O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ"

Zuzanna Kasprzak
6 lat temu
Przeglądów:

1 O KOMBINATORYCE ANALITYCZNEJ Katedra Iformatyi Wydział Podstawowych Problemów Techii Politechia Wrocławsa OMatKo!!! wietia 207

2 Współczyii dwumiaowe Wzór dwumiaowy Newtoa ( + x) = =0 x ( + x) y = 0 ( + x)y Twierdzeie ( + x)y =, x y

3 Współczyii dwumiaowe Wzór dwumiaowy Newtoa ( + x) = =0 x ( + x) y = 0 ( + x)y Twierdzeie ( + x)y =, x y

4 Klasa ombiatorycza Defiicja Klasa ombiatorycza: para A = (A, ) taa, że : A N 2 ( N)( {a A : a = } < ) Ozaczeia A = {a A : a = } a = A A(x) = =0 a x (fucja tworząca lasy A) [x ] ( a x ) = a

5 Przyłady Liczby aturale N = (N, ), gdzie = N = {}, N = N (x) = x = x Sończoa strutura A = ({, }, ), gdzie =, = 2 A(x) = x + x 2 Pusta lasa E = ({ε}, ), gdzie ε = 0 A(x) = x 0 =

6 Przyład Fucja tworząca A(x) = 3 + 2x + 0x 2 + 4x 3 + 2x Iterpretacja mam 3 obiety rozmiaru 0 mam 2 obiety rozmiaru mam 0 obietów rozmiaru 2... Ituicja Wielomiay = lasy sończoe Fucje wymiere = rówaia reurecyje

7 Suma las ombiatoryczych Defiicja (Suma) Jeśli A = (A, A ), B = (B, B ) są lasami ombiatoryczymi oraz A B =, to A B = (A B, A B ) Twierdzeie Dowód. (A B)(x) = A(x) + B(x) Niech C = A B. Wtedy C = A B, więc c = a + b, więc c x = (a + b )x = a x + b x

8 Suma las ombiatoryczych Defiicja (Produt) Jeśli A = (A, A ), B = (B, B ) są lasami ombiatoryczymi, to A B = (A B, ), gdzie (a, b) = a A + b B Twierdzeie Dowód. (A B)(x) = A(x) B(x) Niech C = A B. Wtedy C = (A =0 B ), więc c = (a =0 b ), więc c x = (a b )x = a x b x =0

9 Zastosowaie Mamy Wiemy, że N (x) = x Przyglądamy się lasie A = N N N. Mamy a = {(a, b, c) N 2 : a + b + c = }. A(x) = (N (x)) 3 = ( x) 3 = ( x) 3 = 3 ( x). Co to jest? 3

10 Współczyii dwumiaowe Defiicja (Stadardowa)! =!( )! = []!, gdzie [x] = (x ) i=0 Defiicja (Wielomiaowa) x = [x]!, Twierdzeie (Góra egacja) x x = ( )

11 Zastosowaie - c.d. A(x) = 3 ( x) = + 3 ( ) ( ) x = = + 2 x = + 2 x 2 Zatem więc + 2 [x ]A(x) = {(a, b, c) N 3 : a + b + c = } =. 2

12 Ciągi Defiicja Jeśli A = (A, A ) jest taą lasą ombiatoryczą, że a 0 = 0, to SEQ(A) = E + A + (A A) +... Twierdzeie SEQ((A))(x) = A(a) Dowód. SEQ((A))(x) = E(x) + (A)(x) + ((A)(x)) 2 + ((A)(x))

13 Przyłady - sprawdzeie Liczby aturale = ({ }, ), gdzie =. (x) = x SEQ()(x) = x = N (x) Ciągi bitów B = ({, }, ), gdzie = =. B(x) = 2x SEQ(B)(x) = 2x = 2 x

14 Przyład Domio D = ({, }, ), gdzie =, = 2. D(x) = x + x 2 SEQ(D)(x) = x x 2 Liczby Fibboacciego F 0 = 0, F =, F +2 = F + + F. F x = x x 2 ZATEM [x ]SEQ(D)(x) = F

15 Przyład Domio D = ({, }, ), gdzie =, = 2. D(x) = x + x 2 SEQ(D)(x) = x x 2 Liczby Fibboacciego F 0 = 0, F =, F +2 = F + + F. F x = x x 2 ZATEM [x ]SEQ(D)(x) = F

16 Defiicja Jeśli A = (A, A ) jest taą lasą ombiatoryczą, że a 0 = 0, to CYC(A) = E + A + (A A)/ +(A A A)/... gdzie (a 0,..., a ) (b 0,..., b ) ( )( i)(b i = a (i+ mod ) ) Twierdzeie CYC(A)(x) = = φ() l A(x )

17 Przyład Naszyjii A = ({, }, ), gdzie =, =. A(x) = 2x Niech C = CYC(A) [x 5 ]C(x) = [x 5 ] = φ() Korzystamy ze wzoru: l x = m m x m ( ) = [x 5 ] = φ() m l 2x = ( ) m (2x ) m = [x 5 ] m φ() m 2m x m

18 Naszyjii-cd Mamy (5 = m) ((, m) = (, 5) (, m) = (5, )) więc [x 5 ],m φ() m 2m x m = φ() φ(5) 5 2 = = = 8

19 Biare Defiicja reurecyja T = { }(E + T T) T(x) = x( + T(x) 2 ) Twierdzeie (Lagrage Iversio Theorem) Załóżmy, że f (x) = xφ(f (x)), gdzie φ jest aalitycza w otoczeiu 0 oraz φ(0) 0. Wtedy [x ]f (x) = [u ](φ(u))

20 Biare - cd T(x) = x( + T(x) 2 ) Stosujemy LIT do fucji φ(x) = + x 2 [u ]( + u 2 ) = [u ] =0 u 2 więc ( ) jest ieparzysta t = 2 0 jest parzysta

21 Szic dowodu LIT Dowód. Jeśli T (x) = t x, to T (x) = t x. Więc t = 2πi z =ɛ T (z) z dz = ( ) Podstawiamy u = T (z). Mamy du = T (z)dz. Z tego, że T (z) = zφ(t (z)) otrzymujemy u = zφ(u), więc ( ) = φ(u) 2πi γ u du = [u ](φ(u)).

22 ANALYTIC COMBINATORICS PHILIPPE FLAJOLET, ROBERT SEDGEWICK Cambridge Uiversity Press, 2009 DZIĘKUJĘ

23 ANALYTIC COMBINATORICS PHILIPPE FLAJOLET, ROBERT SEDGEWICK Cambridge Uiversity Press, 2009 DZIĘKUJĘ

Podobne dokumenty

Matematyka Dyskretna - zagadnienia

Matematyka Dyskretna - zagadnienia Matematya Dysretna - zagadnienia dr hab. Szymon Żebersi opracował: Miołaj Pietre Semestr letni 206/207 - strona internetowa Zasada inducji matematycznej. Zbiory sończone, podstawowe tożsamości 2. Zasada