Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa

Transkrypt

1 Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Wydziaª Matematyki i Informatyki Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii Michaª Kukieªa numer albumu: Praca magisterska na kierunku matematyka Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa Opiekun pracy dyplomowej dr hab. Dariusz Miklaszewski Katedra Nieliniowej Analizy Matematycznej i Topologii Toru«2010 Prac przyjmuj i akceptuj... data i podpis opiekuna pracy Potwierdzam zªo»enie pracy dyplomowej... data i podpis pracownika dziekanatu

2

3 Podzi kowania Pragn gor co podzi kowa wszystkim, dzi ki którym udaªo mi si w»yciu dotrze do momentu obrony niniejszej pracy magisterskiej i dzi ki którym owo docieranie byªo takie, jakie byªo (a wi c caªkiem miªe i interesuj ce). Osób, którym co± zawdzi czam jest zdecydowanie zbyt wiele, by je tu wszystkie wymieni. Nale» do nich przede wszystkim moi rodzice, nauczyciele, rodzina, przyjaciele, koledzy i znajomi. Liczni s jednak tacy, których do powy»szych grup zaliczy nawet na siª nie mo»na, a którzy na ró»ne sposoby dbali o mnie i mój rozwój. Profesorowi Markowi Golasi«skiemu dzi kuj za prowadzenie seminarium, dzi ki któremu zainteresowaªem si tematyk przestrzeni sko«czonych i przestrzeni Aleksandrowa. Mojemu promotorowi jestem wdzi czny za niezwykle miªe i przyjazne podej±cie do mojej osoby, liczne sªowa zach ty, gotowo± do pomocy oraz za to,»e zdecydowaª si na odrobin szale«stwa i zainteresowaª tematyk do± odlegª od jego dotychczasowej pracy naukowej. Podczas studiów otrzymywaªem ró»nego rodzaju stypendia; mam nadziej,»e speªni pokªadane we mnie przez podatników nadzieje i b d potraª odwdzi czy si Ojczy¹nie. Szczególnie podzi kowa chciaªbym pani El»biecie ukowskiej, która u pocz tku mojej przygody ze studiami wspomogªa mnie zupeªnie za darmo znaczn ilo±ci matematycznej literatury. Poniewa» wówczas nie odwdzi czyªem si nawet bombonierk, niniejsz prac jej wªa±nie dedykuj. 1

4

5 Spis tre±ci Wst p 5 I. Preliminaria 9 I.1. Porz dki I.1.1. Denicje i oznaczenia I.1.2. Standardowe lematy I.2. Przestrzenie Aleksandrowa I.2.1. Podstawowe fakty I.2.2. Funktor X I.3. Izomorzm kategorii Al i Preorder I.3.1. Funktor P I.3.2. X = P I.4. Koªmogorykacja I.4.1. Dziaªanie koªmogorykacji I.4.2. Wªasno±ci zachowywane przez koªmogorykacj II. Topologiczne wªasno±ci przestrzeni Aleksandrowa 19 II.1. Podprzestrzenie i produkty II.2. Spójno± II.3. Zwarto± i dziedziczna zwarto± II.4. Przestrzenie funkcyjne II.4.1. Opis topologii na C(X, Y ) II.4.2. Kiedy topologia zwarto-otwarta jest Aleksandrowa? II.5. Pewne klasy przestrzeni Aleksandrowa II.6. Problemy otwarte III. Typy homotopijne przestrzeni Aleksandrowa 29 III.1. Narz dzia III.1.1. Konstrukcja homotopii przez sklejanie dróg III.1.2. Pewna rodzina przestrzeni ±ci galnych III.1.3. Rdzenie i rozbieralno± III.1.4. C-rozbieranie indukuje retrakcj III.1.5. Ci g standardowy III.2. Klasykacja typów homotopijnych III.2.1. Rozbieranie fp-przestrzeni III.2.2. Twierdzenie klasykacyjne

6 4 SPIS TRE CI III.3. Zastosowania III.3.1. Homotopijna dominacja III.3.2. H-przestrzenie III.3.3. G-przestrzenie Aleksandrowa III.4. Wi cej o rdzeniach i rozbieralno±ci III.4.1. Ogólnie o rozbieralno±ci III.4.2. Rozbieralno± przestrzeni lokalnie sko«czonych III.5. Problemy otwarte Bibliograa 49

7 Wst p W ostatnich latach pewne zainteresowanie wzbudziªy sko«czone przestrzenie topologiczne. Miaªa na to wpªyw seria notatek sporz dzonych przez J.P. Maya [17], [18], [19]. Prezentuj one wyniki uzyskane w 1966 przez R.E. Stonga [27] i M. McCorda [21] oraz w 1978 przez D. Quillena [24], którzy od ró»nych stron podeszli do teorii homotopii sko«- czonych przestrzeni topologicznych. Kluczow rol w zrozumieniu tych prac odgrywa zauwa»ona w 1937 przez P. Aleksandrowa [1] wzajemnie jednoznaczna odpowiednio± pomi dzy sko«czonymi przestrzeniami topologicznymi a sko«czonymi praporz dkami oraz mi dzy sko«czonymi przestrzeniami topologicznymi speªniaj cymi aksjomat oddzielania T 0 a sko«czonymi porz dkami cz ±ciowymi. Odpowiednio± ta ma charakter funktorialny. Wiedz c o tej zale»no±ci, omówmy pokrótce opisane w notatkach Maya artykuªy. Korzystaj c z odkrycia Aleksandrowa, Stong w swojej pracy [27] uzyskuje mi dzy innymi pewnego rodzaju klasykacj typów homotopijnych sko«czonych przestrzeni topologicznych. Poniewa» typ homotopijny przestrzeni topologicznej X nie speªniaj cej aksjomatu T 0 jest równy typowi homotopijnemu przestrzeni T 0 powstaªej z X przez wybranie po jednym elemencie z ka»dej klasy elementów topologicznie nierozró»nialnych, Stong mógª ograniczy si do badania przestrzeni speªniaj cych ten aksjomat oddzielania, a wi c do badania cz ±ciowych porz dków. Ka»dy sko«czony porz dek cz ±ciowy mo»na w prosty sposób, poprzez usuwanie specjalnego rodzaju elementów zwanych nieredukowalnymi, sprowadzi do postaci tzw. rdzenia; przeksztaªcenie cz ±ciowego porz dku w rdze«nazywamy rozbieraniem (ang. dismantling) tego porz dku. Okazuje si,»e dwie sko«czone przestrzenie topologiczne maj ten sam typ homotopijny wtedy i tylko wtedy, gdy ich rdzenie s homeomorczne. Inne podej±cie do tematyki przestrzeni sko«czonych odnale¹ mo»na w pracy McCorda [21]. Autor stowarzysza z cz ±ciowym porz dkiem P abstrakcyjny kompleks symplicjalny K(P ), którego sympleksami s sko«czone ªa«cuchy zawarte w P. Wykazuje nast pnie,»e realizacja geometryczna tego kompleksu jest sªabo homotopijnie równowa»na przestrzeni topologicznej odpowiadaj cej P. Przykªadowo, dla ka»dej liczby naturalnej n N istnieje odwzorowanie ze sfery n-wymiarowej w przestrze«topologiczn o 2n + 2 elementach indukuj ce izomorzm na wszystkich grupach homotopii. Podobna zale»no± zachodzi pomi dzy dowolnym kompleksem symplicjalnym K a cz ±ciowym porz dkiem T (K) wyznaczanym przez inkluzj na jego sympleksach. Prawdopodobnie niezale»nie od Stonga i McCorda badaniem wy»ej opisanych kompleksów symplicjalnych K(P ) stowarzyszonych z cz ±ciowymi porz dkami zaj ª si Quillen [24]. W swojej pracy udowodniª on, nie odwoªuj c si explicite do topologii Aleksandrowa na cz ±ciowym porz dku, wiele twierdze«, które okazaªy si istotnymi narz dziami w badaniu wspomnianych kompleksów oraz postawiª do dzi± nie rozstrzygni t hipotez 5

8 6 WST P wi» c ±ci galo± kompleksu symplicjalnego wyznaczonego przez cz ±ciowy porz dek na nietrywialnych p-podgrupach grupy G z istnieniem normalnej p-podgrupy Sylowa w G. Kompleksom symplicjalnych stowarzyszonym z cz ±ciowymi porz dkami po±wi cono w literaturze wiele uwagi. Przegl d tej tematyki odnale¹ mo»na w [30]. Natomiast wyniki w duchu podobnym do prac Stonga i McCorda uzyskane zostaªy dopiero w ostatnich latach. Wymieni tu nale»y osi gni cia J.A. Barmaka i E.G. Miniana, zebrane s one w pracy doktorskiej [3], oraz artykuª T. Osaki [23]. Autorzy ci deniuj szczególne rodzaje elementów sko«czonego cz ±ciowego porz dku (elementy nieredukowalne z pracy Stonga s ich szczególnym przypadkiem) i badaj wpªyw usuwania tych punktów na wªasno±ci homotopijne stowarzyszonej przestrzeni sko«czonej. Uzyskane wyniki pozwalaj m.in. na przeniesienie na grunt przestrzeni sko«czonych poj cia prostego typu homotopijnego. Interesuj ce wydaj si równie» prace [5] i [10], w których autorzy wykazuj,»e zwarty wielo±cian jest homotopijnie równowa»ny granicy odwrotnej systemu odwrotnego sko«czonych przestrzeni topologicznych uzyskanego przez iterowanie wy»ej opisanych operacji K i T oraz»e zbiór klas homotopii odwzorowa«ci gªych mi dzy dwoma zwartymi wielo±cianami mo»na przedstawi jako granic prost ci gu zbiorów klas homotopii odwzorowa«mi dzy przestrzeniami sko«czonymi. O ile przestrzenie sko«czone nabraªy znaczenia, w cieniu pozostaje ich naturalne uogólnienie, czyli tak zwane przestrzenie Aleksandrowa. S to przestrzenie posiadaj ce t wªasno±,»e przekrój dowolnej rodziny ich podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzeniom sko«czonym, oczywi±cie, wªasno± ta przysªuguje. Aleksandrow w [1] wªa- ±nie tego rodzaju przestrzeniom, a nie tylko przestrzeniom sko«czonym, przyporz dkowaª w sposób bijektywny praporz dki. Z punktu widzenia topologii ogólnej przestrzenie Aleksandrowa badane byªy np. w [16], [29], [2]. S stosowane w topologii cyfrowej [20] i zyce (podej±cie do kwantowej teorii grawitacji przez tzw. causal sets). O topologii algebraicznej przestrzeni Aleksandrowa wiadomo natomiast niewiele. W klasie tej pozostaj prawdziwe wyniki McCorda, w zwi zku z czym sªaby typ homotopijny niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa mo»e by badany dzi ki narz dziom wypracowanym dla kompleksów symplicjalnych. Pewne rezultaty dla przestrzeni niesko«czonych uzyskali równie» Hardie i Vermeulen [10]. Niewiele jest jednak wyników dotycz cych typu homotopijnego niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa. Prób uogólnienia klasykacji uzyskanej przez Stonga podj ª w 1999 F.G. Arenas [2], jednak jego artykuª zawiera istotny bª d. Autor niniejszej pracy magisterskiej ow pomyªk zauwa»yª i postanowiª j poprawi, co cz ±ciowo si udaªo. Zaowocowaªo to publikacj [11]. Klasykacja typów homotopijnych przestrzeni sko«czonych uzyskana przez Stonga zostaªa w niej rozszerzona na pewn klas niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa. Zostaªy przy tym udowodnione równie» fakty dotycz ce przestrzeni funkcji ci - gªych mi dzy przestrzeniami Aleksandrowa oraz rozbieralno±ci niesko«czonych porz dków cz ±ciowych, interesuj ce z punktu widzenia teorii porz dku. Niniejszej praca magisterska opiera si na artykule [11], lecz jest od niego bogatsza, przede wszystkim o wersj ekwiwariantn twierdzenia klasykacyjnego, uogólniaj c prac Stonga [28] z 1984, oraz przykªady zastosowa«wypracowanych metod. Praca magisterska ma nast puj cy ukªad. W rozdziale I wprowadzamy terminologi i odnotowujemy podstawowe fakty zwi zane z porz dkami i przestrzeniami Aleksandrowa oraz wykazujemy izomorzm kategorii praporz dków i kategorii przestrzeni Aleksandrowa,

9 który po ograniczeniu wyznacza izomorzm kategorii cz ±ciowych porz dków i kategorii przestrzeni T 0 Aleksandrowa. Rozdziaª II po±wi cony jest wªasno±ciom przestrzeni Aleksandrowa nale» cym do przedmiotu bada«topologii ogólnej, w tym spójno±ci i zwarto±ci, oraz opisowi topologii zwartootwartej na przestrzeni odwzorowa«ci gªych mi dzy dwoma przestrzeniami Aleksandrowa. Udowodniony zostaje warunek konieczny i dostateczny na to, aby topologia ta byªa topologi Aleksandrowa. Na koniec przedstawione zostaj pewne klasy przestrzeni Aleksandrowa, istotne w dalszej cz ± pracy. W tym rozdziale wyja±niony zostaje równie» bª d w artykule Arenasa [2]. W ostatnim, III rozdziale, wypracowane zostaj, bazuj ce na wynikach rozdziaªu II, narz dzia, które pozwalaj na powi zanie poj cia rozbieralno±ci cz ±ciowego porz dku do rdzenia z istnieniem retrakcji deformacyjnej tego porz dku na rdze«. S one wykorzystywane w celu podania klasykacji ekwiwariantnych typów homotopijnych pewnej klasy niesko«czonych przestrzeni Aleksandrowa, a tak»e w innych sytuacjach, m.in. przy charakteryzacji ±ci galnych przestrzeni Aleksandrowa wysoko±ci 1, badaniu poj cia homotopijnej dominacji i opisie pewnej klasy H-przestrzeni. Prac zamykaj fakty i przykªady dotycz ce rozbieralno±ci porz dków lokalnie sko«czonych. Na ko«cu rozdziaªów II i III postawione s problemy otwarte, mog ce wyznacza kierunek dalszych bada«. 7

10 8 WST P

11 Rozdziaª I Preliminaria Rozdziaª niniejszy po±wi cony jest wprowadzeniu terminologii zwi zanej z praporz dkami oraz przestrzeniami Aleksandrowa. Przedstawiamy w nim równie» dowody podstawowych faktów dotycz cych tych ostatnich i cytujemy wykorzystywane w dalszej cz ±ci pracy lematy zwi zane z cz ±ciowymi porz dkami. Wykazujemy istnienie izomorzmu kategorii cz ±ciowych porz dków i przestrzeni T 0 Aleksandrowa oraz sprowadzamy badanie typu homotopijnego do badania typu homotopijnego przestrzeni speªniaj cych aksjomat T 0, co stanowi w dalszej cz ±ci pracy spore uªatwienie techniczne. Dobre wprowadzenie w stosunkowo mªod i nie nale» c do gªównego nurtu matematyki teori cz ±ciowych porz dków stanowi ksi»ka B. S. W. Schrödera [25]. Zwi zki mi dzy cz ±ciowymi porz dkami a topologi zbli»one do rozwa»anych w tym rozdziale s szczegóªowo analizowane z punktu widzenia teorii kategorii w pracy [7]. I.1. I.1.1. Porz dki Denicje i oznaczenia Praporz dkiem nazywamy par (P, ), gdzie P jest zbiorem, za± P P relacj zwrotn i przechodni. Je±li (P, P ), (Q, Q ) s praporz dkami, to mówimy,»e odwzorowanie f : P Q zachowuje porz dek (jest rosn ce), o ile dla ka»dych p, p P takich,»e p P p, zachodzi f(p) Q f(p ). Nietrudno sprawdzi,»e praporz dki wraz z odwzorowanimi rosn cymi i zwykª operacj zªo»enia funkcji tworz kategori, któr oznaczanamy przez Preorder. Praporz dek (P, ) nazywamy cz ±ciowym porz dkiem (lub posetem), je±li relacja jest sªabo antysymetryczna (tzn. dla wszystkich p, p P je±li p p i p p, to p = p). Peªn podkategori kategorii Preorder indukowan przez wszystkie cz ±ciowe porz dki oznaczamy przez Poset. W dalszym ci gu b dziemy przy oznaczaniu praporz dków pomija relacj, tzn. przez napis P jest praporz dkiem rozumie b dziemy (P, ) jest praporz dkiem. Ponadto, kiedy nie b dzie to prowadziªo do nieporozumie«, tym samym symbolem oznacza b dziemy relacj porz dkuj c ró»nych praporz dków. Niech P b dzie praporz dkiem oraz p, p P. Przez p p, p < p, p > p rozumiemy odpowiednio: p p, p p i p p, p p i p p. Elementy p, p nazywamy porównywalnymi i piszemy p p, o ile p p lub p p. W przeciwnym wypadku, elemnty p, p 9

12 10 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA s nieporównywalne, co oznaczamy przez p p. Przyjmijmy nast puj ce oznaczenia: p = {q P : q p}, p = {q P : q p}. Je±li A P, to b dziemy równie» pisa : A = a = {p P : a A p a}, a A A = a A a = {p P : a A p a}. P nazwamy porz dkiem liniowym (lub ªa«cuchem), o ile jest cz ±ciowym porz dkiem oraz ka»de dwa elementy nale» ce do P s porównywalne. P nazywamy antyªa«cuchem, o ile ka»de dwa elementy z P s nieporównywalne. Praporz dkiem dualnym do P nazywamy praporz dek P d = (P, d ) taki,»e q d q wtedy i tylko wtedy, gdy q q dla wszystkich q, q P. Element p nazywamy maksymalnym w P, o ile nie istnieje q P takie,»e q > p. Element p nazywamy minimalnym w P, o ile jest maksymalny w P d. Zbiory elementów maksymalnych i minimalnych w P oznacza b dziemy przez, odpowiednio, max(p ) i min(p ). Element p nazywamy najmniejszym w P, o ile p < q dla wszystkich q P {p}. Element p jest kresem górnym podzbioru A P, o ile jest elementem najmniejszym zbioru {q P : a A q a}. Dualnie deniujemy kres dolny. Je±li Q P, to relacja ograniczona do Q wyznacza struktur praporz dku na Q. Mówimy,»e zbiór Q wyposa»ony w t relacj jest podporz dkiem P lub»e porz dek na Q jest indukowany przez porz dek na P. Mówimy,»e p jest pokryciem górnym p i piszemy p p, o ile p jest elementem minimalnym w p {p}. Dualnie deniujemy pokrycie dolne. Mówimy,»e P speªnia warunek ci gu wst puj cego (ACC, od ang. ascending chain condition), o ile nie istnieje ci g (p i ) i N elementów P taki,»e p i < p i+1 dla wszystkich i N (tzn. niesko«czony ci g wst puj cy). Innymi sªowy, P nie zawiera podporz dku izomorcznego ze zbiorem liczb naturalnych ze standardowym porz dkiem, który uto»samia mo»na z liczb porz dkow ω. P speªnia warunek ci gu zst puj cego (DCC), o ile P d speªnia warunek ci gu wst puj cego. Dla punktu p P i liczby n N >0 deniujemy zbiór { {q : q p} dla n = 1 B(p, n) =. q B(p,n 1) B(q, 1) dla n > 1 Diagramem Hassego cz ±ciowego porz dku P nazywamy graf skierowany G = (V, E), gdzie V = P oraz E =, tzn. w grae G istnieje kraw d¹ z p do q wtedy i tylko wtedy, gdy p q. Rysuj c diagram Hassego zazwyczaj nie zaznacza si orientacji strzaªek, rozumiej c,»e elementy narysowane ni»ej s mniejsze od elementów narysowanych wy»ej. Przykªadowo, diagram Hassego porz dku podzielno±ci na zbiorze {2, 3, 4, 6, 12} jest przedstawiony na rysunku I.1.

13 I.1. PORZ DKI Rysunek I.1: Diagram Hassego porz dku podzielno±ci na zbiorze {2, 3, 4, 6, 12}. Nietrudno zauwa»y,»e je±li porz dek P nie zawiera podzbioru izomorcznego z ω + 1 ani z porz dkiem dualnym do ω + 1, to relacja jest przechodnim domkni ciem relacji. Zatem w tym wypadku diagram Hassego P jednoznacznie opisuje porz dek P. Dªugo±ci ªa«cucha sko«czonego {x 0 < x 1 <... < x n } nazywamy liczb n. Je±li porz - dek P zawiera ªa«cuchy dowolnej dªugo±ci, to mówimy,»e wysoko± P jest niesko«czona. W przeciwnym wypadku, przez wysoko± P rozumiemy maksymaln dªugo± ªa«cucha zawartego w P. Palisad (ang. fence) sko«czon nazywamy zbiór cz ±ciowo uporz dkowany izomor- czny ze zbiorem o elementach {x 1,..., x n } dla pewnego n 2 takim,»e x 1 < x 2 > x 3 < x 4 >... < x n gdy n jest parzyste i x 1 < x 2 > x 3 < x 4 >... > x n albo x 1 > x 2 < x 3 > x 4 <... < x n gdy n jest nieparzyste, oraz nie zachodzi»adna nierówno± x i > x j nie wymieniona powy»ej. Rozwa»a b dziemy równie» palisady jedno- i dwustronnie niesko«czone. S to zbiory izomorczne odpowiednio ze zbiorem {x 1, x 2, x 3,...} z porz dkiem x 1 < x 2 > x 3 < x 4 >... albo porz dkiem do niego dualnym i ze zbiorem {..., x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,...} z porz dkiem... < x 2 > x 1 < x 0 > x 1 < x 2 >... Sko«czony zbiór cz ±ciowo uporz dkowany C n o elementach {x 1, x 2,..., x n } taki,»e x 1 < x 2 > x 3 < x 4 >... < x n > x 1 oraz nie zachodzi»adna nierówno± x i > x j nie wymieniona w tym ci gu nazywamy koron. 1 Diagramy Hassego korony oraz sko«czonej palisady s przedstawione na rysunku I.2. x 2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5 Rysunek I.2: Sze±cioelementowa palisada i sze±cioelementowa korona. Zauwa»my,»e korony i palisady (sko«czone i niesko«czone) s przykªadami cz ±ciowych porz dków wysoko±ci 1. 1 Nazw najlepiej chyba uzasadnia wygl d diagramu Hassego korony narysowanego w trójwymiarze tak, aby elementy C n le»aªy na bocznej powierzchni walca.

14 12 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA I.1.2. Standardowe lematy W podsekcji tej dla wygody czytelnika zacytujemy szereg standardowych w teorii cz - ±ciowych porz dków lematów. Pierwsze dwa uznajemy za ogólnie znane, przy pozostaªych podajemy odno±niki do przykªadowych ¹ródeª. Lemat I.1.1. Cz ±ciowy porz dek P speªnia ACC wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy niepusty zbiór Q P posiada element maksymalny. Lemat I.1.2. Ka»dy niesko«czony ªa«cuch C zawiera podzbiór izomorczny z ω lub podzbiór izomorczny z ω d. Lemat I.1.3 ([25], Wniosek ). Ka»dy niesko«czony cz ±ciowy porz dek zawiera niesko«czony ªa«cuch lub niesko«czony antyªa«cuch. Lemat I.1.4 ([13], Rozdziaª VI, Ÿ3,Twierdzenie 3). Ka»dy przeliczalny ªa«cuch jest izomorczny z pewnym podzbiorem liczb wymiernych ze standardowym porz dkiem. Lemat I.1.5 ([25], Lemat 4.4.4). Niech P b dzie cz ±ciowym porz dkiem wysoko±ci 1, za± C P koron minimalnej mocy zawart w P. Wówczas C jest retraktem P. I.2. I.2.1. Przestrzenie Aleksandrowa Podstawowe fakty Przestrze«topologiczn X nazywamy przestrzeni Aleksandrowa, o ile dla dowolnej rodziny {U i } i I otwartych podzbiorów X zbiór i I U i jest otwarty w X. Przykªad I.2.1. Przestrzeniami Aleksandrowa s : ka»da przestrze«sko«czona, ka»da przestrze«dyskretna, ka»da przestrze«antydyskretna. Stwierdzenie I.2.2. Niech X b dzie przestrzeni topologiczn. Nast puj ce warunki s równowa»ne. 1. X jest przestrzeni Aleksandrowa. 2. Dla dowolnej rodziny {F i } i I domkni tych podzbiorów X zbiór i I F i jest domkni ty w X. 3. Dla ka»dego elementu x X istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) otoczenie otwarte punktu x. Dowód. Warunek 2. wynika z warunku 1., gdy» zbiór i I F i jest domkni ty wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X i I F i = i I (X F i) jest otwarty. Podobnie wykazujemy,»e warunek 1. wynika z warunku 2. Warunek 3. wynika z warunku 1., gdy» przekrój wszystkich otocze«otwartych punktu x X jest wobec warunku 1. zbiorem otwartym. Jest zatem najmniejszym otoczeniem otwartym x. Z drugiej strony, warunek 3. poci ga warunek 1. Je±li bowiem ka»dy punkt x X posiada najmniejsze otoczenie otwarte U x, to dla y i I V i, gdzie {V i } i I jest rodzin zbiorów otwartych, mamy U y V i dla ka»dego i I, wi c U y i I V i. Zatem i I V i jest zbiorem otwartym.

15 I.2. PRZESTRZENIE ALEKSANDROWA 13 Je±li X jest przestrzeni Aleksandrowa, to najmniejsze otoczenie otwarte punktu x X b dziemy oznacza przez U x. Zauwa»my,»e rodzina {U x } x X jest baz otwart przestrzeni X. Stwierdzenie I.2.3. Niech X b dzie przestrzeni Aleksandrowa. Wówczas: 1. X speªnia aksjomat oddzielania T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzeni dyskretn. 2. X speªnia aksjomat oddzielania T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów x, y X takiej,»e x y, zachodzi U x U y. Dowód. Przestrze«Aleksandrowa X jest przestrzeni T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jednoelementowy zbiór {x} X jest domkni ty, co wobec warunku 2 stwierdzenia I.2.2 jest równowa»ne temu,»e dowolny zbiór A X jest domkni ty, gdy» A = a A {a}. Udowodnili±my punkt 1. Dla dowodu 2. zaªó»my najpierw,»e przestrze«aleksandrowa X speªnia aksjomat T 0. We¹my dowolne punkty x, y X, x y. Istnieje otoczenie otwarte U punktu x takie,»e y U, lub istnieje otoczenie otwarte V punktu y takie,»e x V. Dla ustalenia uwagi zaªó»my,»e zachodzi pierwsza z tych mo»liwo±ci. Wówczas U x U, ale y U y U, zatem U x U y. Je±li za± zaªo»ymy,»e U x U y dla wszystkich par x, y X, x y, to dla dowolnej pary x, y X, x y mamy x U y lub y U x. W przeciwnym bowiem wypadku mieliby±my U x U y i U y U x, co przeczyªoby zaªo»eniu U x U y. I.2.2. Funktor X Kategori przestrzeni Aleksandrowa i odwzorowa«ci gªych oznacza b dziemy przez Al, za± kategori przestrzeni Aleksandrowa speªniaj cych aksjomat T 0 przez T 0 Al. Zdeniujemy teraz funktor X : Preorder Al. Je±li P jest praporz dkiem, to zbiór elementów przestrzeni X (P ) pokrywa si ze zbiorem elementów praporz dku P, za± baz otwart X (P ) stanowi rodzina {x } x X. Odwzorowaniu rosn cemu f : P Q przyporz dkowujemy odwzorowanie ci gªe X (f) : X (P ) X (Q) o tym samym co f wykresie, tzn. X (f)(p) = f(p) dla ka»dego p P. Stwierdzenie I.2.4. Wy»ej opisany funktor jest poprawnie zdeniowany, tzn. przestrze«x (P ) jest Aleksandrowa oraz odwzorowanie X (f) : X (P ) X (Q) jest ci gªe dla wszystkich praporz dków P, Q i ka»dego odwzorowania rosn cego f : P Q. Dowód. Poniewa» {x } x X jest baz przestrzeni X (P ), zbiory otwarte w X (P ) s postaci a A a = A, gdzie A X. Zauwa»my,»e je±li y x, to y x. Wobec tego x A dla x A. Zatem dla dowolnego x X (P ) i dowolnego otoczenia otwartego U X (P ) punktu x mamy x U, czyli x jest najmniejszym otoczeniem otwartym punktu x X (P ). Zgodznie ze stwierdzeniem I.2.2 oznacza to,»e X (P ) jest przestrzeni Aleksandrowa. Niech teraz f : P Q b dzie odwzorowaniem rosn cym. We¹my element bazy X (Q), tzn. zbiór q dla pewnego q Q. Ustalmy element p X (f) 1 (q ). Dla p znajdziemy teraz otoczenie otwarte zawarte w X (f) 1 (q ). Je±li p P jest takie,»e p p, to f(p ) f(p), wi c p X (f) 1 (q ). Zatem p X (f) 1 (q ), czyli X (f) 1 (q ) jest zbiorem otwartym. Funkcja X (f) jest ci gªa.

16 14 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA Stwierdzenie I.2.5. Je±li P jest praporz dkiem, to X (P ) jest przestrzeni T 0 i tylko wtedy, gdy P jest cz ±ciowym porz dkiem. wtedy Dowód. Wiemy ze stwierdzenia I.2.3 i dowodu stwierdzenia I.2.4,»e X (P ) jest przestrzeni T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych p q, p, q P zachodzi p = q. Równowa»nie, p q lub q p, co oznacza z kolei,»e p q lub q p, czyli»e P jest cz ±ciowym porz dkiem. Zanotujmy jeszcze istotny wniosek z dowodu stwierdzenia I.2.4. Wniosek I.2.6. Je±li P jest praporz dkiem, to zbiór U P jest otwarty w X (P ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów x, y P takiej,»e x y i y U, zachodzi x U (tzn. U jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów mniejszych). Zbiór F P jest domkni ty w X (P ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej pary elementów x, y P takiej,»e x y i x F, zachodzi y F (tzn. F jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów wi kszych). Dowód. Wiemy z dowodu stwierdzenia I.2.4,»e ka»dy zbiór otwarty U X (P ) jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów mniejszych. Z drugiej strony, je±li zbiór U X (P ) jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów mniejszych, to U = u U u jest zbiorem otwartym. Zauwa»my teraz,»e zbiór F X (P ) jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów wi kszych wtedy i tylko wtedy, gdy dla x F i y x mamy y F. Oznacza to,»e X F jest zamkni ty ze wzgl du na branie elementów mniejszych, czyli jest otwarty. I.3. I.3.1. Izomorzm kategorii Al i Preorder Funktor P Oznaczmy przez Top kategori przestrzeni topologicznych i odwzorowa«ci gªych. Istnieje funktor P : Top Preorder przyporz dkowuj cy przestrzeni topologicznej X praporz dek P(X), zwany praporz dkiem specjalizacji 2. Zbiór elementów praporz dku specjalizacji P(X) pokrywa si ze zbiorem elementów przestrzeni X, za± relacja porz dkuj ca zadana jest w nast puj cy sposób: x y wtedy i tylko wtedy, gdy y {x}. Funkcji ci gªej f : X Y przyporz dkowujemy funkcj rosn c P(f) : P(X) P(Y ) o tym samym co f wykresie, tzn. P(f)(x) = f(x) dla ka»dego punktu x X. Stwierdzenie I.3.1. Wy»ej opisany funktor jest poprawnie zdeniowany, tzn. P(X) jest praporz dkiem oraz odwzorowanie P(f) : P(X) P(Y ) zachowuje porz dek dla wszystkich przestrzeni topologicznych X, Y oraz dla ka»dego odwzorowania ci gªego f : X Y. Dowód. Niech x X. Wówczas x {x}, wi c x x. Zatem jest zwrotna. Wyka»emy teraz przechodnio±. Niech x, y, z X b d takie,»e x y i y z, tzn. y {x} i z {y}. Poniewa» {y} {x}, mamy {y} {x}, wi c z {x}, czyli x z. 2 Cz sto praporz dkiem specjalizacji nazywa si porz dek dualny do tutaj zdeniowanego.

17 I.3. IZOMORFIZM KATEGORII AL I PREORDER 15 Niech f : X Y b dzie odwzorowaniem ci gªym oraz x, y X b d takie,»e x y, tzn. y {x}. Poniewa» f jest ci gªe, f(y) f({x}) f({x}) = {f(x)}, czyli f(x) f(y). Zatem f zachowuje porz dek. Stwierdzenie I.3.2. Przestrze«topologiczna X speªnia aksjomat oddzielania T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X) jest cz ±ciowym porz dkiem. Przestrze«topologiczna X speªnia aksjomat oddzielania T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X) jest antyªa«cuchem. Dowód. Przestrze«X jest T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych x, y X zachodzi y {x} lub x {y}, tzn. y x lub x y. (Wynika to natychmiast z faktu,»e x {y} wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego otoczenia otwartego U punktu x zachodzi y U.) Przestrze«topologiczna X speªnia aksjomat T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory jednoelementowe w X s domkni te. Innymi sªowy, dla ka»dych x, y X je±li y {x}, to y = x. Jest to równowa»ne stwierdzeniu,»e x y implikuje x = y w P(X), tzn. P(X) jest antyªa«cuchem. I.3.2. X = P 1 Niech P Al : Al Preorder oznacza funktor P : Top Preorder ograniczony do kategorii przestrzeni Aleksandrowa, za± P T0 Al : T 0 Al Poset ten sam funktor ograniczony do kategorii przestrzeni T 0 Aleksandrowa. Niech X Poset : Poset T 0 Al oznacza funktor X : Preorder Al zdeniowany w sekcji I.2 ograniczony do kategorii cz ±ciowych porz dków. Stwierdzenie I.3.3. Funktory P Al : Al Preorder i X : Preorder Al s wzajemnie odwrotne. Funktory P T0 Al : T 0 Al Poset i X Poset : Poset T 0 Al s wzajemnie odwrotne. Dowód. Niech P b dzie praporz dkiem. Poka»emy,»e P(X (P ))=P.Z denicji P i X zbiory elementów P i P(X (P )) s równe. Niech x, y P i x y w P. Oznacza to,»e x U y. Poniewa» U y jest najmniejszym otoczeniem otwartym y, dla ka»dego otoczenia otwartego U punktu y mamy x U y U, czyli y {x}. Wobec tego x y w P(X (P )). Niech teraz X b dzie przestrzeni Aleksandrowa. Zbiory elementów X i X (P(X)) s równe. Niech U x b dzie najmniejszym otoczeniem otwartym pewnego punktu x X. Podobnie jak w poprzedniej cz ±ci dowodu otrzymujemy {y X : y U x } = {y X : x {y}} = {y X : y x w P(X)}. Ostatni spo±ród zbiorów w powy»szym ci gu jest najmniejszym otoczeniem otwartym x w X (P(X)). Topologie przestrzeni X i X (P(X)) s zatem identyczne. Mo»liwo± zªo»enia funktorów P T0 Al : T 0 Al Poset i X Poset : Poset T 0 Al wynika ze stwierdze«i.2.3 i I.3.2. Fakt,»e s one wzajemnie odwrotne, wynika z powy»szego rozumowania. Wykazali±my,»e kategorie Al i Preorder oraz kategorie T 0 Al i Poset s izomor- czne. W dalszym ci gu b dziemy uto»samia praporz dki ze stowarzyszonymi z nimi przestrzeniami Aleksandrowa, tzn. pomija w zapisie funktory X, P.

18 16 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA I.4. I.4.1. Koªmogorykacja Dziaªanie koªmogorykacji Niech X oznacza przestrze«topologiczn. Wprowad¹my na zbiorze elementów przestrzeni X relacj dwuargumentow K = {(x, y) X X : x {y} i y {x}}. Nietrudno zauwa»y,»e K jest relacj równowa»no±ci oraz»e X jest przestrzeni T 0 wtedy i tylko wtedy, gdy K jest relacj identyczno±ciow. Przez [x] oznaczmy klas abstrakcji elementu x X wzgl dem relacji K. Przestrze«ilorazow X 0 = X/K nazywa b dziemy koªmogorykacj przestrzeni X. Niech p : X X 0 oznacza odwzorowanie ilorazowe. Lemat I.4.1. Przy powy»szych oznaczeniach prawdziwe s nast puj ce stwierdzenia. 1. Je±li U X jest zbiorem otwartym oraz x U, to [x] U. 2. Je±li U X jest zbiorem otwartym, to p 1 (p(u)) = U. 3. Odwzorowanie p : X X 0 jest otwarte. 4. Ka»de odwzorowanie j : X 0 X takie,»e p j = Id X0 jest ci gªe. Dowód. Rozwa»my sytuacj z punktu 1. Przypu± my,»e istnieje x X takie,»e x [x] U. Wówczas x {x } X U, co jest sprzeczne z zaªo»eniem x U. Przejd¹my do dowodu stwierdzenia 2. Oczywi±cie U p 1 (p(u)). Z drugiej strony, niech x p 1 (p(u)). Oznacza to,»e p(x) p(u), czyli x [x ] dla pewnego x U. Z punktu 1. wynika,»e x U. Dla dowodu 3. zaªó»my,»e U X jest zbiorem otwartym. Z denicji topologii ilorazowej zbiór p(u) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy p 1 (p(u)) jest otwarty. Ale z 2. wiemy,»e p 1 (p(u)) = U. Aby udowodni 4. rozwa»my zbiór otwarty U X. Równo± p j = Id X0 oznacza,»e dla ka»dego x X zachodzi j([x]) [x]. Ze punktu 1. wynika,»e j 1 (U) = {[x] X 0 : j([x]) U} = {[x] : x U} = p(u) i zbiór ten jest otwarty, gdy» odwzorowanie p jest, zgodnie z punktem 3., otwarte. Wniosek I.4.2. Dla ka»dej przestrzeni X jej koªmogorykacja X 0 jest przestrzeni T 0. Dowód. Je±li [x], [y] X 0 s ró»nymi klasami abstrakcji relacji K, to x {y} lub y {x}. Mo»emy zaªo»y,»e zachodzi pierwszy z tych warunków. Wówczas y X {x}. Zauwa»my,»e wobec punktu 2. lematu I.4.1 zachodzi [x] p(x {x}) [y]. Ponadto, p(x {x}) jest otwarty, gdy» odwzorowanie p jest otwarte na mocy punktu 3. lematu I.4.1. Zauwa»my,»e w przypadku gdy X jest przestrzeni Aleksandrowa, tzn. praporz dkiem, odwzorowanie ilorazowe X X 0 uto»samia elementy x, y X takie,»e x y i y x. Koªmogorykacja X 0 jest wi c cz ±ciowym porz dkiem powstaªym przez sklejenie tych elementów.

19 I.4. KOŠMOGORYFIKACJA 17 I.4.2. Wªasno±ci zachowywane przez koªmogorykacj Wiele wªasno±ci topologicznych zachowuje si przy koªmogorykacji. Poni»sze dwa stwierdzenia, szczególnie dla nas istotne, dobrze ilustruj ten fakt. Stwierdzenie I.4.3. Przestrze«topologiczna X jest homotopijnie równowa»na swojej koªmogorykacji X 0. Dowód. Niech p : X X 0 b dzie odwzorowaniem ilorazowym. Dla ka»dej klasy abstrakcji A i X 0 relacji K na X ustalmy jej reprezentanta x i A i = [x i ]. Odwzorowanie j : X 0 X zadane wzorem j([x i ]) = x i jest ci gªe na mocy punktu 4 lematu I.4.1, bo p j = Id X0. Rozwa»my odwzorowanie F : X I X zadane wzorem { x dla t = 0 F (x, t) = j p(x) dla t 0 dla x X i t I. Poka»emy,»e F jest ci gªe, czyli jest homotopi mi dzy Id X a j p, co zako«czy dowód. Niech U X b dzie zbiorem otwartym. Mamy F 1 (U) = {(x, t) : F (x, t) U} = = {(x, 0) : x U} {(x, t) : t 0, j(p(x)) U} = = U {0} U (0, 1] = = U I. Stwierdzenie I.4.4. Przestrze«topologiczna X jest zwarta 3 wtedy i tylko wtedy, gdy zwarta [spójna, ªukowo spójna] jest jej koªmogorykacja X 0. [spójna, ªukowo spójna] Dowód. Zwarto±, spójno± i ªukowa spójno± s zachowywane przez odwzorowania ci gªe, w szczególno±ci przez odwzorowanie ilorazowe p : X X 0. Z drugiej strony, zaªó»my,»e X 0 jest zwarta. Niech {U j } j J b dzie otwartym pokryciem X. Wówczas z {p(u j )} j J mo»na wybra podpokrycie sko«czone {p(u j1 ),..., p(u jn )} przestrzeni X 0. Zbiory {U j1,..., U jn } tworz pokrycie X, gdy» dla dowolnego x X mamy p(x) p(u ik ) dla pewnego k {1,..., n}, co wobec lematu I.4.1 oznacza,»e x U ik. Dalej, je±li X jest niespójna, to istniej niepuste zbiory otwarte U, V X takie,»e U V = X i U V =. Ale wówczas ich obrazy p(u), p(v ) s, na mocy lematu I.4.1, zbiorami otwartymi takimi,»e p(u) p(v ) = X 0 i p(u) P (V ) = (ponownie lemat I.4.1), czyli X 0 jest niespójna. Wreszcie, je±li X 0 jest ªukowo spójna i x, y X, to istnieje droga h : I X 0 taka,»e h(0) = p(x), h(1) = p(y). Niech j : X 0 X b dzie funkcj przyporz dkowuj c ka»dej klasie abstrakcji relacji K pewien jej element. Nietrudno zauwa»y,»e ci gªa jest funkcja h : I X zadana wzorem x dla t = 0 h (t) = j(h(x)) dla t (0, 1). y dla t = 1 3 Przez zwart przestrze«topologiczn rozumiemy przestrze«tak,»e z ka»dego pokrycia otwartego tej przestrzeni mo»na wybra podpokrycie sko«czone. Nie» damy, aby przestrze«ta speªniaªa aksjomat oddzielania T 2. Przestrzenie takie s czasem w literaturze nazywane quasi-zwartymi.

20 18 ROZDZIAŠ I. PRELIMINARIA Ze wzgl du na powy»sze stwierdzenia w dalszym ci gu rozwa»a b dziemy, bez zmniejszenia ogólno±ci, jedynie przestrzenie T 0. Zabieg ten oszcz dzi nam technicznych niedogodno±ci przy formuªowaniu twierdze«. W przypadku gdy zachodziªaby potrzeba stosowania którego± z wyników niniejszej pracy do przestrzeni nie speªniaj cych aksjomatu T 0, nale»y zast pi je ich koªmogorykacjami.

21 Rozdziaª II Topologiczne wªasno±ci przestrzeni Aleksandrowa W rozdziale tym przedstawimy charakteryzacj w klasie przestrzeni Aleksandrowa kilku standardowych wªasno±ci topologicznych: zwarto±ci, spójno±ci i ªukowej spójno±ci. Omówione zostan produkty i podprzestrzenie przestrzeni Aleksandrowa. Zajmiemy si równie» badaniem przestrzeni funkcji ci gªych mi dzy przestrzeniami Aleksandrowa z topologi zwarto-otwart. Oka»e si,»e na ogóª nie s one przestrzeniami Aleksandrowa. Fakt ten b dzie miaª istotne konsekwencje w dalszej cz ±ci pracy. Na koniec omówimy wybrane klasy przestrzeni Aleksandrowa, do pewnego stopnia bliskie klasie przestrzeni sko«czonych. Przypomnijmy,»e zakªadamy, i» wszystkie rozwa»ane przestrzenie s T 0. II.1. Podprzestrzenie i produkty Rozpocznijmy od dwóch prostych obserwacji Stwierdzenie II.1.1. Podprzestrze«A przestrzeni Aleksandrowa X jest przestrzeni Aleksandrowa wyznaczon przez porz dek na X ograniczony do zbioru A. Dowód. Niech A b dzie podprzestrzeni przestrzeni Aleksandrowa X. Ustalmy punkt a A. Wówczas a A jest zbiorem otwartym w A. Poka»emy,»e jest to najmniejsze otoczenie otwarte punktu a w przestrzeni A. Niech U A b dzie otwarty, tzn. U = V A dla pewnego zbioru otwartego V X. Poniewa» a V, mamy a A V A = U. Stwierdzenie II.1.2. Niech X, Y b d przestrzeniami Aleksandrowa. Wówczas X Y jest przestrzeni Aleksandrowa wyznaczon przez nast puj cy porz dek: (x, y) (x, y ) dla x, x X, y, y Y wtedy i tylko wtedy, gdy x x i y y. Dowód. Wystarczy pokaza,»e dla dowolnej pary (x, y) X Y zbiór x y jest jej najmniejszym otoczeniem otwartym. Rozwa»my w tym celu otoczenie otwarte U punktu (x, y). Mo»emy zakªada,»e jest ono postaci U X U Y, gdzie U X X, U Y Y s zbiorami otwartymi. Mamy zatem: x U X, y U Y, wi c x y U. Ze stwierdzenia powy»szego wynika poprzez indukcj, i» sko«czone produkty przestrzeni Aleksandrowa s Aleksandrowa. Nie jest to jednak prawd dla produktów niesko«czonych. 19

22 20 ROZDZIAŠ II. TOPOLOGICZNE WŠASNO CI Stwierdzenie II.1.3. Produkt (z topologi Tichonowa) rodziny {X i } i I niepustych przestrzeni Aleksandrowa jest przestrzeni Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy X i jest zbiorem jednoelementowym dla prawie wszystkich i I. Dowód. Oczywi±cie i I X i jest izomorczny z i I, X i =1 X i. Je±li zatem X i jest zbiorem jednoelementowym dla prawie wszystkich i I, to produkt i I X i jest w istocie produktem sko«czonym i stosujemy ostatnie stwierdzenie. Z drugiej strony, przypu± my,»e X i 2 dla niesko«czenie wielu, czyli bez zmniejszenia ogólno±ci dla wszystkich i I. Dla ka»dego i I ustalmy zbiór otwarty U i X i. Niech { X i dla i j A j (i) = U j dla i = j. Wówczas zbiory A j = i I A j(i) s otwarte w i I X i. Ale i I U i = j I Aj nie jest zbiorem otwartym. Zatem w istocie tylko sko«czone produkty (z topologi Tichonowa) przestrzeni Aleksandrowa s przestrzeniami Aleksandrowa. Nale»y jednak odnotowa,»e w kategorii Al (czyli Preorder) istniej produkty w sensie teorii kategorii porz dek ustala si po wspóªrz dnych. Topologia Aleksandrowa indukowana na produkcie przez ten porz dek to tzw. box topology. W dalszej cz ±ci nie b dziemy tego rodzaju produktów wykorzystywa. II.2. Spójno± Lemat II.2.1. Niech X b dzie przestrzeni Aleksandrowa. Je±li x, y X oraz x y, to istnieje droga z x do y w X, tzn. odwzorowanie ci gªe h : I X takie,»e h(0) = x oraz h(1) = y. Dowód. Mo»emy zaªo»y,»e x y. Zdeniujmy odwzorowanie h : I X wzorem: { x dla t [0, 1) h(t) =. y dla t = 1 Nale»y wykaza ci gªo± odwzorowania h. W tym celu rozwa»my zbiór otwarty U X. Je±li y U, to x y U, wi c h 1 (U) = I. Je±li x U, y U, to h 1 (U) = [0, 1). Je±li za± x, y U, to h 1 (U) =. Poniewa» powy»sze przeciwobrazy s zbiorami otwartymi w I, odwzorowanie h jest ci gªe. Wniosek II.2.2. Ka»da przestrze«aleksandrowa X jest lokalnie ªukowo spójna. Dowód. Z ostatniego lematu wynika,»e zbiór x = U x jest ªukowo spójny dla ka»dego x X. Zatem X posiada baz otwart zªo»on ze zbiorów ªukowo spójnych. Stwierdzenie II.2.3. Niech X b dzie przestrzeni Aleksandrowa. Skªadow spójno±ci punktu x X jest zbiór S x = n N B(x, n). Jest on równie» skªadow ªukowej spójno±ci punktu x.

23 II.3. ZWARTO I DZIEDZICZNA ZWARTO 21 Dowód. Je±li y S x, to istnieje ci g x = x 0, x 1,..., x n = y elementów S x taki,»e x 0 x 1... x n. Istnieje zatem droga z x 0 do x n b d ca sklejeniem dróg z x i do x i+1, i = 0,..., n 1, których istnienie gwarantuje lemat II.2.1. Wobec tego zbiór S x jest ªukowo spójny. Z drugiej strony, je±li y S x, to y S x i y S x, wi c zbiór S x jest domkni to-otwarty. II.3. Zwarto± i dziedziczna zwarto± O ile interpretacja poj cia spójno±ci w klasie przestrzeni Aleksandrowa jest zgodna z intuicj, przedstawiona ni»ej charakteryzacja zbiorów zwartych mo»e wydawa si nieco zaskakuj ca. Stwierdzenie II.3.1. Przestrze«Aleksandrowa X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy max(x) jest zbiorem sko«czonym oraz dla ka»dego y X istnieje x max(x) takie,»e x y. Dowód. Zaªó»my najpierw,»e max(x) jest zbiorem sko«czonym oraz dla ka»dego y X istnieje x max(x) takie,»e x y. Niech {V i } i I b dzie dowolnym pokryciem otwartym X. Wówczas dla ka»dego x max(x) istnieje i x I takie,»e x V ix. Zauwa»my,»e sko«czona rodzina {V ix } x X jest podpokryciem pokrycia {V i } i I. Istotnie, je±li y X, to istnieje x max(x) takie,»e y x, tzn. y x V ix. Zaªó»my teraz,»e X jest przestrzeni zwart. Przypu± my,»e zbiór max(x) jest niesko«czony. Wówczas pokrycie otwarte {y } y X nie ma podpokrycia sko«czonego, gdy» dla ka»dego elementu x max(x) jedynym elementem pokrycia {y } y X go zawieraj cym jest x. Przypu± my teraz,»e istnieje y X takie,»e y x dla wszystkich x max(x). Ponownie rozwa»my pokrycie {x } x X przestrzeni X. Przypu± my,»e posiada ono podpokrycie sko«czone {x k } 0 k n. Wówczas istnieje 0 i 0 n takie,»e x i0 max({x 0, x 1,..., x n } y }). Ale x i0 max(x), wi c istnieje z X o tej wªasno±ci,»e z > x i0. Z wyboru i 0 oznacza to jednak,»e z n k=0 x k, co jest sprzeczne z faktem,»e {x k } 0 k n jest pokryciem. Przestrze«topologiczn X nazywamy dziedzicznie zwart wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy podzbiór A X jest przestrzeni zwart. Stwierdzenie II.3.2. Przestrze«Aleksandrowa X jest dziedzicznie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia ACC oraz nie zawiera niesko«czonych antyªa«cuchów. Dowód. Ze stwierdzenia II.3.1 wynika natychmiast,»e niesko«czony antyªa«cuch oraz zbiór izomorczny z N nie s przestrzeniami zwartymi. Zatem sformuªowany w tre±ci stwierdzenia warunek jest warunkiem koniecznym dziedzicznej zwarto±ci. Z drugiej strony, przypu± my»e X speªnia ten warunek i rozwa»my zbiór A X. Wówczas zbiór max(a) jest antyªa«cuchem w X, jest wi c sko«czony. Zbiór A speªnia ACC jako podzbiór X. Z lematu I.1.1 wynika zatem,»e dla ka»dego a A zbiór a A posiada element maksymalny, który oczywi±cie nale»y do max(a). Wobec stwierdzenia II.3.1, A jest zbiorem zwartym. Wypada w tym momencie wspomnie,»e zbiory cz ±ciowo uporz dkowane dualne do przestrzeni dziedzicznie zwartych, tzn. porz dki speªniaj ce DCC i nie zawieraj ce

24 22 ROZDZIAŠ II. TOPOLOGICZNE WŠASNO CI niesko«czonych antyªa«cuchów, nazywa si czasem zbiorami cz ±ciowo dobrze uporz dkowanymi. Okazuje si,»e posiadaj one liczne dobre wªasno±ci i cz sto pojawiaj si w literaturze; por. [12]. II.4. Przestrzenie funkcyjne II.4.1. Opis topologii na C(X, Y ) Przypomnijmy,»e je±li A, B s przestrzeniami topologicznymi, to na zbiorze C(A, B) odwzorowa«ci gªych z A do B wprowadzi mo»na topologi, zwan topologi zwartootwart, której podbaz otwart stanowi rodzina {[K, U] : K A jest zwarty, U B jest otwarty}, gdzie [K, U] = {f : A B : f(k) U}. Je±li a A, to zamiast [{a}, U] pisa b dziemy [a, U]. W dalszym ci gu zapis C(A, B) b dzie zawsze oznaczaª przestrze«odwzorowa«ci gªych z A do B z topologi zwarto-otwart. Niech teraz A b dzie dowoln przestrzeni topologiczn, za± Y przestrzeni Aleksandrowa. Na zbiorze C(A, Y ) mo»na zdeniowa w naturalny sposób porz dek: f g dla f, g : A Y, o ile f(a) g(a) dla ka»dego a A. Okazuje si,»e porz dek ten ma zwi zek z topologi przestrzeni C(A, Y ). Stwierdzenie II.4.1. Niech f C(A, Y ), gdzie Y jest przestrzeni Aleksandrowa, za± A dowoln przestrzeni topologiczn. Wówczas przekrój wszystkich zbiorów otwartych w C(A, Y ) zawieraj cych f jest równy f. Dowód. Niech Z b dzie przekrojem wszystkich zbiorów otwartych w C(A, Y ) zawieraj - cych f. Wówczas Z = {[K, U] : f [K, U], K A jest zwarty, U Y jest otwarty}. Je±i g Z, to g [a, f(a) ] dla ka»dego a A, czyli g f. Z drugiej strony, niech g f. Wówczas g(a) f(a) dla ka»dego a A. Niech U Y b dzie otwarty i niech K A. Je±li f(k) U, to g(k) f(k) U = U, czyli g [K, U]. Wobec tego g Z. Ze stwierdzenia powy»szego wynika,»e g f wtedy i tylko wtedy, gdy f {g}. Zatem powy»szy porz dek na C(A, Y ) pokrywa si z porz dkiem specjalizacji przestrzeni C(A, Y ). Podkre±li nale»y jednak,»e nie oznacza to, i» przestrze«c(a, Y ) jest Aleksandrowa. Kontrprzykªadów dostarczy twierdzenie II.4.6. Wprowad¹my oznaczenie C(A, Y ) Al = X P(C(X, Y )), tzn. C(A, Y ) Al jest przestrzeni odwzorowa«ci gªych z A do Y z topologi Aleksandrowa wyznaczon przez powy»szy porz dek na C(A, Y ). Odnotujmy w tym miejscu, i» praca [2], o tematyce zbli»onej do niniejszej pracy magisterskiej, zawiera bª d. W Twierdzeniu 3.1 cytowanego artykuªu autor stwierdza, i» powy»sza przestrze«c(a, Y ) jest Aleksandrowa. W dalszej cz ±ci cytowanej pracy znajduj si kolejne nieprawdziwe stwierdzenia, b d ce konsekwencj tej pomyªki. Zauwa»enie wspomnianego bª du stanowiªo zacz tek bada«, których wyniki zawarte s w niniejszej pracy magisterskiej.

25 II.4. PRZESTRZENIE FUNKCYJNE 23 Przyjrzyjmy si sytuacji, w której X, Y s przestrzeniami Aleksandrowa. Okazuje si, i» mo»na poda do± bezpo±redni opis topologii przestrzeni C(X, Y ). Stwierdzenie II.4.2. Niech X, Y b d przestrzeniami Aleksandrowa. Wówczas rodzina {[x, y ] : x X, y Y } stanowi podbaz otwart topologii zwarto-otwartej na C(X, Y ). Dowód. Niech K X b dzie zwarty, za± U Y b dzie otwarty. Udowodnimy,»e [K, U] = [max(k), U]. Oczywi±cie [K, U] [max(k), U]. Z drugiej strony, niech f [max(k), U]. Je±li y K, to ze stwierdzenia II.3.1 wynika, i» istnieje x max(k) takie,»e y x. Wówczas f(y) f(x) U, wi c f(y) U. Zatem f [K, U]. Na mocy stwierdzenia II.3.1 zbiór max(k) jest sko«czony dla ka»dego K X zwartego. Poniewa» [K, U] = [max(k), U] = x max(k) [x, U], zbiory postaci [x, U], gdzie x X za± U Y jest otwarty, tworz podbaz topologii na C(X, Y ). Elementy zwi zanej z ni bazy s postaci n i=1 [x i, U i ]. Zauwa»my: n [x i, U i ] = i=1 n i=1 u U i [x i, u ] = u 1 U 1... u n U n i=1 n [x i, u i ]. Zbiory postaci [x, u ], gdzie x X, u Y, tworz zatem podbaz C(X, Y ). Wniosek II.4.3. Je±li X, Y s Aleksandrowa, to topologia zwarto-otwarta w C(X, Y ) pokrywa si z topologi podprzestrzeni C(X, Y ) x X Y. Dowód. Wniosek wynika natychmiast z poprzedniego twierdzenia i denicji topologii produktowej. Zauwa»my,»e poniewa» podprzestrzenie i sko«czone produkty przestrzeni Aleksandrowa s przestrzeniami Aleksandrowa, C(X, Y ) jest Aleksandrowa gdy X jest przestrzeni sko«czon oraz Y jest Aleksandrowa. (W przypadku gdy Y jest równie» sko«czona, fakt ten jest oczywisty: C(X, Y ) jest wówczas sko«czona.) Wniosek II.4.4. Je±li X, Y s Aleksandrowa, to topologia zwarto-otwarta C(X, Y ) jest sªabsza od topologii Aleksandrowa C(X, Y ) Al. Dowód. Zauwa»my,»e [K, U] = [K, U] dla K X i U Y otwartego. Istotnie, je±li f(k) U, to g(k) f(k) U = U dla g f. Zatem elementy podbazy C(X, Y ) s otwarte w C(X, Y ) Al, co ko«czy dowód. II.4.2. Kiedy topologia zwarto-otwarta jest Aleksandrowa? Poni»sze stwierdzenie podaje warunek dostateczny na to, by topologia zwarto-otwarta na zbiorze C(X, Y ), gdzie Y jest przestrzeni Aleksandrowa, byªa topologi Aleksandrowa. Stwierdzenie II.4.5. Niech X b dzie przestrzeni topologiczn dziedzicznie zwart, za± Y przestrzeni Aleksandrowa. Je±li zbiór f(x) Y jest sko«czony dla ka»dej funkcji f C(X, Y ), to C(X, Y ) jest przestrzeni Aleksandrowa.

26 24 ROZDZIAŠ II. TOPOLOGICZNE WŠASNO CI Dowód. Wiadomo z wniosku II.4.4,»e topologia zwarto-otwarta na C(X, Y ) jest sªabsza od topologii Aleksandrowa. Wobec tego wystarczy zbada kiedy jest ona równie» mocniejsza. Ma to miejsce dokªadnie wtedy, gdy f jest zbiorem otwartym w C(X, Y ) dla ka»dego f C(X, Y ). Ustalmy zatem f C(X, Y ). Poniewa» X jest dziedzicznie zwarta i f(x) jest sko«czony, zbiór f = y f(x) [f 1 (y), y ] jest otwarty w C(X, Y ) jako sko«czony przekrój zbiorów otwartych. Okazuje si,»e je±li X jest przestrzeni Aleksandrowa, stwierdzenie to mo»na odwróci. Ni»ej sformuªowane twierdzenie, charakteryzuj ce sytuacje, w których topologie zwarto-otwarta i Aleksandrowa na przestrzeni odwzorowa«ci gªych mi dzy dwoma przestrzeniami Aleksandrowa pokrywaj si, stanowi jeden z gªównych wyników niniejszej pracy. Twierdzenie II.4.6. Niech X b dzie przestrzeni topologiczn, za± Y przestrzeni Aleksandrowa o co najmniej dwóch elementach. Prawdziwe s nast puj ce stwierdzenia. 1. Je±li Y jest dyskretna, to C(X, Y ) jest Aleksandrowa (oraz dyskretna) wtedy i tylko wtedy, gdy X ma sko«czenie wiele skªadowych spójno±ci. 2. Je±li Y nie jest dyskretna oraz X jest Aleksandrowa, to C(X, Y ) jest Aleksandrowa wtedy i tylko wtedy, gdy X jest dziedzicznie zwarta oraz zbiór f(x) Y jest sko«- czony dla ka»dej funkcji f C(X, Y ). Dowód. Podobnie jak w dowodzie stwierdzenia II.4.5 bada b dziemy otwarto± w C(X, Y ) zbiorów postaci f, gdzie f C(X, Y ). Dla dowodu 1. zaªó»my,»e Y jest dyskretna i f C(X, Y ). Zatem f przeprowadza skªadowe spójno±ci X na zbiory jednopunktowe. Je±li X ma sko«czenie wiele skªadowych spójno±ci, powiedzmy S 1,..., S n, to dla ka»dego i = 1,..., n wybra mo»emy element s i S i i wówczas f = n i=1 [s i, f(s i ) ] jest zbiorem otwartym jako przekrój sko«czonej rodziny zbiorów otwartych. Przypu± my teraz,»e X ma niesko«czenie wiele skªadowych spójno±ci. Poka»emy,»e ka»dy element n i=1 [x i, y i ] bazy otwartej przestrzeni C(X, Y ) zawiera element nie nale-» cy do f. W istocie, dla ka»dego zbioru bazowego powy»szej postaci istnieje skªadowa spójno±ci S X taka,»e S {x 1,..., x n } =. Poniewa» Y 2, istnieje y Y taki,»e f nie przeprowadza skªadowej S na punkt y. Niech f 0 : X Y b dzie zadane wzorem f 0 (x) = { f(x) dla x S y dla x S. Wówczas f f 0 n i=1 [x i, y i ]. Punkt 1. jest udowodniony. By udowodni 2. zaªó»my,»e Y nie jest dyskretna oraz X jest Aleksandrowa. Przypu± my najpierw,»e X nie jest dziedzicznie zwarta. Istnieje zatem zbiór A X, który nie jest zwarty. Poniewa» Y nie jest dyskretna, zawiera pewien ªa«cuch dwuelementowy {z 0, z 1 } Y, z 0 < z 1. Odwzorowanie f : X Y zadane wzorem { z 0 dla x A f(x) = dla x X (A ) z 1

27 II.4. PRZESTRZENIE FUNKCYJNE 25 jest ci gªe. (Je±li U Y jest otwarty, to albo z 0 U i wtedy f 1 (U) =, albo z 1 U i f 1 (U) = X, albo wreszcie z 0 U z 1 i f 1 (U) = A.) Ustalmy x 1,..., x n X, y 1,..., y n Y takie,»e n i=1 [x i, y i ] jest elementem bazy otwartej C(X, Y ) zawieraj cym f. Mamy wówczas y i z 1 dla wszystkich x i A. Poniewa» A nie jest zwarty, ze stwierdzenia II.3.1 wynika,»e istnieje a A takie,»e a x j dla wszystkich j takich,»e x j A. Zadajmy f 0 : X Y wzorem { f(x) dla a a f 0 (x) = z 1 dla x a. Ci gªo± f 0 wynika z ci gªo±ci f, poniewa» f0 1 (z 0 ) = f 1 (z 0 ) a jest zbiorem otwartym. Mamy f 0 n i=1 [x i, y i ]. Ale f 0 f. Zaªó»my teraz,»e X jest dziedzicznie zwarta. Przypu± my,»e istnieje g C(X, Y ) takie,»e g(x) jest zbiorem niesko«czonym. Zbiór g(x) jest dziedzicznie zwarty jako obraz przestrzeni dziedzicznie zwartej przez odwzorowanie ciagªe. Ze stwierdzenia II.3.2 g(x) speªnia ACC i nie zawiera niesko«czonych antyªa«cuchów. Na mocy lematu I.1.3 zawiera on wi c niesko«czony ªa«cuch. Zatem, wobec lematu I.1.2, g(x) zawiera niesko«czony ci g zst puj cy c 0 > c 1 >... Dla ka»dego n N wybierzmy a n g 1 (c n ). Wówczas {a n : n N} jest niesko«czonym, dziedzicznie zwartym podzbiorem X, wi c równie» zawiera musi niesko«czony ci g zst puj cy a k0 > a k1 >... Zdeniujemy odwzorowanie f C(X, Y ). Dla x X niech g(a k0 ) dla x X (a k0 ) f(x) = g(a kn ) dla x (a kn ) (a kn+1 ), n = 0, 1,... g(x) dla x. n=1 (a k n ) Nietrudno sprawdzi,»e f zachowuje porz dek. Ustalmy x 1,..., x n X, y 1,..., y n Y takie,»e n i=1 [x i, y i ] jest bazowym otoczeniem otwartym funkcji f w C(X, Y ). Niech L oznacza najwi ksz liczb l tak,»e x i (a kl ) n=1 (a k n ) dla pewnego i = 1,..., n, o ile liczba l o tej wªasno±ci istnieje. W przeciwnym wypadku, niech L = 0. Zadajmy f 0 : X Y wzorem { g(a kl ) dla x (a kl+1 ) n=1 f 0 (x) = (a k n ). f(x) w przeciwnym wypadku Ponownie nietrudno sprawdzi ci gªo± f 0. Ponadto f 0 n i=1 [x i, y i ], ale f 0 > f, gdy» g(a kl ) = c L > c m = g(a km ) dla L < m. Wreszcie, je±li X jest dziedzicznie zwarta i f(x) jest sko«czony dla ka»dego f C(X, Y ), to teza wynika ze stwierdzenia II.4.5. Wniosek II.4.7. Je±li X jest niesko«czon przestrzeni Aleksandrowa, to C(X, X) nie jest Aleksandrowa. Dowód. Przypu± my,»e X i C(X, X) s przestrzeniami Aleksandrowa. Je±li X jest dyskretna, to z twierdzenia II.4.6 wynika, i» przestrze«x ma sko«czenie wiele skªadowych spójno±ci, zatem jest sko«czona. Je±li za± X nie jest dyskretna, to z twierdzenia tego otrzymujemy, i» Id X (X) = X jest przestrzeni sko«czon.