7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych

Transkrypt

1 32 7 Klasyfiacja sończenie generowanych grup przemiennych W tym rozdziale zajmiemy sie sończenie generowanymi grupami przemiennymi Zgodnie z tradycja be dziemy sie pos lugiwać zapisem addytywnym Dzia lanie dwuargumentowe oznaczamy przez + (x + y zamiast x y), dzia lanie jednoargumentowe przez ( x zamiast x 1 ), element neutralny przez 0 (zamiast 1), a podgrupe trywialna przez 0 (zamiast 1) Piszemy taże nx zamiast x n Przypomnijmy, że grupe nazywamy grupa sończenie generowana, jeżeli posiada sończony zbiór generatorów Oczywiście sończenie generowane sa wszystie grupy sończone, grupy cyliczne (w tym Z grupa cyliczna niesończona) i sończone produty grup sończenie generowanych Nie sa grupami sończenie generowanymi na przy lad grupy Q, R, C Zacznijmy od przypomnienia pewnych fatów dotycza cych grup cylicznych 71 Stwierdzenie Grupa cyliczna niesończona Z jest nieroz ladalna, Każda podgrupa grupy Z jest postaci mz, gdzie m N 0} 72 Stwierdzenie Jeżeli p jest liczba, to grupa cyliczna Z p jest nieroz ladalna 73 Stwierdzenie Jeżeli n = p 1 1 p m m, jest roz ladem liczby n na czynnii pierwsze (p i p j dla i j), to Z n = Zp1 1 Z p2 2 Z pm m, a zatem Z n roz lada sie na produt p grup cylicznych nieroz ladalnych Oznaczenie: Produt l egzemplarzy tej samej grupy H be dziemy dla srócenia zapisu oznaczać symbolem H l Przyjmujemy onwencje, że dla l = 0, H l jest grupa trywialna Naste ce twierdzenie rozstrzyga ca lowicie problem lasyfiacji sończenie generowanych grup przemiennych 74 Twierdzenie (o lasyfiacji grup przemiennych sończenie generowanych) Każda sończenie generowana grupa przemienna jest izomorficzna ze sończonym produtem (nieroz ladalnych) p grup cylicznych i grup izomorficznych z (nieroz ladalna ) grupa cyliczna niesończona Z ( ) (Z p1 1 ) v1 (Z p2 2 ) v2 (Z pn n ) vn Z l, gdzie p 1 1, p 2 2,, p n n sa parami różnymi pote gami liczb pierwszych (nieoniecznie różnych), l N 0}, zaś 1, 2,, n, v 1, v 2,, v n N \ 0} Ponadto, czynnii produtu sa wyznaczone jednoznacznie, z do ladnościa do olejności Na sformu lowane powyżej Twierdzenie o lasyfiacji s ladaja sie dwie dość odre bne rzeczy: 1 możliwość przedstawienia grupy w postaci ( ), sformu lowanie p grupa oznacza tutaj grupe, tórej rza d jest pote ga liczby pierwszej i tylo tyle; por Uwaga 63

2 33 2 jednoznaczność zapisu w postaci ( ) Twierdzenie to pozostawimy bez dowodu Ograniczymy sie do ilu uwag Zaczniemy od uwagi dotycza cej jednoznaczności zapisu ( ) Zobaczmy, że w dowodzie jednoznaczności można rozdzielić przypade produtu p grup cylicznych sończonych od przypadu produtu grup cylicznych izomorficznych z Z Poniższe twierdzenie wyjaśnia do ladnie sens tego sformu lowania 75 Twierdzenie Jeżeli (Z p1 1 ) v1 (Z pn n ) vn Z l = (Zq1 m 1 ) w1 (Z qs ms ) ws Z t, to oraz Z l = Z t (Z p1 1 ) v1 (Z pn n ) vn = (Z q1 m 1 ) w1 (Z qs ms ) ws Dowód Niech S(G) be dzie podgrupa grupy przemiennej G z lożona ze wszystich elementów sończonego rze du (dla grupy przemiennej jest to istotnie podgrupa) Jeżeli G 1 = G2, to oczywiście S(G 1 ) = S(G 2 ), G 1 /S(G 1 ) = G 2 /S(G 2 ) Sta d natychmiast wynia, że (Z p1 1 ) v1 (Z pn n ) vn = (Z q1 m 1 ) w1 (Z qs ms ) ws, Z l = Z t Przypade produtu grup cylicznych izomorficznych z Z jest bardzo prosty: 76 Twierdzenie Grupy Z l i Z t sa izomorficzne wtedy i tylo wtedy, gdy l = t Dowód Zauważmy, że dla dowolnej grupy przemiennej G, zbiór 2G = 2g: g G} jest podgrupa Ponadto, jeżeli ϕ : G H jest izomorfizmem, to ϕ 2G : 2G 2H i ϕ : G/2G H/2H sa izomorfizmami Oczywiście Z i /2Z i = (Z 2 ) i Zatem, jeżeli Z l = Z t, to (Z 2 ) l = (Z 2 ) t, a wobec tego l = t (bo już sam warune równoliczności grup (Z 2 ) l i (Z 2 ) t impliuje l = t) Przypade produtu p grup cylicznych sończonych nietrudno zreduować do sytuacji, gdy rze dy rozpatrywanych p grup sa pote gami jednej ustalonej liczby pierwszej p i pos lużyć sie inducja Przechodzimy do uwag dotycza cych możliwości przedstawienia grupy w postaci ( ) Zauważmy, że na mocy Twierdzenia 73 wystarczy udowodnić, że prawdziwe jest naste ce twierdzenie

3 34 77 Twierdzenie Każda sończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z produtem sończonej liczby grup cylicznych NastE cy fat przyjmijmy na wiare 78 Lemat Jeżeli H Z n, to H jest grupa sończenie generowana Oznaczenie Wyróżnijmy w Z n wygodny u lad generatorów x 1,, x n gdzie x i = (0,, 0, 1, 0,, 0) (wszystie wspó lrze dne z wyja tiem i tej równe 0) 79 Stwierdzenie Niech a 1,, a n be da dowolnymi elementami przemiennej grupy H Wówczas istnieje do ladnie jeden homomorfizm f : Z n H, tai że f(x i ) = a i dla i = 1,, n Dowód Bezpośrednie sprawdzenie 710 Przy lad Dla dowolnych 1 i, j n, i j, c Z istnieje automorfizm f grupy Z n, zadany wzorem x j f(x ) = cx i + x j = j Stwierdzenie 79 gwarantuje istnienie homomorfizmu zadanego na generatorach w tai w laśnie sposób O tym, że jest to automorfizm przeonujemy sie sprawdzaja c, że istnieje homomorfizm odwrotny f 1, zadany wzorem f 1 x j (x ) = cx i + x j = j 711 Wniose Każda grupa przemienna sończenie generowana jest obrazem homomorficznym pewnej grupy Z n Zatem ażda grupa przemienna sończenie generowana da sie przedstawić w postaci Z n /N, gdzie N Z n Na mocy Lematu 78 podgrupa N grupy Z n jest zadana przez podanie sończonego u ladu generatorów Każdy z tych generatorów można zapisać w postaci wetora (a 1,, a n ) Zapisuja c je jeden pod drugim otrzymamy macierz A Be dziemy używać naturalnego i wygodnego zapisu Z n /A na oznaczenie ilorazu grupy Z n przez podgrupe generowana przez wiersze macierzy A 712 Przy lad Niech A = Wówczas Z 3 /A = Z 3 Z 2 0 = Z 3 Z 2 Powyższy przy lad jest oczywiście bardzo szczególny rozpatrujemy macierz diagonalna, co pozwala na latwe zidentyfiowanie grupy ilorazowej, w postaci taiej, jaiej oczeujemy (tzn w postaci produtu grup cylicznych) Odnotujmy oczywiste stwierdzenie ogólne 713 Stwierdzenie Jeżeli A jest macierza diagonalna o wyrazach a 1,, a n na przea tnej, to Z n /A jest izomorficzne z produtem grup Z ai (stosujemy tu onwencje, że Z 1 = 0, Z 0 = Z) Ustaliliśmy, że rozpatrywana grupa przemienna sończenie generowana jest postaci Z n /A Chcemy teraz poazać, że macierz A może być zasta piona macierza diagonalna Jest to możliwe dzie i naste cemu lematowi

4 714 Lemat Naste ce operacje na macierzy A nie zmieniaja lasy izomorfizmu grupy ilorazowej: (a) Zamiana dwóch wierszy (albo olumn) miejscami (b) Pomnożenie wiersza (lub olumny) przez 1 (c) Dodanie do i tego wiersza (olumny) wielorotności j tego wiersza (olumny), dla i j (d) Usunie cie/dodanie wiersza zerowego Dowód Dopuszczalność operacji na wierszach jest we wszystich czterech przypadach oczywista wiersze zmodyfiowanej macierzy opisuja do ladnie te sama podgrupe W przypadu operacji olumnowych ((a),(b),(c)) wyjaśnienie jest nieco bardziej sompliowane Na przy lad dla operacji typu (c): rozpatrywaliśmy automorfizm f grupy Z n, zadany wzorem x j f(x ) = cx i + x j = j Jest jasne, że Z n /N = Z n /f(n) Latwo sprawdzić, że macierz opisuja ca podgrupe f(n) to w laśnie zmodyfiowana macierz A (do j tej olumny dodano i ta olumne pomnożona przez sta la c) Pozostaje poazać, że dopuszczalne operacje pozwalaja od dowolnej macierzy przejść do macierzy diagonalnej 715 Lemat Każda macierz ca lowitoliczbowa można za pomoca operacji (a) (d) sprowadzić do postaci diagonalnej Dowód (a zarazem opis algorytmu) Szuamy w macierzy A niezerowego wyrazu c o najmniejszej wartości bezwzgle dnej Jeżeli sie da, to dodajemy odpowiednio dobrana wielorotność jego wiersza lub olumny do innego odpowiednio dobranego wiersza (olumny), ta aby uzysać wyraz niezerowy o mniejszej wartości bezwzgle dnej Jeżeli sie nie da, to oznacza to, że wszystie wyrazy w olumnie i wierszu wyrazu c sa podzielne przez c Wówczas dodaja c wielorotności wiersza i olumny wyrazu c do pozosta lych wierszy i olumn doprowadzamy do taiej sytuacji, że w wierszu i olumnie wyrazu c sa same zera (poza wyrazem c) Przestawiaja c wiersze i olumny doprowadzamy do tego, żeby wyraz c znalaz l sie w lewym górnym rogu Powtarzamy ca la procedura dla mniejszej macierzy, powsta lej przez sreślenie pierwszego wiersza i olumny Ta naprawde pracujemy dalej z ta duża macierza, tylo że pierwszy wierszy i olumna nie podlegaja już żadnym modyfiacjom Ostatecznie otrzymujemy macierz diagonalna (być może onieczne be dzie dopisanie lub usunie cie pewnej liczby wierszy zerowych), co ończy dowód lematu Kończy to taże dowód możliwości przedstawienia grupy w postaci ( ) Warto jeszcze wspomnieć o cze sto stosowanej notacji dotycza cej grup przemiennych sończenie generowanych 716 Przy lad Zapis: grupa przemienna G zadana przez generatory i relacje x, y, z, w x + 2y 2z = 0, 2x 5y = 0, 3x = 0 35 lub rócej x, y, z, w x + 2y 2z, 2x 5y, 3x

5 36 jest równoważny naszemu zapisowi G = Z 3 /A, gdzie A = Zobaczmy, co to za grupa Przeszta lcamy macierz A w podany poniżej sposób: Ja widać Z 4 /A = Z 1 Z 1 Z 30 Z 0 = 0 0 Z 30 Z = Z 30 Z = Z 2 Z 3 Z 5 Z Twierdzenie Sylowa Przytoczymy teraz twierdzenie Sylowa, na tóre można patrzeć ja na odwrócenie twierdzenia Lagrange a dla pewnych dzielniów rze du grupy Jeżeli G jest grupa rze du n i n = p 1 1 p s s jest przedstawieniem n w postaci iloczynu pote g różnych liczb pierwszych, to twierdzenie Sylowa mówi, że dla ażdego p i istnieje w G podgrupa rze du p i i i podaje ograniczenia na liczbe taich podgrup 717 Definicja Niech G = p r, gdzie p jest liczba i (p, r) = 1 Podgrupe H G nazywamy p podgrupa Sylowa grupy G jeżeli H = p 718 Twierdzenie Sylowa Niech G = p r, gdzie p jest liczba i (p, r) = 1 Wówczas: a) Istnieje p podgrupa Sylowa w G b) Jeżeli H jest p podgrupa Sylowa w G, a K G dowolna p-podgrupa, to istnieje element g G dla tórego K ghg 1 W szczególności, ażda p podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p podgrupie Sylowa c) Każde dwie p podgrupy Sylowa sa sprze żone d) Jeżeli s p oznacza liczbe p podgrup Sylowa grupy G, to s p r i s p 1 (mod p)