Ci gªy fragment rachunku µ

Transkrypt

1 Ci gªy fragment rachunku µ Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 28 maja 2009

2 Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ),

3 Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta,

4 Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta, 3. Ci gªy fragment jest naturalnym rozszerzeniem PDL,

5 Motywacje 1. Rozwa»amy logiki wzbogacone o operator najmniejszego punktu staªego (modalny rachunek µ, LFP=FO+µ), 2. Ci gªy fragment jest silnie powi zany z ci gªo±ci w sensie Scotta, 3. Ci gªy fragment jest naturalnym rozszerzeniem PDL, 4. Badanie relacji pomi dzy formuªami ci gªymi, a konstruktywnymi przybli»anie formuª konstruktywnych ci gªymi.

6 Contents Wst p Skªadnia i semantyka Proste wªasno±ci Automaty i gry dla rachunku µ Ci gªy fragment rachunku µ Ci gªo±, a ci gªo± w sensie Scotta Formuªy konstruktywne i ich zwi zki z ci gªymi Chwytanie ci gªego fragmentu Klasy formuª CF(P X ) CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p

7 Skªadnia rachunku µ Denicja Prop sko«czony zbiór zmiennych zdaniowych, Var przeliczalny zbiór zmiennych. Formuªy rachunku µ deniujemy indukcyjnie: ϕ T p x ϕ ϕ ϕ ϕ µx.ϕ, gdzie p Prop, x Var oraz ka»de wyst pienie zmiennej x w µx.ϕ poprzedzone jest parzyst ilo±ci negacji. Skróty notacyjne: ϕ ψ, ϕ oraz νx.ϕ s skrótami dla odpowiednio ( ϕ ψ), ϕ oraz µx. ϕ[ x/x].

8 Modele Kripkego Denicja Ram Kripkego nazywamy par (M, R), gdzie M jest niepustym zbiorem, a R M 2. Modelem Kripkego nazywamy trójk (M, R, V ), gdzie (M, R) jest ram Kripkego, a V : Prop P(M) jest ewaluacj (valuation) zmiennych zdaniowych. Kiedykolwiek zachodzi srt, wtedy t nazwiemy nast pnikiem s. Przez R(s) oznacza b dziemy zbiór nast pników s.

9 Semantyka Kripkego Dla dowolnej formuªy ϕ rachunku µ, modelu M = (M, R, V ) oraz warto±ciowania (assignment) τ : Var P(M) deniujemy ϕ M,τ podzbiór zbioru M (zbiór punktów, w których ϕ jest prawdziwe). ϕ = T, to ϕ M,τ = M, ϕ = p, to ϕ M,τ = V (p), ϕ = x, to ϕ M,τ = τ(x), ϕ = θ 1 θ 2, to ϕ M,τ = θ 1 M,τ θ 2 M,τ, ϕ = θ, to ϕ M,τ = M θ M,τ, ϕ = θ, to ϕ M,τ = {t M s M (trs s θ M,τ )}, ϕ = µx.θ, to ϕ M,τ = {A M θ M,τ[x:=A] A}, gdzie τ[x := A] to warto±ciowanie τ takie,»e τ (x) = A oraz τ (y) = τ(y), dla x y.

10 Semantyka cd. wyja±nienia Uwaga µx.ϕ M,τ jest najmniejszym punktem staªym odwzorowania ϕ x : P(M) P(M) zdeniowanego jako ϕ x (A) = ϕ M,τ[x:=A], dla A M. Podobnie deniujemy odwzorowanie ϕ p : P(M) P(M) jako ϕ p (A) = ϕ M[p:=A],τ, gdzie M[p := A] = (M, R, V ) to model taki,»e V (p) = A oraz V (q) = V (q), dla q p.

11 Konwencje Konwencje notacyjne Dla s ϕ M,τ piszemy M, s τ ϕ i powiemy,»e ϕ jest prawdziwe w s przy warto±ciowaniu τ. Dla zda«pomijamy warto±ciowanie τ. Piszemy ϕ = ψ, gdy dla dowolnych modeli M, punktów s M z M, s ϕ wynika M, s ψ. Denicja Formuªa ϕ jest monotoniczna wzgl dem p je»eli dla dowolnych modeli M = (M, R, V ) oraz dowolnych warto±ciowa«τ i podzbiorów A, B M speªniaj cych A B zachodzi ϕ p (A) ϕ p (B).

12 Semantyka przez gry Gra semantyczna Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem, s M, τ b dzie warto±ciowaniem oraz ϕ b dzie formuª rachunku µ. Gra semantyczna dla M, s, τ, ϕ rozgrywa si mi dzy dwoma graczami: Adamem i Ew. Jest to uogólnienie standardowej gry semantycznej dla logiki modalnej. Pozycje w grze to czwórki: (t, ψ, Z, i), gdzie t M, ψ formuªa, Z n Var Form µ oraz i {0, 1}. Pozycje w których i = 0 s standardowe, natomiast te z i = 1 oznaczaj,»e gracze zamienili si rolami (przeszli±my nieparzy±cie wiele razy przez negacj ). Stan pocz tkowy to (s, ϕ,, 0). Denicja Powiemy,»e y Var jest bardziej na zewn trz od x Var w formule ϕ, gdy ϕ ma podformuª postaci µx.χ(x, y) lub νx.χ(x, y) i y jest wolna w χ.

13 Gra semantyczna dla rachunku µ (s, T, Z, 0) wygrywa Ewa, (s, x, Z, 0) oraz x nie zostaªa zwi zana je±li s τ(x) wygrywa Ewa, wpp wygrywa Adam, (s, p, Z, 0) je±li s V (p) wygrywa Ewa, wpp wygrywa Adam, (s, θ 1 θ 2, Z, 0) Ewa wybiera pomi dzy (s, θ 1, Z, 0), a (s, θ 2, Z, 0), (s, θ 1 θ 2, Z, 0) Adam wybiera pomi dzy (s, θ 1, Z, 0), a (s, θ 2, Z, 0), (s, ψ, Z, 0) Ewa wybiera (s, ψ, Z, 1), (s, ψ, Z, 0) Ewa wybiera (t, ψ, Z, 0), dla t dowolnego nast pnika s, (s, ψ, Z, 0) Adam wybiera (t, ψ, Z, 0), dla t dowolnego nast pnika s, (s, νx.ψ, Z, 0) Ewa wybiera (s, ψ, Z {(x, ψ)}, 0), (s, µx.ψ, Z, 0) Adam wybiera (s, ψ, Z {(x, ψ)}, 0), (s, x, Z, 0) oraz (x, ψ) Z Ewa wybiera (s, ψ, Z, 0).

14 Gra semantyczne dla rachunku µ (2) W pozycjach (s, ψ, Z, 1) wszystkie przej±cia si dualizuj (zamieniamy wsz dzie Adam na Ewa i na odwrót). Warunek zwyci stwa W grze niesko«czonej wygrywa Ewa, gdy najbardziej zewn trzna ze zmiennych wyst puj cych w rozgrywce niesko«czenie wiele razy jest zwi zana operatorem ν. Twierdzenie M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy Ewa ma strategi wygrywaj c w odpowiedniej grze semantycznej.

15 Wªasno±ci rachunku µ Uwaga Prawdziwo± zdania w punkcie s zale»y jedynie od punktów dost pnych z s (by mo»e w wi kszej ilo±ci kroków). Fakt ten motywuje do wprowadzenia nast puj cej denicji podmodelu generowanego przez s. Denicja Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem. Podzbiór N M jest domkni ty w gór, gdy dla dowolnych s, t M je»eli srt oraz s N, to t N. Model N = (N, S, U) jest podmodelem generowanym w M je»eli N M jest domkni ty w gór, S = R (N N) oraz dla ka»dego p Prop U(p) = V (p) N. Je»eli N M, to powiemy,»e N = (N, S, U) jest podmodelem generowanym przez N je»eli N jest podmodelem generowanym w M oraz N jest najmniejszym domkni tym w gór zbiorem zawieraj cym N.

16 Wªasno±ci rachunku µ cd. Denicja Punkt s jest korzeniem modelu M = (M, R, V ), gdy dla dowolnego t s istnieje ±cie»ka od s do t (w sensie relacji R). Model M = (M, R, V ) nazwiemy ωrozszerzonym je»eli jest drzewem takim,»e dla dowolnego s M oraz dowolnego jego nast pnika t istnieje niesko«czenie wiele ró»nych bisymilarnych nast pników s. Twierdzenie Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem i niech s M. Istnieje ωrozszerzony model M = (M, R, V ) taki,»e s oraz korze«s M s bisymilarne. W szczególno±ci dla dowolnego zdania ϕ rachunku µ M, s ϕ dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ.

17 µ automaty, µ gry Denicja µautomat A nad sko«czonym alfabetem Σ to krotka (Q, q 0, δ, Ω), gdzie Q jest sko«czony zbiór stanów, q 0 Q jest stanem pocz tkowym, δ : Q Σ PP(Q) jest funkcj przej±cia oraz Ω : Q N jest funkcj parzysto±ci. Dla modelu M = (M, R, V ) wraz z etykietowaniem L : M Σ (L : M P(Prop)) oraz punktu s M Agra w M z pozycj startow (s, q 0 ) rozgrywa si pomi dzy dwoma graczami: Duplikatorem i Spoilerem.

18 µ gry przebieg rozgrywki Rozgrywka W pozycji (t, q) ruch wykonuje Duplicator: wybiera oznaczenie m : Q P{u : tru}, gdy (u m(q)) powiemy,»e u jest oznaczone przez q, wybiera opis D z δ(q, L(t)), m i D musz speªnia : Gdy q D, istnieje u taki,»e tru oznaczony przez q, Gdy tru, istnieje q D taki,»e u jest oznaczone przez q. Nast pnie Spoiler wybiera (u, q ) takie,»e t m(q ). Ka»dy z graczy wygrywa, gdy przeciwnik nie mo»e wykona ruchu. W niesko«czonych rozgrywkach (s, q 0 ), (s 1, q 1 ),... wygrywa Duplicator, gdy lim inf i Ω(q i ) jest parzyste. Denicja Powiemy,»e automat A akceptuje (M, s), gdy Duplicator ma strategi wygrywaj c w Agrze w M rozpoczynaj cej si w pozycji (s, q 0 ).

19 Po co nam µ automaty i µ gry? Twierdzenie Dla dowolnego µautomatu A (nad P(Prop)) istnieje zdanie ϕ A takie,»e dla dowolnych modeli M oraz punktów s M A akceptuje (M, s) dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ A. Dla dowolnego zdania ϕ istnieje µautomat A ϕ taki,»e dla dowolnych modeli M oraz punktów s M A ϕ akceptuje (M, s) dokªadnie wtedy, gdy M, s ϕ.

20 Contents Wst p Skªadnia i semantyka Proste wªasno±ci Automaty i gry dla rachunku µ Ci gªy fragment rachunku µ Ci gªo±, a ci gªo± w sensie Scotta Formuªy konstruktywne i ich zwi zki z ci gªymi Chwytanie ci gªego fragmentu Klasy formuª CF(P X ) CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p

21 Denicja ci gªego fragmentu Denicja Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p formuªa ϕ jest ci gªa wzgl dem p, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ), punktu s M oraz warto±ciowania τ zachodzi: M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy istnieje sko«czony F V (p) taki,»e M[p := F ], s τ ϕ. Analogicznie deniujemy ci gªo± wzgl dem zmiennej: Formuªa ϕ jest ci gªa wzgl dem zmiennej x, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ), punktu s M oraz warto±ciowania τ zachodzi: M, s τ ϕ dokªadnie wtedy, gdy istnieje sko«czony F τ(x) taki,»e M, s τ[x:=f ] ϕ. Uwaga Formuªa jest ci gªa wzgl dem p Prop, gdy jest monotoniczna wzgl dem p oraz by ustali prawdziwo± ϕ w punkcie dowolnego modelu potrzebujemy jedynie informacji o sko«czenie wielu punktach, w których zachodzi p.

22 Ci gªo± w sensie Scotta Denicja Niech M = (M, R, V ) b dzie modelem. Rodzin F podzbiorów M nazwiemy skierowan, je»eli dla dowolnych U 1, U 2 F istnieje U F taki,»e U 1 U 2 U. Zbiór otwarty w topologii Scotta w P(M) to rodzina O podzbiorów M domkni ta na nadzbiory oraz taka,»e dla dowolnej skierowanej rodziny F takiej,»e F O przeci cie F O jest niepuste. Odwzorowanie f : P(M) P(M) jest ci gªe w sensie Scotta, gdy dla dowolnego zbioru otwartego w sensie Scotta O zbiór f 1 [O] = {f 1 (U) U O} jest otwarty w sensie Scotta. Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p zdanie ϕ jest ci gªe w sensie Scotta wzgl dem p, gdy dla dowolnego modelu M = (M, R, V ) odwzorowanie ϕ p : P(M) P(M) jest ci gªe w sensie Scotta.

23 Ci gªo± w sensie Scotta cd. Fakt Odwzorowanie f jest ci gªe w sensie Scotta dokªadnie wtedy, gdy zachowuje sumy skierowane. Czyli dla dowolnej rodziny skierowanej F zachodzi f ( F) = f [F], gdzie f [F] = {f (U) : U F}.

24 Ci gªo± w sensie Scotta = ci gªo± Twierdzenie Zdanie jest ci gªe wzgl dem p dokªadnie wtedy, gdy jest ci gªe w sensie Scotta wzgl dem p. Dowód: ( ) Pokazujemy,»e dla ϕ ci gªego wzg dem p ϕ p zachowuje sumy skierowane. Jedna inkluzja wynika z monotoniczno±ci ϕ p. Dowodz c drugiej inkluzji korzystamy z ci gªo±ci ϕ wzgl dem p, by wybra sko«czony podzbiór F F determinuj cy prawdziwo± ϕ. Poniewa» F skierowana istnieje U F takie,»e F U. Z monotoniczno±ci M[p := F ], s ϕ poci ga M[p := U], s ϕ, a poniewa» U F, to M[p := F], s ϕ.

25 Dowód cd. ( ) Monotoniczno± otrzymujemy bior c dla dowolnych U U rodzin skierowan F = {U, U } na mocy zachowywania przez ϕ p sum skierowanych. Pozostaje, dla M, s ϕ (s ϕ p (V (P))) znale¹ sko«czony podzbiór F V (p) taki,»e M[p := F ], s ϕ. Bierzemy rodzin skierowan F = {F V (p) : F skoczony} i korzystamy z faktu,»e ϕ p zachowuje sumy skierowane. Mamy ϕ p (V (p)) = ϕ p ( F) = ϕ p [F]. Zatem istnieje F F takie,»e s ϕ p (F ).

26 Konstruktywne formuªy Denicja Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p zdanie ϕ jest konstruktywne wzgl dem p, gdy dla dowolnych modeli M = (M, R, V ) najmniejszy punkt staªy odwzorowania ϕ p : P(M) P(M) jest równy i=0 {ϕi p( )}, gdzie ϕ 0 p = ϕ p oraz ϕ i+1 p = ϕ p ϕ i. p

27 Zdania ci gªe s konstruktywne Twierdzenie Je»eli zdanie ϕ jest ci gªe wzgl dem p, to jest konstruktywne wzgl dem p. Dowód: Rozwa»amy rodzin {ϕ i p( )} i N. Chcemy, by ϕ p ( F) = F. Zauwa»my,»e F jest skierowana. Zatem ϕ p ( F) = ϕ p [F]. Oczywi±cie ϕ p [F] = F.

28 Przykªady zda«nieci gªych, a konstruktywnych Przykªad 1. ϕ = p. ϕ jest prawdziwe w punktach o gª boko±ci mniejszej ni» 2. Mamy ϕ 2 p( ) = ϕ 3 p( ). Jednak model mo»e mie niesko«czone rozgaª zienie ϕ nie jest ci gªa wzgl dem p. Przykªad 2. ψ = νx.(p x). ψ jest prawdziwe w punktach, z których istnieje niesko«czona ±cie»ka zªo»ona z punktów, w których p jest prawdziwe. Nie jest ci gªe wzgl dem p, natomiast dla wszystkich modeli ψ p ( ) =.

29 Contents Wst p Skªadnia i semantyka Proste wªasno±ci Automaty i gry dla rachunku µ Ci gªy fragment rachunku µ Ci gªo±, a ci gªo± w sensie Scotta Formuªy konstruktywne i ich zwi zki z ci gªymi Chwytanie ci gªego fragmentu Klasy formuª CF(P X ) CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p

30 Charakteryzacja skªadniowa ci gªego fragmentu Denicja Niech P Prop oraz X Var. Klas formuª CF(P X ) deniujemy indukcyjnie: ϕ T p x ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µy.χ gdzie p P, x X, ψ jest formuª rachunku µ w której nie wyst puj zmienne z P X oraz χ nale»y do CF(P X {y}). Fakt Klasy formuª CF(P X ) s domkni te na zªo»enia, to znaczy: dla dowolnej formuªy ϕ CF(P X {p}) oraz formuªy ψ CF(P X ) zachodzi ϕ[ψ/p] CF(P X ).

31 Zdania z CF(p) s ci gªe wzgl dem p Dowód: Indukcja ze wzgl du na budow ϕ pokazujemy,»e dla dowolnych P Prop oraz X Var je»eli ϕ CF(P X ), to ϕ ci gªa wzgl dem wszystkich p P oraz x X. Krok indukcyjny: ϕ = µy.χ, gdzie χ CF(P X {y}), p P. Pokazuj c monotoniczno± ϕ p korzystamy jedynie z monotoniczno±ci χ y. Pozostaje znale¹ sko«czony F V (p) determinuj cy prawdziwo± ϕ. Rozwa»amy F rodzin sko«czonych podzbiorów V (p).

32 Dowód cd. Niech χ F y (A) = χ M[p:=F ],τ[y:=a] i niech f (F ) b dzie najmniejszym punktem staªym χ F y (A). Przy zaªo»eniu,»e M, s τ µy.χ szukamy F F takiego,»e s f (F ). We¹my G = {f (F ) : F F}. G jest rodzin skierowan. Wystarczy pokaza,»e χ y ( G) = χ y (G). Pokazujemy to korzystaj c z zaªo»enia indukcyjnego o ci gªo±ci χ wzgl dem y oraz p.

33 CF(p) formuªy ci gªe wzgl dem p. Twierdzenie Zdanie ϕ jest ci gªe wzgl dem p dokªadnie wtedy, gdy jest równowa»ne zdaniu z CF(p). Dowód: Wystarczy pokaza implikacj w praw stron. Niech ϕ b dzie ci gªe wzgl dem p. Szukamy χ CF(p) równowa»nego ϕ. B dziemy konstruowa sko«czony zbiór Π CF(p) taki,»e: ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ} df χ Zbiór Π budujemy przy pomocy automatów o co najwy»ej k stanach (k zale»y od ϕ).

34 Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? dowód cd. Niech A = (Q, q 0, δ, ω) b dzie µautomatem zwi zanym ze zdaniem ϕ. Dla q Q niech ϕ q b dzie zdaniem otrzymanym z A przez zamian stanu pocz tkowego z q 0 na q. Deniujemy nast puj cy zbiór zda«sort0: {p : p Prop {p}, p σ} { p : p Prop {p}, p σ} dla σ Prop {p}. Dla dowolnego punktu s M w Sort0 istnieje dokªadnie jedna formuªa prawdziwa w s.

35 Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? (2) dowód cd. Nast pnie deniujemy zbiór zda«sort1: {ϕq [ /p] : q S]} { ϕ q [ /p] : q S} dla S Q. Wreszcie Sort2 to zbiór zda«postaci α Ψ, dla α Sort0 oraz Ψ Sort1, natomiast X = { ϕ : ϕ X } X. Podobnie jak w przypadku Sort0 w Sort1 oraz w Sort2 w dowolnym modelu i punkcie s jest dokªadnie jedno prawdziwe w s zdanie z Sort1 i jedno z Sort2. Zauwa»my,»e Sort0, Sort1, Sort2 s zbiorami zda«nie zawieraj cych p.

36 Do ilustanowych automatów mo»emy si ograniczy? (3) dowód cd. Wreszcie deniujemy Π jako zbiór zda«z CF(p) odpowiadaj cych µautomatom o co najwy»ej Sort2 2 Q +1. Poniewa» automatów tych jest sko«czenie wiele, Π jest sko«czony. Pozostaje pokaza,»e ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ}. Wynikanie w lewo jest oczywiste.

37 ϕ {ψ : ψ Π oraz ψ = ϕ} Zaªó»my,»e dla pewnego modelu M = (M, R, V ) i punktu s M zachodzi M, s ϕ. Szukamy ψ Π takiego,»e ψ = ϕ oraz M, s ψ. Dokªadniej chcemy skonstruowa automat o co najwy»ej Sort2 2 Q +1 stanach A odpowiadaj cy formule z CF(p) taki,»e A akceptuje (M, s), oraz A A, czyli dla dowolnych M, s M je»eli A akceptuje (M, s ), to A te».

38 Konstrukcja A Mo»emy zaªo»y,»e M jest ωrozszerzonym drzewem o korzeniu s. Poniewa», ϕ jest ci gªe wzgl dem p istnieje sko«czony podzbiór F V (p) takie,»e M[p := F ], s ϕ. We¹my T namniejszy domkni ty w dóª nadzbiór F. Chcemy, by zbiorem stanów A byª T {a T }, jednak zbiór ten mo»e mie za du» moc. Musimy zatem wyekstrahowa z ka»dego punktu z T potrzebn nam informacj i uto»sami te punkty, które nios te same informacje.

39 Konstrukcja A (2) Dla t M[p := F ]: s2(t) jedyne zdanie z Sort2 prawdziwe w t, col(t) kolor t: wynosi 1 gdy t F i 0 wpp, Q(t) = {q Q : M[p := F ], t ϕ q }, r(t) (s2(t), Q(t), col(t)), gdy t T oraz a T wpp. A = (Q, q 0, δ, Ω ) to µautomat nad sªownikiem Sort2 {0, 1}, Q = {r(t) : t T } {a T }, q 0 = r(s),

40 Funkcja przej±cia i parzysto±ci A {r[r(u)] : u T i r(u) = r(t)} δ (q, (σ, i)) = {{a T }, } gdy q = r(t), σ = s2(t), i = col(t) q = a T wpp. Ω (a T ) = 0, Ω (q ) = 1, dla q a T. Zatem aby Duplicator wygraª niesko«czon rozgrywk musi doj± do a T i tam ju» pozosta, w przeciwnym wypadku przegrywa.

41 Nast pnie automoat A tªumaczymy na zdanie ψ, które ma by równowa»ne formule z Π. Musimy si upewni, by otrzymana z A formuªa nie posiadaªa p ani»adnej z zmiennej w zasi gu operatora w tym celu deniuje si odpowiednie jej tªumaczenie (jest ono podane eksplicite, jednak dowód poprawno±ci jest koszmarnie dªugi).

42 M, s ψ i ψ = ϕ Dla M, s ϕ indukcyjnie deniuje si strategi wygrywaj c dla Duplikatora w A grze. Dla ψ = ϕ pokazujemy w jaki sposób ze zbudowa strategi wygrywaj c Duplikatora w A grze, korzystaj c ze stategii uzyskanej wy»ej, dla A gry.

43 Rozstrzygalno± przynale»no±ci do ci gªego fragmentu Twierdzenie Rozsztrzygalny jest problem, czy dana formuªa jest ci gªa wzgl dem p. Dowód: Ustalmy p. Korzystaj c z dowodu poprzedniego twierdzenia wystarczy obliczy zbiór Π odpowiadaj cy automatom o co najwy»ej Sort2 2 Q +1 stanach. Nast pnie znajdujemy wszystkie jego podzbiory Ψ i sprawdza czy ϕ Ψ. Poniewa» rachunek µ jest sko«czenie aksjomatyzowalny i ma wªasno± sko«czonych modeli mo»na rozstrzyga czy ϕ jest równowa»ne Ψ. Zªo»ono± algorytmu rozstrzygania 4EXPTIME.

44 Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót,

45 Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta,

46 Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ,

47 Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ, Rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest ci gªe,

48 Podsumowanie Mo»na efektywnie i bezstratnie tªumaczy formuªy rachunku µ na automaty i na odwrót, Poj cie ci gªo±ci w rachunku µ pokrywa si z poj ciem ci gªo±ci w sensie Scotta, Istnieje charakterystyka skªadniowa ci gªego fragmentu rachunku µ, Rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest ci gªe, Ka»de zdanie ci gªe jest konstruktywne, ale nie na odwrót.

49 Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ?

50 Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ? Czy rozstrzygalny jest problem konstruktywno±ci formuªy?

51 Problemy otwarte i prawie zamkni te: Czy dla dowolnej formuªy konstruktywnej (wzgl dem p) ψ istnieje ci gªa ϕ taka,»e µp.ϕ µp.ψ? Czy rozstrzygalny jest problem konstruktywno±ci formuªy? Czy konstrukcj automatu A z gªównego twierdzenia mo»na uniezale»ni od modeli i punktów (aby otrzyma ni»sze górne ograniczenie na zªo»ono± algorytmu rozstrzygaj cego przynale»no± do ci gªego fragmentu?

52 G. Fontaine Continuous fragment of the µcalculus. CSL 2008: D. Niwi«ski Mu-calculus via games (extended abstract). CSL 2002: D. Niwi«ski, A. Arnold Rudiments of mu-calculus. North Holland 2001.

53 Dzi kuj za uwag