x 3 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43

133 Transformacja Lorentza Dokonajmy transformacji Lorentza czterowektora x do układu poruszającegosięzprędkościąv = (V,0,0) x 0 = ct =cγ (t V ) ( c 2x =γ x 0 βx 1), ( = x =γ(x Vt) =γ x 1 βx 0), x 1 x 2 = y =y =x 2, x 3 iobliczmyiloczynskalarnyczterowektorówx iy x y = = z =z =x 3 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 31/43